1、第 1 页（共 19 页）第 2 章 特殊三角形一、选择题1正三角形ABC 的边长为 3，依次在边 AB、BC、CA 上取点 A1、B 1、C 1，使 AA1=BB1=CC1=1，则A1B1C1的面积是（ ）A B C D2在 RtABC 中，C=90，AB=10若以点 C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则AC=（ ）A5 B C D63将一副直角三角尺如图放置，若AOD=20，则BOC 的大小为（ ）A140 B160 C170 D1504如图，在ABC 中，C=90，B=30，边 AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 E，交 BC 于点D，CD=3，则 BC 的长
2、为（ ）A6 B6 C9 D35如图，在 RtABC 中，B=90，A=30，DE 垂直平分斜边 AC，交 AB 于 D，E 是垂足，连接CD若 BD=1，则 AC 的长是（ ）第 2 页（共 19 页）A2 B2 C4 D46如图，在ABC 中，B=30，BC 的垂直平分线交 AB 于点 E，垂足为 D，CE 平分ACB若BE=2，则 AE 的长为（ ）A B1 C D27如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开若测得 AM 的长为 1.2km，则M，C 两点间的距离为（ ）A0.5km B0.6km C0.9km D1.2km8如图，一个矩形纸片，剪去部
3、分后得到一个三角形，则图中1+2 的度数是（ ）A30 B60 C90 D1209如图，在ABC 中，A=45，B=30，CDAB，垂足为 D，CD=1，则 AB 的长为（ ）第 3 页（共 19 页）A2 B C D10在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60，则另一个锐角的度数是（ ）A120 B90 C60 D3011将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当B=90时，如图 1，测得 AC=2，当B=60时，如图 2，AC=（ ）A B2 C D212将一个有 45角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上另一个顶点在纸带的
4、另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）A3cm B6cm C cm D cm13如图，在ABC 中，ACB=90，BE 平分ABC，EDAB 于 D如果A=30，AE=6cm，那么CE 等于（ ）A cm B2cm C3cm D4cm14如图，已知AOB=60，点 P 在边 OA 上，OP=12，点 M，N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，则OM=（ ）第 4 页（共 19 页）A3 B4 C5 D615如图，在ABC 中，C=90，B=30，AD 平分CAB 交 BC 于点 D，E 为 AB 上一点，连接DE，则下列说法错误
5、的是（ ）ACAD=30 BAD=BD CBD=2CD DCD=ED二、填空题16由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可如图 1，衣架杆 OA=OB=18cm，若衣架收拢时，AOB=60，如图 2，则此时 A，B 两点之间的距离是 cm17在ABC 中，B=30，AB=12，AC=6，则 BC= 18如图，在ABC 中，C=90，B=30，AD 平分CAB，交 BC 于点 D，若 CD=1，则 BD= 19如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 DC 边的延长线上若CA
6、E=15，则 AE= 第 5 页（共 19 页）20在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若AOB=60，AC=10，则 AB= 参考答案与试题解析一、选择题（共 15 小题）1正三角形ABC 的边长为 3，依次在边 AB、BC、CA 上取点 A1、B 1、C 1，使 AA1=BB1=CC1=1，则A1B1C1的面积是（ ）A B C D【考点】等边三角形的判定与性质【专题】压轴题【分析】依题意画出图形，过点 A1作 A1DBC，交 AC 于点 D，构造出边长为 1 的小正三角形AA1D；由 AC1=2，AD=1，得点 D 为 AC1中点，因此可求出 SAA1C1 =2SAA
7、1D = ；同理求出 SCC1B1=SBB1A1 = ；最后由 SA1B1C1 =SABC S AA1C1 S CC1B1 S BB1A1 求得结果【解答】解：依题意画出图形，如下图所示：第 6 页（共 19 页）过点 A1作 A1DBC，交 AC 于点 D，易知AA 1D 是边长为 1 的等边三角形又 AC1=ACCC 1=31=2，AD=1，点 D 为 AC1的中点，S AA1C1 =2SAA1D =2 12= ；同理可求得 SCC1B1 =SBB1A1 = ，S A1B1C1 =SABC S AA1C1 S CC1B1 S BB1A1 = 323 = 故选 B【点评】本题考查等边三角形的
