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2019年中考数学临考冲刺专题练测:圆的综合题(含解析)

1、 圆的综合题1.如图 ,在矩形 ABCD 中,AB=2 ,AD=3,点 P 为边 AD 或 CD 上的一个动点,以3BP 为直径作半圆 ,圆心为点 O,过点 O 作 OFAD,交 CD 于点 F,交半圆 O 于点E(1)如图 ,当点 P 与点 D 重合时,求 EF 的长;(2)当半圆 O 与 CD 相切时.求 AP 的长;求半圆 O 与正方形重叠部分的面积.第 1 题图解:(1)在矩形 ABCD 中,AB=2 ,AD=3,BD= 321当 P 和 D 重合时,BD 就是直径OB=OD,OFADBC,OF= BC= 12OE= BD= ,12EF=OEOF= ;32(2)如解图,当 E 点和 F

2、 点重合时,半圆 O 与 CD 相切设 AP=a,则 PD=3a点 O 是 PB 的中点,OEBCAD ,在四边形 PDCB,OE= 322PDBCa在 RtABP 中,根据勾股定理得到 P= ,21Aa =3 ,21a解得 a=2;当点 P、C 重合时,半圆 O 与 CD 相切于点 C,点 C、P 重合,AP=BD = .21因此,当半圆 O 和 CD 相切时,AP=2 或 ;21当半圆 O 与 CD 相切于点 C 时,重叠面积为 0;当半圆 O 与 CD 相切于点 E 时,如解图,BC 与 交于点 Q,连接 OQ.ABP此时 AP=2,在矩形 ABCD 中,AB=2 ,A=90,3tanA

3、BP= ,2APBABP=30,OB=OQ=OP=AP=2,CBP=90ABP=60,OB=OQ,OBQ 是等边三角形,BOQ=60,POQ=120,半圆 O 与正方形重叠部分的面积= sOBQS 扇形 POQ= =234OP2106.43第 1 题解图2.如图,将 RtABC 的顶点 A 放在半圆 O 上,现从 AC 与半圆 O 相切于点 A(如图)的位置开始,将ABC 绕着点 A 顺时针旋转,设旋转角为 ,旋转后 AC、AB 分别与半圆 O 交于点 E、F,连接 EF(如图)已知BAC=60,C=90,AC=6,半圆O 的直径为 8(1)求 的长 ;A(2)当 =30时,求证:BC 与 O

4、 相切;(3)求点 O 到 BC 的距离 x 的取值范围.第 2 题图解:(1)如解图,连接 OE、OFBAC=60,EOF=120, 的长= ;AEF120(8)3(2)证明 :如解图,BAC =60,=30,RtABC 的斜边 AB 经过圆心 O,作 OGBC 于点 GBAC=60,C=90,AC=6,AB=12,O 的直径为 8,AO=4,BO=8,OGBC,C=90,OGAC, ,即 ,OGBAC8612解得 OD=4,即 OD 是O 的半径,BC 与O 相切;(3)C=90,当点 C 在直径 AD 上时,点 O 到 BC 的距离最小为 x=64=2;当点 C 在 DA 的延长线上时,

5、点 O 到 BC 的距离最大为 x=64=10,点 O 到 BC 的距离 x 的取值范围为 2x10.第 2 题解图3.如图,四边形 ABCD 是正方形,且 AB=8,点 O 与 B 重合,以 O 为圆心,作半径为 5的半圆 O,交 BC 于点 E,交 AB 于点 F,交 AB 延长线于点 G,连接 EF、AC ,M 是半圆 O 上任一点.发现:AM 的最大值为 ,AC 与 EF 的位置关系是 ,S 阴影 = .将半圆 O 绕点 F 逆时针旋转,旋转角为 .思考:(1)若点 C 落在半圆 O 的直径 GF 上,求圆心 O 到 AB 的距离;(2)若 =90,求半圆 O 落在正方形内部的弧长 ;

6、探究:在旋转过程中,若半圆 O 与正方形的边长相切,求点 A 到切点的距离.(注:sin37= ,sin53= ,tan37= )3543第 3 题图解:发现 :13;平行;64;【解法提示】当点 M 与点 G 重合时,AM 取得最大值,为 AG=ABBG=13,在正方形 ABCD 中,BAC=45,ABC=90, 在半圆 O 中,BF=BE,BFE=BEF= 90=45=BAC,ACEF,12在半圆 O 中,扇形 BEF、扇形 BFG 均为 圆,面积相等,14S 阴影 =S 正方形 ABCD=AB2=64.思考:(1)如解图 ,过点 O 作 OQAB 于点 Q.四边形 ABCD 是正方形,A

