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2019年江苏省中考数学考前压轴题练习(含答案解析)

1、2019 年中考数学考前压轴题练习一选择题1如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,E、F 是 AD 边上的两个动点,且 AEFD ,连接 BE、CF、BD,CF 与 BD 交于点G,连接 AG 交 BE 于点 H,连接 DH,下列结论正确的个数是( )ABGFDGHD 平分EHGAG BES HDG:S HBG tanDAG线段 DH 的最小值是 2 2A2 B3C4 D5二填空题2如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E 在边 DC 上运动,点 F 在边 AD 上运动,且 DE AF,AE,BF 交于点 H,连接 DH,则 DH 的最小值为 3如图,在矩形 ABCD 中,AB

2、12,对角线 AC,BD 相交于点 O,OH BC 于点 H,连接 DH 交 OC 于点 O1,过 O2 作 O1H1BC 于点 H1,连接 DH1 交 OC 于 O2,过 O2 作O2H2BC 于点 H2,则线段 O10H10 4如图,正方形 ABCD 中,点 E 在 BC 边上,连接 AE,过 AD 作 DFAE 交 BC 的延长线于点 F,过点 C 作 CGDF 于点 G延长 AE、GC 交于点 H,点 P 是线段 DG 上的一点,连接 CP,将CPG 沿 CP 翻折得到CPG,连接 AG,若 CH1,DH 3,则 AG长度的最小值是 5如图,将正方形 ABCD 折叠,使点 A 落在 D

3、C 边上的 A处(不与点 C、D 重合) ,点B 落在 B处折痕为 EF,若点 A恰好将 DC 分成 2:1 两部分,且 BC+CA20,则线段 DE 的长为 6如图,正方形 ABCD 的边长为 ,点 E、F 分别为边 AD、CD 上一点,将正方形分别沿 BE、BF 折叠,点 A 的对应点 M 恰好落在 BF 上,点 C 的对应点 N 恰好落在 BE 上,则图中阴影部分的面积为 7如图,在正方形纸片 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,折叠正方形纸片 ABCD,使 AD 落在 BD 上,点 A 恰好与 BD 上的点 F 重合,折痕 DE 分别交 AB,AC 于点E,G,若 AB2,则

4、 AG 的长为 三解答题8如图,正方形 ABCD、BGFE 边长分别为 2、1,正方形 BGFE 绕点 B 旋转,直线AE、 GC 相交于点 H(1)在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中,AHC 的大小是否始终为 90,请说明理由;(2)连接 DH、BH,在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中,求 DH 的最大值;直接写出 DH 的最小值9如图,四边形 ABCD 为矩形,连接 AC,AD 2CD,点 E 在 AD 边上(1)如图 1,若ECD30,CE 4,求AEC 的面积;(2)如图 2,延长 BA 至点 F 使得 AF2CD,连接 FE 并延长交 CD 于点 G,过点 D作 DHEG

5、 于点 H,连接 AH,求证:FH AH+DH;(3)如图 3,将线段 AE 绕点 A 旋转一定的角度 (0360)得到线段 AE,连接 CE,点 N 始终为 CE的中点,连接 DN,已知 CDAE4,直接写出 DN 的取值范围10问题发现(1)如图 , RtABC 中, C90,AC 3,BC 4,点 D 是 AB 边上任意一点,则 CD 的最小值为 (2)如图 ,矩形 ABCD 中,AB3,BC 4,点 M、点 N 分别在 BD、BC 上,求CM+MN 的最小值(3)如图 ,矩形 ABCD 中,AB3,BC 4,点 E 是 AB 边上一点,且 AE2,点 F是 BC 边上的任意一点,把 B

6、EF 沿 EF 翻折,点 B 的对应点为 G,连接 AG、CG,四边形 AGCD 的面积是否存在最小值,若存在,求这个最小值及此时 BF 的长度若不存在,请说明理由11问题:如图(1) ,点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上,EAF45,试判断 BE、EF、FD 之间的数量关系【发现证明】小聪把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG,从而发现 EFBE+FD ,请你利用图(1)证明上述结论【类比引申】如图(2) ,四边形 ABCD 中,BAD90,ABAD ,B+D180,点 E、F 分别在边 BC、CD 上,则当EAF 与BAD 满足 关系时,仍有EFBE+FD 【探

