1、河南省南阳市镇平县 2019 年中考数学 3 月模拟试题一、选择题（每小题 3 分,共 30 分)1估计 +1 的值在（ ）A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间2下列调查中，最适合用普查方式的是（ ）A调查一批电视机的使用寿命情况B调查某中学九年级一班学生的视力情况C调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况D调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况3关于 x 的一元二次方程 x2+（2 m+1） x+m210 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ）A m B m C m D m4甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的 3
2、 个扇形）做游戏游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘甲获胜的概率是（ ）A B C D52015 年髙考已经结束，南平市教研室从各校随机抽取 1000 名考生的数学试卷进行调査分析，这个问题的样本容量是（ ）A1000 B1000 名C1000 名学生 D1000 名考生的数学试卷6如图，平面直角坐标系中放置一个直角三角板 OAB， OAB60，顶点 A 的坐标为（1，0），现将该三角板向右平移使点 A 与点 O 重合，得到 OCB，则点 B 的对应点 B的坐标是（ ）A（1，0） B（
3、） C（1， ） D（1， ）7如图，在 ABC 中， EF BC， AB3 AE，若 S 四边形 BCFE16，则 S ABC（ ）A16 B18 C20 D248如图，若二次函数 y ax2+bx+c（ a0）图象的对称轴为 x1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点A.点 B（1，0），则二次函数的最大值为 a+b+c； a b+c0； b24 ac0；当 y0 时，1 x3其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D49如图，已知 ABC 为等边三角形， AB2，点 D 为边 AB 上一点，过点 D 作 DE AC，交 BC 于 E 点；过 E 点作 EF DE，交 AB 的延长线于
4、F 点设 AD x， DEF 的面积为 y，则能大致反映 y 与 x函数关系的图象是（ ）A BC D10如图，在扇形 AOB 中， AOB90，半径 OA6，将扇形 AOB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落在弧 AB 上点 D 处，折痕交 OA 于点 C，则整个阴影部分的面积为（ ）A99 B96 C918 D912二、填空题（每小题 3 分,共 15 分)11计算 6 的结果是 12将二次函数 y x21 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是 13为了解全区 5000 名初中毕业生的体重情况，随机抽测了 400 名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含
5、最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02.0.03.0.04.0.05，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于 60 千克的学生人数约为 人14如图，在 ABC 中， BC4，以点 A 为圆心，2 为半径的 A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，点 P 是 A 上的一点，且 EPF45，则图中阴影部分的面积为 15如图，在矩形 ABCD 中， AB5， BC3，点 E 为射线 BC 上一动点，将 ABE 沿 AE 折叠，得到 AB E若 B恰好落在射线 CD 上，则 BE 的长为 三、解答题（本大题共 8 个小题,满分 75 分)16（8
6、分）先化简，再求值： ，其中 x3tan30+117（9 分）学校开设以下体育课外活动项目： A篮球， B乒乓球， C跳绳， D踢毽子为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有 人；（2）如果该校共有 1200 名学生，请你估计喜欢跳绳活动项目的学生数；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）18（9 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（ n+3） x+3n0（1）求证：
7、此方程总有两个实数根；（2）若此方程有两个相等的实数根，写出这个方程并求出此时方程的根19（9 分）如图， AB 为 O 的直径， F 为弦 AC 的中点，连接 OF 并延长交弧 AC 于点 D，过点 D 作 O 的切线，交 BA 的延长线于点 E（1）求证： AC DE；（2）连接 AD.CD.OC填空当 OAC 的度数为 时，四边形 AOCD 为菱形；当 OA AE2 时，四边形 ACDE 的面积为 20（9 分）如图是某工厂货物传送带的平面示意图，为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传动带与地面的夹角，使其 AB 的坡角由原来的 43改为 30已知原传送带 AB 长为 5 米求新旧货物传
