1、2019 年湖北省武汉市硚口区第七十二中学中考数学二模试卷一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1若关于 x 的方程（ a+1） x23 x20 是一元二次方程，则 a 的取值范围是（ ）A a0 B a1 C a1 D a12如图是一个以 O 为对称中心的中心对称图形，若 A30， C90， OC1，则 AB 的长为（ ）A2 B4 C D3下列事件中，是必然事件的是（ ）A足球运动员梅西射门一次，球射进球门B随意翻开一本数学书，这页的页码是偶数C经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯D任意画一个三角形，其内角和是 1804 O 与直线 l 有两个交点，且圆的半径为 3，则圆心
2、 O 到直线 l 的距离不可能是（ ）A0 B1 C2 D35在综合实践活动中，小明、小亮、小颖、小静四位同学用投掷图钉的方法估计针尖朝上的概率，他们的实验次数分别为 20 次、50 次、150 次、200 次其中哪位同学的实验相对科学（ ）A小明 B小亮 C小颖 D小静6半径为 2.圆心角为 30的扇形的面积为（ ）A2 B C D 7若关于 x 的方程 x22 x+m10 有两个实根 x1.x2，则 x1x2（ x12+x22）2 x12+4x1的最大值是（ ）A3 B4 C4.5 D58有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为 20 米，拱顶距离水平面 4 米，如图建立直角坐标系，若正常
3、水位时，桥下水深 6 米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于 18 米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）A2.76 米 B6.76 米 C6 米 D7 米9如图， O 与正方形 ABCD 的两边 AB.AD 相切且 DE 与 O 相切于点 E若 DE6， AB11，则 O 的半径为（ ）A5 B6 C D10若一元二次方程 x2 x60 的两根为 x1， x2，则 x1+x2的值为（ ）A1 B1 C0 D6二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）11方程（ x2） 29 的解是 12小颖同学在手工制作中，把一个边长为 12cm 的等边三角形纸片
4、贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为 13将抛物线 y x21 向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位，所得的抛物线的解析式为 14如图，某小区有一块长为 30m，宽为 24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为xm，则可列方程为 15二次函数 y ax2+bx+c（ a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x2，下列结论：（1）4 a+b0；（2） abc0；（3） b24 ac0；（4）5 a+c0；（5）若m2，则 m（ am+b）
5、2（2 a+b），其中正确的结论有 （填序号）16如图， O 是 ABC 的外接圆， AD 是 O 的直径，若 O 的半径为 5， AC8则 cosB 的值是 三解答题（共 8 小题，满分 72 分）17（8 分）解方程： x2+2x30（公式法）18（8 分）如图， O 是 ABC 的外接圆， BC 为 O 的直径，点 E 为 ABC 的内心， AE 的延长线交 O 于点 D，延长 AD 至 F，使 DF DE，连接 BF（1）求证： ACB2 F；（2）若 AB8， AC6，求 BF 的长19（8 分）如图，有一张鸡年生肖邮票和三张猴年生肖邮票（鸡年生肖邮票面值“80 分”，猴年生肖邮票每
6、张面值“1.20 元”），四张邮票除花色不一样之外，其余都相同，现将四张邮票花色朝下，打乱顺序后放置在桌面上（注：1 元100 分）（1）填空：随机抽取一张，是猴年生肖邮票的概率是 ；（2）先随机抽取一张，不放回，再抽取一张，求抽到的两张邮票组合起来刚好可以邮寄一封需2 元邮资的信件的概率20（8 分）在平面直角坐标系中， O 为坐标原点（1）已知点 A（3，1），连结 OA，作如下探究：探究一：平移线段 OA，使点 O 落在点 B设点 A 落在点 C，若点 B 的坐标为（1，2），请在图 1中作出 BC，点 C 的坐标是 ；探究二：将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 90，点 A 落在点 D
7、则点 D 的坐标是 （2）已知四点 O（0，0）， A （ a， b）， C， B（ c， d），顺次连结 O， A， C， B若所得到的四边形是正方形，请直接写出 a， b， c， d 应满足的关系式是 21（8 分）在 ABC 中， ABC45， C60， O 经过点 A， B，与 BC 交于点 D，连接 AD（）如图若 AB 是 O 的直径，交 AC 于点 E，连接 DE，求 ADE 的大小（）如图，若 O 与 AC 相切，求 ADC 的大小22（10 分）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是 40 元超市规定每箱售价不得少于 45 元，根据以往经验发现：当售价定为每箱 45
