1、倒倒计计时时1100天天 数数学学(理理)22001199高高考考最最后后一一卷卷本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共1 5 0分,考试时间1 2 0分钟.第卷一、选择题(本大题共1 2小题,每小题5分,共6 0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若集合A= x|x2 - 5x+ 4 0 ,b 0 )与圆C2 :x2 +y2=a2 +b2的一个交点,且2 PF1F2 = PF2F1 ,其中F1 ,F2分别为双曲线C1的左、右焦点,则双曲线C1的离心率为( )A . 3 + 1 B . 3 + 12C . 5 + 12 D . 5 - 18.如图,在ABC中
2、,D是AB边上的点,且满足AD= 3BD,AD+AC=BD+BC= 2 ,CD= 2 ,则c o sA= ( )A . 13 B . 24 C . 14 D . 09.已知函数f(x) =xc o sx- s i nx- 13x3 ,则不等式f( 2x+3 ) +f( 1 ) 0 )的图象相邻两个对称中心之间的距离为2 ,则f(x)的一个单调递减区间为( )A . - 6 , 3( ) B . - 3 , 6( )C . 6 , 2 3( ) D . 3 , 5 6( )第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第1 3 - 2 1题为必考题,每个实体考生都必须作答.第2 2 - 2 3题为选考题,考
3、生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共2 0分.把答案填在题中横线上)1 3.若实数x,y满足约束条件2x+y- 4 0 ,x- 2y- 2 0 ,x- 1 0 ,则y- 1x的最小值为 .1 4.数列an的前n项和记为Sn,a1 = 1 ,an+ 1 = 2Sn+ 1 (n 1 ,nN* ) ,则数列an的通项公式是 .1 5.某框图所给的程序运行结果为S= 3 5 ,那么判断框中应填入的关于k的条件是 .1 6.某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的速度,采用如下办法:在岸边设置两个观察点A,B,且AB长为8 0米,当航模在C处时,测得ABC= 1 0 5 和
4、BAC= 3 0 ,经过2 0秒后,航模直线航行到D处,测得BAD= 9 0 和ABD= 4 5 ,则航模的速度为 米/秒.(答案保留根号)1三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤, 1 7 - 2 1题每小题1 2分, 2 2 - 2 3题每小题1 0分)1 7.已知公比不为1的等比数列an的前3项积为2 7 ,且2a2为3a1和a3的等差中项.( 1 )求数列an的通项公式an.( 2 )若数列bn满足bn=bn- 1 l o g 3an+ 1 (n 2 ,nN* ) ,且b1 = 1 ,求数列bnbn+ 2 的前n项和Sn.1 8.为了缓解城市交通压力和改善空气质量,有些城市
5、出台了一些汽车限行政策,如单双号出行,外地车限行等措施,对城市交通拥堵的缓解和空气质量的改良起了一定的作用.某中部城市为了应对日益增长的交通压力,现组织调研,准备出台新的交通限行政策,为了了解群众对“汽车限行”的态度,在当地市民中随机抽取了1 0 0人进行了调查,调查情况如表:年龄段 1 5 , 2 5 ) 2 5 , 3 5 ) 3 5 , 4 5 ) 4 5 , 5 5 ) 5 5 , 6 5 ) 6 5 , 7 5 频数5 1 5 2 0n2 0 1 0赞成人数3 1 2 1 7 1 8 1 6 2( 1 )求出表格中n的值,并完成被调查人员年龄的频率分布直方图(如图所示).( 2 )若
6、从年龄在 4 5 , 5 5 )的被调查者中按照是否赞成进行分层抽样,从中抽取1 0人参与某项调查,然后再从这1 0人中随机抽取3人参加座谈会,记赞成的人数记为,求的分布列.1 9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,ABC= 6 0 ,PAPB,PC= 2.( 1 )求证:平面PAB平面ABCD.( 2 )若PA=PB,求二面角A-PC-D的余弦值.2 0.已知椭圆C:y2a2 +x2b2 = 1 (ab 0 )的上、下两个焦点分别为F1 ,F2 ,过F1的直线交椭圆于M,N两点,且MNF2的周长为8 ,椭圆C的离心率为32.( 1 )求椭圆C的标准方程.( 2 )已
