1、2019 年江苏省无锡市梁溪区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑1 （3 分）5 的平方根是（ ）A B C D52 （3 分）无锡市 2019 年预计实现生产总值（GDP）12500 亿，用科学记数法表示这个总值为（ ）A.12510 2 亿 B.12.510 3 亿C1.2510 4 亿 D.1.25X10 5 亿3 （3 分）若实数 a，b 满足|a| |b|，则与实数 a，b 对应的点在数轴上的位置可以是（ ）A BC D4 （3 分）若关于 x 的一
2、元二次方程（k1）x 22x+10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak2 Bk2 且 k1 Ck2 Dk 2 且 k15 （3 分）点 P （2，5）经过某种图形变化后得到点 Q（2，5） ，这种图形变化可以是（ ）A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称C关于原点对称 D上下平移6 （3 分）某几何体的三视图分别如图所示，该几何体是（ ）A六棱柱 B三棱柱 C圆柱 D圆锥7 （3 分）如果一个多边形的内角和等于 1080，那么这个多边形的边数为（ ）A7 B8 C9 D108 （3 分）如图，在O 中，AC 为 O 直径，B 为圆上一点，若 OBC26，则AOB的度数为（ ）
3、A26 B52 C54 D569 （3 分）如图，已知 A（3，6） 、B（0，n） （0n6） ，作 ACAB，交 x 轴于点 C，M为 BC 的中点，若 P（ ，0） ，则 PM 的最小值为（ ）A3 B C D10 （3 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 都在坐标轴上，点 B 在第二象限，矩形 OABC的面积为 6 把矩形 OABC 沿 DE 翻折，使点 B 与点 O 重合若反比例函数 y 的图象恰好经过点 E 和 DE 的中点 F则 OA 的长为（ ）A2 B C2 D二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相
4、应的位置处）11 （2 分）分解因式：a 24 12 （2 分）如果分式 有意义，那么 x 的取值范围是 13 （2 分）已知 a+2b1，则 2a+4b3 14 （2 分）ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 边上，且 DEBC，若 SADE ：S ABC4： 9，BC6，则 DE 15 （2 分）某社区对寒假期间参加社区活动的部分学生的年龄进行统计，结果如下表：年龄（岁） 11 12 13 14 15 16人数（人） 4 5 6 6 7 2则这些学生的年龄的众数是 16 （2 分）如图，AB 为O 的直径，C 为 O 上一点， BOC50，ADOC，AD 交O 于点 D，连接 AC，
5、CD ，那么ACD 17 （2 分）如图，ABC 中，ABC 90，ABBC ，点 A （1，0） ，点 B 在 x 轴上且位于点 A 右侧，点 C 在第一象限将ABC 绕点 A 逆时针旋转 75，点 C 的对应点 E恰好落在 y 轴的正半轴上，则点 E 的坐标为 18 （2 分）如图，ABC 中，AB4，AC 6，A30，点 D 为 AC 边上一动点，则AD+DB 的最小值 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分.请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19 （8 分）计算：（1） ；（2） （a+3） （a1）（a+2） （a2） 20 （8 分） （1
6、）解方程：x 24x+10；（2）解不等式组：21 （8 分）如图，在ABC 中，D 是 AB 边上任意一点，E 是 BC 边中点，CFAB，交DE 的延长线于点 F，连接 BF，CD求证：四边形 CDBF 是平行四边形22 （8 分）有四张完全一样的卡片，在正面分別写上 2、3、4、6 四个数字后洗匀，反面朝上放在桌上小明从中先后任意抽取两张卡片，然后把先抽到的卡片上的数字作为十位数，后抽到的卡片上的数字作为个位数，组成一个两位数求这个两位数恰好能被 4整除的概率 （请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23 （8 分）某中学准各去湿地公园开展社会实践活动，学校给出 A：十八弯，B：
7、长广溪，C：九里河，D：贡湖湾，共四个目的地为了解学生最喜欢哪一个目的地，随机抽取了部分学生进行调査，并将调査结果绘制了如下两幅不完整的统计图请回答下列问题：（1）这次被调査的学生共有 人（2）请你将条形统计图补充完整（3）扇形统计图中 D 项目对立的扇形的圆心角度数是 （4）已知该校学生 2400 人，请根据调査结果估计该校最喜欢去长广溪湿地公园的学生人数24 （8 分）如图，在O 中，C、D 分別为半径 OB、弦 AB 的中点，连接 CD 并延长，交过点 A 的切线于点 E（1）求证：AECE（2）若 AE2，sinADE ，求 OB 的长25 （8 分）如图，已知矩形 ABCD，AB4，
