1、2019 年北京市丰台区卢沟桥中学中考数学一模试卷一选择题（共 8 小题，满分 16 分，每小题 2 分）1十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从 54 万亿元增长 80 万亿元，稳居世界第二，其中 80 万亿用科学记数法表示为（ ）A810 12 B810 13 C810 14 D0.810 132下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A BC D3实数 A.b 在数轴上的位置如图所示，则化简| a b| b 的结果为（ ）A a2 b B2 b a C a D a4如图所示的圆柱体从正面看得到的图形可能是（ ）A
2、 B C D5如图，在 ABC 中， C90， EF AB，133，则 A 的度数为（ ）A57 B47 C43 D336如图，在 Rt ABC 中， CD 是斜边 AB 上的中线，已知 CD1.5， BC2，则 cosB 的值是（ ）A B C D7下表是某校合唱团成员的年龄分布：年龄/岁 13 14 15 16频数 5 15 x 10 x对于不同的 x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）A众数、中位数 B中位数、方差C平均数、中位数 D平均数、方差8小明从家步行到校车站台，等候坐校车去学校，图中的折线表示这一过程中小明的路程S（ km）与所花时间 t（ min）间的函数关系；下列说
3、法：他步行了 1km 到校车站台；他步行的速度是 100m/min；他在校车站台等了 6min；校车运行的速度是 200m/min；其中正确的个数是（ ）个A1 B2 C3 D4二填空题（共 8 小题，满分 16 分，每小题 2 分）9若式子 的值为零，则 x 的值为 10如图，正方形 ABCD 的顶点 A（6，0）、 B（6，2）、 C（8，2）、 D（8，0）， OC 分别交 AB.BD于点 E.F，则 BEF 的面积为 11如果 a2 a10，那么代数式（ a ） 的值是 12请写出一个开口向下，且与 y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式 13一只蚂蚁在如图所示的正方形 ABCD
4、 的图案内爬行（假设蚂蚁在图案内部各点爬行的机会是均等的），蚂蚁停留在阴影部分的概率为 14九章算术中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金 x 两，每只羊值金 y 两，可列方程组为 15如图，一等腰三角形，底边长是 21 厘米，底边上的高是 21 厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为 3 厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 个16下面是“作出 所在的圆”的尺规作图过程已知： 求作： 所在的圆作法：如图，（1）
5、在 上任取三个点 D， C， E；（2）连接 DC， EC；（3）分别作 DC 和 EC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点 O（4）以 O 为圆心， OC 长为半径作圆，所以 O 即为所求作的 所在的圆请回答：该尺规作图的依据是 三解答题（共 12 小题，满分 68 分）17计算：|1+ | （5） 0+4cos4518解不等式组19在一空旷场地上设计一落地为矩形 ABCD 的小屋， AB+BC10 m拴住小狗的 10m 长的绳子一端固定在 B 点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为 S（ m2）如图 1，若 BC4 m，则 S m2如图 2，现考虑在（1）中的矩形
6、 ABCD 小屋的右侧以 CD 为边拓展一正 CDE 区域，使之变成落地为五边形 ABCED 的小屋，其它条件不变则在 BC 的变化过程中，当 S 取得最小值时，边 BC的长为 m20如图，在 ABC 中， D 为 BC 的中点，过 D 点的直线 GF 交 AC 于点 F，交 AC 的平行线 BG 于点G， DE GF，并交 AB 于点 E，连接 EG， EF（1）求证： BG CF（2）请你猜想 BE+CF 与 EF 的大小关系，并说明理由21阅读下列材料：求函数 y 的最大值解：将原函数转化成关于 x 的一元二次方程，得（ y2） x2+（ y3） x+0.25y0 当 y2 时， x 为
7、实数，（ y3） 24（ y2）0.25 y4 y+90 y 且 y2；当 y2 时，（ y2） x2+（ y3） x+0.25y0 即为 x+0.50，方程有解（ x 的值存在）； y 因此， y 的最大值为 根据材料给你的启示，求函数 y 的最小值22近几年，随着电子商务的快速发展，“电商包裹件”占快递件总量的比例逐年增长，根据企业财报，某网站得到如下统计表：年份 2014 2015 2016 2017快递件总量（亿件） 140 207 310 450电商包裹件（亿件） 98 153 235 351（1）请计算出 20142017 年“电商包裹件”占当年“快递件”总量的百分比（精确到 1%
8、），并在图中对应画出折线统计图（2）若 2018 年“快递件”总量将达到 675 亿件，请估计其中“电商包裹件”为多少亿件23如图，在三角形 ABC 中， D.E 分别是 AB.AC 的中点， BE2 DE，延长 DE 到 F，使 EF BE，连接CF（1）求证：四边形 BCFE 是菱形；（2）若 CE4， BCF120，求菱形 BCFE 的面积24已知一次函数 y k1x+b 与反比例函数 y 的图象交于第一象限内的 P（ ，8），Q（4， m）两点，与 x 轴交于 A 点（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）直接写出不等式 k1x+b 的解集；（3） M 为线段 PQ 上一点，且 MN