7、知O为坐标原点,直线:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线上的两点,且F1Ml,F2Ml,求四边形F1MNF2面积S的最大值.2 1.已知函数f(x) = l nx+ax.( 1 )讨论函数f(x)的单调性.( 2 )当a= 1时,函数g(x) =f(x) -x+ 12x-m有两个零点x1 ,x2 ,且x1 1.请考生在第2 2 - 2 3题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.2 2.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x= 1 +tc o s,y=ts i n(t为参数) ,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标
8、方程为2- 2c o s- 4s i n+ 4 = 0.( 1 )若直线l与曲线C相切,求直线l的直角坐标方程.( 2 )若t a n= 2 ,设直线l与曲线C的交点为点A,B,求OAB的面积.2 3.已知函数f(x) = | 2x- 1 | + | 2x+ 1 | ,g(x) = |a- 1 | -a|x|.( 1 )当x 0时,y=x单调递增且大于零,函数y= ex- e -x单调递增也大于零,所以y=x( 3x- 3 -x)在( 0 ,+ )上为增函数.7.选A .x2 +y2 =a2 +b2 =c2 ,所以点P在以F1F2为直径的圆上,所以PF1 PF2 ,又2 PF1F2 = PF2
9、F1 ,所以PF2 =c,PF1 = 3c,又P在双曲线上,2所以3c-c= 2a,所以e=ca= 23 - 1 = 3 + 1.8.选D .设BD=x,则AD= 3x,AC= 2 - 3x,BC= 2 -x,易知c o s ADC= - c o s BDC,由余弦定理的推论可得9x2 + 2 - ( 2 - 3x) 22 2 3x= -x2 + 2 - ( 2 -x) 22 2 x,解得x= 13 ,故AD= 1 ,AC= 1 ,所以c o sA=AD2 +AC2 -CD22 ADAC= 0.9.选A .易证函数f(x)是奇函数.由题得f(x) = c o sx-xs i nx- c o s
10、x-x2 = -xs i nx-x2 = -x( s i nx+x).所以当x 0时,f(x) - 1 ,所以x - 2.故解集为( - 2 , + ).10.选D .函数y= -x2 - 2的图象与函数y=x2 + 2的图象关于原点对称,若函数y=a+ 2 l nxx 1e , e ( )的图象上存在点P,函数y= -x2 - 2的图象上存在点Q,且P,Q关于原点对称,则函数y=a+ 2 l nxx 1e , e ( )的图象与函数y=x2 + 2的图象有交点,即方程a+ 2 l nx=x2 + 2x 1e , e ( )有解,即a=x2 + 2 - 2 l nxx 1e , e ( )有解
11、,令f(x) =x2 + 2 - 2 l nx,则f(x) = 2 (x2 - 1 )x,当x 1e , 1 时,f(x) 0 ,故当x= 1时,f(x)取最小值3 ,由f1e( )= 1e 2 + 4 ,f( e ) = e 2 ,故当x= e时,f(x)取最大值e 2 ,故a 3 , e 2 .11.选A .由三视图可知,该几何体是由半个圆柱与半个圆锥组合而成,其中圆柱的底面半径为2 ,高为4 ,圆锥的底面半径和高均为2 ,其体积为V= 12 4 4 + 12 13 4 2 = 2 8 3.12.选D .f(x) = s i nx- 6( )的图象相邻两个对称中心之间的距离为2 ,于是有T
12、= 2 = 2 2 = ,= 2 ,所以f(x) = s i n 2x- 6( ).当2k + 2 2x- 6 2k + 3 2 ,kZ,即k + 3 xk+ 5 6 ,kZ时,f(x) = s i n 2x- 6( )单调递减.因此结合各选项知,f(x) = s i n 2x- 6( )的一个单调递减区间为3 , 5 6( ).第卷二、填空题13.【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,因为y- 1x表示可行域内的点与定点P( 0 , 1 )连线的斜率.由图知,点P( 0 , 1 )与点A1 , - 12( )连线的斜率最小,所以y- 1x( )m i n =kPA=- 12 -
