1、辅助圆问题1. 已知点 A、 B、 C 均在半径为 R 的 O 上问题探究(1)如图 ，当A45，R1 时，求BOC 的度数和 BC 的长度；(2)如图 ，当A 为锐角时，求证：BC2 RsinA；问题解决(3)若定长线段 BC 的两个端点分别在 MAN 的两边 AM、AN 上滑动，且点B、C 均与点 A 不重合如图，当MAN 60，BC2 时，分别作BPAM，CP AN，交点为 P，试着探究线段 BC 在整个滑动过程中，P、A 两点之间的距离是否为定值，若是，求出 PA 的长度；若不是，请说明理由第 1 题图(1)解： 点 A、B、C 均在O 上，BOC2 A24590，又OBOC1，BC
2、；2(2)证明： 如解图 ，作直径 CE，连接 EB，则EA ，CE 2R ，EBC90，sinAsinE ，BCEC BC2RBC2R sinA; 图 图第 1 题解图(3)解： 如解图 ，连接 AP，取 AP 的中点 K，连接 BK、CK，在 RtAPC 中，CK APAKPK， 12同理可得：BKAKPK，CKBKAKPK，点 A、B 、P、C 都在以 K 为圆心，以 AK 长为半径的 K 上， 由(2)可知 sin 60 ，BCAPAP 为定值，2sin60 433故线段 BC 在整个滑动过程中，P、A 两点之间的距离是定值， PA 的长度为 .4332. 问题探究(1)如图 ，已知四
3、边形 ABCD 中，AB a， BCb，BD 90，求：对角线 BD 长度的最大值；四边形 ABCD 的最大面积；(用含有 a，b 的代数式表示)问题解决(2)如图 ，四边形 ABCD 是某市规划用地示意图，经测量得到如下数据：AB20 cm，BC30 cm， B120， AC195，请你用所学到的知识探索出它的最大面积，并说明理由(结果保留根号)第 2 题图解：(1) BD90，四边形 ABCD 是圆内接四边形，AC 为圆的直径，BD 的最大值为 AC，此时 BDAC ；a2 b2连接 AC，则 AC2AB 2BC 2a 2b 2 AD2CD 2，SACD ADCD (AD2CD 2) (a
4、2b 2)12 14 14又S ABC ABBC ab，12 12四边形 ABCD 的最大面积为 (a2b 2) ab (ab) 2；14 12 14(2)如解图，连接 AC，延长 CB，过点 A 作 AECB 交 CB 的延长线于点E，AB20， ABE180 ABC60，在 RtABE 中，AE AB sin 6010 ，EB ABcos 6010，S 3ABC AEBC150 .12 3BC30，ECEB BC40，AC 10 ，AE2 EC2 19ABC120， BADBCD195，D45，则ACD 中，D 为定角，对边 AC 为定边，点 A、C、D 在同一个圆上，作 AC、CD 中垂
5、线，交点即为圆心 O，当点 D 与AC 的距离最大时，ACD 的面积最大，AC 的中垂线交 O 于点 D，交 AC 于点 F， FD即为所求最大值，第 2 题解图连接 OA、OC，AOC2AD C90，OAOC，AOF 为等腰直角三角形，AO OD ( )5 ，OFAF 5 ，2AC2 38 AC2 19DFODOF 5 5 ，38 19SACD ACDF 10 (5 5 )475475 ，12 12 19 38 19 2S 最大 S ABCS ACD150 475475 .3 23. 问题探究(1)如图 ，在ABC 中，ABAC5，BC6，作高 AD，则 ABC 的面积为_；(2)如图 ，在
6、矩形 ABCD 中，AB 3，BC4，点 P 在对角线 AC 上，且CPCB，求 PBC 的面积；问题解决(3)如图 ，ABC 是一块商业用地，其中B90，AB 30 米，BC 40 米，某开发商现准备再征一块地，把ABC 扩充为四边形 ABCD，使D 90，是否存在面积最大的四边形 ABCD？若存在，求出四边形 ABCD 的最大面积；若不存在，请说明理由第 3 题图解：(1)12 ；【解法提示】如解图，在 RtABD 中，AB5，BD BC3，12AD 4，AB2 BD2 52 32SABC BCAD 6412.12 12图 图第 3 题解图(2)如解图 ，过点 P 作 PEBC，垂足为 E
