1、2019 年广东省佛山市南海中学等七校联合体高考数学冲刺试卷（文科） （5 月份）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A1， 2，3，5，7 ，BxN|2 x6，全集 UAB，则UB（ ）A1 ，2，7 B1 ，7 C2 ，3，7 D2 ，72 （5 分）已知平面向量 ， ，则向量 的模是（ ）A B C D53 （5 分） “x0”是“x 0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，
2、计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的张邱建算经 ，该问题的答案是（ ）A90 尺 B93 尺 C95 尺 D97 尺5 （5 分）若函数 为奇函数，则 f（g（2） ）（ ）A2 B1 C0 D26 （5 分）从装有大小材质完全相同的 3 个红球和 3 个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ）A B C D7 （5 分）已知 p 为直线 x+y20 上的点，过点 p 作圆 O：x 2+y21 的切线，切点为M，N ，若MPN90，则这样的点 p 有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D无数个8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为
3、 1，则该几何体的体积是（ ）A B C D9 （5 分）已知函数 的周期为 ，当 时，方程 f（x ）m 恰有两个不同的实数解 x1，x 2，则 f（x 1+x2）（ ）A2 B1 C1 D210 （5 分）中国古代数学著作算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等意思是现有松树高 5 尺，竹子高 2 尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 x5，y2，输出的 n 为 4，则程序框图中的 中应填（ ）Ayx Byx Cxy Dx y11 （5 分）已知函
4、数 f（x ）e x 2xa，若曲线 yx 3+x+1（x1，1 ）上存在点（x 0，y 0）使得 f（y 0）y 0，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，e 3 9e+3，+） B e3 9，e+3C （e 39， e2+6） D （， e3 9）（e+3，+）12 （5 分）在四面体 ABCD 中， ，BC6，AD底面 ABC，DBC 的面积是6，若该四面体的顶点均在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是（ ）A24 B32 C46 D49二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）复数 z 满足（12i）z7+i ，则复数 z 的共轭复数 14 （5 分）已知实数 x
5、，y 满足约束条件 则 的最大值等于 15 （5 分）是 P 为双曲线 上的点，F 1，F 2 分别为 C 的左、右焦点，且 PF2 F1F2，PF 1 与 y 轴交于 Q 点，O 为坐标原点，若四边形 OF2PQ 有内切圆，则 C 的离心率为 16 （5 分）数列a n满足 若 a134，则数列a n的前 100项的和是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ccosB+bcosC2acosA（1）求 A；（2）若 a2，且ABC 的面积为 ，求ABC 的周长18如图，三棱柱
6、ABCA 1B1C1 中，BCA90，AC 1平面 A1BC（1）证明：平面 ABC平面 ACC1A1；（2）若 BCAC2，A 1AA 1C，求点 B1 到平面 A1BC 的距离19某大型商场去年国庆期间累计生成 2 万张购物单，从中随机抽出 100 张，对每单消费金额进行统计得到下表：消费金额（单位：元）（0，200 （200，400 （400，600 （600，800 （800，1000购物单张数 25 25 30 ？ ？由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等用频率估计概率，完成下列问题：（
7、1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过 800 元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过 600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值 500 元、200元、100 元的奖品已知中奖率为 100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为 若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长 5%，式预测商场今年国庆期间采办奖品的开销20已知抛物线 E：x 24y 的焦点为 F，P（a，0）为 x 轴上的点（1）过点 P 作直线 l 与 E 相切，求切线 l 的方程；（2）如果存