8、元时，每天可以卖出 700 箱每箱售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 箱（1）求出每天的销量 y（箱）与每箱售价 x（元）之间的函数关系式，并直接写出 x 的范围；（2）当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润 w（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关部分规定：每箱售价不得高于 70 元如果超市想要每天获得的利润不低于 5120 元，请直接写出售价 x 的范围23（10 分）矩形 ABCD 中， DE 平分 ADC 交 BC 边于点 E， P 为 DE 上的一点（ PE PD），PM PD， PM 交 AD 边于点 M（1）若点 F 是边 CD 上一点，满足 PF PN，且点 N
9、 位于 AD 边上，如图 1 所示求证： PN PF； DF+DN DP；（2）如图 2 所示，当点 F 在 CD 边的延长线上时，仍然满足 PF PN，此时点 N 位于 DA 边的延长线上，如图 2 所示；试问 DF， DN， DP 有怎样的数量关系，并加以证明24（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y kx+b（ k0）与抛物线 y ax24 ax+3a 的对称轴交于点 A（ m，1），点 A 关于 x 轴的对称点恰为抛物线的顶点（1）求抛物线的对称轴及 a 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记直线 y kx+b（ k0）与抛物线围成的封闭区域（不含边界）为 W当 k1
10、 时，直接写出区域 W 内的整点个数；若区域 W 内恰有 3 个整点，结合函数图象，求 b 的取值范围2019 年湖北省武汉市硚口区第七十二中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】根据一元二次方程的定义知： a+10，据此可以求得 a 的取值范围【解答】解：根据题意，得a+10，解得， a1故选： B【点评】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数2【分析】直接利用直角三角形的性质得出 AO 的长，再利用中心对称图形
11、的性质得出 AO BO，即可得出答案【解答】解： A30， C90， OC1， AO2，如图是一个以 O 为对称中心的中心对称图形， BO AO2， AB4故选： B【点评】此题主要考查了中心对称图形，正确得出 AO 的长是解题关键3【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件【解答】解： A足球运动员梅西射门一次，球射进球门是随机事件；B随意翻开一本数学书，这页的页码是偶数是随机事件；C经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件；D任意画一个三角形，其内角和是 180是必然事件；故选： D【点评】本题主要考查必然事件的定义，关键是理解必然事件是一定会发生的事件解决此类问题，
12、要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养4【分析】已知圆的半径是 R，圆心到直线 l 的距离是 d，那么当 d R 时，直线 l 和圆的位置关系是相交；当 d R 时，直线 l 和圆的位置关系是相切；当 d R 时，直线 l 和圆的位置关系是相离，根据以上内容求出即可【解答】解： O 与直线 l 有两个交点， O 与直线 l 相交，圆的半径为 3，圆心 O 到直线 l 的距离 0 d3，圆心 O 到直线 l 的距离不可能为 3，故选： D【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：已知圆的半径是 R，圆心到直线 l 的距离是 d，那么当 d R
13、 时，直线 l 和圆的位置关系是相交；当 d R 时，直线 l 和圆的位置关系是相切；当 d R 时，直线 l 和圆的位置关系是相离5【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值【解答】解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的小静故选： D【点评】考查了利用频率估计概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确6【分析】直接利用扇形面积公式计算即可【解答】解：扇形的面积 故选： D【点评】本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是 n，圆的半径为 R 的扇形面积为 S，则 S 扇形 R2或 S 扇形