8、BC5请用尺规作图画出符合要求的图形，并标注必要的字母及结论（保留作图痕迹，不要求写作法） （1）在图 1 的矩形 ABCD 中画出一个面积最大的菱形（2）我们通常把长与宽之比为 ：1 的矩形称为标准矩形，请你在图 2 的矩形 ABCD中画出一个面积最大的标准矩形26 （8 分）某水果店经销一批柑橘，每斤进货价是 3 元试销期间发现每天的销售量y（斤）与销售単价 x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5x 5.5，另外每天还需支付其他各项费用 800 元销售单价 x（元） 3.5 5.5销售量 y（斤） 2800 1200（1）请求出 y 与 x 之间的函数表达式；（2）如果
9、每天获得 1600 元的利润，销售单价为多少元？（3）当销售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？27 （10 分）如图，已知 A（3，0） ，B（0，a） （3a0） ，以 AB 为一边在 AB 上方作正方形 ABCD，点 E 与点 A 关于 y 轴对称，直线 EC 交 y 轴于点 F，连接 DF（1）求直线 EF 所对应的函数表达式；（2）判断 CE 与 DF 的数量关系并说明理由28 （10 分）已知二次函数 yax 2+2ax3a（a0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C，图象顶点为 D，连接AC、BC、BD、CD，ACB90
10、（1）求 a 的取值范围（2）点 E（ ，0） ，点 F 在 AC 边上，若 EF 将ABC 的面积平分，求点 F 的坐标（用含 a 的代数式表示） （3）BCD 中 CD 边上的高是否存在最大值？若存在，求出这个最大值并求出此时二次函数的表达式；若不存在，说明理由2019 年江苏省无锡市梁溪区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑1 【解答】解：（ ） 25，5 的平方根为 故选：A2 【解答】解：将 12500 亿用科学记数法可表示为 1.2
11、5104 亿故选：C3 【解答】解：由|a| |b|，得a 与原点的距离比 b 原点的距离远，故选：D4 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（k1）x 22x +10 有两个不相等的实数根，441（k1）84k0，且 k10k2 且 k1故选：D5 【解答】解：点 P （2，5）经过某种图形变化后得到点 Q（2，5） ，这种图形变化可以是关于 y 轴对称故选：B6 【解答】解：根据俯视图是正六边形确定该几何体为六棱柱，故选：A7 【解答】解：设这个多边形的边数为 n，则（n2）1801080，解得 n8，故这个多边形为八边形故选：B8 【解答】解：OBOC，COBC，OBC26，AOB2C5
12、2，故选：B9 【解答】解：如图，作 AHy 轴于 H，CE AH 于 E，作 MNOC 于 N则四边形 CEHO 是矩形，OHCE 4，BACAHBAEC 90，ABH+HAB 90，HAB +EAC90，ABHEAC，AHBCEA， ， ，AE2BH ，设 BHx ，则 AE2x，OCHE3+2 x，OB6x，B（0，6x） ，C （3+2 x，0）BMCM，M（ ， ） ，P（ ，0） ，PNONOP x，PM 2PN 2+MN2x 2+（ ） 2 x23x+9 （x ） 2+ ，x 时，PM 2 有最小值，最小值为 ，PM 的最小值为 故选：D10 【解答】解：连接 BO 与 ED 交
13、于点 Q，过点 Q 作 QNx 轴，垂足为 N，如图所示，矩形 OABC 沿 DE 翻折，点 B 与点 O 重合，BQOQ ，BEEO四边形 OABC 是矩形，ABCO，BCOOAB90EBQDOQ在BEQ 和ODQ 中，BEQODQ（ASA ） EQDQ 点 Q 是 ED 的中点QNOBCO90，QNBCONQOCB （ ） 2（ ） 2 S ONQ SOCB S 矩形 OABC6 ，S OCB S OAB 3 S ONQ 点 F 是 ED 的中点，点 F 与点 Q 重合S ONF 点 E、F 在反比例函数 y 上，S OAE S ONF S OAB 3 ，AB4AEBE3AE由轴对称的性质
14、可得：OE BEOE3AEOA 2 AES OAE AOAE 2 AEAE AE OA2 AE 故选：D二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处）11 【解答】解：a 24（a+2） （a2） 12 【解答】解：由题意得，x30，解得 x3故答案为：x313 【解答】解：a+2b1，2a+4b32（a+2b）3213231，故答案为：114 【解答】解：DEBC，ADEABC， （ ） 2 ， ，DE 64故答案为 415 【解答】解：由表知这些学生的年龄的众数是 15 岁，故答案为：15 岁16 【解答】解：连接