7、BC=90,OQBC, ,FCQBCF= , ,OQ= ,285989O4089圆心 O 到 AB 的距离为 ;40(2)如解图 ,设半圆 O 交 AD 于点 N,过点 O 作 OHAD 于点 H.四边形 ABCD 是正方形,DAB=90.半圆 O 绕点 F 逆时针旋转,旋转角为 90,OFA=90,四边形 HAFO 是矩形,AH=OF=5,OH=AF=ABBF=3,AHOF ,sinHNO= ,HNO=37,35OHNNOF=HNO=37,半圆 O 落在正方形内部的弧长: ;A3751806NF探究: 如解图 ,由思考 (2)得当半圆 O 与 AB 相切时,切点为 F,A 到切点的距离为 A

8、F=3;如解图 当半圆 O 与 CD 相切时,设切点为 R,连接 OR,并延长 RO 交 AB 于点T,连接 AR,则 ORC=90.DCAB,OTB=90,四边形 RCBT 是矩形 ,RT=CB=8,OT=8 5=3,FT= ,AT=AB BT=AB (BF FT)=7,2534AR= .26913RTA第 3 题解图当半圆 O 与 AD 相切时,设切点为 P,如解图,连接 OP,过点 F 作 FSPO 于点S,则四边形 PAFS 是矩形,PS=AF=3,AP=SF,SF= ,AP= .2512综上所述,点 A 到切点的距离为 3 或 或 .4.如图,已知扇形 BOG 的圆心为 O,半径为

9、2,圆心角为 270,AB 为直径,CD 为弦AB 与 CD 交于点 M,将 沿着 CD 翻折后,点 A 与圆心 O 重合,延长 OA 至 P,使ACDAP=OA,连接 PC(1)求 CD 的长;(2)求证 :PC 是扇形 BOG 的切线;(3)在 PC 延长线上有一点 Q,连接 QG 交 AB 于点 E,交 于点 F(F 与 B、C 不重AB合)求 GEGF 的值.第 4 题图(1)解:如解图,连接 OC, 沿 CD 翻折后,点 A 与圆心 O 重合,ACDOM= OA= 2=1,CDOA,12OC=2,CD=2CM=2 ;2213OCM(2) 证明: PA=OA=2,AM=OM=1,CM=

10、 CD= ,CMP=OMC=90,PC= ,22(3)CMPOC=2,PO=22=4,PC 2OC 2=(2 )22 2=16=PO2,PCO=90,PC 是O 的切线;(3)解:如解图,延长 GO 交O 于点 H,连接 FH.扇形 BOG 的圆心为 O,圆心角为 270,GOE=90,HFG=90,且 OGE=FGH,OGEFGH, ,GEFHGEGF=OGGH=24=8.第 4 题解图5.如图,AB 是半圆 O 的直径,点 P 是半圆上不与点 A、B 重合的一个动点,延长 BP 到点 C,使 PCPB,D 是 AC 的中点,连接 PD、PO (1)求证:CDPPOB;(2)填空:若 AB4

11、,则四边形 AOPD 的最大面积为 ;连接 OD,当PBA 的度数为 时,四边形 BPDO 是菱形第 5 题图(1)证明: PCPB,D 是 AC 的中点,DPAB,DP AB,CPDPBO,2BO AB,1DPBO,在CDP 与 POB 中,DPBOCCDPPOB(SAS);(2)解:4;【解法提示】当四边形 AOPD 的 AO 边上的高等于半径时有最大面积,(42) (42)224.60【解法提示】如解图,DPAB,DPBO ,四边形 BPDO 是平行四边形,四边形 BPDO 是菱形,PB BO,POBO,PB BOPO,PBO 是等边三角形,PBA 的度数为 60第 5 题解图6.如图,

12、在矩形 ABCD 中,AB6,BC8 ,O 是 AD 的中点,以 O 为圆心在AD 的下方作半径为 3 的半圆 O,交 AD 于点 E、F思考:连接 BD,交半圆 O 于点 G、H,求 GH 的长;探究:将线段 AF 连带半圆 O 绕点 A 顺时针旋转,得到半圆 O,设其直径为EF,旋转角为 (0180)(1)设 F到 AD 的距离为 m,当 m 时,求 的取值范围;72(2)若半圆 O与线段 AB、BC 相切时,设切点为 R,求 的长AF(sin49 ,cos41 ,tan37 ,结果保留 )343434第 6 题图 备用图解:思考:如解图,过点 O 作 ONBD 于点 N,HNGN ,四边

