1、广东省佛山市禅城区 2019 届九年级下学期中考科研测试（二模）数学试题一.选择题（每小题 3 分，共 30 分）1下列实数中，有理数的是（ ）A B C D2如图两平行线 a、 b 被直线 l 所截，且160，则2 的度数为（ ）A30 B45 C60 D1203点（3，2）关于 x 轴的对称点为（ ）A （3，2） B （3，2） C （3，2） D （2，3）4不等式组 的解集是（ ）A x4 B2 x0 C2 x4 D无解5某校有 21 名同学们参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前 11 名参加决赛，小颖已经知道了自己 的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这 21 名同学成绩的
2、（ ）A最高分 B中位数 C极差 D平均数6如图，已知圆周角 A50，则 OBC 的大小是（ ）A50 B40 C130 D807下列运算正确的是（ ）A （ x y） 2 x2 y2 B x2y2（ xy） 4C x2y+xy2 x3y3 D x6x2 x48下列图形：等腰三角形；菱形；平行四边形；直角三角形；圆；矩形，这些图形中既是轴对称图形有事中心对称图形的有（ ）A1 种 B2 种 C3 种 D4 种9已知一元二次方程： x2+2x+30， x22 x30下列说法正确的是（ ）A都有实数解 B无实数解，有实数解C有实数解，无实数解 D都无实数解10如图，已知正方形 ABCD， E 为
3、AB 的中点， F 是 AD 边上的一个动点，连接 EF 将 AEF沿 EF 折叠得 HEF，延长 FH 交 BC 于 M，现在有如下 5 个结论： EFM 定是直角三角形； BEM HEM；当 M 与 C 重合时，有 DF3 AF； MF 平分正方形 ABCD 的面积； FHMH ，在以上 5 个结论中，正确的有（ ）A2 B3 C4 D5二.填空题（每小题 4 分，共 24 分）11将数 1420000 用科学记数法表示为 12如图，在 ABC 中， D、 E 分别是边 AB、 AC 的中点， BC8，则 DE 13分式方程 的解是 14在数字 1，2，3 中任选两个组成一个两位数，则这个
4、两位数能被 3 整除的概率是 15如图，已知 l1 l2 l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角 ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，斜边 AC 与 l3所夹的锐角为 ，则 tan 的值等于 16如图，已知点 A 在反比例函数 上，作 Rt ABC，使边 BC 在 x 轴上且 ABC90，点 D 在 AC 上且 CD2 AD，连 DB 并延长交 y 轴于点 E，若 BCE 的面积为8， ABC 的面积为 3，则 k 三.解答题（一）17 （6 分）计算：18 （6 分）先化简，再求值： ，其中 x519 （6 分）如图，平行四边形 ABCD 中， AB BC（1）利用尺规作图，在
5、 BC 边上确定点 E，使点 E 到边 AB， AD 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹） ；（2）若 AD8， DC5，求 CE 的长四.解答题（二）20 （7 分）织金县某景点的门票如下：购票人数 150 人 51100 人 100 人以上每人门票价 12 10 8某校八年（一） 、 （二）两班共 102 人去游览该景点，其中（1）班人数较少，不到 50 人，（2）班人数较多，有 50 多人，如果两班都以班为单位分别购票，则一共付款 1118元如果两班合起来作为一个团体购票，则可以省下不少钱，两班各有多少名学生？联合起来购票能省多少钱？21 （7 分） “地球一小时“是世界自然基金会应对全
6、球气候变化所提出的一项全球性节能活动，提倡于每年三月最后一个星期六的当地时间晚上 20：30（2019 年“地球一小时”时间为 3 月 20 日晚上 20：30） ，家庭及商界用户关上不必要的电灯及耗电产品一小时，以此增强群众环境保护的意识，小明也参加了这次活动，为了解居民用电情况，小明调查了部分同学某月的家庭用电量，根据调查数据制作了频数分布直方图和扇形统计图，第 21 题图 1 中从左到右各长方形的高度之比为 2：8：9：7：3：1（1）已知用电量 60 x80（度/月）的家庭有 12 个，则此次行动共调查了 家庭；（2）在第 21 题图 2 中，用电量 20 x40（度/月）部分的圆心角
7、为 度；（3）小明把第 21 题图 1 中用电量 20 x30 的都看成 25，用电量 30 x40 都看成35，以此类推，若小明学校的同学来自 1200 个家庭，则按小明的方法，可估算用电量x50（度/月）的家庭一个月的用电量约为多少度？22 （7 分）如图，在等边三角形 ABC 中， AE CD， AD， BE 交于 P 点， BF AD 于 F（1）求证： ACD BAE；（2）求证： BF PF五、解答题（三）23 （9 分）如图，已知直线2 x+m 与抛物线 y ax2+bx+c 相交于 A， B 两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上（1）求 m 的值；（2）求
