1、2019 年广东省汕头市龙湖区中考数学一模试卷一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.1 （3 分）2019 的相反数是（ ）A2019 B2019 C D2 （3 分）2018 年汕头市龙湖区的 GDP 总量约为 389 亿元，其中 389 亿用科学记数法表示为（ ）A3.8910 11 B 0.3891011 C3.8910 10D 38.910103 （3 分）如图是一个由 5 个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）A B C D4 （3 分）已知实数 a，b 在数轴上的
2、位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）Aab B| a| b| Cab0 Dab5 （3 分）如图，ABCD，D 42，CBA 64，则CBD 的度数是（ ）A42 B64 C74 D1066 （3 分）某篮球运动员在连续 7 场比赛中的得分（单位：分）依次为21，16，17，23，20，20，23，则这组数据的平均数与中位数分别是（ ）A20 分，17 分 B20 分，22 分 C20 分，19 分 D20 分，20 分7 （3 分）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A矩形 B平行四边形 C正五边形 D正三角形8 （3 分）下列运算正确的是（ ）Aa 2+a3a 5
3、Ba 2a3a 6C （a+b） 2a 2+b2 D （a 2） 3 a69 （3 分）已知一个多边形的内角和为 1080，则这个多边形是（ ）A九边形 B八边形 C七边形 D六边形10 （3 分）如图，等边ABC 的边长为 3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿 AB C 的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（s） ，yPC 2，则 y 关于 x的函数的图象大致为（ ）A BC D二、填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.）11 （4 分）要使分式 有意义，x 的取值应满足 12 （4 分）因
4、式分解：2x 28 13 （4 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n0 有一个根是 2，则 m+n 14 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，BC4，AC3，则 sinB 15 （4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABAD，C150，CD4，以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 E，则阴影部分的面积为 16 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，P 1OA1，P 2A1A2，P 3A2A3，都是等腰直角三角形，其直角顶点 P1（3，3） ，P 2，P 3，均在直线 y x+4 上，设P1OA1，P 2A1A2，P 3A2A3，的面积分别为 S1，S 2， S3，依据
5、图形所反映的规律，S2019 三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）17 （6 分）计算：|3|+（2019） 02sin30+（ ） 118 （6 分）先化简，再求值：（ ） ，其中 x 19 （6 分）如图，点 D 在 ABC 的 AB 边上（1）作BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法） ；（2）在（1）的条件下，若直线 DE 与直线 AC 平行，则ACDA 吗？为什么？四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）20 （7 分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书已知甲图书每本价格是乙图书每本
6、价格的2.5 倍，用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24 本（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2 倍多 8 本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过 1060 元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？21 （7 分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付
7、的扇形圆心角的度数为 ；（2）将条形统计图补充完整观察此图，支付方式的“众数”是“ ” ；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信” 、 “支付宝” 、 “银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率22 （7 分）在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直线上有两点 E、F 满足 BEDF，连接 AE、AF 、CE、CF，如图所示（1）求证：ABEADF；（2）试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由五、解答题（三） （本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）23 （9 分）如图，A（4，3）是反比例函数 y 在第
