1、2019 年福建省泉州市中考数学一模试卷一、选择题：每小题 4 分，共 40 分1在1、2、 、 这四个数中，无理数是（ ）A1 B2 C D2下列运算结果为 a3的是（ ）A a+a+a B a5 a2 C aaa D a6a23一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）A BC D4人体中红细胞的直径约为 0.0000077m，将数 0.0000077 用科学记数法表示为（ ）A7710 5 B0.7710 7 C7.710 6 D7.710 75下列事件中，是必然事件的是（ ）A从装有 10 个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球B抛掷一枚普通正方体骰子所得的点数小于 7C抛掷
2、一枚普通硬币，正面朝上D从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张牌，恰好是方块6小王和小丽下棋，小王执圆子，小丽执方子，如图是在直角坐标系中棋子摆出的图案，若再摆放一圆一方两枚棋子，使 9 枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则这两枚棋子的坐标分别是（ ）A圆子（2，3） ，方子（1，.3） B圆子（1，3） ，方子（2，3）C圆子（2，3） ，方子（4，0） D圆子（4，0） ，方子（2，3）7关于 x 的方程 x2 mx10 根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C没有实数根 D不能确定8一次函数 y2 x+1 的图象不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象
3、限 D第四象限9如图，抛物线 y ax2+bx+c（ a0）过原点 O，与 x 轴另一交点为 A，顶点为 B，若AOB 为等边三角形，则 b 的值为（ ）A B2 C3 D410如图，点 E 为 ABC 的内心，过点 E 作 MN BC 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，若AB7， AC5， BC6，则 MN 的长为（ ）A3.5 B4 C5 D5.5二、填空题：每小题 4 分，共 24 分11计算：（ ） 1 +（ 1） 0 12若一组数据 1、3、 x、5、8 的众数为 8，则这组数据的中位数为 13在五边形 ABCDE 中，若 A+ B+ C+ D440，则 E 14若 是方程组
4、的解，则 a+4b 15如图， PA 切 O 于点 A，点 B 是线段 PO 的中点，若 O 的半径为 ，则图中阴影部分的面积为 16在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，0） ，点 B 为 y 轴上的一动点，将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90得线段 BC，若点 C 恰好落在反比例函数 y 的图象上，则点 B 的坐标为 三、解答题：本大题共 9 小题，共 86 分17 （8 分）解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来18 （8 分）先化简，再求值：（ a+ ） ，其中 a219 （8 分）如图，在 ABC 中， AB AC， CD AB 于点 D， BE AC 于点 E求证： BD
5、CE20 （8 分） 杨辉算法中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60步，问它的长比宽多了多少步？21 （8 分）如图，在 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O， AC BC 于点 C，将 ABC 沿 AC 翻折得到 AEC，连接 DE（1）求证：四边形 ACED 是矩形；（2）若 AC4， BC3，求 sin ABD 的值22 （10 分）电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响，某品牌电脑专营店设有甲、乙两家分店，均销售 A、 B、 C、 D 四种款式的电脑，每种款式电
6、脑的利润如表 1 所示现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的 50 台电脑的款式，统计各种款式电脑的销售数量，如表 2 所示表 1：四种款式电脑的利润电脑款式 A B C D利润（元/台） 160 200 240 320表 2：甲、乙两店电脑销售情况电脑款式 A B C D甲店销售数量（台） 20 15 10 5乙店销售数量（台）8 8 10 14 18试运用统计与概率知识，解决下列问题：（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于 240 元的概率为 ；（2）经市场调查发现，甲、乙两店每月电脑的总销量相当现由于资金限制，需对其中一家分店作出暂停营业的决定，若从每台电脑的平
7、均利润的角度考虑，你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定？并说明理由23 （10 分）在平面直角坐标系中，反比例函数 y （ x0， k0 图象上的两点（ n，3 n） 、 （ n+1，2 n） （1）求 n 的值；（2）如图，直线 l 为正比例函数 y x 的图象， 点 A 在反比例函数y （ x0， k0）的图象上，过点 A 作 AB l 于点 B，过点 B 作 BC x 轴于点 C，过点 A 作 AD BC 于点 D，记 BOC 的面积为 S1， ABD 的面积为 S2，求 S1 S2的值24 （13 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上一动点（不与点 C 重合）对角线