8、抛物线的解析式；（3）若点 P 是 x 轴上一点，当 ABP 为直角三角形时直接写出点 P 的坐标24 （9 分 ）如图，平行四边形 ABCD 中， AC BC，过 A、 B、 C 三点的 O 与 AD 相交于点E，连接 CE（1）证明： AB CE；（2）证明： DC 与 O 相切；（3）若 O 的半径 r5， AB8，求 sin ACE 的值25 （9 分）如图，等腰直角 OAB 的斜边 OA 在坐标轴上，顶点 B 的坐标为（2，2） 点P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向点 O 运动，点 Q 从点 O 同时出发，以相同的速度沿 x 轴的正方向运动，当点 P 到达点 O
9、 时，点 P、点 Q 同时停止运动连接BP，过 P 点作 BPC45，射线 PC 与 y 轴相交于点 C，过点 Q 作平行于 y 轴的直线l，连接 BC 并延长与直线 l 相交于点 D，设点 P 运动的时间为 t（ s） （1）点 P 的坐标为 （用 t 表示） ；（2）当 t 为何值， PBE 为等腰三角形？（3）在点 P 运动过程中，判断 的值是否发生变化？请说明理由参考答案一.选择题1下列实数中，有理数的是（ ）A B C D【分析】根据实数的分类，即可解答解： A、 是无理数，故选项错误；B、 2 ，2 是无理数，故选项错误；C、 2，2 是有理数，故选项正确；D、 是无理数，故选项错
10、误故选： C【点评】本题考查了实数的分类，解决本题的关键是熟记实数的分类2如图两平行线 a、 b 被直线 l 所截，且160，则2 的度数为（ ）A30 B45 C60 D120【分析】由 a b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得3160，又由对顶角相等，即可求得答案解： a b，3160，2360故选： C【点评】此题考查了平行线的性质此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用3点（3，2）关于 x 轴的对称点为（ ）A （3，2） B （3，2） C （3，2） D （2，3）【分析】根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案解：点（3，2）关于 x 轴
11、的对称点为（3，2） ，故选： A【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律4不等式组 的解集是（ ）A x4 B2 x0 C2 x4 D无解【分析】分别解两个不等式得到两个不等式的解集，然后再求出这些解集的公共部分即可解： ，解得 x4，解得 x2，所以不等式组的解集为2 x4，故选： C【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到5某校有 21 名同学们参加某比赛，预赛成绩各不同，要取
12、前 11 名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这 21 名同学成绩的（ ）A最高分 B中位数 C 极差 D平均数【分析】由于有 21 名同学参加百米竞赛，要取前 11 名参加决赛，故应考虑中位数的大小解：共有 21 名学生参加预赛，取前 11 名，所以小颖需要知道自己的成绩是否进入前11我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第 11 名的成绩是这组数据的中位数，所以小颖知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛故选： B【点评】本题考查了用中位数的意义解决实际问题将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就
13、是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数6如图，已知圆周角 A50，则 OBC 的大小是（ ）A50 B40 C130 D80【分析】由圆周角定理可求出 BOC 的度数，在 BOC 中，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可求出 OBC 的度数解： A50， BOC2 A100在 BOC 中， OB OC， BOC100， OBC OCB （180 BOC）40故选： B【点评】本题考查了圆周角定 理 、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，找出 OBC （180 BOC）是解题的关键7下列运算正确的是（
14、 ）A （ x y） 2 x2 y2 B x2y2（ xy） 4C x2y+xy2 x3y3 D x6x2 x4【分析】结合选项分别进行同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法等运算，然后选择正确选项解： A、 （ x y） 2 x22 xy+y2，原式错误，故本选项错误；B、 x2y2 x2y2，原式错误，故本选项错误；C、 x2y 和 xy2不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、 x6x2 x4，原式计算正确，故本选项正确故选： D【点评】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法等知识点，掌握运算法则是解答本题的关键8下列图形：等腰三角形；菱形；平行四边形；直角三角形；圆；