8、一象限图象上一点，连接 OA，过 A作 ABx 轴，截取 ABOA（B 在 A 右侧） ，连接 OB，交反比例函数 y 的图象于点P（1）求反比例函数 y 的表达式；（2）求点 B 的坐标及 OB 所在直线解析式；（3）求OAP 的面积24 （9 分）如图，在ABC 中，C90，ABC 的平分线交 AC 于点 E，过点 E 作 BE的垂线交 AB 于点 F， O 是BEF 的外接圆（1）求证：AC 是O 的切线；（2）过点 E 作 EHAB ，垂足为 H，求证：CDHF；（3）若 CD1，EH3，求 BF 及 AF 长25 （9 分）把 RtABC 和 RtDEF 按如图 摆放（点 C 与 E
9、 重合） ，点 B、C（E） 、F 在同一条直线上已知：ACBEDF90，DEF45，AC8，BC6，EF10如图 ，DEF 从图的位置出发，以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向ABC 匀速移动，在 DEF 移动的同时，点 P 从ABC 的顶点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 AB 向点 B 匀速移动；当点 P 移动到点 B 时，点 P 停止移动，DEF 也随之停止移动 DE 与 AC 交于点 Q，连接 PQ，设移动时间为 t（s） （1）DEF 在平移的过程中，APCE （用含 t 的代数式表示） ；当点 D 落在RtABC 的边 AC 上时，求 t 的值（2）在移动过程中，当 0t5
10、 时，连接 PE，设四边形 APEQ 的面积为 y，求 y 与 t 之间的函数关系式并试探究 y 的最大值；是否存在 PQE 为直角三角形？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由2019 年广东省汕头市龙湖区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.1 【解答】解：2019 的相反数是2019故选：B2 【解答】解：389 亿用科学记数法表示为 3.891010故选：C3 【解答】解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小
11、正方形，故选：B4 【解答】解：由数轴可得，2a10b1，ab，故选项 A 错误，|a|b| ，故选项 B 错误，ab0，故选项 C 错误，ab，故选项 D 正确，故选：D5 【解答】解：ABCD，ABCC64，在BCD 中，CBD180CD180644274，故选：C6 【解答】解：平均数（21+16+17+23+20+20+23）720（分） ，将这组数据从小到大的顺序排列为：16，17，20，20，21，23，23，处于中间位置的那个数是 30，中位数是 30 分故选：D7 【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿
12、这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转 180 度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误故选：A8 【解答】解：A、a 2+a3a 2+a3，错误；B、a 2a3a 5，错误；C、 （a+b） 2a 2+2ab+b2，错误；D、 （a 2） 3a 6，正确；故选：D9 【解答】解：根据 n 边形的内角和公式，得（n2）1801080，解得 n8这个多边形的边数是 8故选：B10 【解答】解：正ABC 的边
13、长为 3cm，AB C60，AC3cm当 0 x3 时，即点 P 在线段 AB 上时，APxcm（0x3） ；根据余弦定理知 cosA ，即 ，解得，yx 23x +9（0x3） ；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过 C 作 CDAB，则 AD1.5cm，CD cm，点 P 在 AB 上时， APxcm，PD|1.5x|cm，yPC 2（ ） 2+（1.5x） 2x 23x+9（0x3）该函数图象是开口向上的抛物线；当 3 x6 时，即点 P 在线段 BC 上时，PC （6x）cm（3x6） ；则 y（6x） 2（x 6） 2（3x6） ，该函数的图象是在 3x6 上的抛物线；故选：C二
14、、填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.）11 【解答】解：要使分式 有意义，则：x10解得：x1，故 x 的取值应满足：x 1故答案为：x112 【解答】解：2x 282（x+2） （x 2） 13 【解答】解：2（n0）是关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n0 的一个根，4+2m+2 n0，n+m 2，故答案为：214 【解答】解：C90 ，BC 4，AC3，AB5，sinB 故答案为：15 【解答】解：连接 OE，作 OHBE 于 H，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD4，ABC180C30，OEOB ，OEB
