1、2019 年 5 月福州一中高三模拟考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数 ，则 （ ）iz12zA B C D53152设集合 ， ，则 （ ）02xlog2xBAA B C D1,1,3.52xy的展开式
2、中 的系数是（ ）23yxA B C D 20204. 若 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）yx,1yxyxzA B C D5 25.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为 200 的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各 100 人；男性 120 人，女性 80 人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示） ，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（ ）A是否倾向选择生育二胎与户籍有关B是否倾向选择生育二胎与性别有关C倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D倾向选择不生育二胎的人群中，农
3、村户籍人数少于城镇户籍人数6.若 ， ，则 的值为 54)2sin(),2()4tan()A2 BC D1127.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛 水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数和五个阳数中随机选取 3 个不同的数，其和等于 15 的概率是 ()ABC D2114283718.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）A B C D 23643628489.函数 ，若 在 上0cossin)( xxf )(xf,0的值域
4、为 ，则实数 的取值范围为 ,A BCD，61321， 316， 321，10.已知正方体 的棱长为 ， 是 的中点， ， 分别在棱 ， 上，1CDA4M1APQ1CD且 ，设平面 与平面 的交线为 ，则 与 所成角的正切值为（ 1QPPBl1）A B C D 425211. 设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，则 ， 两点到xy4:F1lCNM直线 的距离之和的最小值为（ ）:2l01xA B C D34312.函数 在 上只有一个零点，则 的值为（ ）23)(xefax,0aA B C D4ln4 42ln5二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1
5、3. 已知 ， 均为单位向量，若 ，则 与 的夹角为 b3abb14. 是定义在 上的奇函数，若 时， ，则 )(xfR0x)(log)(2mxf)3(f15.已知 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 的直线 与 仅12F、 :E21,0yab1FlE有一个公共点，且 与 相切，则该双曲线的离心率为 .l22:xO16. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，ABCCabc2cosAbBa，则 周长的最小值为 .sin23sin AB三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求
6、作答。（一）必考题：60 分。17. （12 分）数列 中， ， ，且 ， ， 成等比数列.na111nana24（1）求 的值；（2）求数列 的前 项和 nnS18.（12 分）如图，四棱锥 中， 平面 ， ， 为等边三角ABCDPPAB90CDPAB形， ，2BCA.1（1）证明： ；D（2 ）求二面角 的余弦值 .19.（12 分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：汽车型号 回访客户（人数） 250 100 200 700 350满意率 0.50.30.60.30.2满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数
7、的比值假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等（1 ）从所有的回访客户中随机抽取 1 人，求这个客户满意的概率；（2 ）从型号和型号汽车的所有客户中各随机抽取 1 人，设其中满意的人数为 ，求 的分布列和期望；（3 ）用“ ”， “ ”， “ ”， “ ”， “ ”分别表示，型号汽车让客121345户满意， “ ”， “ ”， “ ”， “ ”， “ ”分别表示，型号汽车让01203405客户不满意写出方差 ， ， ， ， 的大小关系（直接写出结果，不必写出1D234D解答过程） 20.（ 12 分）已知点 ， ，点 为动点，以 为直径
8、的圆内切于 .)0,(A(,)BEA42yxO：（1）证明 为定值，并求点 的轨迹 的方程；EC（2）过点 的直线 与 交于 两点，直线 过点 且与 垂直， 与 交于 两点，lCNM,lllQP,为 的中点，求 的面积的最大值.DPQD21.（12 分）设函数 有两个极值点 ， .21ln)(2axxf 1x2（1 ）求实数 的取值范围；a（2 ）求证： .0)(21ff（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 44：坐标系与参数方程（10 分）22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ，以原点 为极点， 轴xo
9、y1C(.sin1,coyx)Ox的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .2 22i8（1）求曲线 的极坐标方程及 的直角坐标方程；1（2）设 与曲线 、 分别交于异于原点的点 ， ，求 的最小)0(:l 1C2MN2O值.23 选修 45：不等式选讲（10 分）23.已知函数 .()21fx（1 ）解不等式： ；()4fx（2 ） 设 ，求 的最小值.1)(fxg(g2019 年 5 月福州一中高三模拟考试理科数学参考答案一选择题（每题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B A B C D A A C B A D二填空题（每
10、题 5 分，共 20 分）13. 14. 15. 16.3236三解答题（必考题每题 12 分，选考题每题 10 分）17.解：（1）易得 ， ， （2 分）2a1324a， ， 成等比数列14， ， 或 （舍去）220（4 分）（2）方法一： ， （5 分）11nan为偶数时，n )()()( 14321 nn aS7（8 分）2)(2n为奇数时，n )()()( 154321 nn aaaS95n（11 分）22)(综上， 的前 项和 （12 分）na.nSn方法二： ，2121n由 ，得， （6 分）3211nan 22na为奇数时， （8 分）)(为偶数时， （ 10 分）n12（11