14、 lR（其中 l 为扇形的弧长）7【分析】根据根的判别式列不等式得到 m2，根据根与系数的系数得到x1+x22， x1x2 m1， x122 x1 m+1，根据完全平方公式得到 x12+x22（ x1+x2）22 x1x242（ m1）62 m，代入代数式化简即可得到结论【解答】解：关于 x 的方程 x22 x+m10 有两个实根 x1.x2，44（ m1）84 m0， m2， x1+x22， x1x2 m1， x122 x1 m+1， x12+x22（ x1+x2） 22 x1x242（ m1）62 m， x1x2（ x12+x22）2 x12+4x1（ m+1）（62 m）2（ m+1）2
15、 m2+10m82（ m ）2+ ， m2，当 m2 时， x1x2（ x12+x22）2 x12+4x1的最大值4，故选： B【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用，正确的对2 m2+10m8 进行配方是解题的关键8【分析】根据已知，假设解析式为 y ax2，把（10，4）代入求出解析式假设在水面宽度18 米时，能顺利通过，即可把 x9 代入解析式，求出此时水面距拱顶的高度，然后和正常水位相比较即可解答【解答】解：设该抛物线的解析式为 y ax2，在正常水位下 x10，代入解析式可得4 a102a故此抛物线的解析式为 y x2因为桥下水面宽度不得小于 18 米
16、所以令 x9 时可得 y 3.24 米此时水深 6+43.246.76 米即桥下水深 6.76 米时正好通过，所以超过 6.76 米时则不能通过故选： B【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题难度中上，首先要知道水面宽度与水位上升高度的关系才能求解9【分析】设 O 与 AB.AD 分别切于 M、 N 两点，连接 OM、 ON，则可证得四边形 AMON 为正方形，利用切线长定理可求得 DN DE，则可求得 AN，则可求得 O 的半径【解答】解：设 O 与 AB.AD 分别切于 M、 N 两点，连接 OM、 ON，四边形 ABCD 为正方形， A90， AD
17、AB11， AD.AB 与 O 相切， ANO AMO A90，且 AM AN，四边形 AMON 为正方形， DE 与 O 相切， DN DE6， AN1165， ON AN5，即 O 的半径为 5，故选： A【点评】本题主要考查切线的性质及正方形的性质，利用切线的性质构造四边形 AMON 且证得其为正方形是解题的关键10【分析】由韦达定理可得答案【解答】解：方程 x2 x60 的两根为 x1， x2， x1+x21，故选： A【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握 x1， x2是一元二次方程ax2+bx+c0（ a0）的两根时， x1+x2 ， x1x2 二填空题（共 6 小题
18、，满分 18 分，每小题 3 分）11【分析】观察方程后发现，左边是一个完全平方式，右边是 3 的平方，即 x23，解两个一元一次方程即可【解答】解：开方得 x23 即：当 x23 时， x15；当 x23 时， x21故答案为：5 或1【点评】本题关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解12【分析】延长 AO 交 BC 于 D，连接 OB，如图，利用等边三角形的性质得 ABC60，AB AC，再证明 AO 垂直平分 BC，所以 AD 平分 BAC， BD CD BC6，从而得到 OBD30，然后在 R
19、t OBD 中利用余弦的定义求出 OB 即可【解答】解：延长 AO 交 BC 于 D，连接 OB，如图， ABC 为等边三角形， ABC60， AB AC， OB OC， AO 垂直平分 BC，即 OD BC， AD 平分 BAC， BD CD BC6，同理 OB 平分 ABC， OBD30，在 Rt OBD 中，cos30 ， OB 4 ， O 的半径为 4 cm故答案为 4 cm【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了等边三角形的性质13【分析】先确定抛物线 y x21 的顶点坐标为（0，1），再利用点平移的坐标变换
20、规律得到点（0，1）平移后对应点的坐标为（3，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式【解答】解：抛物线 y x21 的顶点坐标为（0，1），把点（0，1）向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位所得对应点的坐标为（3，2），所以平移后的抛物线的解析式为y （ x3） 2+2故答案为 y （ x3） 2+2【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式也考查了二次函数的性质14【分析】设人行通道
21、的宽度为 xm，则两块矩形绿地可合成长为（303 x） m、宽为（242 x）m 的大矩形，根据矩形的面积公式结合绿地的面积为 480m2，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解【解答】解：设人行通道的宽度为 xm，则两块矩形绿地可合成长为（303 x） m、宽为（242 x） m 的大矩形，根据题意得：（303 x）（242 x）480故答案为：（303 x）（242 x）480【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键15【分析】根据对称轴可判断（1）；根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与 y 轴的交点可对（2）进行判断；根据抛物线
