1、2019 届中考初三数学专题突破训练 ：圆1如图， AB 为 O 的直径，点 C， D 在 O 上，且点 C 是 的中点连接 AC，过点 C 作 O 的切线 EF 交射线 AD 于点 E（1）求证： AE EF；（2）连接 BC若 AE ， AB5，求 BC 的长（1）证明：连接 OC OA OC，12点 C 是 的中点1332 AE OC EF 是 O 的切线， OC EF AE EF；（2）解： AB 为 O 的直径， ACB90 AE EF， AEC90又13， AEC ACB ， AC2 AEAB 516 AC4 AB5， BC 32如图，在 ACE 中， AC CE， O 经过点 A
2、， C，且与边 AE， CE 分别交于点 D， F，点 B是劣弧 AC 上的一点，且 ，连接 AB， BC， CD求证： CDE ABC证明：连接 DF， AC CE， CAE E，四边形 ACFD 内接于 O， CAE DFE， DFE E， DF DE， ， BC DF， BC DE，四边形 ABCD 内接于 O， B CDE，在 CDE 和 ABC 中， CDE ABC（ SAS） 3如图， ABC 是 O 的内接圆，且 AB 是 O 的直径，点 D 在 O 上， BD 平分 ABC 交 AC于点 E， DF BC 交 BC 延长线于点 F（1）求证： DF 是 O 的切线（2）若 BD
3、4，sin DBF ，求 DE 的长解：（1）连接 OD， BD 平分 ABC 交 AC 于点 E， ABD DBF， OB OD， ABD ODB， DBF ODB， DBF+ BDF90， ODB+ BDF90， ODF90， FD 是 O 的切线；（2）连接 AD， AB 是 O 的直径， ADE90， BD 平分 ABC 交 AC 于点 E， DBF ABD，在 Rt ABD 中， BD4，sin ABDsin DBF ， AD3， DAC DBC，sin DAEsin DBC ，在 Rt ADE 中，sin DAC ， DE 4如图， ABC 内接于 O， AB 是 O 的直径， O
4、 的切线 AP 与 OC 的延长线相交于点P， P BCO（1）求证： AC PC；（2）若 AB6 ，求 AP 的长（1）证明： AP 是 O 的切线， B CAP， OB OC， B OCB， OCB CAP， P BCO， P CAP， AC PC；（2）解： AOC2 BCO， ACO2 P， AOC ACO， AC AO， OA OC， AOC 为等边三角形， AP OAtan AOC95如图， AB 为 O 的直径，且 AO4，点 C 在半圆上， OC AB，垂足为点 O，P 为半圆上任意一点过 P 点作 PE OC 于点 E，设 OPE 的内心为 M，连接 OM（1）求 OMP
5、的度数；（2）随着点 P 在半圆上位置的改变， CMO 的大小是否改变，说明理由；（3）当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时，直接写出内心 M 所经过的路径长解：（1） OC AB， OEP90， EOP+ EPO90， M 为 OPE 的内心， MOP MOC EOP， MPO MPE EPO， MOP+ MPO （ EOP+ EPO）45， OMP180（ MOP+ MPO）135；（2） CMO 的大小不改变，理由如下：如图 2，连接 CM，在 COM 和 POM 中， COM POM（ SAS） ， CMO OMP135， CMO 的大 小不改变，为 135；（3）如图 3，连
6、接 AC， BC， AB 为直径， CO AB， AC BC， ACB 为等腰直角三角形， ACO 与 BCO 为等腰直角三角形， AC AO4 ， CQ AC2 ，分别取 AC， BC 的中点 Q， N，连接 OQ， ON，则 CQO90， CNO90，当点 P 在半径 OC 的左侧和右侧的半圆上时，点 M 的轨迹分别在以 AC， BC 为直径的圆弧上，所对圆心角为 90，2 ，内心 M 所经过的路径长为 6如图， AB 为 O 的直径， CB 与 O 相切于点 B，连接 AC 交 O 于点 D（1）求证： DBC DAB；（2）若点 E 为 的中点，连接 BE 交 AD 于点 F，若 BC
7、6，sin ABD ，求 AF 的长（1）证明： CB 与 O 相切于点 B， AB 为 O 的直径， ABC90， ABD+ DBC90 AB 为 O 的直径， ADB90 ABD+ DAB90 DBC DAB（2）解：如图， ABC ADB， ABD+ DBC C+ DBC ABD C ， BC6， DC4cos C ， DFB ABF+ DAB， FBC DBF+ DBC，又点 E 为 的中点， AE DE， DBF ABF由（1）得： DAB DBC， DFB FBC CF BC6cos C ， AC9 AF AC CF9637如图， OA 是 O 的半径，点 E 为圆内一点，且 OA