15、OBE30，OH OB 1，BOE120，由勾股定理得，BH ，阴影部分的面积 2 1 ，故答案为： 16 【解答】解：如图，分别过点 P1、P 2、P 3 作 x 轴的垂线段，垂足分别为点 C、D、E，P 1（3，3） ，且P 1OA1 是等腰直角三角形，OCCA 1P 1C3，设 A1Da，则 P2Da，OD6+a，点 P2 坐标为（6+a，a） ，将点 P2 坐标代入 y x+4，得： （6+a）+4a，解得：a ，A 1A22a3，P 2D ，同理求得 P3E 、A 2A3 ，S 1 639、S 2 3 、S 3 、S 2019 故答案为：三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题
16、6 分，共 18 分）17 【解答】解：|3|+（2019） 02sin30+（ ） 13+12 +33+11+3618 【解答】解：（ ） ，当 x 时，原式 +119 【解答】解：（1）如图所示：DE 即为所求；（2）ACDA直线 DE 与直线 AC 平行，理由：ABDE ，EDCACD，又BDECDE，ACDA四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）20 【解答】解：（1）设乙图书每本价格为 x 元，则甲图书每本价格是 2.5x 元，根据题意可得： 24，解得：x20，经检验得：x20 是原方程的根，则 2.5x50，答：乙图书每本价格为 20 元，则甲图书每
17、本价格是 50 元；（2）设购买甲图书本数为 x，则购买乙图书的本数为：2x+8，故 50x+20（2x +8）1060，解得：x10，故 2x+828，答：该图书馆最多可以购买 28 本乙图书21 【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）（115%30%）200人，则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 360 81，故答案为：200、81；（2）微信人数为 20030% 60 人，银行卡人数为 20015%30 人，补全图形如下：由条形图知，支付方式的“众数”是“微信” ，故答案为：微信；（3）将微信记为 A、支付宝记为 B、银行卡记为 C，画树状图如下：画树状图得：
18、共有 9 种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有 3 种，两人恰好选择同一种支付方式的概率为 22 【解答】证明：（1）正方形 ABCD，ABAD ，ABDADB，ABE ADF，在ABE 与ADF 中，ABE ADF（SAS） ；（2）连接 AC，四边形 AECF 是菱形理由：正方形 ABCD，OAOC，OBOD，ACEF，OB+ BEOD+DF，即 OEOF ，OAOC，OEOF，四边形 AECF 是平行四边形，ACEF，四边形 AECF 是菱形五、解答题（三） （本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）23 【解答】解：（1）将点 A（4，3）代入 y （k 0） ，
19、得：k12，则反比例函数解析式为 y ；（2）如图，过点 A 作 ACx 轴于点 C，则 OC4、AC3，OA 5，ABx 轴，且 ABOA5，点 B 的坐标为（9，3） ；设 OB 所在直线解析式为 ymx（m0） ，将点 B（9，3）代入得 m ，OB 所在直线解析式为 y x；（3）联立解析式：解得： ，可得点 P 坐标为（6，2） ，过点 P 作 PD x 轴，延长 DP 交 AB 于点 E，连接 AP，则点 E 坐标为（6，3） ，AE2，PE1，PD2，则OAP 的面积 （2+6）3 62 21524 【解答】证明：（1）如图，连接 OEBEEF，BEF 90，BF 是圆 O 的直
20、径BE 平分ABC，CBEOBE，OBOE ，OBEOEB，OEBCBE，OEBC，AEOC90，AC 是O 的切线；（2）如图，连结 DECBEOBE，ECBC 于 C，EHAB 于 H，ECEHCDE+BDE180，HFE+BDE180，CDEHFE在CDE 与HFE 中，CDEHFE（AAS ） ，CDHF（3）由（2）得 CDHF，又 CD1，HF1，在 Rt HFE 中，EF ，EFBE，BEF 90，EHFBEF90，EFHBFE，EHFBEF， ，即 ，BF10，OE BF5，OH514，RtOHE 中，cosEOA ，RtEOA 中，cosEOA ， ，OA ，AF 5 25
21、【解答】解：（1）如图 1，DEF 在平移的过程中，APCEt；当 D 在 AC 上时，如图 2，DEDF ，ECCF EF5，t5故答案为：t；（2） 如图 3，过点 P 作 PMBC 于 M，BMP ACB90，ABCPBM， ， ，PM8 t，又EDF90，DEF 45，EQCDEF45，CECQt，yS ACB S ECQ S PBE ACBC ECCQ BEPM， 86 tt （6t） （8 t） ， t （0t5） ，a 0，当 x 时，y 最大值 + ，存在i）当PQE 90时，如图 4，过点 P 作 PHBE 于 H，过点 P 作 PWAC 于 W，ABCAPW， ，即 ，PW
22、 t，AW t，QW 8 tt8 t，EHt t t，由可得： CECQt，PH8 tPQ 2PW 2+QW2（ t） 2+（8 t） 2 t2 t+64，PE2PH 2+EH2（8 t） 2+（ t） 2 t2 t+64，EQ2CE 2+CQ2t 2+t22t 2PQE90，在 Rt PEQ 中，PQ 2+EQ2 PE2，即：（ t2 t+64）+ （ 2t2） t2 t+64解得：t 10（舍去） t2 ；当PEQ90，PE2+EQ2PQ 2即：（ t2 t+64）+ （2t 2） t2 t+64解得：t 10（舍去） t220（舍去）此时不存在；当EPQ90时PQ2+PE2EQ 2，即：（ t2 t+64）+ （ t2 t+64）2t 2，t1 （舍去） t24，综合上述：当 t 或 t4 时，PQE 是直角三角形