9、x 轴于 N，求 MON 的面积最大值及对应的 M 点坐标25如图，在 ABC 中， AB AC， O 为 BC 的中点， AC 与半圆 O 相切于点 D（1）求证： AB 是半圆 O 所在圆的切线；（2）若 cos ABC ， AB12，求半圆 O 所在圆的半径26已知 y 是 x 的函数，该函数的图象经过 A（1，6）， B（3，2）两点（1）请写出一个符合要求的函数表达式 ；（2）若该函数的图象还经过点 C（4，3），自变量 x 的取值范围是 x0，该函数无最小值如图，在给定的坐标系 xOy 中，画出一个符合条件的函数的图象；根据中画出的函数图象，写出 x6 对应的函数值 y 约为 ；（
10、3）写出（2）中函数的一条性质（题目中已给出的除外）27如图，抛物线 y x2+bx+c（ b 为常数）与 x 轴交于 A.C 两点，与 y 轴交于 B 点，直线 AB的函数关系式为 y x+ （1）求该抛物线的函数关系式与 C 点坐标；（2）已知点 M（ m，0）是线段 OA 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线 l 分别与直线 AB 和抛物线交于 D.E 两点，当 m 为何值时， BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当 BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形时，动点 M 相应位置记为点M，将 OM绕原点 O 顺时针旋转得到 ON（旋转角在 0到 90
11、之间）；探究：线段 OB 上是否存在定点 P（ P 不与 O、 B 重合），无论 ON 如何旋转， 始终保持不变，若存在，试求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；试求出此旋转过程中，（ NA+ NB）的最小值28如图：在 ABC 中， BAC110， AC AB，射线 AD.AE 的夹角为 55，过点 B 作 BF AD 于点 F，直线 BF 交 AE 于点 G，连结 CG（1）如图 1，若射线 AD.AE 都在 BAC 的内部，且点 B 与点 B关于 AD 对称，求证： CG BG；（2）如图 2，若射线 AD 在 BAC 的内部，射线 AE 在 BAC 的外部，其他条件不变，求证：CG
12、BG2 GF；（3）如图 3，若射线 AD.AE 都在 BAC 的外部，其他条件不变，若 CG GF， AF3， SABG7.5，求 BF 的长2019 年北京市丰台区卢沟桥中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题，满分 16 分，每小题 2 分）1【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1| a|10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数【解答】解：80 万亿用科学记数法表示为 81013故选： B【点评】此题考查科学
13、记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中1| a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值2【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解： A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误故选： B【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3【分析】在数
14、轴上，右边的数总大于左边的数原点右边的表示正数，原点左边的表示负数【解答】解：由图可知： a0 b， a b0，可得：| a b| b a+b b a，故选： C【点评】本题考查了数轴，学会根据点在数轴上的位置来判断数的正负以及代数式的值的符号4【分析】根据圆柱从正面看的平面图形是矩形进行解答即可【解答】解：一个直立在水平面上的圆柱体，从正面看是一个矩形，故选： B【点评】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置，以及注意所有的看到的棱都应表现在三视图中5【分析】先根据平行线的性质求出 B 的度数，再由直角三角形的性质求出 A 的度数即可【解答】解： EF AB，133， B133，
15、 ABC 中， C90， B33， A90 B903357故选： A【点评】本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等6【分析】根据直角三角形的性质求出 AB，根据余弦的定义计算即可【解答】解：Rt ABC 中， CD 是斜边 AB 上的中线， AB2 CD3，在 Rt ABC 中，cos B ，故选： A【点评】本题考查的是解直角三角形、直角三角形的性质，掌握余弦的定义、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键7【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为 10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第 15.16 个数据的平均数，可