15、矩形，这些图形中既是轴对称图形有事中心对称图形的有（ ）A1 种 B2 种 C3 种 D4 种【分析】根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案解：等腰三角形不是中心对称图形，是轴对称图形；菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；直角三角形不是中心对称图形，也不是轴对称图形；圆是中心对称图形，也是轴对称图形；矩形是中心对称图形，也是轴对称图形；故是轴对称图形又是中心对称图形的有，故选： C【
16、点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴9已知一元二次方程： x2+2x+30， x22 x30下列说法正确的是（ ）A都有实数解 B无实数解，有实数解C有实数解，无实数解 D都无实数解【分析】求出、的判别式，根据：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根即可得出答案解：方程的判别式4128，则没有实数解；方程的判别式4+1216，则有两个实数解故选： B【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握根的判别式与方程根的关系10如图，已知正方形 ABCD， E 为 AB 的中点， F 是 A
17、D 边上的一个动点，连接 EF 将 AEF沿 EF 折叠得 HEF，延长 FH 交 BC 于 M，现在有如下 5 个结论： EFM 定是直角三角形； BEM HEM；当 M 与 C 重合时，有 DF3 AF； MF 平分正方形 ABCD 的面积； FHMH ，在以上 5 个结论中，正确的有（ ）A2 B3 C4 D5【分析】利用正方形的性质，全等三角形的判定和性质，一一判断即可解：如图 1 中，四边形 ABCD 是正方形， A B90， E 为 AB 的中点， EA EB，由翻折可知： FA FH， EA EH， A FHE90， EHM B90， EM EM， EH EB，Rt EMHRt
18、EMB（ HL） ， MEH MEB， FEH FEA， FEM FEH+ MEH （ AEH+ BEH）90，故正确，如图 2 中，当 M 与 C 重合时，设 AE EB2 a则 AB BC AD CD4 a， AEF BCE， ，可得 AF a， DF3 a， DF3 AF，故正确，如图 3 中，当点 F 与点 D 重合时，显然直线 MF 不平分正方形的面积，故错误，如图 1 中， EH FM 于 H， FEM90， EHF MEH， EH2 HFHM， EH AB， AB2 HFHM故正确，故选： C【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识
19、解决问题，属于中考常考题型二.填空题（每小题 4 分，共 24 分，将正确答案填入答题卡相应位置）11将数 1420000 用科学记数法表示为 1.4210 6 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1| a|10， n 为整数，据此判断即可解：14200001.4210 6故答案为：1.4210 6【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a10n，其中1| a|10，确定 a 与 n 的值 是解题的关键12如图，在 ABC 中， D、 E 分别是边 AB、 AC 的中点， BC8，则 DE 4 【分析】根据三角形的中位线定理得到 DE BC，即可
20、得到答案解： D、 E 分别是边 AB、 AC 的中点， BC8， DE BC4故答案为：4【点评】本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能正确运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键13分式方程 的解是 x2 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解解：去分母得：3 x2 x+2，解得： x2，经检验 x2 是分式方程的解故答案为： x2【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根14在数字 1，2，3 中任选两个组成一个两位数， 则这个两位数能被
21、3 整除的概率是 【分析】利用树状图法列举出所有可能，看是否能被 3 整除找出满足条件的数的个数除以总的个数即可解：如图所示：共有 6 种情况，能被 3 整除的有 1 2，21 两种因此概率为 故答案为： 【点评】本题考查了树状图法求概率以及概率公式，注意能被 3 整除即两位数加起来和为 3 的倍数15如图，已知 l1 l2 l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰 直角 ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，斜边 AC 与 l3所夹的锐角为 ，则 tan 的值等于 【分析】过点 A 作 l1 的垂线，垂足为 D，过点 C 作 l1、 l3的垂线，垂足为 E、 F，设l1、 l2之间的距
