1、河南省开封市金明区南郊中学 2019 年中考数学模拟试题一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1在 ， ，2，1 中，最小的数是（ ）A B C2 D12用百度搜索关键词“十九大”，百度为我们找到相关结果约 18 600 000 个，把 18 600 000 这个数用科学记数法表示为（ ）A0.18610 8 B1.8610 7 C18.610 6 D18610 53下列 4 个平面图形中，哪一个是由图中正方体纸盒展开得到的（ ）A BC D4下列计算正确的是（ ）A2 m3+3m25 m5 B5（ x3） 2 C（3 a3b3） 26 a6b6 D 25若关于 x 的不等
2、式组 的解集中至少有 6 个整数解，则正数 a 的最小值是（ ）A1 B2 C D6已知 l1 l2 l3，直线 AB 和 CD 分别交 l1.l2.l3于点 A.E.B 和点 C.F、 D若 AE2， BE4，则的值为（ ）A B C D7某次数学趣味竞赛共有 10 道题目，每道题答对得 10 分，答错或不答得 0 分人数 2 5 13 10 7 3成绩（分） 50 60 70 80 90 100全班 40 名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ）A75，70 B70，70 C80，80 D75，808一元二次方程 x2+6x+90 的根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数
3、根C只有一个实数根 D没有实数根9已知二次函数 y ax2+bx+c+2 的图象如图所示，顶点为（1，0），下列结论： abc0； b24 ac0； a2； ax2+bx+c2 的根为 x1 x21；若点B（ ， y1）、 C（ ， y2）为函数图象上的两点，则 y1 y2其中正确的个数是（ ）A2 B3 C4 D510如图， AB 为半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 的三等分点， CD AB 于点 D，将 ACD 沿 AC 翻折得到 ACE， AE 与半圆 O 交于点 F，若 OD1，则图中阴影部分的面积为（ ）A B C D二填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）11计
4、算（ ） 0（1） 2018的值是 12如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AD12 cm， AB8 m， AE 平分 BAD 交 BC 边于点 E，则 CE的长等于 厘米13我校八年一班甲、乙两名同学 10 次投篮命中的平均数均为 7，方差 1.45， 2.3，教练想从中选一名成绩较稳定的同学加入校篮球队，那么应选 14如图，正方形 ABCD 中， M 为 BC 上一点， ME AM，垂足为 M， ME 交 AD 的延长线于点 E若AB12， BM5，则 DE 的长为 15如图所示， AOB41，点 P 为 AOB 内的一点，分别作出 P 点关于 OA， OB 的对称点P1， P2，连接
5、 P1P2交 OA 于 M，交 OB 于 N， P1P215，则 PMN 的周长为 ， MPN 三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16（8 分）先化简，再求值： （ 1），其中 a3+ ， b3 17（9 分）在一个不透明的布袋里装有 4 个标有 1.2.3.4 的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为 x，王芳在剩下的 3 个小球中随机取出一个小球，记下数字为 y，这样确定了点 M 的坐标（ x， y）（1）画树状图或列表，写出点 M 所有可能的坐标；（2）求点 M（ x， y）在函数 y x+1 的图象上的概率18（9 分）如图，已知 AB 是 O
6、的直径， PC 切 O 于点 P，过 A 作直线 AC PC 交 O 于另一点D，连接 PA.PB（1）求证： AP 平分 CAB；（2）若 P 是直径 AB 上方半圆弧上一动点， O 的半径为 2，则当弦 AP 的长是 时，以 A， O， P， C 为顶点的四边形是正方形；当 的长度是 时，以 A， D， O， P 为顶点的四边形是菱形19（9 分）如图是某工厂货物传送带的平面示意图，为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传动带与地面的夹角，使其 AB 的坡角由原来的 43改为 30已知原传送带 AB 长为 5 米求新旧货物传送带着地点 B.C 之间相距多远？（结果保留整数，参考数据：sin4
7、30.68，cos430.73，tan430.93， 1.41， 1.73）20（9 分）小明爸爸销售 A.B 两种品牌的保暖衣服，10 月份第一周售出 A 品牌保暖衣服 3 件和 B品牌保暖衣服 4 件，销售额为 1000 元，第二周售出 A 品牌保暖衣服 17 件和 B 品牌保暖衣服 8件，销售额为 4200 元（1）求 A.B 两种品牌保暖衣服的售价各是多少元？（2）已知 10 月份 A 品牌保暖衣服和 B 品牌保暖衣服的销售量分别为 1000 件、500 件，11 月份是保暖衣服销售的旺季，为拓展市场、薄利多销，小明爸爸决定 11 月份将 A 品牌保暖衣服和 B品牌保暖衣服的销售价格在
8、 10 月份的础上分别降低 m%， %，11 月份的销售量比 10 月份的销售量分别增长 30%、20%若 11 月份的销售额不低于 233000 元，求 m 的最大值21（10 分）如图，已知反比例函数 y 的图象与一次函数 y x+b 的图象交于点 A（1，4），点B（4， n）（1）求 n 和 b 的值；（2）求 OAB 的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量 x 的取值范围22（10 分）问题原型：如图，在锐角 ABC 中， ABC45， AD BC 于点 D，在 AD 上取点E，使 DE CD，连结 BE求证： BE AC问题拓展：如图，在问题原型的条件下， F 为