22、与 x 轴的交点个数对（3）判断即可；由图象过点（1，0）知a b+c0，即 c a+b a4 a5 a，从而得 5a+c5 a5 a0，再结合开口方向可判断（4）根据函数的最值可判断（5）【解答】解：由对称轴为直线 x2，得到 2，即 b4 a，4 a+b0，（1）正确；抛物线的开口向下， a0，抛物线的对称轴为直线 x 2， b0，抛物线交 y 轴的正半轴， c0， abc0，所以（2）错误；因为抛物线与 x 轴有两个交点，所以 b24 ac0，故（3）正确；图象过点（1，0）， a b+c0，即 c a+b a4 a5 a，5 a+c5 a5 a0，故（4）正确；当 x2 时函数取得最大
23、值，且 m2， am2+bm+c4 a+2b+c，即 m（ am+b）2（2 a+b），故（5）错误；故答案为：（1）（3）（4）【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，常数项 c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与 x 轴交点个数是解题的关键16【分析】连接 CD，则可得 ACD90，且 B D，在 Rt ADC 中可求得 CD，则可求得cosD，即可求得答案【解答】解：如图，连接 CD， AD 是 O 的直径， ACD90，且 B D，在 Rt ACD 中， AD5210， AC8，
24、 CD6，cos D ，cos Bcos D ，故答案为： 【点评】本题主要考查圆周角定理及三角函数的定义，构造直角三角形是解题的关键三解答题（共 8 小题，满分 72 分）17【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程【解答】解：2 24（3）16，x ，所以 x11， x23【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法18【分析】（1）连接 BE， BD，由 E 是 ABC 的内心，得到 BAE CAE， EBA EBC，推出DB DE，根据等腰三角形的性质得到 DBF F，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）连接 CD，根据圆周角定理得到 B
25、AC CDB90，根据角平分线的定义得到 BAF CAF45， ，根据直角三角形的性质得到 EF2 BD10 ，过 B 作 BH EF于 H，根据射影定理解方程得到 FH8 ，根据勾股定理得到结论【解答】（1）证明：连接 BE， BD， E 是 ABC 的内心， BAE CAE， EBA EBC， BED BAE+ EBA， DBE EBC+ DBC， DBC EAC， DBE DEB， DB DE， DF DE， BD DF， DBF F， BDE ACB DBF+ F， ACB2 F；（2）解：连接 CD， BC 为 O 的直径， BAC CDB90， AB8， AC6， BC10， AF
26、 平分 BAC， BAF CAF45， ， BD CD5 ， BD DE DF， BEF EBD， F DBF， EBD+ DBF 18090， EBF90， EF2 BD10 ，过 B 作 BH EF 于 H， AH BH AB4 ， EBF90， BH EF， BH2 EHFH，32（10 FH） FH， FH8 ，或 FH2 （舍去）， BF 4 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的判定，圆周角定理，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键19【分析】（1）根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出抽到的两张邮票组合起来刚好可以邮寄一封需 2 元
27、邮资的信件的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）随机抽取一张，是猴年生肖邮票的概率 ；故答案为 ；（2）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中抽到的两张邮票组合起来刚好可以邮寄一封需 2 元邮资的信件的结果数为 6，所以抽到的两张邮票组合起来刚好可以邮寄一封需 2 元邮资的信件的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率20【分析】（1）利用 O 点和 B 点坐标得到平移的规律，然后根据点的坐标平移规律写出 C 点坐标，从而得到线段 B
28、C；利用网格特点和旋转的性质画出 A 点的对应点 D 即可；（2）由于顺次连结 O， A， C， B 所得到的四边形是正方形，则 OB 由 OA 绕点 O 逆时针或顺时针旋转 90得到，从而得到点 B 和点 A 的坐标之间的关系【解答】解：（1）如图 1，线段 BC 为所作，点 C 的坐标为（4，3）；如图 2，点 D 的坐标为（1，3）；（2） a d， b c 或 b c， a d故答案为（4，3），（1，3）； a d， b c 或 b c， a d【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线
