1、难点题型拔高练( 三)1已知函数 f(x) 2k ln xkx，若 x2 是函数 f(x)的唯一极值点，则实数 k 的取值exx2范围是( )A. B ( ，e24C(0,2 D2 ，)解析：选 A 由题意可得 f(x) ，x0，exx 2x3 k2 xx x 2ex kx2x3令 f(x )0，得 x2 或 exkx 2(x0)，由 x2 是函数 f(x)的唯一极值点知 exkx 2(x0)恒成立或 exkx 2(x0)恒成立，由ye x(x0)和 y kx2(x0)的图象可知，只能是 exkx 2(x0)恒成立法一：由 x0 知，e xkx 2，则 k ，exx2设 g(x) ，则 kg(
2、x) min.exx2由 g(x) ，得当 x2 时，g(x)0，g(x)单调递增；当 00)恒成立，则 ye x(x0)的图象在 ykx 2(x0)的图象的上方( 含相切)，若 k0，易知满足题意；若 k0，设 ye x(x0)与 ykx 2(x0)的图象在点(x 0，y 0)处有相同的切线，则Error!解得Error!数形结合可知，0as1 .已知“有增有减”数列a n共 4 项，若 ai x，y ，z( i1,2,3,4) ，且 x0)的焦点为 F，准线为 l.已知以 F 为圆心，半径为 4 的圆与 l 交于 A，B 两点，E 是该圆与抛物线 C 的一个交点， EAB 90.(1)求
3、p 的值；(2)已知点 P 的纵坐标为1 且在抛物线 C 上，Q ，R 是抛物线 C 上异于点 P 的两点，且满足直线 PQ 和直线 PR 的斜率之和为1，试问直线 QR 是否经过一定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由解：(1)连接 AF，EF，由题意及抛物线的定义，得|AF |EF| |AE|4，即AEF 是边长为 4 的正三角形，所以FAE60，设准线 l 与 x 轴交于点 D，在 RtADF 中，FAD30，所以 p| DF| |AF| 42.12 12(2)由题意知直线 QR 的斜率不为 0，设直线 QR 的方程为 xmyt，点 Q(x1，y 1)，R(x2，y 2)由Erro
4、r!得 y24my4t0，则 16 m216t0，y 1y 24m，y 1y24t.又点 P，Q 在抛物线 C 上，所以 kPQ ，yP y1xP x1 yP y1y2P4 y214 4yP y1 4y1 1同理可得 kPR .因为 kPQk PR1，4y2 1所以 4y1 1 4y2 1 4y1 y2 8y1y2 y1 y2 1 1，16m 8 4t 4m 1则 t3m .74由Error!解得 m (1，)，( ， 72) (12，1)所以直线 QR 的方程为 xm (y3) ，74则直线 QR 过定点 .( 74， 3)5已知函数 f(x)e 2x(x3ax4xcos x1)，g( x)
5、e xm (x1)(1)当 m1 时，求函数 g(x)的极值；(2)若 a ，证明：当 x(0,1)时，f(x)x1.72解：(1)由题意可知 g(x )e xm ，当 m1 时，由 g(x )0 得 xln m，由 xln m 得 g(x)0，g(x )单调递增；由 xx1，即证 x3ax4x cos x1 .x 1e2x由(1)得，当 m1 时，g(x) ex( x1)0，即 exx 1，所以 e2x(x 1)2，所以 x3ax 4xcos x1 x 3ax 4xcos x x ，x 1e2x 1x 1 xx 1令 h(x)x 24cos x a ，1x 1则 h(x) 2x 4sin x ，1x 12令 I(x)2x4sin x，则 I(x)24cos x2(12cos x)，当 x(0,1)时，cos xcos 1cos ，3 12所以 12cos xh(1)a 4cos 1，32因为 4cos 14cos 2，而 a ，3 72所以 a 4cos 10 ，所以当 x(0,1)时，h(x)0，32所以 x3ax4x cos x1 成立，x 1e2x所以当 x(0,1)时，f(x )x1 成立