7、究应用】如图(3) ,在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形 ABCD已知ABAD 80 米,B60,ADC120,BAD150,道路 BC、CD 上分别有景点 E、F ,EAF75且 AEAD,DF 40( 1)米,现要在 E、F 之间修一条笔直道路,求这条道路 EF 的长(结果取整数,参考数据: 1.41, 1.73)12如图,在ABC 中,CACB ,AB10,0C60,AFBC 于点 F,在 FC 上截取 FDFB ,点 E 是 AC 上一点,连接 DA、DE,且ADEB(1)求证:EDEC(2)若C30,求 BD 长;(3)在(2)的条件下,将图 1 中DEC 绕点 D 逆时针旋

8、转得到DE C ,请问在旋转的过程中,以点 D、E、 C、E为顶点的四边形可以构成平行四边形吗?若可以,请求出该平行四边形的面积;若不可以,请说明理由13如图,在ABCD 中,AB20cm,AD30cm ,ABC60,点 Q 从点 B 出发沿 BA向点 A 匀速运动,速度为 2cm/s,同时,点 P 从点 D 出发沿 DC 向点 C 匀速运动,速度为 3cm/s,当点 P 停止运动时,点 Q 也随之停止运动,过点 P 做 PMAD 交 AD 于点M,连接 PQ、 QM设运动的时间为 ts(0t 6) (1)当 PQPM 时,求 t 的值;(2)设PQM 的面积为 y(cm 2) ,求 y 与

9、x 之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻 t,使得 PQM 的面积是ABCD 面积的 ?若存在,求出相应t 的值;若不存在,请说明理由;(4)过点 M 作 MNAB 交 BC 于点 N,是否存在某一时刻 t,使得 P 在线段 MN 的垂直平分线上?若存在,求出相应 t 的值;若不存在,请说明理由;14 (1)如图 1,正方形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、DC 边上的点,CE 与 BF 交于点G,BF CE,求证: BFCE;(2)如图 2,矩形 ABCD 中,AB2AD,E、F 分别是 AD、DC 边上的点,CE 与 BF交于点 G,A+BGE 180 ,求证:CE2BF; (3)

10、如图 3,若(2)中的四边形 ABCD 是平行四边形,且A90,则 CE2BF 是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由15如图,在ABC 中,A30,C90,AB12,四边形 EFPQ 是矩形,点 P与点 C 重合,点 Q、E、F 分别在 BC、AB、AC 上(点 E 与点 A、点 B 均不重合) (1)当 AE8 时,求 EF 的长;(2)设 AEx,矩形 EFPQ 的面积为 y求 y 与 x 的函数关系式;当 x 为何值时,y 有最大值,最大值是多少?(3)当矩形 EFPQ 的面积最大时,将矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 CB 匀速向右运动(当点 P 到达点 B

11、 时停止运动) ,设运动时间为 t 秒,矩形 EFPQ 与ABC重叠部分的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并写出 t 的取值范围16在ABCD 中,ABD 90,C 45,点 E 是边 BC 上任意一点,连结 AE,交对角线 BD 与点 G(1)如图 1,当点 E 是边 BC 的中点时,若 AB2,求线段 AE 的长(2)如图 2,过点 D 作直线 AE 的垂线,交边 BC 于点 F,连结 GF,求证:AGDF+GF(3)如图 3,过点 D 作直线 AE 的垂线,交边 BC 于点 F,连结 GF,AF ,线段 AF 与对角线 BD 交于点 O,若点 O 恰好是线段 BG 的中点,请探

