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2019年(新课标Ⅰ卷)高考数学理科终极押题卷(含答案解析)

1、2019 年普通高等学校统一招生考试终极押题卷(全国新课标)理科数学(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)注意事项: 1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 如图, 为

2、全集, 、 、 是 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )UMPSUA B()MPS ()MPSC DU UC2. 在复平面内,复数 对应的点到直线 的距离是( )21zi1yxA12B2C D13. 是衡量空气质量的重要指标,我国采用世卫组织的最宽值限定值,即 日均值在2.5PM 2.5PM/ 以下空气质量为一级,在 / 空气量为二级,超过 / 为超标如图3g3m357g:3m7g3m是某地 5 月 1 日至 10 日的 (单位: / )的日均值折线图,则下列说法不正确的是( 2.PM)A. 这 天中有 天空气质量为一级B. 从 日到 日 日均值逐渐降低2.5PMC. 这 天中 日均值的

3、中位数是D. 这 天中 日均值最高的是 5 月 日.4. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A B23 43C D 255下列函数中同时具有性质:“最小正周期是 ,图象关于 对称,在 上是增函数”3x,63的函数是( )A. B. sin26yx cos2yxC. D. i 66. 执行下面的程序框图,如果输入 , ,则输出的 ( )1abSA7 B20C22 D547. 已知函数 是定义在 上的偶函数,且在 上单调递增,则( )fxR0,A B0.63log12fff 0.6332log1fffC D0.62lfff0.6lfff8.

4、多项式的展开式中 的系数为( )8341xx2xA B48641280C D1280469在 中,角 、 、 的对边分别为 、 、 ,若 , , ,则B ABCabc273c2BC的值为( )cos2A B73 59C D49 7410设 , 是双曲线 的两个焦点, 是 上一点,若 ,1F2 2:10,xyCabPC126PFa且 的最小内角为 ,则 的离心率为( )P 30A B2 32C D3 611. 某人 5 次上班图中所花的时间(单位:分钟)分别为 ,已知这组数据的平均数为,910,xy10,方差为 2,则 =( )xyA B1 2C D3 412. 在四面体 中, 为等边三角形,边

5、长为 , ,则四面体PABC 33,4,5PABC为( )的 体 积A B3 2C D1 10第卷二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13. 已知向量 , ,满足 ,且 ,则 _ab2a(1,3)bab在 方 向 上 的 投 影 为14若实数 满足 ,则 的最大值为_,xy061yx2zxy15. 已知函数 ,则关于 的不等式 的解集为_()xfe(2)1)2fxf16 某 工 厂 现 将 一 棱 长 为 的 四 面 体 毛 坯 件 , 切 割 成 一 个 圆 柱 体 零 件 , 则 该 圆 柱 体 体 积 的3最 大 值 为 _三、解答题(共 70 分解答应写出必要的

6、文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 )(一)必考题:共 60 分。17 (本小题满分 12 分)已知数列 是等差数列, , ,数列 的前 项和为 ,且 na23a56nbnS2nbS()求数列 、 的通项公式;nb()记 ,若数列 的前 项和为 ,证明: 21nncancnT12n18 (本小题满分 12 分)正方体 的棱长为 1, 是边 的中点,点 在正方体内部或正方体的面上,且1ABCDE1DCF满足: 面 。/EF1ABC()求动点 的轨迹在正方体内形成的平面区域的面积;()设直线 与动点 的轨迹

7、所在平面所成的角记为 ,求 1DFcosED1 C1B1A1D CBA19 (本小题满分 12 分)为了迎接 2019 年高考,了解学生的成绩状况,在一次省质检中,某省教育部门随机抽取了 500 名学生的数学考试成绩,统计如下表所示:成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40()计算各组成绩的频率,并填写在表中;成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40频率()已知本次质检数学测试的成绩 2(,)XN:,其中 近似为样本的平均数, 2近似为样本方差 2s,若该省有 10 万考生,试估计数学成绩在 (