13、 11 - 0 = -32.答案: - 3214.【解析】由an+ 1 = 2Sn+ 1可得an= 2Sn- 1 + 1 (n 2 ) ,两式相减得an+ 1 -an= 2an,即an+ 1 = 3an(n 2 ).又a2 = 2S1 + 1 = 3 ,所以a2 = 3a1 ,故an是首项为1 ,公比为3的等比数列,所以an= 3n- 1.答案:an= 3n- 115.【解析】由题意可知输出结果为S= 3 5 ,第1次循环,S= 1 1 ,k= 9 ,第2次循环,S= 2 0 ,k= 8 ,第3次循环,S= 2 8 ,k= 7 ,第4次循环,S= 3 5 ,k= 6 ,此时S满足输出结果,退出
14、循环,所以判断框中的条件为:k 6或k 7 ?答案:k 6 ?或k 7 ?16.【解析】在ABD中,因为BAD= 9 0 , ABD= 4 5 ,所以ADB= 4 5 ,所以AD=AB= 8 0米,所以BD= 8 0 2米,在ABC中BCs i n 3 0 =ABs i n 4 5 ,所以BC=ABs i n 3 0 s i n 4 5 =8 0 1222= 4 0 2 (米).在DBC中,DC2 =DB2 +BC2 - 2DBBCc o s 6 0 = ( 8 0 2 ) 2 + ( 4 0 2 ) 2 - 2 8 0 2 4 0 2 12 = 9 6 0 0 ,所以DC= 4 0 6米,航
15、模的速度v= 4 0 62 0= 2 6米/秒.因此航模的速度为2 6米/秒.答案:2 6三、解答题17.【解析】( 1 )由前3项积为2 7 ,得a2 = 3 ,设等比数列的公比为q,由2a2为3a1和a3的等差中项,得3 3q+ 3q= 4 3 ,由公比不为1 ,解得:q= 3 ,所以an= 3n- 1.( 2 )由bn=bn- 1 l o g 3an+ 1 =bn- 1 n,得bn=bnbn- 1bn- 1bn- 2 b2b1b1 =n!.令cn=bnbn+ 2=n!(n+ 2 ) != 1(n+ 2 ) (n+ 1 ) = 1n+ 1 - 1n+ 2 ,则Sn= 12 - 13( )+
16、 13 - 14( )+ + 1n+ 1 - 1n+ 2( )= 12 - 1n+ 2 =n2 (n+ 2 )318.【解析】( 1 )由题知被调查者一共有1 0 0人,所以有5 + 1 5 + 2 0 +n+ 2 0 + 1 0 = 1 0 0 ,所以n= 3 0.所以被调查人员年龄各组的频率组距为0.0 0 5 , 0.0 1 5 ,0.0 2 0 , 0.0 3 0 , 0.0 2 0 , 0.0 1 0.2分所以被调查人员年龄的频率分布直方图如图所示:4分( 2 )由( 1 )知,年龄在 4 5 , 5 5 )的共有3 0人,其中赞成的有1 8人,不赞成的有1 2人.由分层抽样赞成者应
17、选1 0 35 = 6人, 6分不赞成有4人.则= 0 , 1 , 2 , 3.7分P(= 0 ) = C34C 31 0 =41 2 0 =13 0 , 8分P(= 1 ) = C16 C24C 31 0 =3 61 2 0 =31 0 , 9分P(= 2 ) = C26 C14C 31 0 =6 01 2 0 =12 , 1 0分P(= 3 ) = C36C 31 0 =2 01 2 0 =16 , 1 1分所以的分布列为0 1 2 3P13 0 31 0 12 161 2分19.【解析】( 1 )取AB中点O,连接AC,CO,PO,因为四边形ABCD是边长为2的菱形,所以AB=BC= 2
18、.因为ABC= 6 0 ,所以ABC是等边三角形.所以COAB,OC= 3.因为PAPB,所以PO= 12AB= 1.因为PC= 2 ,所以OP2 +OC2 =PC2.所以COPO.因为ABPO=O,所以CO平面PAB.因为CO平面ABCD,所以平面PAB平面ABCD.( 2 )因为PA=PB,O为AB的中点由( 1 )知,平面PAB平面ABCD,所以PO平面ABCD,所以直线OC,OB,OP两两垂直.以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图,则O( 0 , 0 , 0 ) ,A( 0 , - 1 , 0 ) ,B( 0 , 1 , 0 ) ,C( 3 ,0 , 0 ) ,D( 3 , -