8、判定与性质，难度不大本题入口较宽，解题方法多种多样，同学们可以尝试不同的解题方法2在 RtABC 中，C=90，AB=10若以点 C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则AC=（ ）A5 B C D6【考点】等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理【专题】计算题；压轴题【分析】连结 CD，直角三角形斜边上的中线性质得到 CD=DA=DB，利用半径相等得到 CD=CB=DB，可判断CDB 为等边三角形，则B=60，所以A=30，然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系先计算出 BC，再计算 AC【解答】解：连结 CD，如图，C=90，D 为 AB 的中点，
9、CD=DA=DB，而 CD=CB，CD=CB=DB，CDB 为等边三角形，B=60，第 7 页（共 19 页）A=30，BC= AB= 10=5，AC= BC=5 故选 C【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质：三边都相等的三角形为等边三角形；等边三角形的三个内角都等于 60也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及含 30 度的直角三角形三边的关系3将一副直角三角尺如图放置，若AOD=20，则BOC 的大小为（ ）A140 B160 C170 D150【考点】直角三角形的性质【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出COA 的度数，即可得出答案【解答】解：将一副直角三角尺如图放置，A
10、OD=20，COA=9020=70，BOC=90+70=160故选：B【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，得出COA 的度数是解题关键第 8 页（共 19 页）4如图，在ABC 中，C=90，B=30，边 AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 E，交 BC 于点D，CD=3，则 BC 的长为（ ）A6 B6 C9 D3【考点】含 30 度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得 AD=BD，可得DAE=30，易得ADC=60，CAD=30，则 AD 为BAC 的角平分线，由角平分线的性质得 DE=CD=3，再根据直角三角形 30角所对的
11、直角边等于斜边的一半可得 BD=2DE，得结果【解答】解：DE 是 AB 的垂直平分线，AD=BD，DAE=B=30，ADC=60，CAD=30，AD 为BAC 的角平分线，C=90，DEAB，DE=CD=3，B=30，BD=2DE=6，BC=9，故选 C【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键5如图，在 RtABC 中，B=90，A=30，DE 垂直平分斜边 AC，交 AB 于 D，E 是垂足，连接CD若 BD=1，则 AC 的长是（ ）第 9 页（共 19 页）A2 B2 C4
12、 D4【考点】含 30 度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质；勾股定理【分析】求出ACB，根据线段垂直平分线的性质求出 AD=CD，推出ACD=A=30，求出DCB，即可求出 BD、BC，根据含 30角的直角三角形性质求出 AC 即可【解答】解：在 RtABC 中，B=90，A=30，ACB=60，DE 垂直平分斜边 AC，AD=CD，ACD=A=30，DCB=6030=30，在 RtDBC 中，B=90，DCB=30，BD=1，CD=2BD=2，由勾股定理得：BC= = ，在 RtABC 中，B=90，A=30，BC= ，AC=2BC=2 ，故选 A【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰
13、三角形的性质，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出 BC 的长，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半6如图，在ABC 中，B=30，BC 的垂直平分线交 AB 于点 E，垂足为 D，CE 平分ACB若BE=2，则 AE 的长为（ ）第 10 页（共 19 页）A B1 C D2【考点】含 30 度角的直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出 BE=CE=2，故可得出B=DCE=30，再由角平分线定义得出ACB=2DCE=60，ACE=DCE=30，利用三角形内角和定理求出A=1
14、80BACB=90，然后在 RtCAE 中根据 30角所对的直角边等于斜边的一半得出AE= CE=1【解答】解：在ABC 中，B=30，BC 的垂直平分线交 AB 于 E，BE=2，BE=CE=2，B=DCE=30，CE 平分ACB，ACB=2DCE=60，ACE=DCE=30，A=180BACB=90在 RtCAE 中，A=90，ACE=30，CE=2，AE= CE=1故选 B【点评】本题考查的是含 30 度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，求出A=90是解答此题的关键7如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点