8、AC 与BD 相交于点 O，连接 AE，交 BD 于点 G（1）根据给出的 AEC，作出它的外接圆 F，并标出圆心 F（不写作法和证明，保留作图痕迹） ；（2）在（1）的条件下，连接 EF求证： AEF DBC；记 t GF2+AGGE，当 AB6， BD6 时，求 t 的取值范围25 （13 分）如图，二次函数 y x2+bx3 的图象与 x 轴分别相交于 A、 B 两点 ，点 B 的坐标为（3，0） ，与 y 轴的交点为 C，动点 T 在射线 AB 上运动，在抛物线的对称轴 l 上有一定点 D，其纵坐标为 2 ， l 与 x 轴的交点为 E，经过 A、 T、 D 三点作 M（1）求二次函数
9、的表达式；（2）在点 T 的运动过程中， DMT 的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由；若 MT AD，求点 M 的坐标；（3）当动点 T 在射线 EB 上运动时，过点 M 作 MH x 轴于点 H，设 HT a，当 OH x OT时，求 y 的最大值与最小值（用含 a 的式子表示） 参考答案一、选择1在1、2、 、 这四个数中，无理数是（ ）A1 B2 C D【分析】分别根据无理数、有理数的定义 即可判定选择项【解答】解： 是无理数，2，1 是有理数，故选： D【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数如 ， ，0.808
10、0080008（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式2下列运算结果为 a3的是（ ）A a+a+a B a5 a2 C aaa D a6a2【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项法则；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断即可得解【解答】解： A、 a+a+a3 a，故本选项错误；B、 a5 a2不能计算，故本选项错误；C、 aaa a3，故本选项正确；D、 a6a2 a62 a4，故本选项错误故选： C【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项法则，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键3一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）A BC D
11、【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱故选： C【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱4人体中红细胞的直径约为 0.0000077m，将数 0.0000077 用科学记数法表示为（ ）A7710 5 B0.7710 7 C7.710 6 D7.710 7【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数
12、左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.00000777.710 6 ，故选： C【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中1| a|10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定5下列事件中，是必然事件的是（ ）A从装有 10 个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球B抛掷一枚普通正方体骰子所得的点数小于 7C抛掷一枚普通硬币，正面朝上D从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张牌，恰好是方块【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可【解答】解： A、从装有 10 个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球是不可
13、能事件；B、抛掷一枚普通正方体骰子所得的点数小于 7 是必然事件；C、抛掷一枚普通硬币，正面朝上是随机事件；D、从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张牌，恰好是方块是随机事件；故选： B【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件6小王和小丽下棋，小王执圆子，小丽执方子，如图是在直角坐标系中棋子摆出的图案，若再摆放一圆一方两枚棋子，使 9 枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则这两枚棋子的坐标分别是（ ）A圆子（2，3） ，方子