12、究线段 DF 与 GF 的数量关系,直接写出结论(不需证明)17如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 B 坐标为(4,6) ,点 P 为线段 OA上一动点(与点 O、A 不重合) ,连接 CP,过点 P 作 PECP 交 AB 于点 D,且PE PC,过点 P 作 PFOP 且 PFPO (点 F 在第一象限) ,连结 FD、BE、BF,设OPt(1)直接写出点 E 的坐标(用含 t 的代数式表示): ;(2)四边形 BFDE 的面积记为 S,当 t 为何值时,S 有最小值,并求出最小值;(3)BDF 能否是等腰直角三角形,若能,求出 t;若不能,说明理由18如图 1,在平面直角坐

13、标系中,点 A、点 B 的坐标分别为(4,0) 、 (0,3) (1)求 AB 的长度(2)如图 2,若以 AB 为边在第一象限内作正方形 ABCD,求点 C 的坐标(3)在 x 轴上是否存一点 P,使得ABP 是等腰三角形?若存在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由19在ABC 中,ABC45,BC 4,tanC3,AHBC 于点 H,点 D 在 AH 上,且DHCH,连接 BD(1)如图 1,将BHD 绕点 H 旋转,得到EHF(点 B、D 分别与点 E、F 对应) ,连接 AE,当点 F 落在 AC 上时(F 不与 C 重合) ,求 AE 的长;(2)如图 2,EHF 是由BH

14、D 绕点 H 逆时针旋转 30得到的,射线 CF 与 AE 相交于点 G,连接 GH,试探究线段 GH 与 EF 之间满足的等量关系,并说明理由20如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,P 是 BC 边上一动点(不含 B、C 两点) ,将ABP 沿直线 AP 翻折,点 B 落在点 E 处;在 CD 上有一点 M,使得将CMP 沿直线 MP翻折后,点 C 落在直线 PE 上的点 F 处,直线 PE 交 CD 于点 N,连结 MA(1)求证:CMPBPA;(2)求四边形 AMCB 的面积最大值;(3)你能求出线段 AM 的最小值吗?21在正方形 ABCD 中,AB8,点 P 在边 CD 上,

15、tanPBC ,点 Q 是在射线 BP 上的一个动点,过点 Q 作 AB 的平行线交射线 AD 于点 M,点 R 在射线 AD 上,使 RQ 始终与直线 BP 垂直(1)如图 1,当点 R 与点 D 重合时,求 PQ 的长;(2)如图 2,试探索: 的比值是否随点 Q 的运动而发生变化?若有变化,请说明你的理由;若没有变化,请求出它的比值;(3)如图 3,若点 Q 在线段 BP 上,设 PQx ,RMy,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出它的定义域22如图 1,在 RtABC 中,C90,AC8m,BC6m,点 P 由 C 点出发以 2m/s 的速度向终点 A 匀速移动,同时点 Q 由点

16、B 出发以 1m/s 的速度向终点 C 匀速移动,当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动(1)填空:在 秒时,PCQ 的面积为ACB 的面积的 ;(2)经过几秒,以 P、C、Q 为顶点的三角形与ACB 相似?(3)如图 2,设 CD 为ACB 的中线,则在运动的过程中,PQ 与 CD 有可能互相垂直吗?若有可能,求出运动的时间;若没有可能,请说明理由23在 RtABC 中,C90,P 是 BC 边上不同于 B、C 的一动点,过 P 作 PQAB,垂足为 Q,连接 AP(1)试说明不论点 P 在 BC 边上何处时,都有PBQ 与ABC 相似;(2)若 RtAQPRtACPRtBQP,求 tan

17、B 的值;(3)已知 AC3,BC4,当 BP 为何值时,AQP 面积最大,并求出最大值24在ABC 中,BAC90,ABAC ,M 是 BC 边的中点, MNBC 交 AC 于点 N,动点 P 在线段 BA 上以每秒 cm 的速度由点 B 向点 A 运动同时,动点 Q 在线段 AC上由点 N 向点 C 运动,且始终保持 MQMP 一个点到终点时两个点同时停止运动,设运动的时间为 t 秒(t 0) (1)求证:PBMQNM(2)若ABC60,AB 4 cm,求动点 Q 的运动速度;设 APQ 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的等量关系式(不必写出 t 的取值范围) 25如图,在AB