15、 C 被湖隔开若测得 AM 的长为 1.2km，则M，C 两点间的距离为（ ）第 11 页（共 19 页）A0.5km B0.6km C0.9km D1.2km【考点】直角三角形斜边上的中线【专题】应用题【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 MC=AM=1.2km【解答】解：在 RtABC 中，ACB=90，M 为 AB 的中点，MC= AB=AM=1.2km故选 D【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键8如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中1+2 的度数是（ ）
16、A30 B60 C90 D120【考点】直角三角形的性质【专题】常规题型【分析】根据直角三角形两锐角互余解答【解答】解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，所以，1+2=90故选：C【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键9如图，在ABC 中，A=45，B=30，CDAB，垂足为 D，CD=1，则 AB 的长为（ ）A2 B C D【考点】含 30 度角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形第 12 页（共 19 页）【分析】在 RtACD 中求出 AD，在 RtCDB 中求出 BD，继而可得出 AB【解答】解：在 RtACD 中，A=45，CD=1，则 AD=CD=
17、1，在 RtCDB 中，B=30，CD=1，则 BD= ，故 AB=AD+BD= +1故选 D【点评】本题考查了等腰直角三角形及含 30角的直角三角形的性质，要求我们熟练掌握这两种特殊直角三角形的性质10（2014海南）在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60，则另一个锐角的度数是（ ）A120 B90 C60 D30【考点】直角三角形的性质【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解【解答】解：直角三角形中，一个锐角等于 60，另一个锐角的度数=9060=30故选：D【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键11将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 A
18、BCD，转动这个四边形，使它形状改变，当B=90时，如图 1，测得 AC=2，当B=60时，如图 2，AC=（ ）A B2 C D2【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的性质【分析】图 1 中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图 2 根据有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形即可求得第 13 页（共 19 页）【解答】解：如图 1，AB=BC=CD=DA，B=90，四边形 ABCD 是正方形，连接 AC，则 AB2+BC2=AC2，AB=BC= = = ，如图 2，B=60，连接 AC，ABC 为等边三角形，AC=AB=BC= 【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等
19、边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键12将一个有 45角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）A3cm B6cm C cm D cm【考点】含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形【分析】过另一个顶点 C 作垂线 CD 如图，可得直角三角形，根据直角三角形中 30角所对的边等于斜边的一半，可求出有 45角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边【解答】解：过点 C 作 CDAD，CD=3，在直角三角形 ADC 中，CAD=30，AC=2CD
20、=23=6，又三角板是有 45角的三角板，第 14 页（共 19 页）AB=AC=6，BC 2=AB2+AC2=62+62=72，BC=6 ，故选：D【点评】此题考查的知识点是含 30角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直角边，再由勾股定理求出最大边13如图，在ABC 中，ACB=90，BE 平分ABC，EDAB 于 D如果A=30，AE=6cm，那么CE 等于（ ）A cm B2cm C3cm D4cm【考点】含 30 度角的直角三角形【专题】常规题型【分析】根据在直角三角形中，30 度所对的直角边等于斜边的一半得出 AE=2ED，求出 ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出
21、ED=CE，即可得出 CE 的值【解答】解：EDAB，A=30，AE=2ED，AE=6cm，ED=3cm，ACB=90，BE 平分ABC，ED=CE，CE=3cm；故选：C【点评】此题考查了含 30角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30 度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出 ED=CE第 15 页（共 19 页）14如图，已知AOB=60，点 P 在边 OA 上，OP=12，点 M，N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，则OM=（ ）A3 B4 C5 D6【考点】含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质【专题】计算题【分析】过 P 作 PDOB，