14、（1，.3） B圆子（1，3） ，方子（2，3）C圆子（2，3） ，方子（4，0） D圆子（4，0） ，方子（2，3）【分析】首先根据各选项棋子的位置，进而结合轴对称图形和中心对称图形的性质判断得出即可【解答】解：如图所示：9 枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，这两枚棋子的坐标分别是圆子（2，3） ，方子（1，.3） ，故选： A【点评】此题主要考查了坐标确定位置以及轴对称图形与中心对称图形的性质，利用已知确定各点位置是解题关键7关于 x 的方程 x2 mx10 根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C没有实数根 D不能确定【分析】先计算（ m） 241（1
15、） m2+4，由于 m2为非负数，则 m2+40，即0，根据一元二次方程 ax2+bx+c0（ a0）的根的判别式 b24 ac 的意义即可判断方程根的情况【解答】解：（ m） 241（1） m2+4， m20， m2+40，即0，方程有两个不相等的实数根故选： A【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（ a0）的根的判别式 b24 ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根8一次函数 y2 x+1 的图 象不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】先根据一次函数 y2 x+1 中 k2， b1 判断出函数图象经
16、过的象限，进而可得出结论【解答】解：一次函数 y2 x+1 中 k20， b10，此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限故选： C【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数 y kx+b（ k0）中，当k0， b0 时，函数图象经过一、二、四象限9如图，抛物线 y ax2+bx+c（ a0）过原点 O，与 x 轴另一交点为 A，顶点为 B，若AOB 为等边三角形，则 b 的值为（ ）A B2 C3 D4【分析】根据已知求出 B（ ， ） ，由 AOB 为等边三角形，得到 tan60（ ） ，即可求解；【解答】解：抛物线 y ax2+bx+c（ a0）过原点 O， c0，B（ ， ）
17、 ， AOB 为等边三角形， tan60（ ） ， b2 ；故选： B【点评】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键10如图，点 E 为 ABC 的内心，过点 E 作 MN BC 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，若AB7， AC5， BC6，则 MN 的长为（ ）A3.5 B4 C5 D5.5【分析】连接 EB、 EC，如图，利用三角形内心的性质得到12，利用平行线的性质得23，所以13，则 BM ME，同理可得 NC NE，接着证明 AMN ABC，所以 ，则 BM7 MN，同理可得 CN5 MN，把两式相加得到 MN
18、的方程，然后解方程即可【解答】解：连接 EB、 EC，如图，点 E 为 ABC 的内心， EB 平分 ABC， EC 平分 ACB，12， MN BC，23，13， BM ME，同理可得 NC NE， MN BC， AMN ABC， ，即 ，则 BM7 MN，同理可得 CN5 MN，+得 MN122 MN， MN4故选： B【点评】本题考查了三角形的内切圆与内哦心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点也考查了相似三角形的判定与性质二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共
19、24 分11计算：（ ） 1 +（ 1） 0 3 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式2+13故答案为：3【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键12若一组数据 1、3、 x、5、8 的众数为 8，则这组数据的中位数为 5 【分析】根据众数和中位数的概念求解【解答】解：数据 1、3、 x、5、8 的众数为 8， x8，则数据重新排列为 1、3、5、8、8，所以中位数为 5，故答案为：5【点 评】本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于
20、中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数13在五边形 ABCDE 中，若 A+ B+ C+ D440，则 E 100 【分析】首先利用多边形的外角和定理求得正五边形的内角和，然后减去已知四个角的和即可【解答】解：正五边形的内角和为（52）180540， A+ B+ C+ D440， E540440100，故答案为：100【点评 】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键14若 是方程组 的解，则 a+4b 6 【分析】方程组两方程相加求出 x+4y 的值，将 x 与 y 的值代入即可求出值【解答】解： ，+得： x+4