8、10,2的人数;(以各组区间的中点值代表该组的取值)()将频率视为概率,若从该省所有考生中随机抽取 4 人,记这 4 人中成绩在 105,)的人数为,求 的分布列以及数学期望.参考数据:若2(,)ZN:,则 ()0.682PZ, (PZ2)0.954, (33)0.974PZ.20 (本小题满分 12 分)已知椭圆2:1(0)xyCab的左、右焦点分别为 12F、 ,过点 2且垂直于 x轴的直线截椭圆形成的弦长为 ,且椭圆 C的离心率为 2,过点 1的直线 l与椭圆 C交于 ,MN两点.()求椭圆 的标准方程;()若点 (2,0)R,且 MRNur,则当 取得最小值时,求直线 l的方程.21

9、(本小题满分 12 分)已知函数 有两个不同的零点2()ln(1),()fxaxax()求 的取值范围;()设 是 的两个零点,证明:12,()f 12.xa(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。选修 4-4:坐标系与参数方程22 (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系中,曲线 1C的参数方程为2cosinxry( 0, 为参数) ,以坐标原点O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 1C经过点,3P,曲线 2C的极坐标方程为2(cos)6()求曲线 1C的极坐标方程;()若 1(,)A,2(,)B是曲线 2C上两点,求2

10、21|OAB的值选修 4-5:不等式选讲 (10 分)23. (本小题满分 10 分)已知函数 ()|1|24|fxx.()解不等式: f;()若关于 x 的不等式 在 上无解,求实数 的取值范围.2()xxm0,3m2019 年普通高等学校统一招生考试终极押题卷(全国新课标 )理科数学(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)注意事项: 1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回

11、答第卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 如图, 为全集, 、 、 是 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )UMPSUA B()MPS ()MPSC DU UC【答案】C【分析】先根据图中的阴影部分是 MP 的子集,但不属于集合 S,属于集合 S 的补集,然后用关系式表示出来即可【解析】图中的阴影部分是: MP 的子集,不属于集合 S,属于集合 S 的补集,即是 的子UC集,则阴影部分所表示的集合是 故选:C()UMP【点

12、睛】本题主要考查了 Venn 图表达集合的关系及运算,同时考查了识图能力,属于基础题2. 在复平面内,复数 对应的点到直线 的距离是( )21zi1yxA12B2C D1【答案】B【解析】 所以复数 对应的点为(1,1),点(1,1)到直线 yx1 的距离2(1)iii21i为 ,故选 B.213. 是衡量空气质量的重要指标,我国采用世卫组织的最宽值限定值,即 日均值在.5PM 2.5PM/ 以下空气质量为一级,在 / 空气量为二级,超过 / 为超标如图3g3m357g:3m7g3m是某地 5 月 1 日至 10 日的 (单位: / )的日均值折线图,则下列说法不正确的是( 2.PM)A. 这

13、 天中有 天空气质量为一级B. 从 日到 日 日均值逐渐降低2.5PMC. 这 天中 日均值的中位数是.D. 这 天中 日均值最高的是 5 月 日2.5【答案】C【分析】认真观察题中所给的折线图,对照选项逐一分析,求得结果.【解析】这 10 天中第一天,第三天和第四天共 3 天空气质量为一级,所以 A 正确;从图可知从 日到 日 日均值逐渐降低,所以 B 正确;从图可知,这 天中 日均值最高的是 5 月 日,所以 D 正确;由图可知,这 天中 日均值的中位数是 ,所以 C 不正确;故选 C.【点睛】该题考查的是有关利用题中所给的折线图,描述对应变量所满足的特征,在解题的过程中,需要逐一对选项进

14、行分析,正确理解题意是解题的关键.4. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A B23 43C D 25【答案】B【解析】由三视图可知,该几何体由两个同底的圆锥拼接而成,圆锥的底面半径 ,高 ,1r2h所以该几何体的体积为 ,故选 B21433V5下列函数中同时具有性质:“最小正周期是 ,图象关于 对称,在 上是增函数”3x,63的函数是( )A. B. sin26yx cos2yxC. D. i 6【答案】A【解析】由最小正周期是 ,排除 C,由图象关于 对称,当 时,函数取=23x3x得最大值或最小值,排除 D,由在 上是增函数,,6