18、C 中,A90,AC AB,AC 、AB 是一元二次方程 x27x+120 的两根(1)求 BC 的长;(2)若点 P 由点 C 出发,以每秒 1cm 个单位长度的速度沿 CA 向点 A 运动,点 Q 由 A出发,以每秒 2cm 的速度点 B 运动, (当 Q 运动到点 B 时,两点同时停止)连接 PQ当 t 为何值时,S APQ SABC ;当 t 为何值时,以 A、P 、 Q 为顶点的三角形与ABC 相似?并说明理由26如图 1,抛物线 yax 2+bx+c(a0)与 x 轴的负半轴交于点 A,与 y 轴交于点C(0,3) ,顶点为 P(1,4) ,PB x 轴于点 B(1)求抛物线的解析

19、式;(2)连接 AC,在 x 轴下方的抛物线上存在点 N,BN 与 AC 的交点 F 平分 BN,求点 F的坐标;(3)将线段 BP 和 BA 绕点 B 同时顺时针旋转相同的角度,得到线段 BE,BD ,直线PE,AD 相交于点 M如图 2,设 PE 与 x 轴交于点 H,线段 BE 与 AD 交于点 G,求 的值;连接 OM,OM 的长随线段 BP,BA 的旋转而发生变化,请直接写出线段 OM 长度的取值范围27如图,已知正方形 ABCD、AEFG 边长分别为 cm、 2cm,将正方形 ABCD 绕点 A 旋转,连接 BG、DE 相交于点 H(1)判断线段 BG、DE 的数量关系与位置关系,

20、并说明理由(2)连接 FH,在正方形 ABCD 绕点 A 旋转过程中,线段 DH 的最大值是 ;求点 H 经过路线的长度28将一副直角三角板如图摆放,能够发现等腰直角三角板 ABC 的斜边与含 30角的直角三角板 DEF 的长直角边 DE 重合DF 8(1)若 P 是 BC 上的一个动点,当 PADF 时,求此时PAB 的度数;(2)将图 中的等腰直角三角板 ABC 绕点 B 顺时针旋转 30,点 C 落在 BF 上,AC与 BD 交于点 O,连接 CD,如图求证: AD BF;若 P 是 BC 的中点,连接 FP,将等腰直角三角板 ABC 绕点 B 继续旋转,当旋转角 时,FP 长度最大,最

21、大值为 (直接写出答案即可) 29如图(1) ,在平面直角坐标系中,已知AOB 是等边三角形,点 A 的坐标是(0,4) ,点 B 在第一象限,点 P(t, 0)是 x 轴上的一个动点,连接 AP,并把AOP 绕着点 A按逆时针方向旋转,使边 AO 与 AB 重合连接 OD,PD,得ABD()当 t 时,求 DP 的长;()在点 P 运动过程中,依照条件所形成的OPD 面积为 S求 t 0 时,求 S 与 t 之间的函数关系式;当 t 0 时,要使 S ,请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标30已知正方形 ABCD,E 为平面内任意一点,连接 AE,BE,将ABE 绕点 B 顺时针旋转 90

22、得到BFC(1)如图 1,求证:AE CF ;AECF (2)若 BE2,如图 2,点 E 在正方形内,连接 EC,若AEB135 ,EC 5,求 AE 的长;如图 3,点 E 在正方形外,连接 EF,若 AB6,当 C、E、F 在一条直线时,求 AE的长31在矩形 ABCD 中,AB 2,BC1,以点 A 为旋转中心,逆时针旋转矩形 ABCD,旋转角为 (0180 ) ,得到矩形 AEFG,点 B、点 C、点 D 的对应点分别为点E、点 F、点 G(1)如图 ,当点 E 落在 DC 边上时,直写出线段 EC 的长度为 ;(2)如图 ,当点 E 落在线段 CF 上时,AE 与 DC 相交于点