9、 BC 的中点，连结 EF 并延长至点 M，使 FM EF，连结 CM（1）判断线段 AC 与 CM 的大小关系，并说明理由（2）若 AC ，直接写出 A.M 两点之间的距离23（11 分）点 P 为拋物线 y x22 mx+m2（ m 为常数， m0）上任意一点，将抛物线绕顶点 G 逆时针旋转 90后得到的图象与 y 轴交于 A.B 两点（点 A 在点 B 的上方），点 Q 为点 P 旋转后的对应点（1）抛物线 y x22 mx+m2的对称轴是直线 ，当 m2，点 P 的横坐标为 4 时，点 Q 的坐标为 ；（2）设点 Q（ a， b），请你用含 b 的代数式表示 a，则 a ；（3）如图，
10、点 Q 在第一象限，点 D 在 x 轴的正半轴上，点 C 为 OD 的中点， QO 平分 AQC，当AQ2 QC， QD m 时，求 m 的值2019 年河南省开封市金明区南郊中学中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】根据有理数的大小比较法则比较即可【解答】解：在 ， ，2，1 中，最小的数是2，故选： C【点评】本题考查了有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：正数都大于 0，负数都小于 0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小2【分析】根据科学记数法的表示形式为 a10n的形
11、式，其中 1| a|10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数【解答】解：18 600 0001.8610 7，故选： B【点评】本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中1| a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断【解答】解：把四个选项的展开图折叠，能复原的是 C故选： C【点评】本题考查正方体的表面展开图及空
12、间想象能力易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题4【分析】根据幂的乘方和积的乘方，即可解答【解答】解： A.2m3与 3m2不是同类项，不能合并，故错误；B. ，正确；C.（3 a2b3） 29 a4b6，故错误；D. ，故错误；故选： B【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方的法则5【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定 a的范围，进而求得最小值【解答】解：解不等式 x a0，得： x a，解不等式 2x+3a0，得： x a，则不等式组的解集为 a
13、 x a，不等式至少有 6 个整数解，则 a+ a5，解得 a2a 的最小值是 2故选： B【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定 a 的范围是本题的关键6【分析】由 l1 l2 l3，推出 即可解决问题；【解答】解： l1 l2 l3， ，故选： B【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型7【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可【解答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第 20、21 个数的平均数，全班 40 名同学的成绩的中位数是： 75；70 出现了 13 次，出现的次数最多，则众数是 70；故选： A【点评】此题考
14、查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数8【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出0，进而即可得出原方程有两个相等的实数根【解答】解：6 24190，一元二次方程 x2+6x+9有两个相等的实数根故选： A【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键9【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【解答】解：由抛物线的对称轴可知： 0， ab0，由抛物线与 y 轴的交点可
15、知： c+22， c0， abc0，故正确；抛物线与 x 轴只有一个交点，0， b24 ac0，故正确；令 x1， y a b+c+20， 1， b2 a， a2 a+c+20， a c+2， c+22， a2，故正确；由图象可知：令 y0，即 0 ax2+bx+c+2 的解为 x1 x21， ax2+bx+c2 的根为 x1 x21，故正确；1 ， y1 y2，故正确；故选： D【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想，本题属于中等题型10【分析】先由点 C 是半圆 O 的三等分点，得出 BOC60， BAC30解直角 OCD，求出 OC2， CD ，则 AD
16、3根据折叠的性质得出 ACD ACE，那么可得 BAE BOC，再证明 AOF 是等边三角形，求出 AF OA2， EF AE AF1，然后根据 S 阴影 S 梯形 OCEF S 扇形 OCF即可求解【解答】解：点 C 是半圆 O 的三等分点， BOC60， BAC30在 OCD 中， CD AB 于点 D， OD1， DOC60， OC2， CD ， AD AO+OD2+13将 ACD 沿 AC 翻折得到 ACE， ACD ACE， EAC DAC30， AE AD3， CE CD BAE DAC+ EAC60 BOC， OC AE OA OF， OAF60， AOF 是等边三角形， AF