15、3对于 A, ,2,sin(2),636263xxyx在 上 为 增 函 数 , 满 足 条 件 .对于 B, ,0,cos(),3xxyx 在 上 为 减 函 数 , 不 满 足 条 件 .故选 A.6. 执行下面的程序框图,如果输入 , ,则输出的 ( )1abSA7 B20C22 D54【答案】B【解析】 1,0, 2,3,27,5840160.abskabks初 始 值 第 一 次 循 环 : 第 二 次 循 环 :第 三 次 循 环 :s, 输 出 s故选:B7. 已知函数 是定义在 上的偶函数,且在 上单调递增,则( )fxR,A B0.63log12fff 0.6332log1f

16、ffC D0.62lfff0.6lfff【答案】C【解析】根据题意,函数 是定义在 上的偶函数,则 ,fxR3ff,有 ,又由 在 上单调递增,33log1lff0.6332log1l27fx0,则有 ,故选 C0.62log1fff8.多项式的展开式中 的系数为( )834xx2xA B48641280C D128046【答案】A【解析】根据二项式的展开式,可以得到第一个括号里出 项,第二个括号里出 项,或者第一3x1x个括号里出 ,第二个括号里出 ,具体为 ,化简得到4x21x231742688CC2x,故选 A21809在 中,角 、 、 的对边分别为 、 、 ,若 , , ,则BC B

17、Cabc273c2B的值为( )cos2A B73 59C D49 74【答案】B【解析】由正弦定理可得: ,即sinibcBC,sini2ico277cos33bCc275coss19C,故选 B10设 , 是双曲线 的两个焦点, 是 上一点,若 ,1F2 2:10,xyabP126PFa且 的最小内角为 ,则 的离心率为( )P 30CA B2 32C D3 6【答案】C【解析】因为 , 是双曲线的两个焦点, 是双曲线上一点,且满足 ,1F2 P126PFa不妨设 是双曲线右支上的一点,由双曲线的定义可知 ,P 12Fa所以 , , ,12c14a2PF, , 为 最小边,a2F12的最小

18、内角 ,根据余弦定理,12P 130,21212cosPF即 ,223464aca, ,所以 ,故选 C30c3cea11. 某人 5 次上班图中所花的时间(单位:分钟)分别为 ,已知这组数据的平均数为,910,xy10,方差为 2,则 =( )xyA B1 2C D3 4【答案】D【解析】这是一道最新数学素养考题的体现,据题意有 ,按一般同学220(1)()8xy的常规思路解出 ,导致运算量大而出错,其实由点到直线的距离公式知:,xy xy代表直线 与圆 的交点到直线 的距离的22022(1)(0)8xy0倍,所以 = 。故选 D.xy4xyr:12. 在四面体 中, 为等边三角形,边长为

19、, ,则四面体PABC 3,4,5PABC为( )的 体 积A B3 2C D1 10【答案】C【解析】如图作 PH 垂直于平面 ABC 于 H 点, 3,4,5PABC2222 0,3,3,PABPACBCPHABCHAB, ,又 面2 2, =9- =16-,HhRthRth:设 在 中 有 , 同 理 在 中 有 在 中 由 余 弦 定 理 得 :2202 2341cos3-9163,Hh:, 即故选 C21341,PABCV第卷二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13. 已知向量 , ,满足 ,且 ,则 _ab2a(1,3)bab在 方 向 上 的 投 影 为【

20、答案】1【解析】2cos2, cos1.ababab 据 投 影 概 念 得 在 方 向 上 的 投 影 为14若实数 满足 ,则 的最大值为_,xy0261yx2zxy【答案】2【解析】作出线性可行域如图,当 y=2x 过点 A(2,2)时,纵截距最小,此时 z 最大,最大值为.15. 已知函数 ,则关于 的不等式 的解集为_()1xfex(2)1)2fxf【答案】 3【解析】令 则 为 上的单增奇函数,()1,gxf()xgeR1(2)2()1)0(2)1)3ff gxx16 某 工 厂 现 将 一 棱 长 为 的 四 面 体 毛 坯 件 , 切 割 成 一 个 圆 柱 体 零 件 , 则