22、离为 a，则 l2与 l3之间的距离也为 a，根据 ABC 为等腰直角三角形，可推出 ADB BEC，则 AD BE2 a， DB EC a， AF DE3 a， CF a，即 tan解：如图 1 所示，过点 A 作 l1 的垂线，垂足为 D，过点 C 作 l1、 l3的垂线，垂足为 E、 F，设 l1、 l2之间的距离为 a，则 l2与 l3之间的距离也为 a， ABC90， DBA+ EBC90， DBA+ DAB90， EBC DAB， ADB BEC， AB BC， ADB BEC（ AAS） ， AD BE2 a， DB EC a， AF DE3 a， CF a，tan 【点评】此题
23、考查了全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义，构造“ K”字形转换线段长度之间的关系为解题关键16如图，已知点 A 在反比例函数 上，作 Rt ABC，使边 BC 在 x 轴上且 ABC90，点 D 在 AC 上且 CD2 AD，连 DB 并延长交 y 轴于点 E，若 BCE 的面积为8， ABC 的面积为 3，则 k 8 【分析】先根据题意确定三角形 ABO 的面积，然后根据反比例函数的比例系数的几何意义确定| k|的值，再由函数所在的象限确定 k 的值解：连接 AE、 AO， CD2 AD， ABC 的面积为 3， S ADB1， S CDB2， BCE 的面积为 8， S CDE10
24、， S DAE5， S ABE4， S ABO4， 反比例函数图象在第二象限， k0 k8故答案为：8【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义反比例函数 y 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、 y 轴垂线，所得矩形面积为 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解 k 的几何意义三.解答题（一） （3 小题，每小题 6 分，共 18 分）17 （6 分）计算：【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案解：原式22 +121+12【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键18 （6
25、 分）先化简，再求值： ，其中 x5【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可解： ，当 x5 时，原式 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键19 （6 分）如图，平行四边形 ABCD 中， AB BC（1）利用尺规作图，在 BC 边上确定点 E，使点 E 到边 AB， AD 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹） ；（2）若 AD8， DC5，求 CE 的长【分析】 （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出 A 的平分线即可；（2）根据平行四边形的性质可知 AB CD5， AD BC，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到 BAE BEA，
26、再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解解：（1）如图所示： E 点即为所求（2）四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD5， AD BC， DAE AEB， AE 是 A 的平分线， DAE BAE， BAE BEA， BE BA5， CE BC BE3【点评】考查了作图复杂作图，关键是作一个角的角平分线，同时考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，平行线的性质和等腰三角形的性质的知识点四.解答题（二） （3 小题，每小题 7 分，共 21 分）20 （7 分）织金县某景点的门票如下：购票人数 150 人 51100 人 100 人以上每人门票价 12 10 8某校八年（一） 、
27、（二）两班共 102 人去游览该景点，其中（1）班人数较少，不到 50 人，（2）班人数较多，有 50 多人，如果两班都以班为单位分别购票，则一共付款 1118元如果两班合起来作为一个团体购票，则可以省下不少钱，两班各有多少名学生？联合起来购票能省多少钱？【分析】设一班学生 x 名，二班学生 y 名，根据题意可得等量关系：两班共 102 人；（1）班花费+（2）班花费1118 元，根据等量关系列出方程组即可；计算出合并一起购团体票的花费 1028，再用 11181028 即可解：设一班学生 x 名，二班学生 y 名，根据题意 ，解得： ，两班合并一起购团体票：11181028302（元） ，答