17、OA2， EF AE AF321， S 阴影 S 梯形 OCEF S 扇形 OCF （1+2） 故选： D【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），扇形面积的计算，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中求出半径是解题的关键二填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）11【分析】根据零指数幂的意义以及实数的运算法则即可求出答案【解答】解：原式110，故答案为：0【点评】本题考查实数的运算，解题的关键熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型12【分析】由平行四边形的性质得出 BC AD12 cm， AD BC，得出 DAE BEA，证出 BEA BAE，得出 BE A
18、B，即可得出 CE 的长【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， BC AD12 cm， AD BC， DAE BEA， AE 平分 BAD， BAE DAE， BEA BAE， BE AB8 cm， CE BC BE4 cm；故答案为：4【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键13【分析】根据方差的意义可作出判断方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定【解答】解： 1.45， 2.3， ，甲同学成绩稳定，故答案为：甲【点评】本题考查方差的意义
19、方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定14【分析】由勾股定理可先求得 AM，利用条件可证得 ABM EMA，则可求得 AE 的长，进一步可求得 DE【解答】解：正方形 ABCD， B90， AB12， BM5， AM13， ME AM， AME90 B， BAE90， BAM+ MAE MAE+ E， BAM E， ABM EMA， ，即 ， AE ， DE AE AD 12 ，故答案为： 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件证得
20、ABM EMA 是解题的关键15【分析】 P 点关于 OA 的对称是点 P1， P 点关于 OB 的对称点 P2，故有 PM P1M， PN P2N【解答】解： P 点关于 OA 的对称是点 P1， P 点关于 OB 的对称点 P2， PM P1M， PN P2N， P2 P2PN， P1 P1PM， PMN 的周长为 PM+PN+MN MN+P1M+P2N P1P215 AOB41， P2PP1139， P1+ P241， MPN180414198，故答案为：15，98【点评】本题考查轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到
21、两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16【分析】原式先根据分式混合运算顺序和运算法则化简，再将 A.b 的值代入计算可得【解答】解：原式 （ ） ，把 a3+ ， b3 代入，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则17【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）找到点（ x， y）在函数 y x+1 的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）画树状图得：共有 12 种等可能的结果（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，3）、（2，4）、
22、（3，1）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3）；（2）在所有 12 种等可能结果中，在函数 y x+1 的图象上的有（1，2）、（2，3）、（3，4）这 3 种结果，点 M（ x， y）在函数 y x+1 的图象上的概率为 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比18【分析】（1）利用切线的性质得 OP PC，再证明 AC OP 得到13，加上23，所以12；（2）当 AOP90，根据正方形的判定方法得到四边形
23、AOPC 为正方形，从而得到AP2 ；根据菱形的判定方法，当 AD AP OP OD 时，四边形 ADOP 为菱形，所以 AOP 和 AOD 为等边三角形，然后根据弧长公式计算 的长度当 AD DP PO OA 时，四边形 ADPO 为菱形，AOD 和 DOP 为等边三角形，则 AOP120，根据弧长公式计算 的长度【解答】（1）证明： PC 切 O 于点 P， OP PC， AC PC， AC OP，13， OP OA，23，12， AP 平分 CAB；（2）解：当 AOP90，四边形 AOPC 为矩形，而 OA OP，此时矩形 AOPC 为正方形， APOP2 ；当 AD AP OP OD
24、 时，四边形 ADOP 为菱形， AOP 和 AOD 为等边三角形，则 AOP60，的长度 当 AD DP PO OA 时，四边形 ADPO 为菱形， AOD 和 DOP 为等边三角形，则 AOP120，的长度 故答案为 2 ， 或 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了正方形和菱形的判定19【分析】过 A 作 BC 的垂线 AD在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在 Rt ACD 中，求出 AC 的长再通过解直角三角形，可求出 BD.CD 的长，进而可求出BC 的长【解答】解：过点 A 作 AD 垂直于 CB 的延长线于点 D 在 Rt
