1、2019 年北京市房山区佛子庄乡佛子庄中学中考数学一模试卷一选择题（共 9 小题，满分 27 分，每小题 3 分）1下列各式中的变形，错误的是（ ）A B C D 2若 x5，则 x 的取值范围是（ ）A x5 B x5 C x5 D x53在平面直角坐标系中， OAB 各顶点的坐标分别为： O（0，0）， A（1，2）， B（0，3），以 O为位似中心， OA B与 OAB 位似，若 B 点的对应点 B的坐标为（0，6），则 A 点的对应点 A坐标为（ ）A（2，4） B（4，2） C（1，4） D（1，4）4学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结
2、果统计如下表：得分（分） 60 70 80 90 100人数（人） 7 12 10 8 3则得分的众数和中位数分别为（ ）A70 分，70 分 B80 分，80 分C70 分，80 分 D80 分，70 分5如图，从边长为（ a+4）的正方形纸片中剪去一个边长为（ a+1）的正方形（ a0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠、无缝隙），若拼成的长方形一边的长为 3，则另一边的长为（ ）A2 a+5 B2 a+8 C2 a+3 D2 a+26如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于（ ）A112 B136 C124 D847在 ABC 中， B C55， BD DC，则下列结论不正
3、确的是（ ）A AB AC B AD BC C BAD CAD D AB BC8现用 190 张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做 8 个盒身或做 22 个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套设用 x 张铁皮做盒身， y 张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（ ）A BC D9计算 2x3 的结果是（ ）A2 x2 B2 x4 C2 x D4二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）10如图，在 O 中， AB 为直径， C.D 为 O 上两点，若 C25，则 ABD 11如图，为某年参加国家
4、教育评估的 15 个国家学生的数学平均成绩（ x）的统计图则图 （填“甲”，或“乙”）能更好的说明一半以上国家学生的数学成绩在 60 x70 之间12如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知折痕 AE5 cm，且tan EFC ，则矩形 ABCD 的周长是 13如图， P 内含于 O， O 的弦 AB 切 P 于点 C，且 AB OP若阴影部分的面积为 16，则弦 AB 的长为 14李老师想从小明、小红、小丽和小亮四个人中用抽签的方式抽取两个人做流动值周生，则小红和小丽同时被抽中的概率是 15如图， ABC 中， AB AC，以 AC 为斜边作 Rt
5、ADC，使 ADC90， CAD CAB26， E.F分别是 BC.AC 的中点，则 EDF 等于 三解答题（共 7 小题）16先化简再求值：（ a ） ，其中 a1+ ， b1 17（）解方程： x（2 x5）4 x10；（）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+2k40 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围18（1）等腰 ABC 的直角边 AB BC10 cm，点 P、 Q 分别从 A.C 两点同时出发，均以 1cm/秒的相同速度作直线运动，已知 P 沿射线 AB 运动， Q 沿边 BC 的延长线运动， PQ 与直线 AC 相交于点D，过 P 作 PE AC 于点 E设 P 点运动
6、时间为 t当点 P 在线段 AB 上运动时，线段 DE 的长度是否改变？若不改变，求出 DE 的值；若改变，请说明理由下面给出一种解题的思路，你可以按这一思路解题，也可以选择另外的方法解题解：过 Q 作 QF直线 AC 于点 M PE AC 于点 E， QF直线 AC 于点 M AEP F90（下面请你完成余下的解题过程）当点 P 在线段 AB 的延长线上运动时，（1）中的结论是否还成立？请在图 2 画出图形并说明理由（2）若将（1）中的“腰长为 10cm 的等腰直角 ABC”改为“边长为 a 的等边 ABC”时（其余条件不变），则线段 DE 的长度又如何？（直接写出答案，不需要解题过程）（3
7、）若将（2）中的“等边 ABC”改为“ ABC”（其余条件不变），请你做出猜想：当 ABC满足 条件时，（2）中的结论仍然成立（直接写出答案，不需要解题过程）19某校学生会向全校 3800 名学生发起了“献爱心”捐款活动为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图中 m 的值是 ；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数是 、众数是 和中位数是 ；（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数20菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线 AC
8、与 BD 的交点 E 恰好在 y 轴上，过点 D 和 BC 的中点 H 的直线交 AC 于点 F，线段 DE， CD 的长是方程 x29 x+180 的两根，请解答下列问题：（1）求点 D 的坐标；（2）若反比例函数 y （ k0）的图象经过点 H，则 k ；（3）点 Q 在直线 BD 上，在直线 DH 上是否存在点 P，使以点 F， C， P， Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由21已知：如图， AB 是 O 的直径， BC 是弦， B30，延长 BA 到 D，使 BDC30（1）求证： DC 是 O 的切线；（2）若 AB2，求 DC 的
