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2019年(新课标Ⅲ卷)高考数学理科终极押题卷(含答案解析)

1、2019 年全国普通高等学校招生考试终极押题卷(全国新课标)理科数学(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)注意事项: 1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知 为虚数单

2、位,复数 ,则 的实部与虚部之差为( )i 1zizA 1 B0C D2 22.如图所示的 Venn 图中, 是非空集合,定义集合 为阴影部分表示的集合若 ,,ABAxyR, ,则 为( )2Axyx30|xy , BA B2|0x 2|1xC D1|x或 |0x或3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图 1 所示,在该学期的水、电、交通开支(单位:万元)如图 2 所示,则该学期的电费开支占总开支的百分比为( )A. B. C. D. 4. 已知向量 ,若 ,则 等于( )(1,3)(6)abmab2A 80 B 160 C 45 D 4105. 程序框图如下图所示,若上述程序运行的结果 ,

3、则判断框中应填入( )1320A B12k 1kC D0 96. 若等差数列 满足递推关系 ,则 ( )na1na5aA B92 4C D14 137. 已知函数 ,且 ,则 的最小值为( )sin3cosfxx124fx12xA B3 C D2 348如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, (单位:cm) ,则该几何体的表面积为( ) A B5 52C D4 49过圆 上一点 作圆 的两条切线,切点分别为 、 ,若216xyP22:0OxymAB,实数 ( )3AOBmA2 B 3C4 D910. 某人 5 次上班图中所花的时间(单位:分钟)分别为 ,已知这组数

4、据的平均数为,10,xy10,方差为 2,则 =( )xyA B1 2C D3 411对于函数 ,以下选项正确的是( )2()1)(xfeA有 2 个极大值 B有 1 个极小值C1 是极大值点 D1 是极小值点12. 如图,过椭圆 的左、右焦点 分别作斜率为 的直线交椭圆 上半部分于2:1xyab12,F2C两点,记 的面积分别为 ,若 ,则椭圆 离心率为( ),AB12,AOFBS1:7:5SA B2 3C D :.12F2F1y xABO第卷二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13若实数 满足 ,则 的最大值为_,xy0261yx2zxy14. 甲、乙、丙三位同学获

5、得某项竞赛活动的前三名,但具体名次未知,3 人作出如下预测:甲说:我不是第三名;乙说:我是第三名;丙说:我不是第一名;若甲、乙、丙三位同学的预测有且只有一个正确,由此判断获得第一名的同学是_15. 已知变量 , ,且 ,若 恒成立,则 的最大值为1x20,m12x21xm_16 在四面体 中, 为等边三角形,边长为 , ,则四面体PABC 3,4,5PABC为 _的 体 积三、解答题(共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 )(一)必考题:共 60 分。17 (本小题满分 12

6、分)已知在 中, , , 分别为角 , , 的对应边,点 为 边的中点, 的面ABC abcABCDBCABC积为 23sinD()求 的值;sinD()若 , ,求 6BCA2b18 (本小题满分 12 分)为了迎接 2019 年高考,了解学生的成绩状况,在一次省质检中,某省教育部门随机抽取了500 名学生的数学考试成绩,统计如下表所示:成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40()计算各组成绩的频率,并填写在表中;成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40频率()已知本次质检数学测试的成绩 2(

7、,)XN:,其中 近似为样本的平均数, 2近似为样本方差 2s,若该省有 10 万考生,试估计数学成绩在 (10,2的人数;(以各组区间的中点值代表该组的取值)()将频率视为概率,若从该省所有考生中随机抽取 4 人,记这 4 人中成绩在 105,)的人数为 ,求 的分布列以及数学期望.参考数据:若2(,)ZN:,则 ()0.682PZ, (PZ2)0.954, 33).974.19 (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 中, 。ABC1 190,BACA()求证: 平面 ;1( )若 D 在 上,满足 ,求 与平面 所成的角的正弦值。112D1B20 (本小题满分 12 分)已知抛物线 的

8、焦点为 ,点 在抛物线 上,点 的纵坐标为 8,且 2:0ExpyFPEP9PF()求抛物线 的方程;()若点 是抛物线 准线上的任意一点,过点 作直线 与抛物线 相切于点 ,证明:MMnNFN21 (本小题满分 12 分)已知函数 ln0bfxax()当 时,讨论函数 的单调性;2bf()当 , 时,对任意 , ,都有 成立,求实数 的0a1x2,e12efxfb取值范围(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。选修 4-4:坐标系与参数方程22 (本小题满分 10 分)在直角坐标系 中,曲线 的方程为 ( 为参数) 以坐标原点 为