23、H,连接 AC,求证: ACD CAE;直接写出线段 DH 的长度为 (3)如图 设点 P 为边 FG 的中点,连接 PB,PE,在矩形 ABCD 旋转过程中,BEP 的面积是否存在最大值?若存在请直接写出这个最大值;若不存在请说明理由32如图 1 所示,将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、宽为 1 的长方形 CEFD拼在一起,构成一个大的长方形 ABEF现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至CEF D,旋转角为 (1)当点 D恰好落在 EF 边上时,求旋转角 的值;(2)如图 2,G 为 BC 的中点,且 090,求证:GDED ;(3)先将小长方形 CEFD 绕点

24、 C 顺时针旋转,使DCD与CBD全等(0180) ,再将此时的小长方形 CEFD沿 CD 边竖直向上平移 t 个单位,设移动后小长方形边直线 FE与 BC 交于点 H,若 DHFC,求上述运动变换过程中 和 t 的值答案与解析一选择题1如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,E、F 是 AD 边上的两个动点,且 AEFD,连接 BE、CF、BD,CF 与 BD 交于点 G,连接 AG 交 BE 于点 H,连接 DH,下列结论正确的个数是( )ABGFDGHD 平分EHGAG BES HDG :S HBG tanDAG 线段DH 的最小值是 2 2A2 B3 C4 D5【分析】首先证明AB

25、EDCF,ADG CDG (SAS ) ,AGB CGB,利用全等三角形的性质,等高模型、三边关系一一判断即可【解答】解:四边形 ABCD 是正方形,ABCD,BAD ADC90,ADB CDB45,在ABE 和DCF 中,ABE DCF(SAS) ,ABE DCF,在ADG 和 CDG 中,ADG CDG(SAS) ,DAG DCF ,ABE DAG,DAG +BAH 90,ABE +BAH90,AHB90,AGBE,故正确,同法可证:AGBCGB,DFCB,CBGFDG,ABGFDG,故正确,S HDG :S HBG DG:BGDF:BCDF:CDtanFCD,又DAG FCD,S HDG

26、 :S HBG tan FCD,tanDAG,故 正确取 AB 的中点 O,连接 OD、OH,正方形的边长为 4,AOOH 42,由勾股定理得,OD 2 ,DHODOH,O、D、H 三点共线时,DH 最小,DH 最小 2 2故 5 正确无法证明 DH 平分EHG,故 错误,故正确,故选:C【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,三角形的三边关系,勾股定理、等高模型等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,难点在于作辅助线并确定出 DH 最小时的情况二填空题2如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E 在边 DC 上运动,点 F 在边 AD 上运动,且 DE AF,A

27、E,BF 交于点 H,连接 DH,则 DH 的最小值为 【分析】以 AB 为直径画O首先证明BAFDAE,推出ABF DAE ,推出AHF90,点 H 在 O 上,当 O、H 、D 共线时,DH 最小【解答】解:如图,以 AB 为直径画 O四边形 ABCD 是正方形,ABAD ,BAF ADE90,在BAF 和DAE 中,BAF DAE,ABF DAE,ABF +AFB90,DAE+AEF90,AHF90,点 H 在O 上,当 O、H、D 共线时,DH 最小,DHODOH 1 1,故答案为 1【点评】本题考查正方形的性质、圆的有关知识、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是利用圆的性质解决

28、最值问题,属于中考常考题型3如图,在矩形 ABCD 中,AB12,对角线 AC,BD 相交于点 O,OH BC 于点 H,连接 DH 交 OC 于点 O1,过 O2 作 O1H1BC 于点 H1,连接 DH1 交 OC 于 O2,过 O2 作O2H2BC 于点 H2,则线段 O10H10 1 【分析】利用三角形中位线定理,平行线分线段成比例定理求出 OH,O 1H1,O H2,探究规律即可解决问题【解答】解:四边形 ABCD 是矩形,ABCD12,AB CD ,BCD90,OBOD,OHBC,O 1H1BC,O 2H2BC,OHCDO 1H1O 2H2,OBOD ,BHHC,OH CD,HO

