1、2019 年浙江省绍兴市越城区中考数学一模试卷一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1（4 分）今年 3 月 20 日，浙江省发布了2019 年浙江省国民经济和社会发展计划，其中 28 条预计“全省居民全年可支配收入“平均增长率为 6.5%，小明爸爸 2018 年全年可支配收入为 10 万元，对照这个增长率，预计 2019 年小明爸爸全年可支配收人应为（ ）A65 万 B16.5 万元 C10.65 万元 D6.5 万元2（4 分）如图，若数轴上的点 A，B 分别与实数1，1 对应，用圆规在数轴上画点 C，则与点 C 对应的实数是（ ）A2 B3 C4 D53（4 分）
2、下列计算正确的是（ ）Aa 3+a32a 6 B（a 2） 3a 6 Ca 6a2a 3 Da 5a3a 84（4 分）在平面直角坐标系中，若 P（m 2，m +1）在第三象限，则 m 的取值范围是（ ）Am1 Bm2 C1m2 Dm 15（4 分）李宁运动鞋经销商到某校三（2）班抽样选取 9 位学生，分别对他们的鞋码进行了查询，记录下的数据是：24，22，21，24，23，20，24，23，24经销商对这组数据最感兴趣的是（ ）A中位数 B众数 C平均数 D方差6（4 分）如图，在ABC 中，ACB 90，CD 是 AB 边上的高如果BD4， CD6，那么 BC：AC 是（ ）A3：2 B2
3、：3 C D 7（4 分）如图，已知正五边形 ABCDE，AFCD，交 DB 的延长线于点 F，则DFA 等于（ ）A30 B36 C45 D328（4 分）二次函数 yx 2+bx+c 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 3 个单位，得到的图象的函数解析式为 yx 22x +1，则 b+c 的值为（ ）A16 B6 C0 D129（4 分）10 个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点 P、X、Y 是小正方形的顶点，Q 是边 XY 一点若线段 PQ 恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，则 的值为（ ）A B C D10（4 分）如图 1 是一座立交桥的示意图（道路宽度
4、忽略不计），A 为人口，F，G 为出口，其中直行道为 AB，CG ，EF，且 ABCGEF ；弯道为以点 O 为圆心的一段弧，且 ， ， 所对的圆心角均为 90甲、乙两车由 A 口同时驶入立交桥，均以10m/s 的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点 O 的距离 y（m ）与时间 x（s）的对应关系如图 2 所示结合题目信息，下列说法错误的是（ ）A甲车在立交桥上共行驶 8sB从 F 口出比从 G 口出多行驶 40mC甲车从 F 口出，乙车从 G 口出D立交桥总长为 150m二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）11（5 分）一元二次方程 x（x+5）x +5 的解为
5、12（5 分）在平面直角坐标系中，若点 P 在 x 轴上，请写出一个符合条件的 P 点坐标 13（5 分）如图，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则 sinA 14（5 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，1），以点 O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点 B 的位置，则 的长为 15（5 分）如图 1，则等边三角形 ABC 中，点 P 为 BC 边上的任意一点，且APD60， PD 交 AC 于点 D，设线段 PB 的长度为 x，CD 的长度为 y，若 y 与 x 的函数关系的大致图象如图 2，则等边三角形 ABC 的面积为 16（5 分）如图，M 的半径为 2，圆心 M（3，4）
6、，点 P 是M 上的任意一点，PA PB，且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O 对称，则AB 的最小值为 三、解答题（本题有 8 小题，第 17-20 题每题 8 分，第 21 题 10 分，第 22，23 题每题 12分，第 24 题 14 分，共 80 分）17（8 分）（1）计算： （2） 0+|1 |+2cos30；（2）解方程组：18（8 分）为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为 A、B、C、D 四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解
7、答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n ；（3）若全市有 5000 人参加了本次测试，估计本次测试成绩为 A 级的人数为多少？19（8 分）如图，将边长为 m 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为 n 的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新矩形（1）求拼成新矩形的周长（用含 m 或 n 的代数式表示）；（2）当 m7，n3 时，求拼成新矩形的面积20（8 分）某居民小区物业要在广场树立一个“扫黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固合金框架，已知合金框架底端 G 距广告牌立柱 FD 的距离 GD4 米，从 G 点测得广告牌顶端