8、 OE， AB 是 O 的切线， EB 交 O 于点 F， BQ AF 于点 Q（1）如图 1，求证： OE AB；（2）如图 2，若 AB AO，求 的值；（3）如图 3，连接 OF， EOF 的平分线交射线 AF 于点 P，若 OA2，cos PAB ，求OP 的长解：（1）证明： OA OE， AOE90，又 AB 是 O 的切线， OA 是 O 的半径， OA AB， OAB90， AOE+ OAB180， OE AB；（2）证明：过 O 点作 OC AF 于点 C， AF2 AC， OCA90， AOC+ OAC90，又 OA AB， OAC+ CAB90， AOC CAB，又 BQ
9、 AF， AQB90， ACO AQB又 OA AB， AOC BAQ（ AAS） ， AC BQ， AF2 AC2 BQ，即 ；（3）证明：过 O 点作 OC AF 于点 C，由（2）得 AOC PAB， ，在 Rt AOC 中， OA2， OC OAcos AOC， ，又 OA OF， OC AF 于点 C， COF AOF，又 OP 平分 EOF， POF EOF， POC COF+ POF AOF+ EOF EOA45， POC 为等腰直角三角形 8如图，点 O 是 Rt ABC 斜边 AB 上的一点， O 经过点 A 与 BC 相切于点 D，分别交AB， AC 于 E， F， OA2
10、 cm， AC3 cm（1）求 BE 的长；（2）求图中阴影部分的面积解：（1）连结 OD， BC 与 O 相切于点 D， OD BC，又 C90， AC OD， BOD BAC， ，即 ， BE2；（2）连结 OF，在 Rt ODB 中， OD2， OB4， B30， BOD BAC60， BC3 ， AOF60， BOF120， S ABC S AOF S 扇形 OFE ， 9如图，Rt ABC 中， ACB90，以 AC 为直径作 O， D 为 O 上一点，连接AD、 BD、 CD， OB，且 BD AB（1）求证： OB CD；（2）若 D 为弧 AC 的中点，求 tan BDC解：（
11、1）证明：连结 OD，延长 BO 交 AD 于点 E AO OD， AB BD， OB OB ABO DBO ABO DBO AEB90 AC 是 O 的直径 ADC90 AEB ADC OB CD；（2） D 为弧 AC 的中点 DOC DOA90， DCO DAO45， AD CD ACB90 OD BC OB CD四边形 ODCB 平行四边形， OB CD， BDC DBE，设 OE x，则 DE x， OD x， CD2 x BE x+2x3 xtan BDCtan DBE 10如图 1， ABC 是圆内接等腰三角形，其中 AB AC，点 P 在 上运动（点 P 与点 A 在弦 BC
12、的两侧） ，连结 PA， PB， PC，设 BAC， y，小明为探究 y 随 的变化情况，经历了如下过程（1）若点 P 在弧 BC 的中点处，60时， y 的值是 1 （2）小明探究 变化获得了一部分数据，请你填写表格中空缺的数据在如图 2 平面直角坐标系中以表中各组对应值为点的坐标进行描点，并画出函数图象： 30 60 90 120 150 170 y 0.52 1.73 1.93 1.99 （3）从图象可知， y 随着 的变化情况是 y 随着 增大而增大 ； y 的取值范围是 0 y2 解：（1）如图 1 所示：60时， AB AC， ABC 是等边三角形，点 P 在弧 BC 的中点处，
13、AP 经过 ABC 外接圆的圆心 O，连接 OB 、 OC，则 OBP、 OCP 是等边三角形， OB OC PB PC OP， AP2 OP， 1；故答案为：1；（2）60时，点 P 不在弧 BC 的中点处，延长 BP，截取 PD CP，连接 CD，如图2 所示： BPC180120， CPD60， CPD 是等边三角形， CP CD PD， PCD60，60时， ABC 是等边三角形， AC BC， ACB60， ACP BCD，在 ACP 和 BCD 中， ， ACP BCD（ SAS） ， BD AP，即 PB+PC AP， 1，与（1）相同，60时， 1；90时，点 P 在弧 BC
14、的中点处时，则 AP、 BC 是直径， PB PC 半径， PB+PC AP，即 1.41；点 P 不在弧 BC 的中点处，延长 BP，截取 PE CP，连接 CE，如图 3 所示： BPC18090， CPE90， CPE 是等腰直角三角形， CP PE， PCE45，90时， ABC 是等腰直角三角形， BC AC， ACB45， ACP BCE， PAC PBC， ACP BCE， ，即 1.41；90时， 1.41；填写表格如下：以表中各组对应值为点的坐标进行描点，画出函数图象如下：（3）从图象可知， y 随着 增大而增大；y 的取值范围是：0 y2；故答案为： y 随着 增大而增大；