9、长22如图，抛物线 y ax2+bx+2 交 x 轴于 A， B 两点，交 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点D，直线 BC 经过 B， C 两点，已知 A（1，0）， B（4，0）（1）求抛物线和直线 BC 的函数解析式；（2）点 F 是线段 BC 上方抛物线上一个动点，过点 F 作 x 轴的垂线与直线 BC 相交于点 E，交 x轴于点 M当点 F 运动到什么位置时，线段 FE 有最大值，请求出线段 FE 的最大值及 F 点坐标；当点 F 运动到什么位置时，四边形 CDBF 有最大面积？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E点的坐标；（3）动点 P 为抛物线对称轴上一个动点，
10、当 PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标2019 年北京市房山区佛子庄乡佛子庄中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 9 小题，满分 27 分，每小题 3 分）1【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变，可得答案【解答】解： A. ，故 A 正确；B.分子、分母同时乘以1，分式的值不发生变化，故 B 正确；C.分子、分母同时乘以 3，分式的值不发生变化，故 C 正确；D. ，故 D 错误；故选： D【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变2【分析】因为 a
11、（ a0），由此性质求得答案即可【解答】解： x5，5 x0 x5故选： C【点评】此题考查二次根式的运算方法： a（ a0）， a（ a0）3【分析】利用已知对应点的坐标变化规律得出位似比为 1：2，则可求 A坐标【解答】解： OA B与 OAB 关于 O（0，0）成位似图形，且若 B （0，3）的对应点 B的坐标为（0，6）， OB： OB1：2 OA： OA A（1，2）， A（2，4）故选： A【点评】此题主要考查了位似变换与坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键4【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置
12、的两个数的平均数即为中位数【解答】解：70 分的有 12 人，人数最多，故众数为 70 分；处于中间位置的数为第 20、21 两个数，都为 80 分，中位数为 80 分故选： C【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错5【分析】利用已知得出矩形的长分为两段，即 AB+AC，即可求出【解答】解：如图所示：由题意可得：拼成的长方形一边的长为 3，另一边的长为： AB+AC a+4+a+12 a+5故选： A【点评】此题主
13、要考查了图形的剪拼，正确理解题意分割矩形成两部分是解题关键6【分析】由三视图可知该几何体是一个三棱柱，先根据勾股定理得到主视图三角形等边的长，再根据三棱柱的全面积2 个底面积+3 个侧面积，列式计算即可求解【解答】解：如图：由勾股定理 3，326，6422+572+6724+70+42136故选： B【点评】考查了由三视图判断几何体，由三视图求几何体的表面积，关键是由三视图得到数据的对应量7【分析】根据等角对等边，等腰三角形三线合一的性质分别判断【解答】解： B C， AB AC； BD DC， AD BC， BAD CAD， B C55， BAC18025570， AB BC，综上所述，结论
14、不正确的是 AB BC故选： D【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等角对等边和等腰三角形三线合一的性质8【分析】由题意可知：制盒身的铁皮+制盒底的铁皮190 张；盒底的数量盒身数量的 2倍据此可列方程组求解即可【解答】解：设 x 张铁皮制盒身， y 张铁皮制盒底，由题意得故选： B【点评】此题考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，找出题目蕴含的数量关系是正确列出方程组的关键9【分析】原式利用除法法则变形，计算即可得到结果【解答】解：原式2 x3x2 x4，故选： B【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
15、10【分析】由已知可求得 A 的度数，再根据圆周角定理及三角形内角和定理即可求得 ABD 的度数【解答】解：连接 AD C25（已知）， C A25； AB 是 O 的直径， ADB90（直径所对的圆周角是直角）， ABD902565故答案是：65【点评】本题考查了圆周角定理解答该题时，需熟练运用圆周角定理及其推论11【分析】根据扇形统计图和频数直方图的意义选择【解答】解：根据扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，可知学生成绩在 60 x70 之间的占 53.3%，所以能很好地说明一半以上国家的学生成绩在 60 x70 之间；故答案为：乙【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获