8、F 点和底端 E 点的仰角分别是 60和 45（1）若 AF 长为 5 米，求灯牌的面积；（2）求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号）21（10 分）如图，反比例函数 y （x0）的图象过格点（网格线的交点） P（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和 2B 铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 O，点 P；矩形的面积等于 k 的值22（12 分）如图，线段 AB 为 O 的直径，点 C，E 在 O 上， ，CDAB ，垂足为点 D，连接 BE，弦 BE 与线段 CD 相交于点 F
9、（1）求证：CFBF；（2）若 cosABE ，在 AB 的延长线上取一点 M，使 BM4，O 的半径为 6求证：直线 CM 是O 的切线23（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 x 轴相交于点 A（ 1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x1（1）求点 C 的坐标（用含 a 的代数式表示）；（2）联结 AC、BC，若ABC 的面积为 6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点 Q 为 x 轴正半轴上一点，点 G 与点 C，点 F 与点 A关于点 Q 成中心对称，当 CGF 为直角三角形时，求点 Q 的坐标24（1
10、4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 内，AOBC 的顶点 A、O、B、C 的坐标分别为（0，1）、（0，0）、（1，0）、（1、1），过点 B 的直线 MN 与 OC 平行，AC 的延长线交 MN 于点 D，点 P 是直线 MN 上的一个动点， CQOP 交 MN 于点 Q（1）求直线 MN 的函数解析式；（2）当点 P 在 x 轴的上方时，求证：OBP CDQ；猜想：若点 P 运动到 x 轴的下方时，OBP 与CDQ 是否依然全等？（不要求写出证明过程）（3）当四边形 OPQC 为菱形时，请求出点 P 的坐标；请求出 POC 的度数2019 年浙江省绍兴市越城区中考数学一模试卷参考答案与
11、试题解析一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1（4 分）今年 3 月 20 日，浙江省发布了2019 年浙江省国民经济和社会发展计划，其中 28 条预计“全省居民全年可支配收入“平均增长率为 6.5%，小明爸爸 2018 年全年可支配收入为 10 万元，对照这个增长率，预计 2019 年小明爸爸全年可支配收人应为（ ）A65 万 B16.5 万元 C10.65 万元 D6.5 万元【分析】根据题意可列式子 10（1+6.5%），即可得 2019 年的可支配收入【解答】解：依题意得2019 年可支配的收入为：10（1+6.5%）10.65 万元故选：C【点评】此题考查的
12、是二次函数的思想，解题的关键是读懂题意，求增长后情况可列式子：wa（1+ 增长率）2（4 分）如图，若数轴上的点 A，B 分别与实数1，1 对应，用圆规在数轴上画点 C，则与点 C 对应的实数是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】先求出 AB2，再根据半径相等得到 BC2，即可解答【解答】解：数轴上的点 A，B 分别与实数1，1 对应，AB|1（1）|2，BCAB2，与点 C 对应的实数是：1+23，故选：B【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是熟记实数与数轴上点的一一对应关系3（4 分）下列计算正确的是（ ）Aa 3+a32a 6 B（a 2） 3a 6 Ca 6a2a 3 Da 5
13、a3a 8【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减分别进行计算即可【解答】解：A、a 3+a32a 3，故原题计算错误；B、（a 2） 3a 6，故原题计算错误；C、a 6a2a 4，故原题计算错误；D、a 5a3a 8，故原题计算正确；故选：D【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方，关键是掌握各计算法则4（4 分）在平面直角坐标系中，若 P（m 2，m +1）在第三象限，则 m 的取值范围是（ ）
14、Am1 Bm2 C1m2 Dm 1【分析】根据第三象限点的符合特点列出不等式组，解之可得【解答】解：由题意知 ，解得：m1，故选：A【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键5（4 分）李宁运动鞋经销商到某校三（2）班抽样选取 9 位学生，分别对他们的鞋码进行了查询，记录下的数据是：24，22，21，24，23，20，24，23，24经销商对这组数据最感兴趣的是（ ）A中位数 B众数 C平均数 D方差【分析】经销商最感兴趣是哪种鞋号的人最多根据众数的意义可得答案【解答】解：经销商最感兴