15、0 y211已知 AB 是 O 的直径，点 C， D 是 O 上的点， A50， B70，连接DO， CO， DC（1）如图，求 OCD 的大小：（2）如图，分别过点 C， D 作 OC， OD 的 垂线，相交于点 P，连接 OP，交 CD 于点 M已知 O 的半径为 2，求 OM 及 OP 的长解：（1） OA OD， OB OC， A ODA50， B OCB70， AOD80， BOC40， COD180 AOD BOC60， OD OC， COD 是等边三角形， OCD60；（2） PD OD， PC OC， PDO PCO90， PDC PCD30， PD PC， OD OC， OP
16、 垂直平分 CD， DOP30， OD2， OM OD ， OP 12如图，在 O 中，弦 AC BD 于点 E，连接 AB， CD， BC（1）求证： AOB+ COD180；（2）若 AB8， CD6，求 O 的直径（1）证明：延长 BO 交 O 于 E，连接 DE， AD BE 是直径， BDE90， DE AC， AC BD， AC DE， CAD ADE， ， COD AOE， AOB+ AOE180， AOB+ COD180（2）解：连接 AE由（1）可知： ， AE CD6， BE 是直径， BAE90， BE 10， O 的直径为 1013如图， O 是 ABC 的外接圆， A
17、B 是 O 的直径，点 D 在 O 上， AC 平分 BAD， 延长AB 到点 E 且有 BCE CAD（1）求证： CE 是 O 的切线；（2）若 AB10， AD6，求 BC， CE 的长（1）证明：连接 OC，在 O 中 OB OC，12， AC 是 O 的直径， ACB90， G 平分 DFC90，3 CAD， BCE CAD，3 CAD， OCE BCE+23+190， CE OC， CE 是 O 的切线；（2）解：连接 CD，分别延长 AD、 BC 相交于点 F在 Rt ACB 中，1903，在 Rt ACF 中， F90 CAD，又3 CAD，1 F，在 ABF 中， AB AF
18、， BC CF，在 O 中3 CAD， BC CD， CD CF，在 CDF 中， CDF F，1 CDF，又 F F， CDF ABF， ，设 BC x，则有 ， ，即 ，在 Rt ACB 中， ，在 BEC 和 DAC 中， BCE CAD， EBC ADC， BEC DCA， ，则 ， 14 AB 是 O 直径，在 AB 的异侧分别有定点 C 和动点 P，如图所示，点 P 在半圆弧 AB 上运动（不与 A、 B 重合） ，过 C 作 CP 的垂线 CD，交 PB 的延长线于 D，已知AB5， BC： CA4：3（1）求证： ACCD PCBC；（2）当点 P 运动到 AB 弧的中点时，求
19、 CD 的长；（3）当点 P 运动到什么位置时， PCD 的面积最大？请直接写出这个最大面积证明：（1） AB 为直径， ACB90 PC CD， PCD90 PCD ACB，且 CAB CPB ABC PCD ACCD PCBC（2） AB5， BC： CA4：3， ACB 90 BC4， AC3，当点 P 运动到 的中点时，过点 B 作 BE PC 于点 E点 P 是 的中点， PCB45，且 BC4 CE BE BC2 CAB CPBtan CA B tan CAB PE PC PE+CE +2 ACCD PCBC3 CD 4 CD（3）当点 P 在 上运动时， S PCD PCCD，由
20、（1）可得： CD PC S PCD PC2，当 PC 最大时， PCD 的面积最大，当 PC 为 O 直径时， PCD 的最大面积 5215如图，正方形 OABC 的顶点 O 与原点重合，点 A， C 分别在 x 轴与 y 轴的正半轴上，点A 的坐标为（4，0） ，点 D 在边 AB 上，且 tan AOD ，点 E 是射线 OB 上一动点，EF x 轴于点 F，交射线 OD 于点 G，过点 G 作 GH x 轴交 AE 于点 H（1）求 B， D 两点的坐标；（2）当点 E 在线段 OB 上运动时，求 HDA 的大小；（3）以点 G 为圆心， GH 的长为半径画 G是否存在点 E 使 G
21、与正方形 OABC 的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点 E 的坐标解：（1） A（4，0） ， OA4，四边形 OABC 为正方形， AB OA4， OAB90， B（4，4） ，在 Rt OAD 中， OAD90，tan AOD ， AD OA 42， D（4，2） ；（2）如图 1，在 Rt OFG 中， OFG90tan GOF ，即 GF OF，四边形 OABC 为正方形， AOB ABO45， OF EF， GF EF， G 为 EF 的中点， GH x 轴交 AE 于 H， H 为 AE 的中点， B（4，4） ， D（4，2） ， D 为