8、送带着地点 B.C 之间相距多远？（结果保留整数，参考数据：sin430.68，cos430.73，tan430.93， 1.41， 1.73）21（10 分）如图，已知二次函数的图象过点 O（0，0） A（8，4），与 x 轴交于另一点 B，且对称轴是直线 x3（1）求该二次函数的解析式；（2）若 M 是 OB 上的一点，作 MN AB 交 OA 于 N，当 ANM 面积最大时，求 M 的坐标；（3） P 是 x 轴上的点，过 P 作 PQ x 轴与抛物线交于 Q过 A 作 AC x 轴于 C，当以 O， P， Q 为顶点的三角形与以 O， A， C 为顶点的三角形相似时，求 P 点的坐标2
9、2（10 分）（1）【问题发现】如图 1， ABC 和 CEF 都是等腰直角三角形， BAC EFC90，点 E 与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将 CEF 绕点 C 旋转，连接 BE， AF，线段 BE 与 AF 的数量关系有无变化？仅就图 2 的情形给出证明；（3）【问题发现】当 AB AC2， CEF 旋转到 B， E， F 三点共线时候，直接写出线段 AF 的长23（11 分）如图，在平面直角坐标系中， ABC 是直角三角形， ACB90，AC BC， OA1， OC4，抛物线 y x2+bx+c 经过 A， B 两点，抛物线
10、的顶点为 D（1）求 b， c 的值；（2）点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（点 A.B 除外），过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点 E.B.F、 D 为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点 P，使 EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分,共 30 分)1【分析】先估算出 的范围，即可得出答案【解答】解：3 4，4 +15，即 +1 在 4 和 5 之间，故选： C【点评】本题考查了估算无理
11、数的大小，能估算出 的范围是解此题的关键2【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似【解答】解： A.调查一批电视机的使用寿命情况，调查局有破坏性，适合抽样调查，故 A 不符合题意；B.调查某中学九年级一班学生的视力情况，适合普查，故 B 符合题意；C.调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况，调查范围广，适合抽样调查，故 C 不符合题意；D.调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况，适合抽样调查，故 D 不符合题意；故选： B【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说
12、，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查3【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出结论【解答】解：方程 x2+（2 m+1） x+m210 有两个不相等的实数根，（2 m+1） 24（ m21）4 m+50，解得： m 故选： D【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟练掌握“当0 时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键4【分析】首先画出树状图，然后计算出数字之和为偶数的情况有 5 种，进而可得答案【解答】解：如图所示：数字之和为偶数的情况有 5
13、 种，因此甲获胜的概率为 ，故选： C【点评】此题主要考查了画树状图和概率，关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比5【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目【解答】解：根据样本容量是指样本中个体的数目，所以这个问题的样本容量是 1000故选： A【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象6【分析】解直角三角形求出 OB 的长即可解决问题【解答】解： A（1，0）， OA1，在 Rt AOB 中， AOB90， BAO60， OA1， OB O
14、A ，平移后， OC1， CB OB ， B（1， ），故选： C【点评】本题考查解直角三角形，坐标平移等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型7【分析】由 EF BC，可证明 AEF ABC，利用相似三角形的性质即可求出 S ABC的值【解答】解： EF BC， AEF ABC， AB3 AE， AE： AB1：3， S AEF： S ABC1：9，设 S AEF x， S 四边形 BCFE16， ，解得： x2， S ABC18，故选： B【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目8【分析】直
15、接利用二次函数的开口方向以及图象与 x 轴的交点，进而分别分析得出答案【解答】解：二次函数 y ax2+bx+c（ a0）图象的对称轴为 x1，且开口向下， x1 时， y a+b+c，即二次函数的最大值为 a+b+c，故正确；当 x1 时， a b+c0，故错误；图象与 x 轴有 2 个交点，故 b24 ac0，故错误；图象的对称轴为 x1，与 x 轴交于点 A.点 B（1，0）， A（3，0），故当 y0 时，1 x3，故正确故选： B【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出 A 点坐标是解题关键9【分析】根据平行线的性质可得 EDF B60，根据三角形内角和定
