1、2019 年北京市海淀区清华大学附中中考数学调研试卷（4 月份）一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1下列对于二次根式的计算正确的是（ ）A B2 2 C2 2 D2 2阅读材料：设一元二次方程 ax2+bx+c0（ a0）的两根为 x1.x2，则两根与方程系数之间有如下关系： x1+x2 ， x1x2 ，请根据该阅读材料计算：已知 x1.x2是方程 x2+6x+30 的两实属根，则 + 的值为（ ）A10 B8 C6 D43已知二次函数 y ax2+bx+c（ a0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）A abc0 B b24 ac0 C9 a+3b+c0 D c+8
2、a04如图， D3081 次六安至汉口动车在金寨境内匀速通过一条隧道（隧道长大于火车长），火车进入隧道的时间 x 与火车在隧道内的长度 y 之间的关系用图象描述大致是（ ）A BC D5如图， x 的两条边被一直线所截，用含 和 的式子表示 x 为（ ）A B C180+ D1806如图， OAB 绕点 O 逆时针旋转 85得到 OCD，若 A110， D40，则 的度数是（ ）A35 B45 C55 D657两个人的影子在两个相反的方向，这说明（ ）A他们站在阳光下 B他们站在路灯下C他们站在路灯的两侧 D他们站在月光下8如图，矩形 ABCD 中， AB6， AD2 ，将矩形 ABCD 绕点
3、 B 按顺时针方向旋转后得到矩形EBGF，此时恰好四边形 AEHB 为菱形，连接 CH 交 FG 于点 M，则 HM 的长度为（ ）A B2 C D19 Windows 2000 下有一个有趣的“扫雷”游戏如图是“扫雷”游戏的一部分，说明：图中数字2 表示在以该数字为中心的周边 8 个方格中有 2 个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷现在还剩下 A.B.C 三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格），则 A.B.C 三个方格中有地雷概率最大的方格是（ ）A B C 2 2 A A B B C C D无法确定10定义一种变换 f：对于一个由有限个数组成的序列 S0，将其中的每个数换成
4、该数在 S0中出现的次数，可得到一个新序列 S1，例如序列 S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若某一序列 S0，经变换得到新序列 S1，由序列 S1继续进行变换得到S2，最终得到序列 Sn1 （ n2）与序列 Sn相同，则下面的序列可作为 Sn的是（ ）A（1，2，1，2，2） B（2，2，2，3，3）C（1，1，2，2，3） D（3，2，3，3，2）二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）11化简 的结果为 12定义运算“”： a b ，若 5 x2，则 x 的值为 13在平面直角坐标系中将点 A（3，2）向 y 轴的负方向平移
5、3 个单位长度所得点的坐标为 14如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是 2cm，4 cm，6 cm 将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是 15如图， AB 是 O 的直径， BT 是 O 的切线，若 ATB45， AB2，则阴影部分的面积是 16如图，在 ABC 中， AB4， AC3，以 BC 为边在三角形外作正方形 BCDE，连接 BD， CE 交于点O，则线段 AO 的最大值为 三解答题（共 7 小题，满分 10 分）17先化简再求值：（ a ） ，其中 a1+ ， b1 18解不等式组 ，并把不等式组的解集在数轴上表示出来19如图， D.C.F
6、、 B 四点在一条直线上， AB DE， AC BD， EF BD，垂足分别为点 C.点F， CD BF求证：（1） ABC EDF；（2） AB DE20如图所示， O 中，弦 AC.BD 交于 E， （1）求证： ；（2）延长 EB 到 F，使 EF CF，试判断 CF 与 O 的位置关系，并说明理由21（10 分）某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B.E 两组发言人数的比为 5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：（1）则样本容量是 ，并补全直方图；（2）该年级共有学生
7、500 人，请估计全年级在这天里发言次数不少于 12 的次数；（3）已知 A 组发言的学生中恰有 1 位女生， E 组发言的学生中有 2 位男生，现从 A 组与 E 组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率发言次数 nA 0 n3B 3 n6C 6 n9D 9 n12E 12 n15F 15 n1822如图，直线 AB 和抛物线的交点是 A（0，3）， B（5，9），已知抛物线的顶点 D 的横坐标是2（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在 x 轴上是否存在一点 C，与 A， B 组成等腰三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若不在，请说明理由