9、极点, 轴正半xOy1Ccosinxy Ox轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 2 2s()求 , 交点的直角坐标;1C2()设点 的极坐标为 ,点 是曲线 上的点,求 面积的最大值A4,3B2CAOB23. (本小题满分 10 分)已知 1fxax() 时,求不等式 的解集;a3f()若 的解集包含 ,求 的取值范围3fx1,a2019 年全国普通高等学校招生考试终极押题卷(全国新课标 )理科数学(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)注意事项: 1本试卷分第卷(选择题)和第 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时,选出每小题

10、答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第 卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知 为虚数单位,复数 ,则 的实部与虚部之差为( )i 1zizA 1 B0C D2 2【答案】:D【解析】: 复数 ,1zi,故选 D.112,2,2-=2izii实 部 , 虚 部 , 实 部 虚 部2.如图所示的 Venn 图中, 是非空集合,定义集合 为阴影

11、部分表示的集合若 ,,ABABxyR, ,则 为( )2Axyx30|xy ,A B2|0x2|1xC D1|02xx或 1|02xx或【答案】:D【解析】: 02,1,0,12,()ABAxByABxABxC,故选 D.1或3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图 1 所示,在该学期的水、电、交通开支(单位:万元)如图 2 所示,则该学期的电费开支占总开支的百分比为( )A. B. C. D. 【答案】B【分析】结合图表,通过计算可得:该学期的电费开支占总开支的百分比为 20%=11.25%,得解【详解】由图 1,图 2 可知:该学期的电费开支占总开支的百分比为20%=11.25%,故选:

12、B【点睛】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理,属简单题4. 已知向量 ,若 ,则 等于( )(1,3)(6)abmab2A 80 B 160 C 45 D 410【答案】C【解析】因为 ,所以 630m,解得 2210, 所 以 , ab,所以ab2244080abab,所以 245ab,故选 C5. 程序框图如下图所示,若上述程序运行的结果 ,则判断框中应填入( )13A B12k 1kC D0 9【答案】D【解析】初始值, ;12,ks执行框图如下: ;不能满足条件,进入循环; ;不能满足条件,进, 132,0sk入循环; ;此时要输出,因此要满足条件,故选 D1320,9sk6. 若

13、等差数列 满足递推关系 ,则 ( )na1na5aA B92 94C D14 13【答案】B【解析】令 ,得 ;令 ,得 ,两式相加,得 ,所以n54a5n65a54629a,故选 B594a7. 已知函数 ,且 ,则 的最小值为( )sin3cosfxx124fx12xA B3 C D2 34【答案】C【解析】 ,13sin3cos2incos2in3fxxx又 ,即 ,124f 12ii4 , ,122sinsi3xx12sinsi13xx 且 或 且 i in32i 1in3 , ,或 , , 1123xk22xk132xk2xkZ ,23Z显然,当 时, 的最小值为 ,故选 C10k1

14、2x38如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, (单位:cm) ,则该几何体的表面积为( ) A B5 52C D4 4【答案】B【解析】根据三视图,该几何体为一个圆柱在上半部分的正面截去 圆柱所得,它的表面积为14。故选 B.222111 59过圆 上一点 作圆 的两条切线,切点分别为 、 ,若26xyP22:0OxymAB,实数 ( )3AOBmA2 B3C4 D9【答案】A【解析】如图所示,取圆 上一点 ,过 作圆 的两条切线 、 ,216xy4,0P22:0OxymPAB当 时, ,且 , ; ,则实数 故选3AOB3AAP412AO2mOA10. 某人

15、5 次上班图中所花的时间(单位:分钟)分别为 ,已知这组数据的平均数为,910,xy10,方差为 2,则 =( )xyA B1 2C D3 4【答案】:D【解析】:解析:这是一道最新数学素养考题的体现,据题意有 ,按一般220(1)()8xy同学的常规思路解出 ,导致运算量大而出错,其实由点到直线的距离公式知:,xy xy代表直线 与圆 的交点到直线 的距离的 倍,2xy2022(1)(0)8xy0xy2所以 = 。故选 D.xy4xyr11对于函数 ,以下选项正确的是( )2()1)(xfeA有 2 个极大值 B有 1 个极小值C1 是极大值点 D1 是极小值点【答案】:C【解析】:232(