22、交 OB 于点 D，在直角三角形 POD 中，利用锐角三角函数定义求出 OD 的长，再由 PM=PN，利用三线合一得到 D 为 MN 中点，根据 MN 求出 MD 的长，由 ODMD 即可求出 OM 的长【解答】解：过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D，在 RtOPD 中，cos60= = ，OP=12，OD=6，PM=PN，PDMN，MN=2，MD=ND= MN=1，OM=ODMD=61=5故选：C【点评】此题考查了含 30 度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键15如图，在ABC 中，C=90，B=30，AD 平分CAB 交 BC 于点 D，E 为
23、 AB 上一点，连接DE，则下列说法错误的是（ ）第 16 页（共 19 页）ACAD=30 BAD=BD CBD=2CD DCD=ED【考点】含 30 度角的直角三角形；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质【专题】几何图形问题【分析】根据三角形内角和定理求出CAB，求出CAD=BAD=B，推出 AD=BD，AD=2CD 即可【解答】解：在ABC 中，C=90，B=30，CAB=60，AD 平分CAB，CAD=BAD=30，CAD=BAD=B，AD=BD，AD=2CD，BD=2CD，根据已知不能推出 CD=DE，即只有 D 错误，选项 A、B、C 的答案都正确；故选：D【点评】本题考查了三角
24、形的内角和定理，等腰三角形的判定，含 30 度角的直角三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半二、填空题16由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可如图 1，衣架杆 OA=OB=18cm，若衣架收拢时，AOB=60，如图 2，则此时 A，B 两点之间的距离是 18 cm第 17 页（共 19 页）【考点】等边三角形的判定与性质【专题】应用题【分析】根据有一个角是 60的等腰三角形的等边三角形进行解答即可【解答】解：OA=OB，AOB=60，AOB 是等边三角形，AB
25、=OA=OB=18cm，故答案为：18【点评】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是 60的等腰三角形的等边三角形进行分析17在ABC 中，B=30，AB=12，AC=6，则 BC= 6 【考点】含 30 度角的直角三角形；勾股定理【分析】由B=30，AB=12，AC=6，利用 30所对的直角边等于斜边的一半易得ABC 是直角三角形，利用勾股定理求出 BC 的长【解答】解：B=30，AB=12，AC=6，ABC 是直角三角形，BC= = =6 ，故答案为：6 【点评】此题考查了含 30直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键18如图，在ABC 中，C=90，B=3
26、0，AD 平分CAB，交 BC 于点 D，若 CD=1，则 BD= 2 【考点】含 30 度角的直角三角形；角平分线的性质第 18 页（共 19 页）【分析】根据角平分线性质求出BAD 的度数，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 AD 即可得BD【解答】解：C=90，B=30，CAB=60，AD 平分CAB，BAD=30，BD=AD=2CD=2，故答案为 2【点评】本题考查了对含 30 度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出 AD 的长是解此题的关键19如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 DC 边的延长线上若CAE=15，则
27、 AE= 8 【考点】含 30 度角的直角三角形；正方形的性质【分析】先由正方形的性质可得BAC=45，ABDC，ADC=90，由CAE=15，根据平行线的性质及角的和差得出E=BAE=BACCAE=30然后在 RtADE 中，根据 30角所对的直角边等于斜边的一半即可得到 AE=2AD=8【解答】解：正方形 ABCD 的边长为 4，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，BAC=45，ABDC，ADC=90，CAE=15，E=BAE=BACCAE=4515=30在 RtADE 中，ADE=90，E=30，AE=2AD=8故答案为 8【点评】本题考查了含 30 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半也考查了正方形的性质，平行线的性质求出E=30是解题的关键第 19 页（共 19 页）20在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若AOB=60，AC=10，则 AB= 5 【考点】含 30 度角的直角三角形；矩形的性质【分析】根据矩形的性质，可以得到AOB 是等边三角形，则可以求得 OA 的长，进而求得 AB 的长【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，OA=OB又AOB=60AOB 是等边三角形AB=OA= AC=5，故答案是：5【点评】本题考查了矩形的性质，正确理解AOB 是等边三角形是关键