16、理即可求得 F30，然后证得 EDB 是等边三角形，从而求得 ED DB2 x，再根据直角三角形的性质求得 EF，最后根据三角形的面积公式求得 y 与 x 函数关系式，根据函数关系式即可判定【解答】解： ABC 是等边三角形， A C ABC60， DE AC， EDF A60， DEB B60 EF DE， DEF90， F90 EDC30； EDB DEB60， EDB 是等边三角形 ED DB2 x， DEF90， F30， EF ED （2 x） y EDEF （2 x） （2 x），即 y （ x2） 2，（ x2），故选： A【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形
17、的性质，特殊角的三角函数、三角形的面积等10【分析】首先连接 OD，由折叠的性质，可得 CD CO， BD BO， DBC OBC，则可得 OBD是等边三角形，继而求得 OC 的长，即可求得 OBC 与 BCD 的面积，又在扇形 OAB 中， AOB90，半径 OA6，即可求得扇形 OAB 的面积，继而求得阴影部分面积【解答】解：连接 OD根据折叠的性质， CD CO， BD BO， DBC OBC， OB OD BD，即 OBD 是等边三角形， DBO60， CBO DBO30， AOB90， OC OBtan CBO6 2 ， S BDC S OBC OBOC 62 6 ， S 扇形 AO
18、B 6 29，整个阴影部分的面积为： S 扇形 AOB S BDC S OBC96 6 912 故选： D【点评】此题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法二、填空题（每小题 3 分,共 15 分)11【分析】先将二次根式化简即可求出答案【解答】解：原式3 6 3 2 故答案为：【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型12【分析】先确定二次函数 y x21 的顶点坐标为（0，1），再根据点平移的规律得到点（0，1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线
19、解析式【解答】解：二次函数 y x21 的顶点坐标为（0，1），把点（0，1）向上平移 3 个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为 y x2+2故答案为： y x2+2【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式13【分析】先根据频率分布直方图，得到从左至右前四组的频率，进而得出后两组的频率之和，最后根据总数频率，即可得到体重不小于 60 千克的学生人数【解答】解：从左至右前
20、四个小长方形的高依次为 0.02.0.03.0.04.0.05，从左至右前四组的频率依次为 0.0250.1.0.0350.15.0.0450.2.0.0550.25，后两组的频率之和为：10.10.150.20.250.3，体重不小于 60 千克的学生人数约为：50000.31500 人，故答案为：1500【点评】本题考查了频数分布图和频率分布直方图的知识，根据频率、频数及样本容量之间的关系进行正确的运算是解题的关键14【分析】图中阴影部分的面积 S ABC S 扇形 AEF由圆周角定理推知 BAC90【解答】解：如图，连接 AD A 与 BC 相切于点 D， AD BC EPF45， BA
21、C2 EPF90 S 阴影 S ABC S 扇形 AEF BCAD 42 4故答案是：4【点评】本题考查了切线的性质与扇形面积的计算求阴影部分的面积时，采用了“分割法”15【分析】如图 1，根据折叠的性质得到 AB AB5， B E BE，根据勾股定理得到BE2（3 BE） 2+12，于是得到 BE ，如图 2，根据折叠的性质得到 AB AB5，求得 AB BF5，根据勾股定理得到 CF4 根据相似三角形的性质列方程得到 CE12，即可得到结论【解答】解：如图 1，将 ABE 沿 AE 折叠，得到 AB E， AB AB5， B E BE， CE3 BE， AD3， DB4， B C1， B
22、E2 CE2+B C2， BE2（3 BE） 2+12， BE ，如图 2，将 ABE 沿 AE 折叠，得到 AB E， AB AB5， CD AB，13，12，23， AE 垂直平分 BB， AB BF5， CF4， CF AB， CEF ABE， ，即 ， CE12， BE15，综上所述： BE 的长为： 或 15，故答案为： 或 15【点评】本题考查了翻折变换折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，正确的作出图形是解题的关键三、解答题（本大题共 8 个小题,满分 75 分)16【分析】将原式除式的第一项分子分母同时乘以 x+3，然后利用同分母分式的减法法则计算，将被除式分母利用平方差公式分
23、解因式，除式分母利用平方差公式分解因式，分子利用完全平方公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，然后利用特殊角的三角函数值求出 x 的值，将 x 的值代入化简后的式子中计算，即可求出原式的值【解答】解： （ ） ，当 x3tan30+13 +1 +1 时，原式 【点评】此题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时若分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分17【分析】（1）根据篮球的人数和圆心角的度数即可求出这次被调查的学