16、)1)()45)x xfefex3 23458()(),(11x xxef有 个 极 小 值 , 个 极 大 值 , 其 中 为 极 大 值 点 .故选 C.12. 如图,过椭圆 的左、右焦点 分别作斜率为 的直线交椭圆 上半部分于2:1xyCab12,F2C两点,记 的面积分别为 ,若 ,则椭圆 离心率为( ),AB12,AOFBS1:7:5SA B2 3C D12F2F1y xABO【答案】:C【解析】:作点 B 关于原点的对称点 B1,则有 ,所以 。将直线 方程1275AByS175ABy1A,代入椭圆方程后,由韦达定理解得 , ,三式联立,24yxc 1248Abca1428ABba

17、可解得离心率 。故选 C12ea第 卷二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13若实数 满足 ,则 的最大值为_,xy0261yx2zxy【答案】:2【解析】:作出线性可行域如图,当 y=2x 过点 A(2,2)时,纵截距最小,此时 z 最大,最大值为.14. 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名,但具体名次未知,3 人作出如下预测:甲说:我不是第三名;乙说:我是第三名;丙说:我不是第一名;若甲、乙、丙三位同学的预测有且只有一个正确,由此判断获得第一名的同学是_【答案】:乙【解析】:甲、乙、丙的排名及预测对错如下表:甲 对、错 乙 对、错 丙 对、错1 2 3 1

18、3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 所以满足条件的甲、乙、丙排名依次为第三名,第一名,第二名,故答案为乙。15. 已知变量 , ,且 ,若 恒成立,则 的最大值为1x20,m12x21xm_【答案】: e【解析】 ,即 化为 ,故 在 上为增函数,21x212lnlx12lnxlnxf0,,故 的最大值为 .2ln0ef me16 在四面体 中, 为等边三角形,边长为 , ,则四面体PABC3,4,5PABC为 _的 体 积【答案】: 1【解析】:如图作 PH 垂直于平面 ABC 于 H 点, 3,4,5PABC2222 0,3,3,PABCPABCHABHAB, ,又 面

19、2 2, =9- =16-,HhRthRthA设 在 中 有 , 同 理 在 中 有 在 中 由 余 弦 定 理 得 :2202 2341cos3-9163,HhA, 即1341,PABCV三、三、解答题(共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 )(一)必考题:共 60 分。17 (本小题满分 12 分)已知在 中, , , 分别为角 , , 的对应边,点 为 边的中点, 的面ABC abcABCDBCABC积为 23sinADB(1)求 的值;sinA(2)若 , ,求 6C2

20、b【答案】 (1) ;(2) 33【解析】 (1)由 的面积为 且 为 的中点可知: 的面积为 ,AB2sinADBCABD 26sinAB由三角形的面积公式可知 ,在 中22213sin6iABC由正弦定理可得 ,所以 6 分3sinsi1A 1sn3(2) ,又因为 为 的中点,所以 ,即 ,6BCADBC26CDBA在 中,由正弦定理可得 ,所以 ,D sinsisisinD由(1)可知 ,所以 , ,1sini3A 1n3BAin1, ,在直角 中 , ,所以 ,0,BA2BD 2si3BA1B3D, ,在 中用余弦定理,可得2C6AC, 1cos13263baB3b12 分18 (本

21、小题满分 12 分)为了迎接 2019 年高考,了解学生的成绩状况,在一次省质检中,某省教育部门随机抽取了500 名学生的数学考试成绩,统计如下表所示:成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40(1)计算各组成绩的频率,并填写在表中;成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40频率(2)已知本次质检数学测试的成绩 2(,)XN:,其中 近似为样本的平均数, 2近似为样本方差 2s,若该省有 10 万考生,试估计数学成绩在 (10,2的人数;(以各组区间的中点值代表该组的取值)(3)将频率视为概率,若从

22、该省所有考生中随机抽取 4 人,记这 4 人中成绩在 105,)的人数为 ,求 的分布列以及数学期望.参考数据:若2(,)ZN:,则 ()0.682PZ, (PZ2)0.954, 33).974.【答案】:见解析【解析】:(1)填表如下:成绩 X75,8),95),10)5,1),25人数 Y30 120 210 100 40频率 0.06 0.24 0.42 0.2 0.082 分(2)依题意, 80.690.241.210.20.81x, 故 24.14s , 故 2(10,)XN:,故 .5.68(02)0.13592PX, 故所求人数为.359359=(人 ). 6 分(3)依题意,任