21、y6，把 代入方程得： a+4b6，故答案为：6【点评】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键15如图， PA 切 O 于点 A，点 B 是线段 PO 的中点，若 O 的半径为 ，则图中阴影部分的面积为 【分析】阴影部分的面积等于三角形 OAP 的面积减去扇形 AOB 的面积【解答】解：如图，连接 OA， AB PA 切 O 于点 A， OAP90，点 B 是线段 PO 的中点， AB 是直角三角形 OAP 斜边上的中线， AB OB， OB OA， AB OA OB， OAB 是等边三角形， AOB60， OA ， OP2 ， AP 3， OAP 的面积 ，扇形 AOB
22、 的面积 ，图中阴影部分的面积为 故答案为： 【点评】本题考查了切线的性质定理以及 30的直角三角形的性质，三角形面积和扇形面积的计算等知识关键是熟练运用扇形的面积计算公式，能够明确阴影部分的面积等于三角形 OAP 的面积减去扇形 AOB 的面积16在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，0） ，点 B 为 y 轴上的一动点，将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90得线段 BC，若点 C 恰好落在反比例函数 y 的图象上，则点 B 的坐标为 （0，1）或（0，3） 【分析】设 B（0， n） ，根据旋转的性质可以得到 CD OB n， BD OA4，得到点 C 的坐标是（ n， n4） ，即
23、可得到 n（ n4）3，从而求得点 B 的坐标【解答】解：设 B（0， n） ，点 A 的坐标为（4，0） ，将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90得线段 BC，若点 C 恰好落在反比例函数 y 的图象上，易证 AOB BDC，设 B（0， n） ， CD OB n， BD OA4，点 C 的坐标是（ n， n4） ， C 恰好落在反比例函数 y 的图象上， n（ n4）3，解得 n1，3，点 B 的坐标是（0，1）或（0，3） ，故答案为（0，1）或（0，3） 【点评】本题考查反比例函数的性质、坐标与图形的变化旋转，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答三
24、、解答题：本大题共 9 小题，共 86 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （8 分）解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来【分析】分 别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 x+42，得： x2，解不等式 2x3+3 x，得： x3，则不等式组的解集为2 x3，将解集表示在数轴上如下 ：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键18 （8 分）先化简，再求值：（ a+ ） ，其中 a2【
25、分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将 a 的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（ a+ ） ，当 a2 时，原式 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法19 （8 分）如图，在 ABC 中， AB AC， CD AB 于点 D， BE AC 于点 E求证： BD CE【分析】根据垂直的定义可得 BDC CEB90，根据等腰三角形的性质可得 ABC ACB，再有公共边 BC，利用 AAS 可得 BCD CBE，据此可得 BD CE【解答】证明： CD AB， BE AC， BDC CEB90， AB AC， ABC ACB，在 BCD 和
26、 CBE 中， BDC CEB， DBC ECB， BC CB， BCD CBE（ AAS） ， BD CE【点评】本题考查了全等三角形的判定及等腰三角形的性质；三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件20 （8 分） 杨辉算法中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60步，问它的长比宽多了多少步？【分析】设矩形的长为 x 步，则宽为（60 x）步，根据题意列出
27、方程，求出方程的解即可得到结果【解答】解：设矩形的长为 x 步，则宽为（60 x）步，依题意得： x（60 x）864，整理得： x260 x+8640，解得： x36 或 x24（不合题意，舍去） ，60 x603624（步） ，362412（步） ，则该矩形的长比宽多 12 步【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键21 （8 分）如图，在 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O， AC BC 于点 C，将 ABC 沿 AC 翻折得到 AEC，连接 DE（1）求证：四边形 ACED 是矩形；（2）若 AC4， BC3，求 sin ABD 的值【分析】 （1