15、趣的是哪种鞋卖的多，而众数就是一组数据出现次数最多的数，所以经销商最感兴趣的是这组数据的众数故选：B【点评】此题主要考查统计量中平均数、中位数、众数、方差的意义要求学生根据题意来选择合适的统计量来分析数据6（4 分）如图，在ABC 中，ACB 90，CD 是 AB 边上的高如果BD4， CD6，那么 BC：AC 是（ ）A3：2 B2：3 C D 【分析】只要证明ACDCBD，可得 ，由此即可解决问题【解答】解：ACB90，CD 是 AB 边上的高，ADCCDBACB90，A+B90，A+ACD90，ACDB，ACDCBD， ，故选：B【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻
16、找相似三角形解决问题，属于中考常考题型7（4 分）如图，已知正五边形 ABCDE，AFCD，交 DB 的延长线于点 F，则DFA 等于（ ）A30 B36 C45 D32【分析】根据多边形的内角和公式求出C，再根据等腰三角形两底角相等求出CDB，然后根据两直线平行，内错角相等求解即可【解答】解：在正五边形 ABCDE 中，C （52）180108，正五边形 ABCDE 的边 BCCD，CBDCDB，CDB （180108）36，AFCD，DFACDB36故选：B【点评】本题考查了根据多边形的内角和计算公式求正多边形的内角，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，解答时要会根据公式进行正确运算
17、8（4 分）二次函数 yx 2+bx+c 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 3 个单位，得到的图象的函数解析式为 yx 22x +1，则 b+c 的值为（ ）A16 B6 C0 D12【分析】先把 yx 22x +1 配方得到 y（x1） 2，根据题意反向平移，即把y（x1） 2 沿 x 轴向右平移 2 个单位，再沿 y 轴向下平移 3 个单位得到抛物线的解析式为 y（x3） 23x 2 6x+6，则可确定 b 与 c 的值【解答】解：yx 22x +1（ x1） 2，把 y（x1） 2 沿 x 轴向右平移 2 个单位，再沿 y 轴向下平移 3 个单位得到抛物线的解析
18、式为 y（x3） 23x 26x+6，所以 b6，c6，所以 b+c0故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式9（4 分）10 个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点 P、X、Y 是小正方形的顶点，Q 是边 XY 一点若线段 PQ 恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，则 的值为（ ）A B C D【分析】首先设 QYx，根据题意得到 PQ 下面的部分的面积为： S +S 正方形 5（1+x
19、）+1 5，解方程即可求得 QY 的长，即可解决问题【解答】解：设 QYx，根据题意得到 PQ 下面的部分的面积为： S +S 正方形 5（1+x）+1 5，解得 x ，XQ1 ， ，故选：B【点评】本题考查三角形的面积，一元一次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型10（4 分）如图 1 是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A 为人口，F，G 为出口，其中直行道为 AB，CG ，EF，且 ABCGEF ；弯道为以点 O 为圆心的一段弧，且 ， ， 所对的圆心角均为 90甲、乙两车由 A 口同时驶入立交桥，均以10m/s 的速度行驶，从不同出口驶出，其间两
20、车到点 O 的距离 y（m ）与时间 x（s）的对应关系如图 2 所示结合题目信息，下列说法错误的是（ ）A甲车在立交桥上共行驶 8sB从 F 口出比从 G 口出多行驶 40mC甲车从 F 口出，乙车从 G 口出D立交桥总长为 150m【分析】根据题意、结合图象问题可得【解答】解：由图象可知，两车通过 ， ， 弧时每段所用时间均为 2s，通过直行道 AB，CG，EF 时，每段用时为 3s因此，甲车所用时间为 3+2+38s，故 A 正确；根据两车运行路线，从 F 口驶出比从 G 口多走 ， 弧长之和，用时为 4s，则走40m，故 B 正确；根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从 G 口驶出，故
21、C 错误；根据题意立交桥总长为（32+33）10150m，过 D 正确；故选：C【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答时要注意数形结合二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）11（5 分）一元二次方程 x（x+5）x +5 的解为 x 15，x 21 【分析】方程整理后，利用因式分解的方法求出解即可【解答】解：方程整理得：x（x+5）（x +5）0，分解因式得：（x+5）（x 1）0，解得：x 15，x 21，故答案为：x 15，x 21【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键12（5 分）在平面直角坐标系中，若点 P 在 x 轴