28、：一班学生 49 名，二班学生 53 名；可节省 302 元【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组21 （7 分） “地球一小时“是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的一项全球性节能活动，提倡于每年三月最后一个星期六的当地时间晚上 20：30（2019 年“地球一小时”时间为 3 月 20 日晚上 20：30） ，家庭及商界用户关上不必要的电灯及耗电产品一小时，以此增强群众环境保护的意识，小明也参加了这次活动，为了解居民用电情况，小明调查了部 分同学某月的家庭用电量，根据调查数据制作了频数分布直方图和扇形统计图，第 21 题图 1 中
29、从左到右各长方形的高度之比为 2：8：9：7：3：1（1）已知用 电量 60 x80（度/月）的家庭有 12 个，则此次行动共调查了 30 户 家庭；（2）在第 21 题图 2 中，用电量 20 x40（度/月）部分的圆心角为 120 度；（3）小明把第 21 题图 1 中用电量 20 x30 的都看成 25，用电量 30 x40 都看成35，以此类推，若小明学校的同学来自 1200 个家庭，则按小明的方法，可估算用电量x50（度/月）的家庭一个月的用电量约为多少度？【分析】 （1）设从左到右每组的家庭数为 2x、8 x、9 x、7 x、3 x、 x，根 据“用电量60 x80（度/月）的家庭
30、有 12 个”列方程求出 x 的值可得答案；（2）用 360乘以用电量 20 x40 户数所占比例即可得；（3）先求出样本中用电量 x50（度/月）的家庭一个月的平均用电量，再据此用样本估计总体思想求解可得解：（1）设从左到右每组的家庭数为 2x、8 x、9 x、7 x、3 x、 x，由题意知 3x+x12，解得 x3，此次调查的家庭数为 2x+8x+9x+7x+3x+x30 x90（户） ，故答案为：30 户；（2）用电量 20 x40（度/月）部分的圆心角为 360 120，故答案为：120；（3）由题意知用电量 x50（度/月）的家庭一个月的平均用电量为 （度） ，则估算用电量 x50（
31、度/月）的家庭一个月的用电量约 1200 26200（度）【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题22 （7 分）如图，在等边三角形 ABC 中， AE CD， AD， BE 交于 P 点， BF AD 于 F（1）求证： ACD BAE；（2）求证： BF PF【分析】 （1）已知等边三角形，得出 ACD 和 BAE 组对应边和对应角相等，再根据已知 AE CD，用 SAS 可证明两个三角形全等；（2）由 BF PF 得，结合 BF AD，在 Rt BPF 中需证明 tan BPF ，
32、即 BPF60，三角形外角，全等三角的性质和角的和差可证明解：如图所示：（1） ABC 是等边三角形，在 ABE 和 CAD 中，AB AC ； ABE CAD（ SA）（2） ABE CAD， ABE CAD，又 BAE BAP+ PAE60， BAP+ ABP60，又 BPF BAP+ ABP， BPF60， BF ADtan BPF ，tan60 ， BF PF【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，三角形的外角和三角函数等相关知识，是一道三角形方面比较全面的综合题五、解答题（三） （3 小题，每小题 9 分，共 27 分）23 （9 分）如图，已知直线2 x+m 与抛物线
33、 y ax2+bx+c 相交于 A， B 两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上（1）求 m 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）若点 P 是 x 轴上一点，当 ABP 为直角三角形时直接写出点 P 的坐标【分析】 （1）将点 A 坐标代入 y2 x+m，即可求解；（2） y2 x+6，令 y0，则 x3，故点 B（3，0） ，则二次函数表达式为：y a（ x1） 2+4，将点 B 的坐标代入上式，即可求解；（3）分 ABP90、 AP（ P） B90两种情况，求解即可解：（1）将点 A 坐标代入 y2 x+m 得：42+ m，解得： m6；（2） y2 x+6，令 y0，
34、则 x3，故点 B（3，0） ，则二次函数表达式为： y a（ x1） 2+4，将点 B 的坐标代入上式得：0 a（31） 2+4，解得： a1，故抛物线的表达式为： y（ x1） 2+4 x2+2x+3；（3）当 ABP90时，直线 AB 的表达式为： y2 x+6，则直线 PB 的表达式中的 k 值为 ，设直线 PB 的表达式为： y x+b，将点 B 的坐标代入上式得：0 3+b，解得： b ，即直线 PB 的表达式为： y x ，当 x1 时， y1，即点 P（1，1） ；当 AP（ P） B90时，点 P（1，0） ；故点 P 的坐标为（1，1）或（1，0） 【点评】本题考查的是二次