15、 OD，ADOC，DABBOC50，OAODAOD 180 2DAB80，ACD AOD40故答案为 4017 【解答】解：由题意：EAO180754560，在 Rt AOE 中，AOE90，OA 1，OEOA tan60 ，E（0， ） ，故答案为（0， ） 18 【解答】解：作DAE30，DEAE在 Rt AED 中，ED ED+BD则由图可知，当 BFAE 时，BF 长即为 的最小值在 Rt ABF 中，FAB60AF2BF故答案为三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分.请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19 【解答】解：（1）原式 +3 ；（2
16、）原式a 2a+3a3a 2+42a+1 20 【解答】解：（1）x 2+4x10，x2+4x1，x2+4x+41+4 ，（x+2） 25，x+2 ，x12+ ，x 22 ；（2）解不等式得：x1，解不等式 得： x3，不等式组的解集是3x121 【解答】证明：CFAB，ECFEBDE 是 BC 中点，CEBECEFBED，CEFBED（ASA） CFBD四边形 CDBF 是平行四边形22 【解答】解：画树状图如下：由树状图知共有 12 种等可能结果，其中这个两位数恰好能被 4 整除的有 4 种结果，所以这个两位数恰好能被 4 整除的概率为 23 【解答】解：（1）这次调查的学生总人数为 20
17、10%200（人） ，故答案为：200；（2）C 项目人数为 200（20+80+40）60（人） ，补全图形如下：（3）扇形统计图中 D 项目对应的扇形的圆心角度数是 360 72，故答案为：72；（4）根据调査结果估计该校最喜欢去长广溪湿地公园的学生人数为2400 960（人） 24 【解答】 （1）证明：如图，AE 是O 的切线，AEAO ，OAE90，C，D 分别为半径 OB，弦 AB 的中点，CD 为AOB 的中位线CDOAE90AECE；（2）解：连接 OD，如图，ADCD，ODAB，ODA 90 ，在 Rt AED 中，sinADE ，AD6，CDOA，OAD ADE在 Rt O
18、AD 中，sinOAD ，设 ODx，则 OA3x，AD 2 x，即 2 x6，解得 x ，OA3x ，即 OB 长为 25 【解答】解：（1）如图 1：以 BD 或 AC 为对角线，E、F 在 AD，BC 上，且 EF 垂直平分 BD 或 AC，则菱形 BEDF 即为所求；（2）如图 2，以 BC5 为长，则宽 AE 为 ，此时矩形 AEFD 的面积最大26 【解答】解：（1）设 ykx+b，将 x3.5，y2800；x 5.5， y1200 代入，得 ，解得 ，则 y 与 x 之间的函数关系式为 y800x+5600；（2）由题意，得（x3） （800x+5600）8001600，整理，得
19、 x210x +240，解得 x14，x 263.5x5.5，x4答：如果每天获得 160 元的利润，销售单价为 4 元；（3）由题意得：w（x 3） （800x+5600）800800x 2+8000x17600800（x5） 2+2400，3.5x5.5，当 x5 时，w 有最大值为 2400故当销售单价定为 5 元时，每天的利润最大，最大利润是 2400 元27 【解答】解：（1）如图 1，过点 C 作 CGy 轴于点 GCGBAOB90四边形 ABCD 是正方形BCAB， ABC90ABO+CBGABO +BAOCBGBAO在CBG 与BAO 中CBGBAO（AAS ）A（3，0） ，
20、B（0，a） （3a0）OA3，OBaBGOA 3，CGBOaOGBG OB 3+aC（a，3+a）点 E 与点 A 关于 y 轴对称E（3，0）设直线 EF 函数关系式为 ykx+b 解得：直线 EF 函数关系式为：y x +3（2）CE DF，理由如下：如图 2，过点 C 作 CPx 轴于点 P，过点 C 作 CHy 轴于点 G，过点 D 作 DHCH 于点 H，四边形 DFGH 是矩形，CDH BCGCHBG3，E（3，0） ，C（a，3+a）CGa，CP3+ aFDGH CHCG3（ a）3+ax0 时，yx +33F（0，3） ，OEOFPC3+a，EPOEOP 3（a）3+aCEC
21、E DF28 【解答】解：（1）当 yax 2+2ax3a0（a0）解得：x 13，x 21A（3，0） ，B（1，0） ，即 OA3，OB 1当 x0 时，yax 2+2ax3a3aC（0，3a） ，即 OC3a设 y 轴负半轴上有点 M 满足AMB90，如图 1，则AMO+OMB 90AOMMOB 90OMB+MBO 90AMOMBOAMOMBOMOACB90OCOM，即 3aa 的取值范围是 0a（2）AB1（3）4，OC3aS ABC ABOC设直线 AC 的解析式为：y kx+ b 解得：直线 AC 解析式为：y ax3a设 AC 边上的点 F（t，at 3a） （3t0）E（ ，0）S AEF AE|yF| （ +3）（at +3a）S AEF SABC解得：tat3a点 F 的坐标为（ ， ）（3）BCD 中 CD 边上的高存在最大值设直线 BD 与 y 轴交点为点 Pyax 2+2ax3aa（x+1 ） 24a顶点 D（1，4a）设直线 BD 解析式为：ycx+d 解得：P（0，2a）PC2a（3a）aS BCD S BCP +SCDP PC|xB|+ PC|xD| PC|xBx D| （1+1）a设BCD 中 CD 边上的高为 hCD ，S BCD CDhh0ah 21 即 h1当 a 时，h 取得最大值为 1，二次函数表达式为：y x2+ x