22、上，请写出一个符合条件的 P 点坐标 （1，0） 【分析】根据 x 轴上点的纵坐标等于零，可得答案【解答】解：点 P 在 x 轴上，请写出一个符合条件的 P 点坐标（1，0），故答案为：P（1，0）【点评】本题考查了点的坐标，利用 x 轴上点的纵坐标等于零是解题关键13（5 分）如图，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则 sinA 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案【解答】解：由勾股定理可知：AC 2 ，由锐角三角函数的定义可知：sinA ，故答案为： ；【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型14（5 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点
23、A（1，1），以点 O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点 B 的位置，则 的长为 【分析】由点 A（1，1），可得 OA ，点 A 在第一象限的角平分线上，那么AOB45，再根据弧长公式计算即可【解答】解：点 A（1，1），OA ，点 A 在第一象限的角平分线上，以点 O 为旋转中心，将点 A 逆时针旋转到点 B 的位置，AOB45， 的长为 故答案为 【点评】本题考查了弧长公式：l （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R），也考查了坐标与图形变化旋转，求出 OA 以及AOB45是解题的关键15（5 分）如图 1，则等边三角形 ABC 中，点 P 为 BC 边上的任意一点，且APD6
24、0，PD 交 AC 于点 D，设线段 PB 的长度为 x，CD 的长度为 y，若 y 与 x 的函数关系的大致图象如图 2，则等边三角形 ABC 的面积为 16 【分析】设出等边三角形的边长，根据等边三角形的性质和相似三角形的性质、以及二次函数的最值，即可确定 CD 取得最大值时等边三角形的边长，进而得到ABC 的面积【解答】解：由题可得，APD60，ABCC 60，BAP CPD，ABP PCD， ，设 ABa，则 ，y ，当 x 时，y 取得最大值 2，即 P 为 BC 中点时，CD 的最大值为 2，此时APB PDC90，CPD30，PCBP4，等边三角形的边长为为 8，根据等边三角形的
25、性质，可得 S 8216 故答案为：16 【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，灵活运用等边三角形的性质和二次函数图象的对称性是解题的关键解题时需要深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义16（5 分）如图，M 的半径为 2，圆心 M（3，4），点 P 是M 上的任意一点，PA PB，且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O 对称，则AB 的最小值为 6 【分析】点 P 在以 O 为圆心 OA 为半径的圆上，P 是两个圆的交点，当 O 与M 外切时，AB 最小，根据条件求出 AO 即可求解；【解答】解：点 P 在以 O 为圆心 OA
26、 为半径的圆上，P 是两个圆的交点，当 O 与 M 外切时，AB 最小， M 的半径为 2，圆心 M（3，4），PM5，OA3，AB6，故答案为 6；【点评】本题考查圆与圆的位置关系；能够将问题转化为两圆外切时 AB 最小是解题的关键三、解答题（本题有 8 小题，第 17-20 题每题 8 分，第 21 题 10 分，第 22，23 题每题 12分，第 24 题 14 分，共 80 分）17（8 分）（1）计算： （2） 0+|1 |+2cos30；（2）解方程组：【分析】（1）根据零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值的定义，把原式转化为实数的加减运算，计算求值即可，（2）利用加减消元法解之即
27、可【解答】解：（1）原式3 1+ +24 2+5 2，（2） ，2 得： y1，把 y1 代入得：x+15，解得：x4，即方程组的解为： 【点评】本题考查了解二元一次方程组，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，解题的关键：（1）正确掌握零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值的定义，（2）正确掌握加减消元法解二元一次方程组18（8 分）为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为 A、B、C、D 四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n
28、10 ；（3）若全市有 5000 人参加了本次测试，估计本次测试成绩为 A 级的人数为多少？【分析】（1）用 B 等级人数除以其所占百分比可得；（2）总人数减去 A、B、D 人数求得 C 的人数即可补全条形图，用 D 等级人数除以总人数可得 n 的值；（3）总人数乘以样本中 A 等级人数所占比例即可得【解答】解：（1）样本容量为 1830%60；（2）C 等级人数为 60（24+18+6）12 人，n% 100%10% ，补全图形如下：故答案为：10；（3）估计本次测试成绩为 A 级的人数为 5000 2000 人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图