21、 该 圆 柱 体 体 积 的3最 大 值 为 _【答案】27【解析】如图:圆柱 与正四面体的各面均相切,设与面相切于 F 点,则 E 是 BC 的中点,且12OA、E、F 三点共线, 三点共线, 三点共线,12,A2,DEO023sin6,AEDOABC:为 正 的 中 心 ,而 设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则2113O, 22,EO有 ,圆柱的体积为()rhr,令1223232(1) ()OVrrrr3 11()(,=2-6),(0,)()0,(,)(033f f frfr 则 ( 当 时 , 当 时 ,当且仅档 121 2() .7OrfrV时 , 最 大 , 即 最 大 , 最 大

22、 值 为三、解答题(共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 )(一)必考题:共 60 分。17 (本小题满分 12 分)已知数列 是等差数列, , ,数列 的前 项和为 ,且 na23a56nbnS2nbS()求数列 、 的通项公式;nb()记 ,若数列 的前 项和为 ,证明: 21nncancnT12n【答案】见解析【解析】 (1)由已知得 ,解得 ,所以 2 分1346d12,ad1na当 时, , (1) 3 分1n12b12b,当 时, (2)5 分1nnS当 时 , n

23、1nb由(1) , (2 )得 6 分2nb()由() 知,所以 8 分3(1)2nc10 分12()2nc01223111()()()3452)2(2()nnnnT T 11 分12 分12n【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列概念、通项公式、判定,一般数列的前 项和n与 的关系等基础知识同时考查裂项相消法求数列的前 n 项和的探究方法及整体思想,nSa运算求解能力等18 (本小题满分 12 分)正方体 的棱长为 1, 是边 的中点,点 在正方体内部或正方体的面上,且1ABCDE1DCF满足: 面 。/EF()求动点 的轨迹在正方体内形成的平面区域的面积;()设直线 与动点 的轨迹所在平面

24、所成的角记为 ,求 1BFcosED1 C1B1A1D CBA【答案】见解析【解析】解:()如图,在正方体内作出截面 EFGHIJ, (或画出平面图形)4 分它的形状是一个边长为 正六边形5 分2可以计算出它的面积为 6 分34JIHGFED1 C1B1A1D CBA()法一:如图,连 交 于 点,连 ,11AOB所求面/面 , 所求角= 与面 所成的角,CD1AC面 面 , 线 在面 的投影为 ,1AB11 O即为所求的角11 分DO在 中,由余弦定理知112cos3DBO所以, 12 分2cos3OED1 C1B1A1D CBA法二:以 为 轴, 为 轴, 为 轴建立直角坐标系,xy1Dz

25、则 8 分11(,0),(0,)(,)C可求出平面 的法向量为 ,又 10 分1AB1,n1(,)Bcos,3nD所以, 12 分2【点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面角等基础知识同时考查空间向量的应用,考查空间想象能力和运算求解能力19 (本小题满分 12 分)为了迎接 2019 年高考,了解学生的成绩状况,在一次省质检中,某省教育部门随机抽取了500 名学生的数学考试成绩,统计如下表所示:成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40(1 )计算各组成绩的频率,并填写在表中;成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30

26、 120 210 100 40频率(2 )已知本次质检数学测试的成绩 2(,)XN:,其中 近似为样本的平均数, 2近似为样本方差 2s,若该省有 10 万考生,试估计数学成绩在 (10,2的人数;(以各组区间的中点值代表该组的取值)(3 )将频率视为概率,若从该省所有考生中随机抽取 4 人,记这 4 人中成绩在 105,)的人数为 ,求 的分布列以及数学期望.参考数据:若2(,)ZN:,则 ()0.682PZ, (PZ2)0.954, 33).974.【答案】见解析【解析】(1 )填表如下:成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40频率 0.0

27、6 0.24 0.42 0.2 0.082 分(2 )依题意, 80.690.241.210.0.81x, 故 240.610.24.10.240.81s, 故 2(1,)XN:,故 956().359PX, 故所求人数为0.3590359=(人 ). 6 分(3 )依题意,任取 1 人,成绩在 105,)的概率为 15, 1(4,)5B:,4256(0)(P, 13426()C()P,22419()C(), 341()()5, 4()(56P,10 分所以 的分布列为 0 1 2 3 4P25696512511 分故 145E.12 分20 (本小题满分 12 分)已知椭圆2:1(0)xyC