16、得答案【解答】解：由表可知，年龄为 15 岁与年龄为 16 岁的频数和为 x+10 x10，则总人数为：5+15+1030，故该组数据的众数为 14 岁，中位数为： 14 岁，即对于不同的 x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选： A【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键8【分析】根据从原点开始的第一条线段可知：小明用了 10 分钟步行了 1km 到校站台，从第二条水平线段可知：小明在校站台等了 6min，从第三条线段可知：小明用了 14min 的时间坐校车，走了 7km 的路
17、程，依次分析，选出正确的个数即可【解答】解：根据题意得：小明用了 10 分钟步行了 1km 到校站台，即小明步行了 1km 到校车站台，正确，100010100 m/min，即他步行的速度是 100m/min，正确，小明在校车站台从第 10min 等到第 16min，即他在校车站台等了 6min，正确，小明用了 14min 的时间坐校车，走了 7km 的路程，700014500 m/min，即校车运行的速度是 500m/min，不正确，即正确的是，故选： C【点评】本题考查了一次函数的应用，正确掌握结合图象分析问题的方法是解题的关键二填空题（共 8 小题，满分 16 分，每小题 2 分）9【分
18、析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不等于零，进而得出答案【解答】解：式子 的值为零， x210，（ x1）（ x+2）0，解得： x1故答案为：1【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关性质是解题关键10【分析】由 BC AD，推出 ，可得 S BCF S BDC ，由 BE CD，推出 ，可得 S BEF S BCF解决问题【解答】解： A（6，0）、 B（6，2）、 C（8，2）、 D（8，0）， OA6， OD8， AB AD CD BC2，四边形 ABCD 是正方形， BC AD， AB CD， ， S BCF S BDC ， BE CD， ， S BEF S BCF
19、 ，故答案为 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，坐标与图形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型11【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值【解答】解： a2 a10，即 a2 a1，原式 a（ a1） a2 a1，故答案为：1【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键12【分析】把（0，4）作为抛物线的顶点，令 a1，然后利用顶点式写出满足条件的抛物线解析式【解答】解：因为抛物线的开口向下，则可设 a1，又因为抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，4），则可设顶点
20、为（0，4），所以此时抛物线的解析式为 y x2+4故答案为 y x2+4【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解13【分析】根据正方形的性质求出阴影部分占整个面积的 ，进而得出答案【解答】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的 ，因此一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影
21、部分的概率是： 故答案为： 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（ A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（ A）发生的概率14【分析】根据“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两”，得到等量关系，即可列出方程组【解答】解：根据题意得： 故答案为： 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系15【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方
22、形中平行于底边的边是 3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为 x，则 ，解得 x3，所以另一段长为 21318，因为 1836，所以是第 6 个故答案为：6【点评】本题主要考查了相相似三角形的判定和性质，关键是根据似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用解答16【分析】由中垂线的性质知 OD OC OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得【解答】解：分别作 DC 和 EC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点 O OD OC OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），点 A.B.C.D.E 在以 O 为圆心， OC 长为半径的圆上（平