29、中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小19（8 分）如图，将边长为 m 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为 n 的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新矩形（1）求拼成新矩形的周长（用含 m 或 n 的代数式表示）；（2）当 m7，n3 时，求拼成新矩形的面积【分析】（1）根据题意和矩形的性质列出代数式解答即可（2）把 m7，n3 代入矩形的长与宽中，再利用矩形的面积公式解答即可【解答】解：（1）新矩形的长为：m +n，新矩形的宽为：mn，新矩形的周长2（m+n）+ （ mn）4m（2）新矩形的面
30、积为：（m +n）（m n），把 m7，n3 代入（m+n）（m n）10440，即拼成新矩形的面积是 40【点评】此题考查列代数式问题，关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答20（8 分）某居民小区物业要在广场树立一个“扫黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固合金框架，已知合金框架底端 G 距广告牌立柱 FD 的距离 GD4 米，从 G 点测得广告牌顶端 F 点和底端 E 点的仰角分别是 60和 45（1）若 AF 长为 5 米，求灯牌的面积；（2）求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号）【分析】（1）在 RtGDF 中，利用 DF
31、GDtanFGD 求得 DF 的长，在 RtDEG 中由EGD 45 知 GDED 4，根据 EFDFDE，进一步求解可得；（2）根据 FG 、 GE 分别求得 FG、GE 的长，继而可得答案【解答】解：（1）在 RtGDF 中，FGD60、GD4，DFGD tanFGD4 ，在 Rt DEG 中，EGD 45，GDED 4 ，EFDF DE4 4，S 矩形 5（4 4）20 20（平方米），答：灯牌的面积为（20 20）平方米；（2）在 RtGDF 中，FG ，在 Rt DEG 中，GE ，因此两侧加固的铝合金框架总共用料 2（8+4 ）（16+8 ）米【点评】本题考查的是解直角三角形的性质
32、仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键21（10 分）如图，反比例函数 y （x0）的图象过格点（网格线的交点） P（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和 2B 铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 O，点 P；矩形的面积等于 k 的值【分析】（1）将 P 点坐标代入 y ，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可【解答】解：（1）反比例函数 y （x0）的图象过格点 P（2，2），k224，反比例函数的解析式为 y ；（2）如图
33、所示：矩形 OAPB、矩形 OCDP 即为所求作的图形【点评】本题考查了作图应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键22（12 分）如图，线段 AB 为 O 的直径，点 C，E 在 O 上， ，CDAB ，垂足为点 D，连接 BE，弦 BE 与线段 CD 相交于点 F（1）求证：CFBF；（2）若 cosABE ，在 AB 的延长线上取一点 M，使 BM4，O 的半径为 6求证：直线 CM 是O 的切线【分析】（1）延长 CD 交O 于 G，如图，利用垂径定理得到 ，则可证明 ，然后根据圆周角定理得CB
34、E GCB，从而得到 CFBF；（2）连接 OC 交 BE 于 H，如图，先利用垂径定理得到 OCBE，再在 RtOBH 中利用解直角三角形得到 BH ，OH ，接着证明OHBOCM 得到OCMOHB90，然后根据切线的判定定理得到结论【解答】证明：（1）延长 CD 交O 于 G，如图，CDAB ， ， ， ，CBEGCB，CFBF；（2）连接 OC 交 BE 于 H，如图， ，OCBE ，在 Rt OBH 中，cosOBH ，BH 6 ，OH ， ， ， ，而HOB COM，OHB OCM，OCMOHB90，OCCM，直线 CM 是O 的切线【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直
35、于这条半径的直线是圆的切线也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形23（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 x 轴相交于点 A（ 1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x1（1）求点 C 的坐标（用含 a 的代数式表示）；（2）联结 AC、BC，若ABC 的面积为 6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点 Q 为 x 轴正半轴上一点，点 G 与点 C，点 F 与点 A关于点 Q 成中心对称，当 CGF 为直角三角形时，求点 Q 的坐标【分析】（1）先利用抛物线的对称性得到 B（3，0），则可设交点式 ya（x+