28、ab的左、右焦点分别为 12F、 ,过点 2且垂直于 x轴的直线截椭圆形成的弦长为 ,且椭圆 C的离心率为 2,过点 1的直线 l与椭圆 C交于 ,MN两点.(1 )求椭圆 的标准方程;(2 )若点 (,0)R,且 MRNur,则当 取得最小值时,求直线 l的方程.【答案】见解析【解析】(1 )联立 2,1xcyab解得2ba,故2. 又 2ca, 2bc,解得, ,故椭圆 C的标准方程为21xy.4 分(2 )设 1(,)Mxy, 2(,)Ny,故 12(,)(,)RMNxyur .当直线 l垂直于 x轴时,12, 12,且 1,此时 211173,(,9Ryru.6 分当直线 l不垂直于

29、x轴时,设直线 :(1)lykx,联立 2(),ykx整理得 22(1)40k,所以 1224k,21kx,8分故 2121212()()RMNxxkxur 22 222112 4()4()1kkk 22737()k.综上所述, 的最小值为 7,此时直线 l的方程为1x.12分21 (本小题满分 12 分)已知函数 有两个不同的零点2()ln(1),()fxaxaxR()求 的取值范围;()设 是 的两个零点,证明:12,()f 12.xa【答案】见解析【解析】()函数 f(x)的定义域为 ,0, xaax122()f 1分 当 0a时,易得 ()f,则 f(x)在 , 上单调递减,则 f()

30、至多有一个零点,不符合题意,舍去。 . 2 分 当 0a时,令 0(x)f得 a,则列表如下:x , a ,a()f+ 0 - 极大值 所以 1ln)()(f(x)ma aff极 大 值 只需 0g 4 分设 x1-ln(x) 因为 0g 则 g()在 , 上单调递增。又因为 ,()所以 x时 0; 1x时 0g()。所以 1a综上 时函数有两个零点 6 分()由()可知 f(x)有两个不同的零点,所以 1a,且当 ax0时 f()是增函数不妨设 ,21则 ,021a设 ),-f(2x)F(2 8 分则 xaxaaxaxa 221()F 10 分20时, 0()所以 f()单调递增 11 分又

31、 F(a)所以 x,所以 x-2a 因为 1,所以 11f)(因为 2f)(所以 2-因为 axax2,12,所以 f(x)在 ,a上单调递减 ,所以 ,21xa所以 1 12 分(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。选修 4-4:坐标系与参数方程22 (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系中,曲线 1C的参数方程为2cosinxry( 0, 为参数) ,以坐标原点O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 1C经过点,3P,曲线 2C的极坐标方程为2(cos)6(1)求曲线 1C的极坐标方程;(2)若 1(,)A,2(,)

32、B是曲线 2C上两点,求221|OAB的值【答案】见解析【解析】 (1)将曲线 1C的参数方程cosinxry化为普通方程为22()xyr,即2240xyr,由22, ,可得曲线 1C的极坐标方程为22cos,因为曲线 1C经过点(,)3P,所以224cos403r,解得 r(负值舍去),所以曲线 1的极坐标方程为 cos5 分(2)因为 1(,)A,2(,)B在曲线2:()6C上,所以1(cos)6,22cos()cos,所以22211cos2cs| 63OAB10 分选修 4-5:不等式选讲 (10 分)23. (本小题满分 10 分)已知函数 ()|1|24|fxx.(1 )解不等式: f;(2 )若关于 x 的不等式 在 上无解,求实数 的取值范围.2()xxm0,3m【答案】见解析【解析】 (1)依题意, 2|1|4|x,当 x时,原式化为 2,即 30x,解得 321x;当 12时,原式化为 214x,即 5,解得 ;当 x时,原式化为 2xx,即 30x,无解.综上所述,所求不等式的解集为 31(,).5 分(2 )由题意可知, 0,3x时, 2|1|xxm恒成立当 0x时, 2m,得 2in();当 3时, x,得 mi+4x.综上所述,实数 m 的取值范围为(,410 分