23、面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上【点评】本题主要考查作图尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念三解答题（共 12 小题，满分 68 分）17【分析】原式利用绝对值的代数意义，二次根式性质，零指数幂，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解：原式 1 2 1+4 2 2【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键18【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集【解答】解：解不等式 2x+11，得： x
24、1，解不等式 x+14（ x2），得： x3，则不等式组的解集为1 x3【点评】本题考查一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了19【分析】（1）小狗活动的区域面积为以 B 为圆心、10 为半径的 圆，以 C 为圆心、6 为半径的 圆和以 A 为圆心、4 为半径的 圆的面积和，据此列式求解可得；（2）此时小狗活动的区域面积为以 B 为圆心、10 为半径的 圆，以 A 为圆心、 x 为半径的 圆、以 C 为圆心、10 x 为半径的 圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可【解答】解：（1）如图 1，拴住小狗的 1
25、0m 长的绳子一端固定在 B 点处，小狗可以活动的区域如图所示：由图可知，小狗活动的区域面积为以 B 为圆心、10 为半径的 圆，以 C 为圆心、6 为半径的 圆和以 A 为圆心、4 为半径的 圆的面积和， S 10 2+ 6 2+ 4 288，故答案为：88；（2）如图 2，设 BC x，则 AB10 x， S 10 2+ x2+ （10 x） 2 （ x25 x+250） （ x ） 2+ ，当 x 时， S 取得最小值， BC ，故答案为： 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积20【分析】（1）求出 C
26、 GBD， BD DC，根据 ASA 证出 CFD BGD 即可（2）根据全等得出 BG CF，根据三角形三边关系定理求出即可【解答】（1）证明： BG AC， C GBD， D 是 BC 的中点， BD DC，在 CFD 和 BGD 中， CFD BGD， BG CF（2） BE+CF EF，理由如下： CFD BGD， CF BG，在 BGE 中， BG+BE EG，由（2）知： GD GD， ED GF， EF EG， BG+CF EF【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力21【分析】模仿例题，利用根的
27、判别式解决问题即可；【解答】解：将原函数转化成关于 x 的一元二次方程，得（ y3） x2+（2 y+2） x+y10，当 y3 时， x 为实数，（2 y+2） 24（ y3）（ y1）24 y80 y 且 y3；当 y3 时，（ y3） x2+（2 y+2） x+y10 即为 8x+20，方程有解（ x 的值存在）； y 因此， y 的最小值为 【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型22【分析】（1）分别计算各年的百分比，并画统计图，也可以画条形图；（2）从 2014 到 2017 发现每年上涨两个百分点，所以估计 2018
28、年的百分比为 80%，据此计算即可【解答】解：（1）2014：981400.7，2015：1532070.74，2016：2353100.76，2017：3514500.78，画统计图如下：（2）根据统计图，可以预估 2018 年“电商包裹件”占当年“快递件”总量的 80%，所以，2018 年“电商包裹件”估计约为：67580%540（亿件），答：估计其中“电商包裹件”约为 540 亿件【点评】本题考查了统计图的选择、百分比的计算，明确折线统计图的特点：能清楚地反映事物的变化情况显示数据变化趋势23【分析】（1）只要证明四边形 BCFE 是平行四边形，又因为 BE FE，所以是菱形；（2） B
29、CF 是 120，所以 EBC 为 60，所以菱形的边长也为 4，求出菱形的高面积就可求【解答】（1）证明： D.E 分别是 AB.AC 的中点， DE BC 且 2DE BC，又 BE2 DE， EF BE， EF BC， EF BC，四边形 BCFE 是平行四边形，又 BE FE，四边形 BCFE 是菱形；（2）解： BCF120， EBC60， EBC 是等边三角形，菱形的边长为 4，高为 2 ，菱形的面积为 42 8 【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点，解题的关键是灵活应用菱形的两个面积公式解决问题，掌握由 120这个条件推出等边三角形的方
30、法，属于中考常考题型24【分析】（1）根据根据 P（ ，8）可得反比例函数解析式，根据 P（ ，8）， Q（4，1）两点可得一次函数解析式；（2）根据图象性质可以解得；（3）设 M（ x，2 x+9），可用 x 表示 S MON，根据二次函数的最值可解 MON 的面积最大值及对应的 M 点坐标【解答】解：（1）点 P（ ，8）在反比例函数图象上8 k24反比例函数的表达式为： y Q（4，1）一次函数 y k1x+b 与反比例函数 y 的图象交于 P， Q解得：一次函数的表达式为 y2 x+9；（2）由图象得：当 x0 或 x4 时， k1x+b （3）设 M（ x，2 x+9） ON x，