8、在过点 F 的直线 l与抛物线交于 A，B 两点，且直线 PA 与 PB 的倾斜角互补，求实数 a 的取值范围21已知函数 f（x ）axa+lnx（1）讨论函数 f（x ）的单调性；（2）当 x（1 ，+）时，曲线 yf（x ）总在曲线 ya（x 21）的下方，求实数 a 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C 的极坐标方程为 ，P 为曲线 C 上的动点，C 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点（1）求线段
9、 OP 中点 Q 的轨迹的参数方程；（2）若 M 是（1）中点 Q 的轨迹上的动点，求MAB 面积的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +2|2| x1|（1）解不等式 f（x ）1；（2）若关于 x 的不等式 f（x）ax 只有一个正整数解，求实数 a 的取值范围2019 年广东省佛山市南海中学等七校联合体高考数学冲刺试卷（文科） （5 月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 【解答】解：集合 A1， 2，3，5，7 ，B xN|2x63，4，5，6 ，全集 UAB1 ，2，3，4
10、 ，5，6，7，则 UB1，2 ，7故选：A2 【解答】解：向量 ， ，向量 （2，2） ，| | 2 故选：C3 【解答】解：当 x1 时，满足 x0，当 x0 不成立，即充分性不成立，若 x0，则 x0 一定成立，即必要性成立，即“x0”是“x 0”的必要不充分条件，故选：B4 【解答】解：女子织布成等差数列，首项为 a1，由题意可得 a15，a n1，n30，则 S30 30（5+1）90，故选：A5 【解答】解：设 x0，则x0，故 f（x）2 x2f（x） ，故 x0 时，f（ x）22 x，由 g（2）f（2）24 2，故 f（g（2） ）f（2）f（2）2，故选：D6 【解答】解
11、：从装有大小材质完全相同的 3 个红球和 3 个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，基本事件总数 n 15，两个小球同色包含的基本事件个数 m 6，两个小球同色的概率是 p 故选：C7 【解答】解：圆 O：x 2+y21 圆的半径为 1，圆的圆心（0，0）到直线 x+y20 的距离为： ，垂足就是 P，满足 p 为直线 x+y20 上的点，过点 p 作圆O：x 2+y21 的切线，切点为 M，N ，若MPN90 ，所以 P 只有一个故选：B8 【解答】解：由题意可知：几何体是上面是半圆锥，下部是半个圆柱，底面半径是 2，圆柱的高为 4，圆锥的高为 2，几何体的体积为： 故选：A9 【解答】解
12、：f（x ） 2sin（ ） 由 T ，得 2f（x）2sin（2x + ） 作出函数 f（x）在 上的图象如图：由图可知，x 1+x2 ，f（x 1+x2）2sin （ ）2 1故选：B10 【解答】解：模拟程序的运行，可得x5，y2，n1x ，y4不满足条件，执行循环体，n2，x ，y8，此时，xy，不满足条件，执行循环体，n3，x ，y16，此时，xy，不满足条件，执行循环体，n4，x ，y32，此时，xy，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出 n 的值为 4可得程序框图中的 中应填 xy？故选：C11 【解答】解：yx 3+x+1 在1，1上是增函数，1y 03由 f（y 0）y
13、 0 可得 a 3y 0，令 g（x）e x 3x （1x3） ，显然 g（x）为减函数，g（x）的最小值为 g（3）e 3 9，最大值为 g（1）e+3a 的范围是e 3 9，e+3故选：B12 【解答】解：取 CD 的中点 E，连结 AE，DE，在四面体 ABCD 中，AD 平面 BCA， ，AEBC，DEBC，DBC 的面积是 6，BC 6，DE2，AEAD1AH AD设底面 ABC 的外接圆的圆心为 G，可得外接圆半径 r2 作 OGAB 交 AB 的中垂线 HO 于 O，O 为外接球的中心，半径为 ROA可得：OA 2AH 2+AG2，即 R2四面体 ABCD 外接球的表面积为：4
14、R249故选：D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 【解答】解：（12i） z7+i ，z 1+3i共轭复数 13i故答案为：13i14 【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，验证知在点 A（2，1）时，z1x+y2 取得最小值3，z 最大是 8，故答案为：815 【解答】解：F 1（c ，0） ，F 2（c ，0） ，P（c， ） ，直线 PF1 的方程为 y x+ ，即 b2x2acy+ b2c0，四边形 OF2PQ 的内切圆的圆心为 M（ ， ） ，半径为 ，M 到直线 PF1 的距离 d ，化简得：9b 212abcb 40，令 b1 可得 ac ，又 c2a 21，
15、a ，c e 2故答案为：216 【解答】解：数列a n满足 ，a 134，a 2 17，a 33a 2+1317+152，a 4 26，a 5 13，a 63a 5+140，a 7 20，a 8 10，a 9 5，a 103a 9+116，a11 8，a 12 4，a 13 2，a 14 1，同理可得：a154，a 162，a 171，可得此数列从第 12 项开始为周期数列，周期为 3则数列a n的前 100 项的和（a 1+a2+a11）+ a12+a13+29（a 14+a15+a16）（34+17+52+26+13+40+20+10+5+16+8）+4+2+29（1+4+2）450故答