35、函数综合运用，涉及到一次函数的基本知识，要注意类讨论，避免遗漏，本题较为简单24 （9 分）如图，平行四边形 ABCD 中， AC BC，过 A、 B、 C 三点的 O 与 AD 相交于点E，连接 CE（1）证明： AB CE；（2）证明： DC 与 O 相切；（3）若 O 的半径 r5， AB 8，求 sin ACE 的值【分析】 （1）由平行四边形的性质和圆的内接四边形可得 D B DEC，即可得CD CE AB；（2）由垂径定理可得 CE AB，即可证 DC 与 O 相切；（3）连接 OE， OA，过点 F 作 CF AD 于点 F，过点 O 作 OM AE 于点 E，由勾股定理可求OE
36、 的长， AC 的长，由相似三角形的性质可求 DF 的长，由等腰三角形的性质可得 DE 的长，即可求 AE 的长，即可求 sin ACE 的值证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD， B D， AD BC四边形 ABCE 是圆的内接四边形 DEC B D DEC CD CE AB CE，（2）如图，连接 CO，并延长 CO 交 AB 于 E， AC BC ，且 CO 是半径， CE AB， AE BE四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD，且 CE AB CE CD，且 CO 是半径， DC 与 O 相切；（3）如图，连接 OE， OA，过点 F 作 CF AD 于点 F，
37、过点 O 作 OM AE 于点 E， AE BE， AB8 AE BE4，且 AO5， CE AB OE 3 CE CO+OE5 AC 4 AC BC AD4 B D， CFD CEB， CDF CBE DF CD CE， CF DA DF EF AE AD DF EF OE OA， OM AD AM EM AE ， EOM AOE ACE AOE ACE EOMsin ACEsin EOM 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求 AE 的长是本题的关键25 （9 分）如图，等腰直角 OAB 的斜边 OA 在坐标轴上，顶点 B 的坐
38、标为（2，2） 点P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向点 O 运动，点 Q 从点 O 同时出发，以相同的速度沿 x 轴的正方向运动，当点 P 到达点 O 时，点 P、点 Q 同时停止运动连接BP，过 P 点作 BPC45，射线 PC 与 y 轴相交于点 C，过点 Q 作平行于 y 轴的直线l，连接 BC 并延长与直线 l 相交于点 D，设点 P 运动的时间为 t（ s） （1）点 P 的坐标为 （ t4，0） （用 t 表示） ；（2）当 t 为何值， PBE 为等腰三角形？（3）在点 P 运动过程中，判断 的值是否发生变化？请说明理由【分析】 （1）表示 OP 的长，可表
39、示点 P 的坐标；（2）当 PBE 为等腰三角形时，分三种情况：当 PB PE 时，如图 1，当 PB BE，则 t0；当 BE PE 时，如图 2，列方程可得结论；（3）如图 3，作辅助线，构建全等三角形，证明 BHC BGP（ AAS） ，则BC BP， PBG CBH，证明四边形 BGOH 是正方形，得 GBH90，证明 ABPOBC（ SAS） ，表示 OC AP t，最后根据平行线分线段成比例定理和三角形相似可得：，得 2解：（1） OAB 是等腰直角三角形，且 B 的坐标为（2，2） ， OA4由题意得： AP t， OP4 t P（ t4，0） ；故答案为：（ t4，0） ；（2
40、）分三种情况：当 PB PE 时，如图 1， BPC45， PBE BEP67.5， ABC90， ABP9067.522.5， ABP OPE22.5， A BOP45， BAP POE（ AAS） ， AB PO2 ， AP t4 2 ；当 PB BE，则 t0，符合题意；当 BE PE 时，如图 2， BPE PBE45， AOB45， BPO90，即 BP AO， AB BO， AP PO t 2，综上，当 t 为 42 或 0 或 2 时， PBE 为等腰三角形；（3）在点 P 运动过程中， 的值不发生变化，是定值；如图 3，过 B 作 BG x 轴于 G，过 B 作 BH y 轴于
41、 H， AOB BOH45， BG BH， BPC BOC45， B、 P、 O、 C 四点共圆， BCH BPG， BGP BHC90， BHC BGP（ AAS） ， BC BP， PBG CBH， BGO GOH OHB90，四边形 BGOH 是正方形， GBH90， PBC GBH90， ABO PBC， ABP OBC， AB BO， PB BC， ABP OBC（ SAS） ， OC AP t， CH2 t，延长 BD 交 x 轴于 M， BH OM， BHC MOC， ， ， OM ， MQ ， DQ OC， ， ， t22 DQ， 2【点评】本题是三角形的综合题，考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形相似的性质和判定等知识，考查了分类讨论的思想，综合性非常强