13、形 ABCD 是矩形,ADBC 8, BAD90,又AB 6,BD10,BADOND90, ADBNDO,ADBNDO, ,BDAONON ,125连接 OH,OH 3,HN ,95GH 2HN ;18探究:(1)如解图,过点 F作 FQAD 于点 Q,当 F到 AD 的距离为 时,有 FQ ,7272此时 ,712sin所以 30 ,如解图 ,当点 Q 落在 DA 延长线时,可求得 150 ,所以当 m 时, 的取值范围为 30 150;72(2)如解图,当半圆 O与 AB 相切,切点为 R,连接 OR,ORA90, ,3sin4AROAR49,AOR41,FOR139, ;A139=806

14、如解图 ,当半圆 O与 BC 相切,切点为 R,过点 O作 OPAB 于点 P,连接OR,ORB90,易得四边形 PBRO是矩形,ORBP3,AP 3, ,sin4APPOA49 ,ROF41, AFR413=806图 图 图 图 图第 6 题解图7.已知扇形 OAB 的半径为 8,AOB90,点 P 是 OA 的中点,点 Q 是弧 AB上的一个动点(不与点 A,B 重合),如图,将扇形沿 PQ 折叠,点 A 的对应点为 A,连接 AA.发现:在点 Q 的运动过程中,AAO 始终为_,点 A与点 B 之间的最小距离为_;思考:(1)如图,当点 O 与点 A重合时,求 的长;BQ(2)如图,当

15、Q 是 上的中点时,求 tanAPQ 的值.AB图 图 图第 7 题图解:发现: 90,4 4;5思考:(1)如解图,连接 OQ,根据题意可得 OP OQ, OPQ90,12PQOB,PQO30,QOB30, 的长 ;ABQ30841(2)如解图,连接 OQ,过点 Q 作 QDOA 于点 D,Q 是 上的中点 ,AOB 90,AOQ45,ADQ OD OQsinDOQ8 4 ,2DPOD OP4 4,2tanAPQ .21DQP图 图第 7 题解图8.如图,在CDE 中,DE3 ,D45,E75,点 B 在 DC 的延长线上,2BC2,点 A 在射线 DC 的上方,AB DC,垂足为点 B,且

16、 AB2,现以 AB 为直径作半圆 O发现:CDE 的边 DC ,点 C 到半圆 O 上的点的最小距离为 最大距离为 ;将半圆 O 沿射线 DC 反方向平移,设平移距离为 x思考:(1)当点 B 与点 C 重合时,求半圆 O 与CDE 重叠部分的面积;(2)当直径 AB 完全落在CDE 内部(含端点在边界)时,x 的取值范围是 ;探究:当 与CDE 的边有两个交点时, 求 x 的取值范围AB第 8 题图 备用图解:发现: 3 , 1,2 ;5【解法提示】如解图,过点 E 作 EHCD 于点 H在 RtDEH 中,DE3 , D45,DDEH45,EHDH 3,DEC75 ,CEH30 ,CH

17、,3CD3 连接 CO 交半圆 O 于点 M、连接 AC则点 C 到半圆 O 上的点的最小距离为CMOC OM 1,点 C 到半圆 O 上的点的最大距离为 AC2 5思考:(1)如解图,当点 B 与点 C 重合时,半圆 O 与CDE 重叠部分的面积S 扇形 OMCS OMCACEH,ACMCEH30,OMOC ,OMCOCM30,COM120,半圆 O 与 CDE 重叠部分的面积 S 扇形 OMCS OMC 2103613;34(2)如解图,当点 A 在线段 CE 上时,设 BCa.ABEH, ,ABCEH ,23aa ,此时 x2 ,3如解图 ,当点 A 在线段 DE 上时,易知 ABBD

18、2,BH1,此时x3 ,当直径 AB 完全落在CDE 内部(含端点在边界)时,x 的取值范围是2 x3 ;探究:如解图,当半圆 O 与 DE 相切时,设切点为 N,连接 ON、OD ,在DB 上取一点 M,使得 DMOM则易知ODNODM22.5, OMB45,OMDM ,BM1,2BC3 ( 1)2 ,32此时 x4 ,如解图 中,当半圆 O 与 CE 相切于点 N 时,易知OCB OCN60,BC ,此时 x2 33综上所述,当弧 与CDE 的边有两个交点时 2 x2 或 x4AB 3 或 3 x 5 23图 图 图图 图 图第 8 题解图9.如图 ,四边形 ABCD 是正方形,且 AB8