8、；（3）在直线 AB 的下方抛物线上找一点 P，连接 PA， PB 使得 PAB 的面积最大，并求出这个最大值23如图， ABC 中， C90， BC8 cm， AC： AB3：5，点 P 从点 B 以 2cm/s 的速度向点 C 移动，点 Q 以 1cm/s 的速度从点 C 向点 A 移动，如果点 P， Q 同时出发，则点 P 移动多少秒时CPQ 与 ABC 相似？2019 年北京市海淀区清华大学附中中考数学调研试卷（4 月份）参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】根据二次根式的加减法对 A.B 进行判断；根据二次根式的除法法则对 C 进行判断
9、；根据二次根式的乘法法则对 D 进行判断【解答】解： A. 与 不能合并，所以 A 选项错误；B.原式 ，所以 B 选项错误；C.原式2，所以 C 选项正确；D.原式6，所以 D 选项错误故选： C【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍2【分析】利用材料中的根与系数的关系求出 x1+x26， x1x23，再代入化简后的式子即可求解【解答】解： x1+x2 ， x1x2 ，在方程 x2+6x+30 中， x1+x26， x1x
10、23， + 10故选： A【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是理解材料中的根与系数的关系3【分析】根据二次函数的图象求出 a0， c0，根据抛物线的对称轴求出 b2 a0，即可得出 abc0；根据图象与 x 轴有两个交点，推出 b24 ac0；对称轴是直线 x1，与 x 轴一个交点是（1，0），求出与 x 轴另一个交点的坐标是（3，0），把 x3 代入二次函数得出y9 a+3b+c0；把 x4 代入得出 y16 a8 a+c8 a+c，根据图象得出 8a+c0【解答】解： A.二次函数的图象开口向下，图象与 y 轴交于 y 轴的正半轴上， a0， c0，抛物线的对称轴是直线 x1
11、， 1， b2 a0， abc0，故本选项错误；B.图象与 x 轴有两个交点， b24 ac0，故本选项错误；C.对称轴是直线 x1，与 x 轴一个交点是（1，0），与 x 轴另一个交点的坐标是（3，0），把 x3 代入二次函数 y ax2+bx+c（ a0）得： y9 a+3b+c0，故本选项错误；D.当 x3 时， y0， b2 a， y ax22 ax+c，把 x4 代入得： y16 a8 a+c8 a+c0，故选： D【点评】本题考查了二次函数的图象、性质，二次函数图象与系数的关系，主要考查学生的观察图形的能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目4【分析】先分析题意，把各
12、个时间段内 y 与 x 之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段【解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间 x 与火车在隧道内的长度 y 之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时 y 逐渐变大，火车完全进入后一段时间内 y 不变，当火车开始出来时 y 逐渐变小，故反映到图象上应选 A故选： A【点评】本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论 y 与 x 之间的函数关系5【分析】根据 为角 x 和 的对顶角所在的三角形的外角，再根据三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答【解答】解：如图，1， x+1整理得： x
13、故选： B【点评】本题主要利用三角形外角的性质求解，需要熟练掌握并灵活运用6【分析】根据旋转的性质即可求出答案【解答】解：由题意可知： DOB85， DCO BAO， D B40， AOB1804011030853055故选： C【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是正确理解旋转的性质，本题属于基础题型7【分析】本题考查中心投影的特点【解答】解：根据两个人的影子在两个相反的方向，则一定是中心投影；且两人同在光源两侧故选 C【点评】本题考查中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近
14、，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短8【分析】连接 AC，交 BE 于 O，根据旋转变换的性质得到 AB BE，根据等边三角形的性质得到AE AB，得到 ABE 是等边三角形，根据等边三角形的性质、勾股定理计算即可【解答】解：连接 AC，交 BE 于 O，将矩形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向旋转后得到矩形 EBGF， AB BE，四边形 AEHB 为菱形， AE AB， AB AE BE， ABE 是等边三角形， AB6， AD2 ，tan CAB ， BAC30， AC BE， C 在对角线 AH 上， A， C， H 共线， AO OH AB3 ， COB O
15、BG G90，四边形 OBGM 是矩形， OM BG BC2 ， HM OH OM ，故选： A【点评】本题考查的是旋转变换的性质、菱形的性质、矩形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键9【分析】根据图中数字 2 表示在以该数字为中心的周边 8 个方格中有 2 个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，即可得出 B， C 均不是地雷，即可得出答案【解答】解：根据题意分析可得： B， C 一定不是地雷， A 处是雷，则 B， C 处均不地雷，P（ A） 1； P（ B） 0； P（ C） 0故 A.B.C 三个方格中有地雷概率最大的是 A故选： A【点评】此题主要考查了概率的求法与运用，根据已