29、段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了正方形的性质21【分析】（）连接 BE，根据三角形内角和可求 BAC 的度数，由圆周角定理可得 AEB90，即可求 ABE ADE15；（）连接 OA， OD，由切线的性质可得 OAC90，根据同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍可得 AOD90，由等腰三角形的性质可求 OAD DAC45，根据三角形内角和可求 ADC的度数【解答】解：（）如图，连接 BE ABC45， C60， BAC75， AB 是直径， AEB90， ABE AEB BAC15， ABE ADE， ADE15，（）连接 OA， OD， AC 是 O 的切线， OAC90
30、， ABC45 AOD90，且 OA OD OAD45 DAC OAC DAO45，且 C60 ADC75【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键22【分析】（1）根据“当售价定为每箱 45 元时，每天可以卖出 700 箱，每箱售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 箱”即可得出每天的销售量 y（箱）与每箱售价 x（元）之间的函数关系式；（2）根据二次函数的最值问题解答；（3）先由（2）中所求得的 w 与 x 的函数关系式，根据这种糕点的每箱售价不得高于 70 元，且每天销售水果的利润不低于 5120 元，求出 x 的取值范围【解答】解：
31、（1）由题意得， y70020（ x45）20 x+1600（45 x80）；（2）设每天的利润为 w 元，根据题意得， w（ x40）（20 x+1600）20（ x60） 2+8000当 x60 时，w 有最大值为 8000 元；（3）令 w5120，则20（ x60） 2+80005120，解得 x148， x272 x70，48 x70，故售价 x 的范围为：48 x70【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润1 盒糕点所获得的利润销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围23【分析】（1）利用矩形的性质，结合已知条件可证 PMN PDF，则可证得结论
32、；由勾股定理可求得 DM DP，利用 可求得 MN DF，则可证得结论；（2）过点 P 作 PM1 PD， PM1交 AD 边于点 M1，则可证得 PM1N PDF，则可证得 M1N DF，同（1）的方法可证得结论【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ADC90，又 DE 平分 ADC， ADE EDC45； PM PD， DMP45， DP MP， PM PD， PF PN， MPN+ NPD NPD+ DPF90， MPN DPF，在 PMN 和 PDF 中 PMN PDF（ ASA）， PN PF， MN DF； PM PD， DP MP， DM2 DP2+MP22 DP2，
33、DM DP，又 DM DN+MN，且由可得 MN DF， DM DN+DF， DF+DN DP；（2） 理由如下：过点 P 作 PM1 PD， PM1交 AD 边于点 M1，如图，四边形 ABCD 是矩形， ADC90，又 DE 平分 ADC， ADE EDC45； PM1 PD， DM1P45， DP M1P， PDF PM1N135，同（1）可知 M1PN DPF，在 PM1N 和 PDF 中， PM1N PDF（ ASA）， M1N DF，由勾股定理可得 DP2+M1P22 DP2， DM1 DP， DM1 DN M1N， M1N DF， DM1 DN DF， DN DF DP【点评】本
34、题为四边形的综合应用，涉及矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识在每个问题中，构造全等三角形是解题的关键，注意勾股定理的应用本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中24【分析】（1）配方求出抛物线的对称轴，进而确定点 A 坐标，代入点 A 的对称点坐标即可求出 a 的值；（2）当 k1 时代入点 A 坐标即可求出直线解析式，进而分析出整点个数；当 k0 时分别以（1，2），（2，1）；（0，4），（2，1）为边界点代入确定解析式，进而根据对称性分析当 k 小于 0 的情况即可【解答】解：（1）变形得： y a（ x24 x）+3 a a（ x2） 2 a，对称轴为 x2，点 A 的坐标为（2，1）可得抛物线顶点为（2，1），把点 A 坐标代入抛物线可得： a1（2）当 k1 时， y x+b，把 A（2，1）代入得12+ b，解得： b3， y x3，如图 1，区域 W 内的整点个数为 2 个，分别为（2，0）与（1，1）如图 2，i若 k0，当直线过（1，2），（2，1）时， b3当直线过（0，4），（2，1）时， b44 b3，ii若 k0，由对称性可得：1 b2 b 的取值范围是：4 b3 或 1 b2【点评】此题主要考查二次函数与一次函数综合问题，会运用待定系数法求解析式，会运用边界点分析问题是解题的关键