29、1:O 1D1:2,O 1H1:CDHO 1:HD1:3,O 1H1 CD,H 1O2:DO 21:3,O 2H2:CDH 1O2:H 1D1:4,O 2H2 CD,以此类推:O 10H10 CD1故答案为 1【点评】本题考查矩形的性质,三角形的中位线定理,平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是学会探究规律,利用规律解决问题属于中考常考题型4如图,正方形 ABCD 中,点 E 在 BC 边上,连接 AE,过 AD 作 DFAE 交 BC 的延长线于点 F,过点 C 作 CGDF 于点 G延长 AE、GC 交于点 H,点 P 是线段 DG 上的一点,连接 CP,将CPG 沿 CP 翻折得到C

30、PG,连接 AG,若 CH1,DH 3,则 AG长度的最小值是 2 【分析】如图,作 DMAE 于 M,首先证明四边形 DMHG 是正方形,求出正方形DMHG 的边长,以及 AC 的长,因为点 P 在线段 DG 上运动时,点 G在以 C 为圆心,CG 为半径的圆上运动,所以当 A、G 、C 共线时,AG最小由此即可解决问题【解答】解:如图,作 DM AE 于 MAHDF ,GHDF ,MHG HGDDMH90,四边形 DMHG 是矩形,ADCMDG90,ADMCDG ,在ADM 和CDG 中,ADMCDG (AAS ) ,DM DG,四边形 DMHG 是正方形,DH3 ,DM MH GHDG3

31、,CH1,CGHGHC2,在 Rt DCG 中,CD ,AC CD ,点 P 在线段 DG 上运动时,点 G在以 C 为圆心,CG 为半径的圆上运动,当 A、G、C 共线时,AG最小,AG的最小值为 ACCG 2故答案为 2【点评】本题考查翻折变换、正方形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、圆的有关知识,解题的关键是学会常用辅助线的作法,构造全等三角形解决问题,学会求圆外一点到圆上的点的距离的最大值以及最小值,属于中考填空题中的压轴题5如图,将正方形 ABCD 折叠,使点 A 落在 DC 边上的 A处(不与点 C、D 重合) ,点B 落在 B处折痕为 EF,若点 A恰好将 DC 分

32、成 2:1 两部分,且 BC+CA20,则线段 DE 的长为 或 【分析】由折叠的性质得出和已知得出 AEEA, 或 ,设正方形ABCD 的边长为 a,DE 为 x,得出DADCCAa20+a2a20,AEADDE ax,当 时,3(2a20)a,求出 a12,则 EAAE12x,DA4,在 Rt DEA中,由勾股定理得出方程,解方程即可;当 时,3(2a20)2a,求出 a15,则EAAE15x ,DA410,在 RtDEA中,由勾股定理得出方程,解方程即可【解答】解:将正方形 ABCD 折叠,使点 A 落在 DC 边上的 A处(不与点 C、D 重合) ,点 A恰好将 DC 分成 2:1 两

33、部分,AEEA, 或 ,设正方形 ABCD 的边长为 a,DE 为 x,BC+CA20,CA20BC20a,DADCCAa20+a2a20,AEADDEax,当 时,3(2a20)a,解得:a12,则 EAAE12x ,DA 4,在 Rt DEA中,DE 2+DA 2EA 2,即 x2+42(12x ) 2,解得:x ;当 时,3(2a20)2a,解得:a15,则 EAAE15x ,DA 410,在 Rt DEA中,DE 2+DA 2EA 2,即 x2+102(15x ) 2,解得:x ;综上所述,线段 DE 的长为 或 ;故答案为 或 【点评】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理