16、知得出右边 2 靠近 B， C，此时 B， C 均不是地雷是解决问题的关键10【分析】根据已知中有限个数组成的序列 S0，将其中的每个数换成该数在 S0中出现的次数，可得到一个新序列 S1，继续变换到 Sn1 （ n2），可得 Sn1 中 2 的个数应为 2 个，由此可排除A， B 答案，而 3 的个数应为 3 个，由此可排除 C，进而得到答案【解答】解：根据题意可知， Sn1 （ n2）和 Sn相同，若 A 选项作为 Sn1 ，变换后为 Sn：（2，3，2，3，3），与 Sn1 不同，故排除若 B 选项作为 Sn1 ，变换后为 Sn：（3，3，3，2，2）与 Sn1 不同，故排除同理 C 选
17、项变换后为 Sn：（2，2，2，2，1），与 Sn1 不同，故排除故选： D【点评】本题为创新定义题，要求学生读懂题意，根据新定义解决问题二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）11【分析】依据二次根式的基本性质 | a|进行化简即可【解答】解： | 2|2 ，故答案为：2 【点评】本题主要考查了二次根式的性质，解题时注意二次根式的基本性质 | a|的运用12【分析】首先认真分析找出规律，根据 5 与 x 的取值范围，分别得出分式方程，可得对应 x 的值【解答】解：当 x5 时， 2， x ，经检验， x 是原分式方程的解；当 x5 时， 2， x10，经检验， x10 是原分
18、式方程的解；综上所述， x 或 10；故答案为： 或 10【点评】本题主要考查了分式方程的应用以及新定义题型，是近几年的考试热点之一新定义题型需要依据给出的运算法则进行计算，这和解答实数或有理数的混合运算相同，其关键仍然是正确的理解与运用运算的法则13【分析】利用点平移的坐标规律求解【解答】解：点 A（3，2）向 y 轴的负方向平移 3 个单位长度所得点的坐标为（3，1）故答案为（3，1）【点评】本题考查了坐标与图形变化平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数 a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）
19、一个整数 a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移 a 个单位长度14【分析】根据圆环面积求法得出圆环面积，再求出大圆面积，即可得出飞镖落在阴影圆环内的概率【解答】解：有三个同心圆，由里向外的半径依次是 2cm，4 cm，6 cm 将圆盘分为三部分，阴影部分面积为：（4 22 2）12，大圆的面积为：36，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是： ，故答案为： 【点评】此题主要考查了几何概率，根据三圆半径依次是 2cm，4 cm，6 cm 求出圆环面积与大圆面积是解决问题的关键15【分析】由题意可得： CAB CBA45 ATB， AB TB2，可得 AC BC TC，即点 C是 的中点，则 S
20、 阴影 S TCB，即 S 阴影 S ABT 221【解答】解：如图：设 AT 与圆 O 相交于点 C，连接 BC BT 是 O 的切线 AB TB，又 ATB45 TAB45 ATB AB TB2 AB 是直径 ACB90 CAB CBA45 ATB AC BC TC点 C 是 的中点 S 阴影 S TCB S 阴影 S ABT 221故答案为：1【点评】本题考查了切线的性质，圆周角的定理，熟练运用这些性质是本题的关键16【分析】以 AO 为边作等腰直角 AOF，且 AOF90，由题意可证 AOB FOC，可得AB CF4，根据三角形的三边关系可求 AF 的最大值，即可得 AO 的最大值【解
21、答】解：如图：以 AO 为边作等腰直角 AOF，且 AOF90四边形 BCDE 是正方形 BO CO， BOC90 AOF 是等腰直角三角形 AO FO， AF AO BOC AOF90 AOB COF，且 BO CO， AO FO AOB FOC（ SAS） AB CF4若点 A，点 C，点 F 三点不共线时， AF AC+CF；若点 A，点 C，点 F 三点共线时， AF AC+CF AF AC+CF3+47 AF 的最大值为 7 AF AO AO 的最大值为 故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，恰当添加辅助线构造全等三角形是
22、本题的关键三解答题（共 7 小题，满分 10 分）17【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，【解答】解：当 a1+ ， b1 时，原式 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型18【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解： ，解不等式，得： x1，解不等式，得： x3，则不等式组的解集为1 x3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答
23、此题的关键19【分析】（1）由垂直的定义，结合题目已知条件可利用 HL 证得结论；（2）由（1）中结论可得到 D B，则可证得结论【解答】证明：（1） AC BD， EF BD， ABC 和 EDF 为直角三角形， CD BF， CF+BF CF+CD，即 BC DF，在 Rt ABC 和 Rt EDF 中，Rt ABCRt EDF（ HL）；（2）由（1）可知 ABC EDF， B D， AB DE【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、 SAS、 ASA.AAS 和 HL）和性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键20【分析】（1）连接 BC，由