28、）根据 ABCD 中， AC BC，而 ABC AEC，不难证明；（2）依据已知条件，在 ABD 或 AOC 作垂线 AF 或 OF，求出相应边的长度，即可求出 ABD 的正弦值【解答】 （1）证明：将 ABC 沿 AC 翻折得到 AEC， BC CE， AC CE，四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， AD BC， AD CE， AD CE， 四边形 ACED 是平行四边形， AC CE，四边形 ACED 是矩形（2）解：方法一、如图 1 所示，过点 A 作 AF BD 于点 F， BE2 BC236， DE AC4，在 Rt BDE 中，BD 2 ， S BDE DEAD AFB
29、D， AF ，Rt ABC 中， AB 5，Rt ABF 中，sin ABFsin ABD 方法二、如图 2 所示，过点 O 作 OF AB 于点 F，同理可得， OB BD ， S AOB OFAB OABC， OF ，在 Rt BOF 中，sin FBO ，sin ABD 【点评】本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出 sin ABD22 （10 分）电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响，某品牌电脑专营店设有甲、乙两家分店，均销售 A、 B、 C、 D 四种
30、款式的电脑，每种款式电脑的利润如表 1 所示现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的 50 台电脑的款式，统计各种款式电脑的销售数量，如表 2 所示表 1：四种款式电脑的利润电脑款式 A B C D利润（元/台） 160 200 240 320表 2：甲、乙两店电脑销售情况电脑款式 A B C D甲店销售数量（台） 20 15 10 5乙店销售数量（台）8 8 10 14 18试运用统计与概率知识，解决下列问题：（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于 240 元的概率为 ；（2）经市场调查发现，甲、乙两店每月电脑的总销量相当现由于资金限制，需对其中一家分店作出暂停营业的
31、决定，若从每台电脑的平均利润的角度考虑，你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定？并说明理由【分析】 （1）用利润不少于 240 元的数量除以总数量即可得；（2）先计算出每售出一台电脑的平均利润值，比较大小即可得【解答】解：（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于 240 元的概率为 ，故答案为： ；（2）甲店每售出一台电脑的平均利润值为204（元） ，乙店每售出一台电脑的平均利润值为 248（元），248204，乙店每售出一台电脑的平均利润值大于甲店；又两店每月的总销量相当，应对甲店作出暂停营业的决定【点评】本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握概率所求情况数与总情况数之
32、比及加权平均数的定义23 （10 分）在平面直角坐标系中，反比例函数 y （ x0， k0 图象上的两点（ n，3 n） 、 （ n+1，2 n） （1）求 n 的值；（2）如图，直线 l 为正比例函数 y x 的图象，点 A 在反比例函数y （ x0， k0）的图象上，过点 A 作 AB l 于点 B，过点 B 作 BC x 轴于点 C，过点 A 作 AD BC 于点 D，记 BOC 的面积为 S1， ABD 的面积为 S2，求 S1 S2的值【分析】 （1）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 n3n（ n+1）2 n，然后解方程可得 n 的值；（2）设 B（ m， m） ，利用 OBC
33、为等腰直角三角形得到 OBC45，再证明 ABD 为等腰直角三角形，则可设 BD AD t，所以 A（ m+t， m t） ，把 A（ m+t， m t）代入 y中得到 m2 t212，然后利用整体代入的方法计算 S1 S2【解答】解：（1）反比例函数 y （ x0， k0 图象上的两点（ n，3 n ） 、（ n+1，2 n） n3n（ n+1）2 n，解得 n2 或 n0（舍去） ， n 的值为 2；（2）反比例函数解析式为 y ，设 B（ m， m） ， OC BC m， OBC 为等腰直角三角形， OBC45， AB OB， ABO90， ABC45， ABD 为等腰直角三角形，设 B
34、D AD t，则 A（ m+t， m t） ， A（ m+t， m t）在反比例函数解析式为 y 上，（ m+t） （ m t）12， m2 t212， S1 S2 m2 t2 126【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义：在反比例函数 y （ k0）图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|也考查了反比例函数的性质24 （13 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上一动点（不与点 C 重合）对角线 AC与 BD 相交于点 O，连接 AE，交 BD 于点 G（1）根据给出的 AEC，作出它的外接圆 F，并标出圆心 F