31、MN2 X+9 S MON ONMN x（2 x+9） x2+ x（ x ） 2+当 x 时，面积最大值为 ，即 M（ ， ）【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象的性质，二次函数的最值问题解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式25【分析】（1）先判断出 CAO BAO，进而判断出 OD OE，即可得出结论；（2）先求出 OB，再用勾股定理求出 OA，最后用三角形的面积即可得出结论【解答】解：（1）如图，作 OE AB 于 E，连接 OD， OA， AB AC，点 O 是 BC 的中点， CAO BAO， AC 与半圆 O 相切于 D， OD AC， OE AB， OD
32、OE， AB 经过半圆 O 的半径的外端点， AB 是半圆 O 所在圆的切线；（2） AB AC， O 是 BC 的中点， AO BC，在 Rt AOB 中， OB ABcos ABC12 8，根据勾股定理得， OA 4 ，由三角形的面积得， S AOB ABOE OBOA， OE ，即：半圆 O 所在圆的半径为 【点评】此题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形的面积的计算方法，求出 OB 是解本题的关键26【分析】根据待定系数法求取函数解析式，在根据对称轴和描点法画图象即可【解答】（1）答案不唯一，例如 ， y2 x+8， y x26 x+11 等；（
33、2） 当 x6 时， y11，（3）对称轴为 x3，当 x3 时， y 有最小值为 y2【点评】本题考查了函数的解析式的求法，关键是找出符合条件的函数27【分析】（1）根据已知条件得到 B（0， ）， A（6，0），解方程组得到抛物线的函数关系式为： y x2 x+ ，于是得到 C（1，0）；（2）由点 M（ m，0），过点 M 作 x 轴的垂线 l 分别与直线 AB 和抛物线交于 D.E 两点，得到D（ m， m+ ），当 DE 为底时，作 BG DE 于 G，根据等腰三角形的性质得到EG GD ED， GM OB ，列方程即可得到结论；（3）根据已知条件得到 ON OM4， OB ，由 N
34、OP BON，特殊的当 NOP BON时，根据相似三角形的性质得到 ，于是得到结论；根据题意得到 N 在以 O 为圆心，4 为半径的半圆上，由知， ，得到 NP NB，于是得到（ NA+ NB）的最小值 NA+NP，此时 N， A， P 三点共线，根据勾股定理得到结论【解答】解：（1）在 y x+ 中，令 x0，则 y ，令 y0，则 x6， B（0， ）， A（6，0），把 B（0， ）， A（6，0）代入 y x2+bx+c 得， ，抛物线的函数关系式为： y x2 x+ ，令 y0，则 0 x2 x+ ， x16， x21， C（1，0）；（2）点 M（ m，0），过点 M 作 x 轴的
35、垂线 l 分别与直线 AB 和抛物线交于 D.E 两点， D（ m， m+ ），当 DE 为底时，如图 1，作 BG DE 于 G，则 EG GD ED， GM OB ， DM+DG GM OB， m+ + （ m2 m+ m ） ，解得： m14， m20（不合题意，舍去），当 m4 时， BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形；（3）存在，如图 2 ON OM4， OB ， NOP BON，当 NOP BON 时， ， 不变，即 OP ON 43， P（0，3）； N 在以 O 为圆心，4 为半径的半圆上，由知， ， NP NB，（ NA+ NB）的最小值 NA+NP，此时 N， A，
36、 P 三点共线，（ NA+ NB）的最小值 3 【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求抛物线的解析式，函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键28【分析】（1）先判断出 AC AB，再用等式的性质判断出 BAF BAF，进而判断出CGA BGA，即可得出结论；（2）先判断出 GAF GAF，再判断出 GAC GAB，进而得出 GAC GAB，即CG GB，即可得出结论；（3）同（2）的方法判断出 CG GB，最后用面积建立方程求出 k 的值，即可得出结论【解答】（1）证明：如图 1，连接 AB， B， B关于 AD 对
37、称， BB被 AD 垂直平分， AB AB， AC AB， AC AB， AF BG， BAF BAF， GAF55， BAF+GAB55， CAB110， CAG+ FAB55， BAF+ GAB CAG+ FAB， BAF BAF， GAB CAG， AG AG， CGA BGA， CG BG，（2）证明：如图 2，在 FB 上截取 FG GF，连接 AG， BF AD， AG AG， GAF GAF， GAG2 GAF110， CAB110， GAG CAB， GAG CAG CAB CAG， GAC GAB， AC AB， GAC GAB， CG GB， FG GF， CG2 GF，
38、GB GG+GB， GB2 GF+CG， CG GB2 GF，（3）解：延长 BF 至点 G，使 GF GF，连接 AG， BF AD， AG AG， GAF GAF， GAG2 GAF110， CAB110， GAG CAB， GAG CAG CAB CAG， GAC GAB， AC AB， GAC GAB， CG GB， CG GF，设 GF5 k， CG14 k， GF5 k， BG14 k， BG4 k， S ABG7.5， AF3， BGAF7.5， 4k37.5， k ， BF9 k 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对称的性质，垂直平分线的性质，判断出 CG GB是解本题的关键