23、取 1 人,成绩在 105,)的概率为 15, 1(4,)5B:,4256(0)(P, 13426()C()P,22419()C(), 341()()5, 4()(56P,10 分所以 的分布列为 0 1 2 3 4P25696512511 分故 45E.12分19 (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 中, 。ABC1 190,BACA(1)求证: 平面 ;1( 2 )若 D 在 上,满足 ,求 与平面 所成的角的正弦值。112D1B【答案】:见解析【解析】:(1)根据已知条件易得 , 由 面 ,得1AB1C1AB1AC所以 平面 。 6 分1AB1C(2)以 A1B1,A1C1 为 x

24、,y 轴建立直角坐标系,设 AB=a,则 , , ,0,a,012,0,03aD所以 ,设面 的法向量为 ,则2,3aAD1ABCn1,0可计算得到7cos,n所以 与平面 所成的角的正弦值为 。 12 分AD1BC2720 (本小题满分 12 分)已知抛物线 的焦点为 ,点 在抛物线 上,点 的纵坐标为 8,且 2:0ExpyFPEP9PF(1)求抛物线 的方程;(2)若点 是抛物线 准线上的任意一点,过点 作直线 与抛物线 相切于点 ,证明:MMnNFN【答案】 (1) ;(2)见解析4xy【解析】 (1)由题意可知,抛物线的准线方程为 ,2py又点 的纵坐标为 8,且 ,于是 , ,故抛

25、物线 的方程P9PF89E为 4 分24xy(2)设点 , , , , ,,1Mm0,Nxy0214yx1yx切线方程为 ,即 ,6 分02y0令 ,可解得 , ,8 分104x20,1xM又 , , 10 分0,F20x, 0,FNxy 12222000044xMNy FMN分21 (本小题满分 12 分)已知函数 ln0bfxax(1)当 时,讨论函数 的单调性;2bf(2)当 , 时,对任意 , ,都有 成立,求实数 的0ab1x2,e12efxfb取值范围【答案】 (1)见解析;(2) 0,【解析】 (1)函数 的定义域为 fx,当 时, , 2b2lnfa2xaf当 时, ,函数 在

26、 上单调递增 0a0x0,当 时,令 ,解得 , f2ax当 时, ,函数 在 上单调递减;02ax0fxf0,当 时, ,函数 在 上单调递增ffx,2a综上所述,当 , 时,函数 在 上单调递增;2b0af0,当 , 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增6fx,2a,2a分(2)对任意 , ,都有 成立,1x2,e12efxf , 成立,7 分1maxinffffmaxin2ff , 时, , 0ablbf1bf当 时, ,当 时, ,1x0fx10fx 在 单调递减,在 单调递增,f,e,e, , ,8 分min1fxfbfebf设 , , ee2bgbf02e20bbg 在 递增,

27、 , ,可得 ,0,g1effmaxebff ,即 ,10 分e12be10b设 , , 在 恒成立e1b0be10b, 在 单调递增,且 ,不等式 的解集为 0,e10b,1实数 的取值范围为 12 分b0,1(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。选修 4-4:坐标系与参数方程22 (本小题满分 10 分)在直角坐标系 中,曲线 的方程为 ( 为参数) 以坐标原点 为极点, 轴正半xOy1Ccosinxy Ox轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 2 2s(1)求 , 交点的直角坐标;1C2(2)设点 的极坐标为 ,点 是

28、曲线 上的点,求 面积的最大值A4,3B2CAOB【答案】 (1) , ;(2) ,21,3【解析】 (1) , , , 21:Cxy2:cos2cos2xy联立方程组得 ,解得 , ,2xy132xy213xy所求交点的坐标为 , 5 分13,2,(2)设 ,则 ,Bcos 的面积AO 11in4sin4cosin2233SAOB,当 时, 10 分2cos361maxS选修 4-5:不等式选讲 (10 分)23. (本小题满分 10 分)已知 1fxax(1) 时,求不等式 的解集;a3f(2)若 的解集包含 ,求 的取值范围3fx1,a【答案】 (1) ;(2) 3x或 ,【解析】 (1) , ,a,112,xfx,则 或 ,不等式的解集为 5 分3fx23x32x或(2) 的解集包含 ,即为 在 上恒成立f1,f1,, 1,x1xaxax故 ,即为 ,即 3f132所以 , ,2ax3ax又因为 , ,则 10 分1,11,a