19、 2 ,0 ) ,P( 0 , 0 ,1 )所以AP = ( 0 , 1 , 1 ) ,PC = ( 3 , 0 , - 1 ) ,DC = ( 0 , 2 , 0 ).设平面APC的法向量m= (x,y,z) ,由mAP = 0 ,mPC = 0 ,得y+z= 0,3x-z= 0 ,取x= 1 ,得m= ( 1 , - 3 , 3 ) ,设平面PCD的法向量为n= (x,y,z) ,由nPC = 0 ,nDC = 0 ,得3x-z= 0 ,2y= 0 ,取x= 1 ,得n= ( 1 , 0 , 3 ) ,所以c o s =mn|m| |n| = 2 77 ,由图可知二面角A-PC-D为锐二面
20、角.所以二面角A-PC-D的余弦值为2 77.20.【解析】( 1 )因为MNF2的周长为8 ,所以4a= 8 ,所以a= 2.又因为ca= 32 ,所以c= 3 ,所以b=a2 -c2 = 1 ,所以椭圆C的标准方程为y24 +x2 = 1.( 2 )将直线的方程y=kx+m代入到椭圆方程y24 +x2 = 1中,得( 4 +k2 )x2 + 2kmx+m2 - 4 = 0.由直线与椭圆仅有一个公共点,知= 4k2m2 - 4 ( 4 +k2 ) (m2 - 4 ) = 0 ,化简得m2 = 4 +k2.设d1 = |F1M| = | - 3 +m|k2 + 1,d2 = |F2N| = |
21、 3 +m|k2 + 1,所以d21 +d22 =m- 3k2 + 12+m+ 3k2 + 1 2= 2 (m2 + 3 )k2 + 1 =2 (k2 + 7 )k2 + 1 ,d1d2 = | - 3 +m|k2 + 1 | 3 +m|k2 + 1= |m2 - 3 |k2 + 1 = 1 ,所以|MN| = |F1F2 | 2 - (d1 -d2 ) 2= 1 2 - (d21 +d22 - 2d1d2 ) = 1 2k2k2 + 1.因为四边形F1MNF2的面积S= 12 |MN| (d1 +d2 ) ,所以S2 = 14 1 2k2k2 + 1 (d21 +d22 + 2d1d2 )=
22、 3k2 ( 4k2 + 1 6 )(k2 + 1 ) 2.令k2 + 1 =t(t 1 ) ,则S2 = 3 (t- 1 ) 4 (t- 1 ) + 1 6 t2 = 1 2 (t- 1 ) (t+ 3 )t2= 1 2 (t2 + 2t- 3 )t2= 1 2 + 1 2 - 3 1t- 13( )2+ 13 ,所以当1t= 13时,S2取得最大值为1 6 ,故Sm a x = 4 ,即四边形F1MNF2面积的最大值为4.21.【解析】( 1 )f(x) = 1x+a,x ( 0 , + ).当a 0时,f(x)在( 0 , + )上单调递增;当a 0 ,所以h(t)在( 0 , 1 )上
23、单调递增,所以h(t) 1 ,所以x1 +x2 1.22.【解析】( 1 )由x=c o s,y=s i n可得曲线C的直角坐标方程为x2 +y2 - 2x- 4y+ 4 = 0 ,即(x- 1 ) 2 + (y- 2 ) 2 =1 ,x= 1 +tc o s,y=ts i n消去参数t,可得y= t a n(x- 1 ).设k=t a n,则直线l的方程为y=k(x- 1 ) ,由题意,得圆心( 1 , 2 )到直线l的距离d1 = |k- 2 -k|k2 + 1=1 ,解得k= 3 ,所以直线l的直角坐标方程为y= 3 (x- 1 ).( 2 )因为t a n= 2 ,所以直线l的方程为2
24、x-y- 2 = 0 ,原点到直线l的距离d2 = 25,联立2x-y- 2 = 0 ,(x- 1 ) 2 + (y- 2 ) 2 = 1 ,解得x= 2 ,y= 2或x= 85 ,y= 65 ,所以|AB| = 2 - 85( )2+ 2 - 65( )2= 2 5 ,所以S= 12 2 5 2 5 = 25.23.【解析】( 1 )当x - 1 ,此时- 1 x - 12.当- 12 x 0时, 化为2x+ 1 - 2x 3 ,解得xR,此时- 12 x 0.综上,原不等式的解集是x| - 1 x 0 .( 2 )因为f(x) = | 2x- 1 | + | 2x+ 1 | | ( 2x- 1 ) - ( 2x+ 1 ) | = 2 ,所以f(x)的值域为 2 , + ).当a 0时,因为|x| 0 ,所以g(x)的值域为( - ,|a- 1 | .若MN ,则|a- 1 | 2 ,解得a - 1或a 3.从而a 3.当a 0时,因为|x| 0 ,所以g(x)的值域为|a- 1 | , + ) ,此时一定满足MN .从而a 0.综上,a的取值范围是( - , 0 ) 3 , + ).5