25、ADB 中， AB5 米， ABD43，sin ABD ，cos ABD ， AD ABsin ABD5sin433.41 米，BD ABcos ABD5cos433.66 米在 Rt ADC 中，sin ACD ，AC 6.82 米，在 Rt ACD 中， AC6.82， ACD30，cos ACD ，CD ACcos ACD6.82cos305.91 米 BC CD BD2 米答：新旧货物传送带着地点 B.C 之间大约相距 2 米【点评】本题考查了坡度坡角问题，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形在两个直角三角形有公共直角边时，
26、先求出公共边的长是解答此类题的基本思路20【分析】（1）根据“ A 品牌保暖衣服 3 件和 B 品牌保暖衣服 4 件，销售额为 1000 元，第二周售出 A 品牌保暖衣服 17 件和 B 品牌保暖衣服 8 件，销售额为 4200 元”建立方程组求解即可得出结论；（2）先确定出 11 月份两种品牌的保暖衣服的单价和销售量，最后用“11 月份的销售额不低于233000 元，”建立不等式求解即可得出结论【解答】解：（1）设 A 品牌的保暖衣服 x 元， B 品牌的保暖衣服 y 元，根据题意知， ，解得， ，经检验：符合题意，答： A.B 两种品牌保暖衣服的售价各是 200 元和 100 元；（2）由
27、题意得，11 月份 A 品牌保暖衣服销售量为 1000（1+30%）1300 件B 品牌保暖衣服的销售量为 500（1+20%）600 件，则 1300200（1 m%）+600100（1 m%）233000，解得， m30，即： m 的最大值为 30【点评】此题主要考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用，审题题意，找出相等关系和不等关系是解本题的关键21【分析】（1）把点 A 坐标分别代入反比例函数 y ，一次函数 y x+b，求出 k、 b 的值，再把点 B 的坐标代入反比例函数解析式求出 n 的值，即可得出答案；（2）求出直线 AB 与 y 轴的交点 C 的坐标，分别求出 ACO 和
28、 BOC 的面积，然后相加即可；（3）根据 A.B 的坐标结合图象即可得出答案【解答】解：（1）把 A 点（1，4）分别代入反比例函数 y ，一次函数 y x+b，得 k14，1+ b4，解得 k4， b3，点 B（4， n）也在反比例函数 y 的图象上， n 1；（2）如图，设直线 y x+3 与 y 轴的交点为 C，当 x0 时， y3， C（0，3）， S AOB S AOC+S BOC 31+ 347.5；（3） B（4，1）， A（1，4），根据图象可知：当 x1 或4 x0 时，一次函数值大于反比例函数值【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，
29、三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想22【分析】问题原型：由 AD BC 可得 ADB ADC90，又 ABC45易得 ABC BAD，可得 AD BD，由 SAS 定理可得 BDE ADC；问题拓展：（1）利用 SAS 判断出 BEF CMF，得出 BE CM，即可得出结论；（2）借助问题原型与问题延伸的结论判断出 ACM 是等腰直角三角形，即可得出结论【解答】解：问题原型： AD BC， ADB ADC90， ABC45， BAD45， ABC BAD， AD BD，在 BDE 和 ADC 中， ， BDE ADC（ SAS），
30、BE AC，问题拓展：（1） AC CM，理由：点 F 是 BC 中点， BF CF，在 BEF 和 CMF 中， ， BEF CMF（ SAS）， BE CM，由（1）知， BE AC， AC CM；（2）如图，连接 AM，由（1）知， BDE ADC， BED ACD，由（2）知， BEF CMF， EBF BCM， ACM ACD+ BCM BED+ EBF90， AC CM， AM AC 【点评】本题是三角形的综合问题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中点的性质，勾股定理，判断出两对三角形全等是解本题的关键23【分析】（1）对称轴 x m，当 m2 时，点 P
31、 坐标（4，4），逆时针向旋转 90 度，坐标为（2，2），即可求解；（2）如图所示，设图象旋转前 Q 点的位置在点 P 处，过点 P、 Q 分别作 x 轴的垂线，因为图象旋转角为 90 度，则： EG m a， GF QE b，即可求解；（3）证明 DCQ OCE（ SAS）、 AQO EQO（ SAS）即可求解【解答】解：（1）对称轴 x m，当 m2 时，点 P 坐标（4，4），逆时针向旋转 90 度，坐标为（2，2），即：点 Q 坐标为（2，2），故：答案是： x m，（2，2）；（2）如图所示，设图象旋转前 Q 点的位置在点 P 处，过点 P、 Q 分别作 x 轴的垂线，因为图象旋转
32、角为 90 度，则： PF GE， QE GF，则： EG m a， GF QE b，则：点 P 坐标为（ m+b， m a），将点 P 坐标代入二次函数表达式，解得： a m b2，故：答案是 m b2；（3）延长 QC 到 E，使 QC CE，则： QE2 QC2 m AQ， OC CD， QC CE， QCE QCD， DCQ OCE（ SAS）， OE QD m， QE AQ， QO QO， QO 平分 AQC， AQO EQO（ SAS）， OE OA m，由（2）知， a m b2，即：0 m m2，解得： m1（ m0 舍去），答： m 的值为 1【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图线的旋转、三角形全等相关知识点，核心是确定旋转前后图象所处的位置