35、（不写作法和证明，保留作图痕迹） ；（2）在（1）的条件下，连接 EF求证： AEF DBC；记 t GF2+AGGE，当 AB6， BD6 时，求 t 的取值范围【分析】 （1）作 EC 的垂直平分线，其与 BD 的交点即为外心 F；（2）连接 AF， EF，利用菱形的性质及外心的定义可证明 DBC90 ACB 及 AEF90 ACB，可推出结论；（3）先证 ABG FEG，再证 EFB GFE，由相似三角形的性质可推出t GF2+AGGE GF2+GFBG GF（ GF+BG） GFBF EF2，在菱形 ABCD 中，AC BD， EF AF AO， EF2 AO23 29，当点 F 与点
36、 O 重合时， AF 最大，求出此时t 的最大值为 12，即可写出 t 的取值范围【解答】解：（1）如图 1， F 为所求作的圆；（2）证明：如图 2，连接 AF， EF，四边形 ABCD 为菱形， AC BD， DBC90 ACB， FA FE， AEF FAE， AEF （180 AFE）90 AFE，又 ACB AFE， AEF90 ACB，又 DBC90 ACB， AEF DBC；解：四边形 ABCD 为菱形， ABD CBD， AO CO， BO DO BD 6 3 ，在 Rt ABO 中， AO 3，又 AGB FGE， ABG FEG， ABG FEG， ， AGGE GFBG，
37、 GEF FBE， GFE EFB， EFB GFE， ， GFBF EF2， t GF2+AGGE GF2+GFBG GF（ GF+BG） GFBF EF2，在菱形 ABCD 中， AC BD， EF AF AO， EF2 AO23 29，如图 3，当点 F 与点 O 重合时， AF 最大，由题意可知： AF BF，设 AF x，则 OF3 x， AO2+OF2 AF2，3 2+（3 x） 2 x2，解得， x2 ，当 x2 时， t 的最大值为 12，9 t12【点评】本题考查了尺规作图，外接圆的定义，菱形的性质，相似三角形的判定与性质等，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键25 （13
38、分）如图，二次函数 y x2+bx3 的图象与 x 轴分别 相交于 A、 B 两点，点 B 的坐标为（3，0） ，与 y 轴的交点为 C，动点 T 在射线 AB 上运动，在抛物线的对称轴 l 上有一定点 D，其纵坐标为 2 ， l 与 x 轴的交点为 E，经过 A、 T、 D 三点作 M（1）求二次函数的表达式；（2）在点 T 的运动过程中， DMT 的 度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由；若 MT AD，求点 M 的坐标；（3）当动点 T 在射线 EB 上运动时，过点 M 作 MH x 轴于点 H，设 HT a，当 OH x OT时，求 y 的最大值与最小值（用含 a 的
39、式子表示） 【分析】 （1）把点 B 的坐标代入抛物线解析式求得系数 b 的值即可；（2）如图 1，连接 AD构造 Rt AED，由锐角三角函数的定义知，tan DAE 即 DAE60，由圆周角定理推知 DMT2 DAE120；如图 2，由已知条件 MT AD， MT MD，推知 MD AD，根据 ADT 的外接圆圆心 M在 AD 的中垂线上，得到：点 M 是线段 AD 的中点时，此时 AD 为 M 的直径时，MD AD根据点 A、 D 的坐标求得点 M 的坐标即可；（3）如图 3，作 MH x 于点 H，则 AH HT AT易得 H（ a1，0） ，T（2 a1，0） 由限制性条件 OH x
40、 OT、动点 T 在射线 EB 上运动可以得到：0 a1 x2 a1需要分类讨论：（ i）当 ，即 1 ，根据抛物线的增减性求得 y 的极值（ ii）当 ，即 a2 时，根据抛物线的增减性求得 y 的极值（ iii）当 a11，即 a2 时，根据抛物线的增减性求得 y 的极值【解答】解：（1）把点 B（3，0）代入 y x2+bx3，得 32+3b30，解得 b2，则该二次函数的解析式为： y x22 x3；（2） DMT 的度数是定值理由如下：如图 1，连接 AD抛物线 y x22 x3（ x1） 24抛物线的对称轴是直线 x1又点 D 的纵坐标为 2 ， D（1，2 ） 由 y x22 x
41、3 得到： y（ x3） （ x+1） ， A（1，0） ， B（3，0） 在 Rt AED 中，tan DAE DAE60 DMT2 DAE120在点 T 的运动过程中， DMT 的度数是定值；如图 2， MT AD又 MT MD， MD AD ADT 的外接圆圆心 M 在 AD 的中垂线上，点 M 是线段 AD 的中点时，此时 AD 为 M 的直径时， MD AD A（1，0） ， D（1，2 ） ，点 M 的坐标是（0， ） （3）如图 3，作 MH x 于点 H，则 AH HT AT又 HT a， H（ a1，0） ， T（2 a1，0） OH x OT，又动点 T 在射线 EB 上运
42、动， 0 a1 x2 a10 a12 a1 a1，2 a11（ i）当 ，即 1 时，当 x a1 时， y 最大值 （ a1） 22（ a1）3 a24 a；当 x1 时， y 最小值 4（ ii）当 ，即 a2 时，当 x2 a1 时， y 最大值 （2 a1） 22（2 a1）34 a28 a当 x1 时， y 最小值 4（ iii）当 a11，即 a2 时，当 x2 a1 时， y 最大值 （2 a1） 22（2 a1）34 a28 a当 x a1 时， y 最小值 （ a1） 22（ a1）3 a24 a【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系；另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解