19、,点 O 与 B 重合,以 O 为圆心,作半径长为 5 的半圆 O,交 BC 于点 E,交 AB 于点 F,交 AB 延长线于 G 点,M 是半圆 O 上任意一点发现:AM 的最大值为 ,S 阴影 ;如图 ,将半圆 O 绕点 F 逆时针旋转,旋转角为 (0180)思考:(1)若点 C 落在半圆 O 的直径 GF 上,求圆心 O 到 AB 的距离;(2)若 90,求半圆 O 落在正方形内部的弧长 ;探究:在旋转过程中,若半圆 O 与正方形的边相切,求点 A 到切点的距离(注:sin37 ,sin53 ,tan37 )354534图 图第 9 题图解:发现: 13,64;【解法提示】当点 M 与

20、G 重合时,AM 的值最大最大值为 8513,观察图象可知:S 阴影 S 正方形 AB 264思考:(1)如解图中,过点 O 作 OQAB 于点 Q,四边形 ABCD 是正方形,ABC90OQBC, ,OFCQBCF ,2859 ,OOQ 4089(2)如解图中,设半圆 O 交 AD 于点 N,过 O 作 OHAD 于点 H,连接ON,四边形 ABCD 是正方形,DAB90半圆 O 绕点 F 逆时针旋转,旋转角为 90,OFA90四边形 HAFO 是矩形,AHOF,OHAF ABBF3,AH OF,sinHNO ,5OHNHNO37,HNONOF37,半圆 O 落在正方形内部的弧长 ;A371

21、853706NF探究: 由思考(2)得当半圆 O 与 AB 相切时,切点为点 F,A 到切点的距离为 AF3;如解图 中,当半圆 O 与 CD 相切时, 设切点为 R,连接 OR,并延长 RO交 AB 于点 T,ORC90 ,DCAB,OTF 90,四边形 RCBT 是矩形,RTCB8,OT 853,FT 4,ATAF FT 7,连接 AR,253AR ,26491RTA如解图 中,当半圆 O 与 AD 相切时,设切点为 P,连接 OP,过点 F 作FSPO,易得四边形 PAFS 是矩形,PSAF3,APSF,SF , AP ,25121综上,点 A 到切点的距离为 3 或 或 21图 图 图

22、 图第 9 题解图10.如图,A45,ABC 60,AB MN,BH MN 于点 H,BH 8,点 C 在MN 上,点 D 在 AC 上,DEMN 于点 E,半圆的圆心为点 O,直径 DE6,G为 的中点,F 是 上的动点ADEADE发现:CF 的最小值是 ,CF 的最大值为 探究:沿直线 MN 向右平移半圆 O(1)当点 G 落在ABC 的边上时,半圆与 ABC 重合部分的面积;(2)当点 E 与点 H 重合时,求半圆在 BC 上截得的线段长;(3)当半圆与ABC 的边相切时,求 CE 的长第 10 题图解:发现: 6,3 3;5【解法提示】如解图,当点 F 与点 E 重合时,CF 的最小值

23、为 CE 的长6 当 CF 经过圆心时,CF 的长最大,最大值OCOF 332635探究:(1)如解图,当点 G 落在 AC 边上时,点 E 与 C 重合,连接 OG,点 G 为 的中点, 则 DOGGOC90 ,半圆与ABC 重合部分的面积 ADE 1232 33 ;1942如解图 ,当点 G 落在 BC 上,OGMN,BGO BCE60,设 BC 交半圆另一个点为 S,连接 OS,OS OG,OSG 是等边三角形,半圆与 ABC 重叠部分的面积为 32 32 60334934(2)如解图,点 E 与 H 重合时,BH8,OE3,BO 5,设 BC 交半圆于点 R、 T,过点 O 作 OPRT 于点 P,则 PTPR,CBE30,OP ,52连接 OR,则 RP ,3()1RT2PR 1(3) 如解图 中,当半圆与 AC 相切时,设切点为 K,则 CKCE,过点 K作 KUDE 于点 U,KOE45 ,OK 3,KUOU ,EU3 ,22过点 K 作 KLMN 于点 L,可得 KLEU,KCL45, LCKLEU , CEOU EU3 32如解图 中,当半圆与 BC 相切时,设切点为点 W,连接 OW,OC,则CECW,OWOE,OCEOCW30,OE3,tan30 ,CE3 CE图 图 图 图 图 图第 10 题解图