16、取信息的能力利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题12【分析】根据 tan EFC 设 CE3 k，在 RT EFC 中可得 CF4 k， EF DE5 k，根据 BAF EFC，利用三角函数的知识求出 AF，然后在 RT AEF 中利用勾股定理求出 k，继而代入可得出答案【解答】解：设 CE3 k，则 CF4 k，由勾股定理得 EF DE5 k， DC AB8 k， AFB+ BAF90， AFB+ EFC90， BAF EFC，tan BAFtan EFC ， BF6 k， AF BC AD10 k，在 Rt AFE 中由勾股定理得 AE 5 ，
17、解得： k1，故矩形 ABCD 的周长2（ AB+BC）2（8 k+10k）36 cm【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答，有一定难度13【分析】如图，过 O 点作 OD AB，垂足为 D，连接 PC， AO，设 O 的半径为 R， P 的半径为r，由直线与圆相切的性质可知 PC r，又 OP AB，则 OD PC r，阴影部分面积可表示为（ R2 r2）（ AO2 OD2），由已知可求 AO2 OD2的值，在 Rt AOD 中，由勾股定理可求AD，由垂径定理可知 AB2 AD【解答】解：如图，过 O 点作 OD AB，
18、垂足为 D，连接 PC， AO，设 O 的半径为 R， P 的半径为 r， AB 与 P 相切于 C 点， PC AB， PC r，又 OP AB， OD PC r，由已知阴影部分面积为 16，得（ R2 r2）16，即 R2 r216， AO2 OD2 R2 r216，在 Rt AOD 中，由勾股定理得 AD2 AO2 OD216，即 AD4，由垂径定理可知 AB2 AD8故答案为：8【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题14【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能
19、的结果与小红和小丽同时被抽中的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有 12 种等可能的结果，小红和小丽同时被抽中的有 2 种情况，小红和小丽同时被抽中的概率是： 故答案为： 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比15【分析】先根据题意判断出 DEF 的形状，由平行线的性质得出 EFC 的度数，再由三角形外角的性质求出 DFC 的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论【解答】解： E.F 分别是 BC.AC 的中点， CAD CAB26， EF 是 ABC 的中位线， EF AB， EFC CAB26 AB AC， ACD 是
20、直角三角形，点 E 是斜边 AC 的中点， DF AF CF， DF EF， CAD ADF26 DFC 是 AFD 的外角， DFC26+2652， EFD EFC+ DFC26+5278， EDF 51故答案为：51【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键三解答题（共 7 小题）16【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，【解答】解：当 a1+ ， b1 时，原式 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型17【分析】（）方程变形为 x（2 x5）2（2 x5）0，然后利用因式分解法解方
21、程；（）根据判别式的意义得到2 24（2 k4）0，然后解关于 k 的不等式即可【解答】解：（） x（2 x5）2（2 x5）0，（2 x5）（ x2）0，2x50 或 x20，所以 x1 ， x22；（）2 24（2 k4）0，所以 k 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（ a0）的根与 b24 ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根18【分析】（1）求出 AC 的值，过 Q 作 QF AC 交 AC 的延长线于 F，根据 AP CQ t 和等腰直角三角形求出 AE PE QF CF，
22、根据平行线分线段成比例定理求出 DE DF，即可求出答案；根据 AAS 证 APE 和 CFQ 全等，推出 CF AE，推出 AC EF 即可；（2）与证法类似求出 DE DF， AE CF EF，推出 EF AC，代入求出即可；（3）根据的结论求出只要 A ACB 时，就能推出 AE CF，即可求出答案【解答】解：（1）线段 DE 的长度不变，由勾股定理得： AC 10 ，过 Q 作 QF AC 交 AC 的延长线于 F， QCF ACB A EPA45， AP CQ t， AE PE QF CF， QF AC， PE AC， QF PE， ， DE DF EF （ EC+CF） （ EC+
23、AE） AC5 成立，理由是：在 AEP 和 CFQ 中， AEP CFQ， AE CF， AC AE+CE CF+CE EF，由知： DE DF EF， DE AC，成立（2）与证法类似：知 DE DF， EF AC， DE a（3）当 A ACB 时， DCF ACB A，在 AEP 和 CFQ 中， AEP CFQ， AE CF， AE+EC CF+EC，即 AC EF，由知 ED DF， DE AC，故答案为： A ACB【点评】本题考查了等边三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理等知识点的运用，主要考查学生运用性质进行推理，能根据证明过