11、 分）an（12 分）2Sn方法三： ，121nan（7 分）0)1(na设 b1n， ，01ab， （10 分）0nbn（12 分）2Sn18.解：（1） 平面 ， 平面 ，面 面CDPABCABDPABCD （1 分）AB设 为 边的中点，连结 ；EE,， 四边形 为平行四边形CD2B（2 分）又 为等边三角形PA（3 分）EBD面 （4 分）（5 分）PA（2 ） 面 ， 平面ABPDEABCD面 面在面 中，作 于点 ，F平面 （6 分）以 为原点， 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴建立空间直角坐标系CDxCByFPz如图所示. 则 ， ， ， （7 分）)0,2(A),()0,
12、1()23,(则， ，)3,1(P),2(设 为平面 的法向量，则 ，),(zyxnAD023yxz取 （8 分）)3,12(显然， 为平面 的法向量 （9 分）,0mABCD则， （11 分）.41314,cos n因为二面角 显然为锐角，BADP所以，二面角 的余弦值为 （12 分）.419.（1）由题意知，样本中的回访客户的总数是 ，25017035160满意的客户人数 ，（2 分）250.10.3.67.3.2故所求概率为 （3 分）163（2 ） ， ， （4 分）02设事件 为“从型号汽车所有客户中随机抽取的人满意 ”，A事件 为“从型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且 、 为
13、独立事件B AB根据题意， 估计为 ， 估计为 P0.5PB0.2则 ； （5 分）010.58.4PABPB1 1APBPAB；（6 分）0.58.02.5 （7 分）0.2.PABP的分布列为 0 1 2P.40.50.1（8 分）的期望 （9 分）0.41.520.17E（3 ） （12 分）132DD20.解：（1）设以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，则 ，AOrrO2由 4)2(rEB所以， 为定值 （2 分）由 （3 分）4所以，点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，（4 分）A,则 ，1,2ca22cab所以，点 的轨迹方程为： （5 分）E.134yx（2）方法一：设 ，:mlMN由
14、 ，消去 得，1342yxx096)(2y易得， .0.（6 分）439621my为 的中点， ， DPQPQODMN.（7 分）MNS设 ),(),(21yx则， 2121221 4)(yymyMN36)46(22m（8 分）3)12又 到 的距离Ol21d所以， （9 分）MNS4362m设 ，则tm211所以， tON2记 在 上递增， ，,3)(ttf)(f,14)1()(minftf所以， 的最大值为 ，即， 的面积的最大值为 .（12 分）OMNS2346DMN.23方法二：前面同法一 212121 4)(yyyAON .（9 分）36)46(m下同法一.方法三：前面同法一由 ，则
15、1:yxlMN )1(:xylPQ由 ，消去 得，)(42m04222 mx易得， .0，则121myx)1,(2D所以，点 到 的距离为l2所以， dMNSD4362m下同法一.方法四：前面同法一点 到 的距离为Dl 22211mODA所以， MNS214362m下同法一.方法五：当 斜率存在时，l设 ，)1(:xkylMN.0由 ，消去 得，)(342y0124822kxk易得， .0.（6 分）221243kx为 的中点， ， DPQPQODMN.（7 分）MNS设 ),(),(21yx则， 212121 4)(xxkk2234)38(（8 分）24)k又 到 的距离Ol21d所以， （
16、9 分）MNSO2436k设 ，则tk243.所以， 215)3(427)1(9)2(92 tttN因为 ， ，,310t4OMSOMNS当 斜率不存在时，l易得， ，所以， 的面积的最大值为OMNS23N.23即， 的面积的最大值为 （12 分）D.2321 解：（1） .（1 分）axf1ln)(设 xgl)(，令 ，得 0)(gx， ， 递增；),0(0(x， ， 递减.1x)(.（2 分）ag()(max当 ，即 时，即 ，所以， 递减， 无极值，不合题意，舍去.（3 分）00)f)(xf)(xf当 ，即 时，则 )1(g，ae 01ln)( 111 aaa eeeg0在 有唯一零点
17、.（4 分）)(x,.1x又 ，且1a aaa 11)(2l)(设 ，eh20eh在 上递增， .)(0,)(1gea在 有唯一零点 .（5 分）x),.2x从而， 递减；)(,(1ff递增；0,21递减；,)所以， 为 的两个极值点，符合题意.2,x)(f综上， .（6 分）.(a（2 ）方法一：不妨设 ，210xaxag 1)ln()()ln) 11， ，(xfxln211记 ，0,2)l)xF， 递减，)( xx )(F0)1(Fx所以， ，即 ，. （8 分）0)21g1f递增,(f20.（9 分）)(1xf)2()()1121 xffxff 设 0,)()(ffaxax)(lnln.
18、（10 分）20)(11)( 2 xx递增，)(递减，)(af.（12 分）.021ff（2 ）方法二：不妨设 ，21x（7 分）)21ln()ln()( 22121 axxxfxf由 有 .（ 8 分）,0)(2f ,l21a2)1(ln111 xxx 21)(ln21l2xx.（10 分）()(22.（12 分）.021xx22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）解：（1）曲线 的普通方程为 ， （1 分）1C1)(22yx即， 2yx由 ，得曲线 的极坐标方程为 .（3 分）sin, 1Csin2曲线 的极坐标方程为2 22si88si由 ，得曲线 的直角坐标方程为 （5 分）y
19、yxin,22 2C.1482yx（2）设 ),()(NM（6 分） 2222 sin1)si(O（8 分）428348n14sin18si422 当且仅当 时等号成立，（ 9 分）所以， 的最小值为 （10 分）2NM.223 选修 45：不等式选讲 （10 分）解：（1）方法一：原不等式等价于 （1 分）412x 时，原不等式化为： ，得， （2 分）2x4x 时，原不等式化为： ，得， （3 分） 时，原不等式化为： ，得， （4 分）1xx1x综上： .（5 分）,方法二：设 ，)1()(fxh则， （2 分）21,4,)(x作出 的图像，（4 分）)(hy由图像可得： （5 分）,（2）方法一： )1()()1()( 2xffxfxfgf1x)2(（7 分）4当且仅当 且 ，即 时，等号成立，（9 分）),1()xf 0)(2xx故， 的最小值为 4.（10 分）(gx方法二： （6 分） 21,2,2)( 211221 xxxxx 时， 递增， ； （7 分）2x)(xg5)()(ming 时， ，当且仅当 等号成立，1 42121x 0x；（8 分）4)(min 时， 递减， .（9 分）2x)(xg5)()(ming综上， （10 分）in