24、 ，得弧 AD弧 AB，则 ABD ACB，得到 ABE ABC，所以 ；（2）连接 AO、 CO，由 A 为 中点，得到 AO DB，得到 OAC+ AED90，所以 OAC+ FEC90，而 EF CF，则 FEC ECF，又 OAC OCA，所以 OAC+ FEC OCA+ ECF90，即得到 CF 与 O 相切【解答】证明：（1）连接 BC，如图， 弧 AD弧 AB， ABD ACB，而 CAB 公用， ABE ABC， ， ；（2） CF 与 O 相切理由如下：连接 AO、 CO， A 为 中点， AO DB， OAC+ AED90 AED FEC， OAC+ FEC90，又 EF
25、CF， FEC ECF， AO OC， OAC OCA， OAC+ FEC OCA+ ECF90， FC 与 O 相切【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半也考查了三角形相似的判定与性质、等腰三角形的性质和切线的判定21【分析】（1）根据 B.E 两组发言人数的比和 E 组所占的百分比，求出 B 组所占的百分比，再根据 B 组的人数求出样本容量，从而求出 C 组的人数，即可补全统计图；（2）用该年级总的学生数乘以 E 和 F 组所占的百分比的和，即可得出答案；（3）先求出 A 组和 E 组的男、女生数，再根据题意画出树
26、状图，然后根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1） B.E 两组发言人数的比为 5：2， E 占 8%， B 组所占的百分比是 20%， B 组的人数是 10，样本容量为：1020%50， C 组的人数是 5030%15（人）， F 组的人数是 50（16%20%30%26%8%）5（人），补图如下：（2） F 组的人数是 16%8%30%26%20%10%，发言次数不少于 12 的次数所占的百分比是：8%+10%18%，全年级 500 人中，在这天里发言次数不少于 12 的次数为：50018%90（次）（3） A 组发言的学生为：506%3 人，有 1 位女生， A 组发言的有 2 位男生
27、， E 组发言的学生：4 人，有 2 位女生，2 位男生由题意可画树状图为：共有 12 种情况，所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有 6 种，所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题22【分析】（1）抛物线的顶点 D 的横坐标是 2，则 x 2，抛物线过是 A（0，3），则：函数的表达式为： y ax2+bx3，把 B 点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）分 AB AC.AB BC.AC BC，三种情况求解即可；（3）由 S PAB PHxB，即可
28、求解【解答】解：（1）抛物线的顶点 D 的横坐标是 2，则 x 2，抛物线过是 A（0，3），则：函数的表达式为： y ax2+bx3，把 B 点坐标代入上式得：925 a+5b3，联立、解得： a ， b ， c3，抛物线的解析式为： y x2 x3，当 x2 时， y ，即顶点 D 的坐标为（2， ）；（2） A（0，3）， B（5，9），则 AB13，当 AB AC 时，设点 C 坐标（ m，0），则：（ m） 2+（3） 213 2，解得： m4 ，即点 C 坐标为：（4 ，0）或（4 ，0）；当 AB BC 时，设点 C 坐标（ m，0），则：（5 m） 2+9213 2，解得： m
29、5 ，即：点 C 坐标为（5 ，0）或（52 ，0），当 AC BC 时，设点 C 坐标（ m，0），则：点 C 为 AB 的垂直平分线于 x 轴的交点，则点 C 坐标为（ ，0），故：存在，点 C 的坐标为：（4 ，0）或（4 ，0）或（5 ，0）或（52 ，0）或（ ，0）；（3）过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H，设： AB 所在的直线过点 A（0，3），则设直线 AB 的表达式为 y kx3，把点 B 坐标代入上式，95 k3，则 k ，故函数的表达式为： y x3，设：点 P 坐标为（ m， m2 m3），则点 H 坐标为（ m， m3），S PAB PHxB （ m2+
30、12m），当 m2.5 时， S PAB取得最大值为： ，答： PAB 的面积最大值为 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系23【分析】首先设点 P 移动 t 秒时 CPQ 与 ABC 相似，由 ABC 中， C90，BC8 cm， AC： AB3：5，可求得 AC 与 BC 的长，然后分别从当 ，即 时，CPQ CBA，与当 ，即 时， CPQ CAB，去分析求解即可求得答案【解答】解：设点 P 移动 t 秒时 CPQ 与 ABC 相似， ABC 中， C90， BC8 cm， AC： AB3：5， AC6 cm， AB10 cm，点 P 从点 B 以 2cm/s 的速度向点 C 移动，点 Q 以 1cm/s 的速度从点 C 向点 A 移动， BP2 tcm， CQ tcm，则 CP CB BP82 t（ cm）， C 是公共角，当 ，即 时， CPQ CBA，解得： t ；当 ，即 时， CPQ CAB，解得： t ，点 P 移动 s 或 s 时 CPQ 与 ABC 相似【点评】此题考查了相似三角形的判定此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想以及方程思想的应用