24、程得出证题规律和结果规律是解此题的关键，只要掌握证的规律，此题就能迎刃而解19【分析】（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出 m 的值即可；（2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；（3）根据样本中捐款 10 元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数【解答】解：（1）根据条形图 4+16+12+10+850（人），m100202416832，故答案为：50，32；（2） （54+1016+1512+2010+308）16，这组数据的平均数为：16，在这组样本数据中，10 出现次数最多为 16 次，这组数据的众数为：10，将这组样本数据按从小到大的顺序
25、排列，其中处于中间的两个数都是 15，这组数据的中位数为： （15+15）15；（3）在 50 名学生中，捐款金额为 10 元的学生人数比例为 32%，由样本数据，估计该校 3800 名学生中捐款金额为 10 元的学生人数比例为 32%，有380032%1216，该校本次活动捐款金额为 10 元的学生约有 1216 人【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数20【分析】
26、（1）先解方程可得 CD 和 DE 的长，根据直角三角形的性质可得 DCA30，分别计算 AC.BD.DM 的长，根据菱形面积的两种计算方法可得高 OM 的长，得 D 的坐标；（2）根据（1）中的结论可得 B 和 C 的坐标，根据中点坐标公式可得 H 的坐标，代入反比例函数可得 k 的值；（3）分三种情况：以 CF 为边时，在 CF 的上方，以 CF 为边，在 CF 的下方，以 CF 为对角线时，分别根据平移规律求点 P 的坐标【解答】解：（1） x29 x+180，（ x3）（ x6）0，x3 或 6， CD DE， CD6， DE3，四边形 ABCD 是菱形， AC BD， AE EC 3
27、 ， DCA30， EDC60，Rt DEM 中， DEM30， DM DE ， OM AB， S 菱形 ABCD ACBD CDOM， 6 OM， OM3 ， D（ ，3 ）；（2） OB DM ， CM6 ， B（ ，0）， C（ ，3 ）， H 是 BC 的中点， H（3， ）， k3 ；故答案为： ；（3） DC BC， DCB60， DCB 是等边三角形， H 是 BC 的中点， DH BC，当 Q 与 B 重合时，如图 1，四边形 CFQP 是平行四边形， FC FB， FCB FBC30， ABF ABC CBF1203090， AB BF， CP AB，Rt ABF 中， FA
28、B30， AB6， FB2 CP， P（ ， ）；如图 2，四边形 QPFC 是平行四边形， CQ PH，由知： PH BC， CQ BC，Rt QBC 中， BC6， QBC60， BQC30， CQ6 ，连接 QA， AE EC， QE AC， QA QC6 ， QAC QCA60， CAB30， QAB90， Q（ ，6 ），由知： F（ ，2 ），由 F 到 C 的平移规律可得 P 到 Q 的平移规律，则 P（ 3，6 ），即P（ ，5 ）；如图 3，四边形 CQFP 是平行四边形，同理知： Q（ ，6 ）， F（ ，2 ）， C（ ，3 ）， P（ ， ）；综上所述，点 P 的坐标为
29、：（ ， ）或（ ，5 ）或（ ， ）【点评】本题是四边形和函数的综合题，考查了菱形的性质、坐标与图形特点、平移规律、等边三边形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，本题有难度，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求 Q 的坐标来求 P 的坐标，根据平移规律得出结果21【分析】（1）根据切线的判定方法，只需证 CD OC所以连接 OC，证 OCD90（2）易求半径 OC 的长在 Rt OCD 中，运用三角函数求 CD【解答】（1）证明：连接 OC OB OC， B30， OCB B30 COD B+ OCB60 （1 分） BDC30， BDC+ COD90， DC OC （2 分
30、） BC 是弦，点 C 在 O 上， DC 是 O 的切线，点 C 是 O 的切点 （2）解： AB2， OC OB 1 （4 分）在 Rt COD 中， OCD90， D30， DC OC （5 分）【点评】本题考查了切线的判定，证明经过圆上一点的直线是圆的切线，常作的辅助线是连接圆心和该点，证明直线和该半径垂直22【分析】（1）将 A.B 点坐标代入二次函数表达式即可求解，同理可得直线 BC 的表达式；（2） EF（ a2+ a+2）（ a， a+2） （ a2） 2+2，即可求解； S 四边形CDBF S BCD+S CEF+S BEF，即可求解；（3） PCD 是以 CD 为腰的等腰三
31、角形时，点 P 的位置如图所示 P1.P2.P3，分别求解即可【解答】解：（1）将 A.B 点坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ，故抛物线的表达式为： y x2+ x+2；设：直线 BC 的表达式为： y kx+m，将 B.C 坐标代入上式得： ，解得： ，故直线 BC 的表达式为： y x+2；（2）设 E（ a， a+2），则点 F（ a， a2+ a+2），EF（ a2+ a+2）（ a， a+2） （ a2） 2+2，当 a2 时， EF 取得最大值为 2，此时点 F（2，3）； S 四边形 CDBF S BCD+S CEF+S BEF 2+ （ a2+2a）（ a+4 a）（ a2）2+ ，0 a4，当 a2 时， S 四边形 CDBF最大值为 ，此时点 E（2，1）；（3） PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形时，点 P 的位置如图所示 P1.P2.P3，当 CD DP，即 P 点处于点 P2的位置，CD ，即点 P2坐标为（ ， ），同理可得点 P1.P3的坐标为（ ，4）、（ ， ）点 P 的坐标为（ ，4）或（ ， ）或（ ， ）【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系