7、，则 PEAB，CPECAB， ，CPCA PEAB在 RtABC 中，ABC90，AB3，BC4，AC 5，AB2 BC2 32 42 ，45 PE3PE ，125SPBC BCPE 4 ；12 12 125 245(3)存在如解图 ，作 ABC 的外接圆 O，第 3 题解图 ABC90，AC 为O 的直径，又ADC 90，点 D 在O 上，在 RtABC 中，B90，AB30，BC40，AC 50，AB2 BC2 302 402连接 OD，则 OD AC25，12过点 D 作 DNAC，垂足为 N，S 四边形 ABCDS ABCS ACD，而 SABC ABBC 3040600，12 12
8、只要 SACD 最大，那么 S 四边形 ABCD 最大，又S ACD ACDN，12而 DNDO25，当 DN25 时，S ACD 最大，即 5025 625，12四边形 ABCD 的最大面积为：6006251225( 平方米)4. 问题探究(1)如图 ，ABC 为等腰三角形，ABACa，BAC 120，则ABC 的面积为_(用含 a 的代数式表示)；(2)如图 ，AOD 与BOC 为两个等腰直角三角形，两个直角顶点 O 重合，OA OB OCOD a.若AOD 与BOC 不重合，连接 AB、CD，求四边形ABCD 面积的最大值；问题解决(3)如图 ，点 O 为电视台所在位置，现要在距离电视台
9、 5 km 的地方修建四个电视信号中转站，分别记为 A、B、C、D.若要使 OB 与 OC 夹角为 150，OA与 OD 夹角为 90(AOD 与 BOC 不重合且点 O、A、B、C 、D 在同一平面内)，则符合题意的四个中转站所围成的四边形面积有无最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由第 4 题图解：(1) a2；34【解法提示】如解图，过点 B 作 AC 的垂线交 CA 的延长线于点 D，第 4 题解图 在 RtABD 中， BAD60，ABa，则 BD a，32SABC ACBD a a a2.12 12 32 34(2)如解图 ，分别过点 A、D 作 BO、CO 的垂线交 B
10、O 的延长线于点 E，交 CO于点 F，第 4 题解图 AOD 与BOC 均为等腰直角三角形，OA OB OCOD a，SAOD a2，S BOC a2，12 12令AOB，COD ，则SAOB aasin，S COD aasin，12 12SAOBS COD a2(sinsin )，12AOBCOD180， 90， 90，即AOB90，COD90时，AOB 与COD 面积最大，即此时四边形 ABCD 面积最大，此时，S AOB a2，S COD a2，12 12S 四边形 ABCD 最大 a2 a2 a2 a22a 2；12 12 12 12(3)有最大值，理由如下：OAOBOCOD5 km
11、，则 A、 B、C、D 四点在以 O 为圆心，5 km 为半径的圆上，如解图 ，将 DOC 绕 O 点顺时针旋转 150至 DOB 位置连接 AD，设 OB与 AD交于点 E，第 4 题解图 AOD 与BOC 面积是定值，求 S 四边形 ABDO 最大即可AOD360150 90120 ，过 O 作 OMAD于点 M，过 B 作 BNAD于点 N，在OAM 中，AOM 60，OM ，AM ，AD 5 ，52 532 3令MEONEB，S 四边形 ABDOS AODS ABD ADOM ADBN ADOEsin (5OE)sin 12 12 12 AD5sin 5 5sin sin，12 12 3 252 3当 90 时，sin 1 ，此时四边形 ABDO 面积最大，S 四边形 ABDOmax ，即四边形 ABCD 的最大面积为253255 55 .12 12 12 2532 75 5034