36、1）（x3），然后展开即可得到 C 点坐标；（2）利用三角形面积公式得到 6a6，然后求出 a 即可得到抛物线解析式；（3）设点 Q 的坐标为（m，0）过点 G 作 GHx 轴，垂足为点 H，如图，利用中心对称的性质得 QCQG，QAQF m +1，QOQH m ， OCGH 3，则OF2m+1 ，HF1，讨论：当CGF90时，证明 RtQGHRt GFH ，利用相似比得到 ，解方程求出m 即可得到此时 Q 的坐标；当CFG90时，证明 RtGFH Rt FCO，利用相似比得到 ，解方程求出 m 即可得到此时 Q 的坐标【解答】解：（1）抛物线 yax 2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1
37、，而抛物线与 x 轴的一个交点 A 的坐标为（1，0）抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（3，0）设抛物线解析式为 ya（x +1）（x 3），即 yax 22ax 3a，当 x0 时，y3a，C（0，3a）；（2）AB4，OC3a，S ACB ABOC6a，6a6，解得 a1，抛物线解析式为 yx 22x3；（3）设点 Q 的坐标为（m，0）过点 G 作 GHx 轴，垂足为点 H，如图，点 G 与点 C，点 F 与点 A 关于点 Q 成中心对称，QCQG，QAQFm+1，QOQH m ，OCGH3，OF2m+1 ，HF1，当CGF90时，QGH+ FGH90，QGH+ GQH90，G
38、QHHGF，RtQGHRtGFH， ，即 ，解得 m9，Q 的坐标为（9，0）；当CFG90时，GFH +CFO90，GFH+FGH90，CFOFGH，RtGFHRtFCO， ，即 ，解得 m4，Q 的坐标为（4，0）；GCF90不存在，综上所述，点 Q 的坐标为（ 4，0）或（9，0）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、中心对称的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题24（14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 内，AOBC 的
39、顶点 A、O、B、C 的坐标分别为（0，1）、（0，0）、（1，0）、（1、1），过点 B 的直线 MN 与 OC 平行，AC 的延长线交 MN 于点 D，点 P 是直线 MN 上的一个动点， CQOP 交 MN 于点 Q（1）求直线 MN 的函数解析式；（2）当点 P 在 x 轴的上方时，求证：OBP CDQ；猜想：若点 P 运动到 x 轴的下方时，OBP 与CDQ 是否依然全等？（不要求写出证明过程）（3）当四边形 OPQC 为菱形时，请求出点 P 的坐标；请求出 POC 的度数【分析】（1）根据正方形的性质可以确定 B 的坐标，先求出 OC 的解析式，再由 B 的坐标就可以求出 NM 的
40、解析式；（2）根据平行四边形的性质和平行线的性质就可以判定OBPCDQ，当点 P 运动到 x 轴的下方时，OBP 与CDQ 同理可以判断两三角形全等；（3）如图 3、图 4，作 OHMN，PGOB 于 G，根据勾股定理就可以求出 P 点的纵坐标，从而求出 P 点的坐标，根据直角三角形的性质就可以求出OPE 的度数，由平行的性质就可以得出POC 的度数当 P 点在 x 轴的下方时如图 4 同理可以得出结论【解答】解：（1）如图 1，AOBC 的顶点 A、O 、B、C 的坐标分别为（0，1）、（0，0）、（1，0）、（1、1），OAOB ，四边形 AOBC 是正方形，AOBO BC AC，AO B
41、C，ACOB ，OBC90C 的坐标为（1，1），B（1，0），设 OC 的解析式为 ykx，由题意，得1k，OC 的解析式为：yx MNOC，直线 MN 的解析式与 OC 的解析式的 k 值相等设 MN 的解析式为 yx +b，由题意，得01+b，b1，直线 MN 的解析式为 yx 1；（2）如图 2，OCMN，OPCQ ，四边形 OPQC 是平行四边形， OPBCQD，OBPCDQ，OPCQ在OBP 和CDQ 中，OBPCDQ（AAS）如图，点 P 运动到 x 轴的下方时，OBP CDQ，方法同上（3）如图 3、图 4，作 OHMN，PGOB 于 G，OH BE BGPGOBBC1，OC 四边形 OPQC 是菱形，OPOC ，OP2OH ，OPH 30 OCMN，POCOPH30设 PGBG x，则 OG1+x，在 RtOPG 中，由勾股定理，得2（1+x） 2+x2，解得：x 1 ，x 2 ，OG 或P（ ， ）或（ ， ），POC30或 150【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，平行四边形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，菱形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用灵活运用菱形的性质和直角三角形的性质是解答本题的关键