24、生数；（2）用该校的学生数乘以喜欢跳绳活动项目的学生所占的百分比即可；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）根据题意得：20 200（人），答：这次被调查的学生共有 200 人；故答案为：200；（2）根据题意得：1200 360（人），答：喜欢跳绳活动项目的学生有 360 人；（3）列表如下：甲 乙 丙 丁甲 一 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）乙 （甲，乙） 一 （丙，乙） （丁，乙）丙 （甲，丙） （乙，丙） 一 （丁，丙）丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 一共有 12 种等可能的
25、情况，恰好选中甲、乙两位同学的有 2 种， P（选中甲、乙） 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比18【分析】（1）计算判别式得到（ n3） 20，然后根据判别式的得到结论；（2）利用0 得到 n3，从而得到方程为 x26 x+90，然后利用配方法解方程即可【解答】（1）证明：（ n+3） 243 n（ n3） 2，（ n3） 20，0，此方程总有两个实数根；（2）根据题意得（ n3） 20，解得 n3，此时方程为 x26 x+90，（ x3） 20， x1 x23【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2
26、+bx+c0（ a0）的根与 b24 ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根19【分析】（1）由垂径定理，切线的性质可得 FO AC， OD DE，可得 AC DE；（2）连接 CD， AD， OC，由题意可证 ADO 是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF OF， AF FC，且 AC OD，可证四边形 AOCD 为菱形；由题意可证 AFO ODE，可得 ，即 OD2 OF， DE2 AF AC，可证四边形 ACDE 是平行四边形，由勾股定理可求 DE 的长，即可求四边形 ACDE 的面积【解答】证明：（1）
27、F 为弦 AC 的中点， AF CF，且 OF 过圆心 O FO AC， DE 是 O 切线 OD DE DE AC（2）当 OAC30时，四边形 AOCD 是菱形，理由如下：如图，连接 CD， AD， OC， OAC30， OF AC AOF60 AO DO， AOF60 ADO 是等边三角形又 AF DO DF FO，且 AF CF，四边形 AOCD 是平行四边形又 AO CO四边形 AOCD 是菱形如图，连接 CD， AC DE AFO ODE OD2 OF， DE2 AF AC2 AF DE AC，且 DE AC四边形 ACDE 是平行四边形 OA AE OD2 OF DF1， OE4
28、在 Rt ODE 中， DE 2 S 四边形 ACDE DEDF2 12故答案为：2【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键20【分析】过 A 作 BC 的垂线 AD在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在 Rt ACD 中，求出 AC 的长再通过解直角三角形，可求出 BD.CD 的长，进而可求出BC 的长【解答】解：过点 A 作 AD 垂直于 CB 的延长线于点 D 在 Rt ADB 中， AB5 米， ABD43，sin ABD ，
29、cos ABD ， AD ABsin ABD5sin433.41 米，BD ABcos ABD5cos433.66 米在 Rt ADC 中，sin ACD ，AC 6.82 米，在 Rt ACD 中， AC6.82， ACD30，cos ACD ，CD ACcos ACD6.82cos305.91 米 BC CD BD2 米答：新旧货物传送带着地点 B.C 之间大约相距 2 米【点评】本题考查了坡度坡角问题，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路21【分析】（1）先
30、利用抛物线的对称性确定 B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设 M（ t，0），先其求出直线 OA 的解析式为 y x，直线 AB 的解析式为 y2 x12，直线 MN 的解析式为 y2 x2 t，再通过解方程组 得 N（ t， t），接着利用三角形面积公式，利用 S AMN S AOM S NOM得到 S AMN 4t t t，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设 Q（ m， m2 m），根据相似三角形的判定方法，当 时， PQO COA，则| m2 m|2| m|；当 时， PQO CAO，则| m2 m| |m|，然后分别解关于 m的绝对值方程可得到对应的 P 点坐标【解
31、答】解：（1）抛物线过原点，对称轴是直线 x3， B 点坐标为（6，0），设抛物线解析式为 y ax（ x6），把 A（8，4）代入得 a824，解得 a ，抛物线解析式为 y x（ x6），即 y x2 x；（2）设 M（ t，0），易得直线 OA 的解析式为 y x，设直线 AB 的解析式为 y kx+b，把 B（6，0）， A（8，4）代入得 ，解得 ，直线 AB 的解析式为 y2 x12， MN AB，设直线 MN 的解析式为 y2 x+n，把 M（ t，0）代入得 2t+n0，解得 n2 t，直线 MN 的解析式为 y2 x2 t，解方程组 得 ，则 N（ t， t）， S AMN