34、以及分类讨论等知识;熟练掌握翻折变换和正方形的性质,由勾股定理得出方程是解题关键6如图,正方形 ABCD 的边长为 ,点 E、F 分别为边 AD、CD 上一点,将正方形分别沿 BE、BF 折叠,点 A 的对应点 M 恰好落在 BF 上,点 C 的对应点 N 恰好落在 BE 上,则图中阴影部分的面积为 4 【分析】由折叠可得ABEEBFCBF ,BMF A90,BMAB ,即可得到 EM BEtan30 1,BE2,BF2,BFN 60,GM MF2 3,再根据阴影部分的面积S BME +SGMF ,进行计算即可【解答】解:如图,由折叠可得ABEEBFCBF,BMFA90,BMAB ,又ABC9

35、0,EAF 30,BEM 60,RtBEM 中, EM BEtan30 1,BE2,同理可得,BF2,BFN 60,RtGMF 中,GM MF (2 )2 3,阴影部分的面积S BME +SGMF 1+ (2 )(2 3)4 ,故答案为:4 【点评】本题主要考查了折叠问题以及正方形的性质的运用,折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等7如图,在正方形纸片 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,折叠正方形纸片 ABCD,使 AD 落在 BD 上,点 A 恰好与 BD 上的点 F 重合,折痕 DE 分别交 AB,AC 于点E,G,若 AB

36、2,则 AG 的长为 2 2 【分析】设 AEEF x ,则 BE x,可得 x+ x2,推出 x2 2,即 AE22,再证明 AGAE 即可解决问题;【解答】解:设 AEEF x ,则 BE x,x+ x2,x2 2,AE2 2,四边形 ABCD 是正方形,ADBCAD45,由翻折可知:ADG22.5 ,AED9022.567.5,AGEGAD+ADG67.5,AGAE2 2,故答案为 【点评】主要考查了正方形的性质,根据折叠的性质的角和边相等是解题的关键折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,只是位置变化三解答题8如图,正方形 ABCD、BGFE

37、边长分别为 2、1,正方形 BGFE 绕点 B 旋转,直线AE、 GC 相交于点 H(1)在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中,AHC 的大小是否始终为 90,请说明理由;(2)连接 DH、BH,在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中,求 DH 的最大值;直接写出 DH 的最小值【分析】 (1)先判断出ABECBG,得到BAEBCG,再进行简单的代换即可;(2) 先判断出点 A,B ,H,C ,D 在以 AC 为直径的同一个圆上,得到 DH 最大就是大正方形的对角线,即可;先由 AE 恒垂直 CG 于 H,判断出当 AE 垂直于 BE 时,DH 最短如图所示,得到点A,E,F(H)共线,

38、再利用勾股定理和直角三角形的一条直角边等于斜边的一边,得出BAE 30,再利用三角函数和勾股定理计算即可【解答】解:(1)是,理由如下:如图,由旋转知,ABECBG,在正方形 ABCD,BGFE 中,ABBC,BE BG,ADCBCDBAD ABC 90,ABE CBG,BAE BCG,记 AH 与 BC 的交点为点 P,APB CPH,ABC+BAE+APB180AHC+BCG+ CPH180,AHCABC90,(2) AHC 90点 H 在以 AC 为直径的圆上,由(1)有,ABCADC90,点 B,D 也在以 AC 为直径的圆上,点 A,B ,H ,C,D 在以 AC 为直径的同一个圆上

39、,在正方形 ABCD 中,BCD90,BD 也是这个圆的直径,当 H 与点 B 重合时,DH 最大为 2 ,解:( 1)是,理由如下:由旋转知,ABECBG,在正方形 ABCD,BGFE 中,ABBC,BE BG,ADCBCDBAD ABC 90,ABE CBG,BAE BCG,APB CPH,ABC+BAE+APB180AHC+BCG+ CPH180,AHCABC90,(3) AHC 90点 H 在以 AC 为直径的圆上,由(1)有,ABCADC90,点 B,D 也在以 AC 为直径的圆上,点 A,B ,H ,C,D 在以 AC 为直径的同一个圆上,在正方形 ABCD 中,BCD90,BD