22、 AB 的中点， DH 是 ABE 的中位线， HD BE， HDA ABO45（3）若 G 与对角线 OB 相切，如图 2，当点 E 在线段 OB 上时，过点 G 作 GP OB 于点 P，设 PG x，可得 PE x， EG FG x，OF EF2 x， OA4， AF42 x， G 为 EF 的中点， H 为 AE 的中点， GH 为 AFE 的中位线， GH AF （42 x）2 x，则 x2 x，解得： x2 2， E（84 ，84 ） ，如图 3，当点 E 在线段 OB 的延长线上时，x x2，解得： x2+ ， E（8+4 ，8+4 ） ；若 G 与对角线 AC 相切，如图 4，
23、当点 E 在线段 BM 上时，对角线 AC， OB 相交于点 M，过点 G 作 GP OB 于点 P，设 PG x，可得 PE x，EG FG x，OF EF2 x， OA4， AF42 x， G 为 EF 的中点， H 为 AE 的中点， GH 为 AFE 的中位线， GH AF （42 x）2 x，过点 G 作 GQ AC 于点 Q，则 GQ PM3 x2 ，3 x2 2 x， x ， E（ ， ） ；如图 5，当点 E 在线段 OM 上时，GQ PM2 3 x，则 2 3 x2 x，解得 x ， E（ ， ） ；如图 6，当点 E 在线段 OB 的延长线上时，3x2 x2，解得： x （
24、舍去） ；综上所述，符合条件的点为（84 ，84 ）或（8+4 ，8+4 ）或（ ， ）或（ ， ） 16已知点 P 为 MAN 边 AM 上一动点， P 切 AN 于点 C，与 AM 交于点 D（点 D 在点 P 的右侧） ，作 DF AN 于 F，交 O 于点 E（1）连接 PE，求证： PC 平分 APE；（2）若 DE2 EF，求 A 的度数；（3）点 B 为射线 AN 上一点，且 AB8，射线 BD 交 P 于点 Q，sin A 在 P 点运动过程中，是否存在某个位置，使得 DQE 为等腰三角形？若存在，求出此时 AP 的长；若不存在，请说明理由解：（1）证明： AN 切 O 于点
25、C， PC AN， DF AN， PC DF， APC PDE， EPC PED， PD PE， PED PDE， APC EPC，即 PC 平分 APE（2）如图 1 所示，作 PH DE 于 H PD PE， DH HE EF HF PC PD，sin DPH ， DPH30， PH AF， PAC DPH30（3）当 DQ QE 时，如图 2 所示，连接 PQ，可证得 PQ AB， PDQ DQP DBA， AD AB8，设 PC r， AP3 r，则 AD4 r，4r8， r2， AP3 r6当 DE QE 时，如图 3 所示，记 P 与 AD 的另一交点为 K，连接 KE，则 QDE
26、 EQD DKE DAF，在 Rt ADF 中， DF AD r，AF2 DF r，在 Rt DBF 中， BF DF r，AB AF BF r8，r ， AP3 r 当 DQ DE 时，如图 4，连接 QK，连接 QE 交 AD 于 I，作 QG KE 于点 G，则 GQE IKE A，在 Rt QGE 中，设 GE2 x，则 QE3 GE6 x， IE3 x，QG2 GE4 x，则 KG KE EG7 x，tan QKG ， BDF QKE，tan BDFtan QKE， B F DF rAB AF+BF r+ r8，r ，AP3 r 综上所述： AP 的长为 6 或 或 17如图，点 D
27、 为 O 上一点，点 C 在直径 AB 的延长线上，且 COD2 BDC，过点 A 作 O 的切线，交 CD 的延长线于点 E（1）判定直线 CD 与 O 的位置关系，并说明你的理由；（2）若 CB4， CD8，求 ED 的长（1）证明：连接 OD， OD OB， DBA BDO， AB 是 O 的直径， ADB90， DAB+ DBA90， CDB CAD， CDB+ BDO90，即 OD CE， D 为 O 的一点，直线 CD 是 O 的切线；（2）解： CD 是 O 的切线， CD2 BCAC， CB4， CD8，8 24 AC， AC16， AB AC BC16412， AB 是圆 O
28、 的直径， OD OB6， OC OB+BC10，过点 A 作的 O 切线交 CD 的延长线于点 E， EA AC， OD CE， ODC EAC90， OCD ECA， OCD ECA， ，即 ， EC15， ED EC CD158918如图，已知 AB 是 O 的直径， BC 与 O 相切于点 B， CD 与 O 相切于点 D，连结 AD（1）求证： AD OC（2）小聪与小明在做这个题目的时候，对 CDA 与 AOC 之间的关系进行了探究：小聪说， CDA+ AOC 的值是一个固定的值；小明说， CDA+ AOC 的值随 A 度数的变化而变化若 CDA+ AOC 的值为 y， A 度数为 x，你认为他们之中谁说的是正确的？若你认为小聪说的正确请你求出这个固定值：若你认为小明说的正确，请你求出 y 与 x 之间的关