32、S AOM S NOM 4t t t t2+2t （ t3） 2+3，当 t3 时， S AMN有最大值 3，此时 M 点坐标为（3，0）；（3）设 Q（ m， m2 m）， OPQ ACO，当 时， PQO COA，即 ， PQ2 PO，即| m2 m|2| m|，解方程 m2 m2 m 得 m10（舍去）， m214，此时 P 点坐标为（14，0）；解方程 m2 m2 m 得 m10（舍去）， m22，此时 P 点坐标为（2，0）；当 时， PQO CAO，即 ， PQ PO，即| m2 m| |m|，解方程 m2 m m 得 m10（舍去）， m28（舍去），解方程 m2 m m 得 m
33、10（舍去）， m24，此时 P 点坐标为（4，0）；综上所述， P 点坐标为（14，0）或（2，0）或（4，0）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题22【分析】（1）由 AFC 为等腰直角三角形，进而得出 AC AF，即可得出结论；（2）先利用三角函数得出 ，同理得出 ，夹角相等即可得出 ACF BCE，进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点 E 在线段 BF 上时，如图 2，先利用勾股定理求出 EF CF ， BF，即可得
34、出 BE ，借助（2）得出的结论，当点 E 在线段 BF 的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论【解答】解：（1） BE AF理由如下：如图 1 中， AFC 是等腰直角三角形， AC AF AB AC BE AB AF；（2） BE AF，理由如下：如图 2 中，在 Rt ABC 中， AB AC， ABC ACB45，sin ABC 在 Rt EFC 中， FEC FCE45， EFC90，sin FEC ， ，又 FEC ACB45， FEC ACE ACB ACE即 FCA ECB ACF BCE， ， BE AF；（3）当点 E 在线段 AF 上时，如图 2，由（1）知， CF E
35、F ，在 Rt BCF 中， CF ， BC2 ，根据勾股定理得， BF ， BE BF EF ，由（2）知， BE AF， AF 1，当点 E 在线段 BF 的延长线上时，如图 3，在 Rt ABC 中， AB AC2， ABC ACB45，sin ABC ，在 Rt EFC 中， FEC FCE45，在 Rt CEF 中，sin FEC ， ， FCE ACB45， FCB+ ACB FCB+ FCE， FCA ECB， ACF BCE， ， BE AF，由（1）知， CF EF ，在 Rt BCF 中， CF ， BC2 ，根据勾股定理得， BF ， BE BF+EF + ，由（2）知，
36、 BE AF， AF +1即：当正方形 CDEF 旋转到 B， E， F 三点共线时候，线段 AF 的长为 1 或 +1【点评】此题是四边形综合题，主要考查了，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解（2）（3）的关键是判断出 ACF BCE第三问要分情况讨论23【分析】（1）由 ACB90， AC BC， OA1， OC4，可得 A（1，0） B（4，5），然后利用待定系数法即可求得 b， c 的值；（2）由直线 AB 经过点 A（1，0）， B（4，5），即可求得直线 AB 的解析式，又由二次函数y x22 x3，设点 E（ t， t+1），则可得点 F
37、的坐标，则可求得 EF 的最大值，求得点 E 的坐标；（3）顺次连接点 E.B.F、 D 得四边形 EBFD，可求出点 F 的坐标（ ， ），点 D 的坐标为（1，4）由 S 四边形 EBFD S BEF+S DEF即可求得；过点 E 作 a EF 交抛物线于点 P，设点 P（ m， m22 m3），可得 m22 m3 ，即可求得点P 的坐标，又由过点 F 作 b EF 交抛物线于 P3，设 P3（ n， n22 n3），可得n22 n2 ，求得点 P 的坐标，则可得使 EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形的 P 的坐标【解答】解：（1）由已知得： A（1，0）， B（4，5），二次函数
38、y x2+bx+c 的图象经过点 A（1，0）， B（4，5）， ，解得： b2， c3；（2）如图：直线 AB 经过点 A（1，0）， B（4，5），直线 AB 的解析式为： y x+1，二次函数 y x22 x3，设点 E（ t， t+1），则 F（ t， t22 t3）， EF（ t+1）（ t22 t3）（ t ） 2+ ，当 t 时， EF 的最大值为 ，点 E 的坐标为（ ， ）；（3）如图：顺次连接点 E.B.F、 D 得四边形 EBFD可求出点 F 的坐标（ ， ），点 D 的坐标为（1，4）S 四边形 EBFD S BEF+S DEF （4 ）+ （ 1） ；如图：）过点 E
39、 作 a EF 交抛物线于点 P，设点 P（ m， m22 m3）则有： m22 m3 ，解得： m11+ ， m21 ， P1（1 ， ）， P2（1+ ， ），）过点 F 作 b EF 交抛物线于 P3，设 P3（ n， n22 n3）则有： n22 n3 ，解得： n1 ， n2 （与点 F 重合，舍去）， P3（ ， ），综上所述：所有点 P 的坐标： P1（1+ ， ）， P2（1 ， ）， P3（ ， ）能使EFP 组成以 EF 为直角边的直角三角形【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用