40、也是这个圆的直径,当 H 与点 B 重合时,DH 最大为 2 ,点 A,B ,H ,C,D 五点共圆,当DAH 最小时, DH 最小,BAD90,BAE 最大时,DH 最小,当 AEBE 时,BAE 最大是 30,AE 恒垂直 CG 于 H,当 AE 垂直于 BE 时,DH 最短如图,AEBE,AEB 90,AB2,BE1,AE ,BAE30,点 A,E ,F 共线,AFAE+EF +1,作 FMAD ,FMAB,AFM BAE30,FMAFcosAFM( +1)cos30AMAFsin AFM( +1)sin30 ,DM ADAM2 ,在 Rt DMF 中,根据勾股定理得,DHDF 即:DH

41、 的最小值为 【点评】此题是四边形综合题,主要考查了全等三角形的性质和判定,旋转过程中极值的确定方法,还用到了三角函数的意义,解本题的关键是作出图形9如图,四边形 ABCD 为矩形,连接 AC,AD 2CD,点 E 在 AD 边上(1)如图 1,若ECD30,CE 4,求AEC 的面积;(2)如图 2,延长 BA 至点 F 使得 AF2CD,连接 FE 并延长交 CD 于点 G,过点 D作 DHEG 于点 H,连接 AH,求证:FH AH+DH;(3)如图 3,将线段 AE 绕点 A 旋转一定的角度 (0360)得到线段 AE,连接 CE,点 N 始终为 CE的中点,连接 DN,已知 CDAE

42、4,直接写出 DN 的取值范围【分析】 (1)根据 30的直角三角形求 CD 和 ED,再利用面积公式求AEC 的面积;(2)作辅助线,构建全等三角形,证明AFMADH,得 AMAH,FMDH,则MAH 是等腰直角三角形,有 MH AH,根据线段的和代入得结论;(3)取 AC 的中点 O,连接 ON、OD,在DON 中,根据三角形三边关系即可出 DN的取值范围【解答】解:(1)如图 1,在 RtEDC 中,EDC 30,ED EC 42,cos30 ,DCECcos304 2 ,AE2DCED4 2,S AEC AEDC ( 4 2)2 122 ;(2)如图 2,过 A 作 AMAH,交 FG

43、 于 M,MAHMAD +DAH90,又FADMAD+FAM90,FAM DAH,AFCD,FFGDDHEG ,DHE HDG +FGD90,EDG EDH+ HDG90,FGD EDH,FEDH ,又AF2CD,AD2CD,AFAD ,AFM ADH,AMAH ,FMDH,MAH 是等腰直角三角形,MH AH,FHMH +FM,FH AH+DH;(3)线段 AE 绕点 A 旋转一定的角度 (0360)得到线段 AE,E的运动轨迹是一个以点 A 为圆心半径为 4 的圆当 0时,点 E在 AD 的中点,四边形 ABCD 是矩形,CDAE4,AD2CDCDE90,DECD4CDE是等腰三角形N 是

44、 CE的中点CEDN此时 DN 的值最小是 2 ,当 180时,E在 AD 的延长线上,DN 最长,过 N 作 CD 的垂线交 CD 于 MDEAE+AD12,CD4MNDC,DEDCMNDECDECMNMN6则 CMDM 2在 RtDMN 中,DM 203602 DN2 如图 3 所示,取 AC 的中点 O,连接 ON、OD,AECD4,AD2CD8,AC 4 ,OD2 ,在DON 中,ODONDNOD+ ON,ON AE2,2 2DN2 +2当点 N 在线段 DO 上时,如图 4,线段 DN 取最小值,ON AE2,DN minODON2 2;当 N 在线段 DO 的延长线上时,如图 5,线段 DN 取最大值,DN maxOD+ON2 +2;03602 2DN2 +2【点评】本题是四边形的综合题,考查了矩形、全等三角形、和直角三角形中 30角的性质;考查了等腰直角三角形直角边和斜边的关系;在计算线段取值范围时,可以分别求该线段的最大值和最小值,然后写