16、案为：450三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 【解答】解：（1）ccosB+bcos C2acos A，sinCcosB+sin BcosC2sin AcosAsin（B+C） 2sinAcosA，sinA2sinAcosAA（0，） ，sinA0， ， （2）ABC 的面积为 ， ，bc4由 a2， 及 a2b 2+c22bccosA，得 4b 2+c24，b 2+c28又 bc4，bc2故其周长为 618 【解答】 （1）证明：AC 1平面 A1BC，AC 1BCBCA90，BCAC，BC平面 ACC1A1又 BC平面 ABC，平
17、面 ABC平面 ACC1A1（2）解：取 AC 的中点 D，连接 A1DA 1AA 1C， A 1DAC又平面 ABC平面 ACC1A1，且交线为 AC，则 A1D平面 ABCAC 1平面 A1BC，AC 1 A1C，四边形 ACC1A1 为菱形， AA1AC 又 A1AA 1C， A 1AC 是边长为 2 正三角形， 设点 B1 到平面 A1BC 的距离为 h则 又 ， 所以点 B1 到平面 A1BC 的距离为 19 【解答】解：（1）因消费在区间（0，400的频率为 0.5，故中位数估计值即为 400设所求概率为 p，而消费在（0，600的概率为 0.8故消费在区间（600，800内的概率
18、为 0.2p因此消费额的平均值可估计为 1000.25+3000.25+5000.3+700（0.2p）+900p令其与中位数 400 相等，解得 p0.05故单笔消费额超过 800 元的概率为 0.05（2）设等比数列公比为 q（q0） ，根据题意 ，即 q2+q200，解得 q4故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为 ， ， 今年的购物单总数约为 200001.0521000其中具有抽奖资格的单数为 21000（0.15+0.05）4200，故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为 200，800，3200于是，采购奖品的开销可估计为 200500+800200+3200100580000
19、（元） 20 【解答】解：（1）设切点为 ，则 Q 点处的切线方程为 l 过点 P， ，解得 x02a 或 x00当 a0 时，切线 l 的方程为 y0，当 a0 时，切线 l 的方程为 axya 20（2）设直线 l的方程为 ykx+1 ，代入 x24y 得 x24kx40设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x24k ，x 1x24由已知得 ，即 ，2kx 1x2+（1ka） （x 1+x2）2a0把代入 得 2ak2+2k+a0 ，当 a0 时，显然成立，当 a0 时，方程有解，48a 20，解得 ，且 a0综上， 21 【解答】解：（1）由 f（ x）axa+l
20、nx 可得 f（x ）的定义域为（0，+） ，且，若 a0，则 f（x ）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增；若 a0，则当 时，f（x ）0，f（x）在 上单调递增，当 时，f（x ）0，f（x）在 上单调递减综上，当 a0 时，函数 f（x）在（0，+）上单调递增；当 a0 时，f（x ）在 上单调递增，在 上单调递减（2）解法一：原命题等价于不等式 a（x 21）axa+lnx 在 x（1，+）上恒成立，即证 lnx+axax 20 在 x（1，+）上恒成立，令 F（x ）lnx+ax ax 2，则 F（1）0， ，设 ，（i）当 a0 时，g（x ）在（1，+）上单调递增，又g（
21、1）1a0，当 x（1，+）时，g（x）0 恒成立，即 F（x）0 恒成立F（x ）0，与题意不符，舍去（ii）当 a0 时，若 F（x ） 0 在 x（1，+）上恒成立，只需 F（x）在（ 1，+ ）上单调递减，即 g（x）0 在（1，+）上恒成立又g（x）在 上单调递减，g（1）1a0，即 a1解法二：原命题等价于不等式 a（x 21）axa+lnx 在 x（1，+）上恒成立，即x（1，+） ，不等式 a（x 2x）lnx 恒成立当 x1 时，x 2x 0， ，即证当 x1 时，a 大于 的最大值又当 x1 时，0lnx x 1x（x1） ， ，综上所述，a1请考生在 22、23 两题中任
22、选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 【解答】解：（1）由 C 的方程可得 2+32sin216，又 2x 2+y2，ysin，C 的直角坐标方程为 x2+4y216，即 设 P（4cos，2sin ） ，则 Q（2cos，sin ） ，点 Q 的轨迹的参数方程为 （ 为参数） （2）由（1）知点 Q 的轨迹的普通方程为 ，A（4，0） ，B （0，2） ， ，所以直线 AB 的方程为 x+2y40设 M（2cos ，sin ） ，则点 M 到 AB 的距离为 ，MAB 面积的最大值为 选修 4-5：不等式选讲23 【解答】解：（1）当 x2 时，x 41，解得 x5，x2；当2x1 时，3x 1，解得 ， ；当 x1 时，x +41，解得 x3，x3综上，不等式的解集为 （2）作出函数 yf（x）与 yax 的图象，由图象可知当 1a3 时，不等式只有一个正整数解 x1，1a3