1、 圆的综合题1.如图 ,在矩形 ABCD 中,AB=2 ,AD=3,点 P 为边 AD 或 CD 上的一个动点,以3BP 为直径作半圆 ,圆心为点 O,过点 O 作 OFAD,交 CD 于点 F,交半圆 O 于点E(1)如图 ,当点 P 与点 D 重合时,求 EF 的长;(2)当半圆 O 与 CD 相切时.求 AP 的长;求半圆 O 与正方形重叠部分的面积.第 1 题图解:(1)在矩形 ABCD 中,AB=2 ,AD=3,BD= 321当 P 和 D 重合时,BD 就是直径OB=OD,OFADBC,OF= BC= 12OE= BD= ,12EF=OEOF= ；32(2)如解图,当 E 点和 F
2、 点重合时,半圆 O 与 CD 相切设 AP=a,则 PD=3a点 O 是 PB 的中点,OEBCAD ,在四边形 PDCB,OE= 322PDBCa在 RtABP 中,根据勾股定理得到 P= ,21Aa =3 ,21a解得 a=2；当点 P、C 重合时,半圆 O 与 CD 相切于点 C,点 C、P 重合,AP=BD = .21因此,当半圆 O 和 CD 相切时,AP=2 或 ；21当半圆 O 与 CD 相切于点 C 时,重叠面积为 0;当半圆 O 与 CD 相切于点 E 时,如解图,BC 与 交于点 Q,连接 OQ.ABP此时 AP=2,在矩形 ABCD 中,AB=2 ,A=90,3tanA
3、BP= ,2APBABP=30,OB=OQ=OP=AP=2,CBP=90ABP=60,OB=OQ,OBQ 是等边三角形,BOQ=60,POQ=120,半圆 O 与正方形重叠部分的面积= sOBQS 扇形 POQ= =234OP2106.43第 1 题解图2.如图,将 RtABC 的顶点 A 放在半圆 O 上,现从 AC 与半圆 O 相切于点 A(如图)的位置开始,将ABC 绕着点 A 顺时针旋转,设旋转角为 ,旋转后 AC、AB 分别与半圆 O 交于点 E、F,连接 EF(如图)已知BAC=60,C=90,AC=6,半圆O 的直径为 8(1)求 的长 ；A(2)当 =30时,求证:BC 与 O
4、 相切;(3)求点 O 到 BC 的距离 x 的取值范围.第 2 题图解:(1)如解图,连接 OE、OFBAC=60,EOF=120, 的长= ；AEF120(8)3(2)证明 :如解图,BAC =60,=30,RtABC 的斜边 AB 经过圆心 O,作 OGBC 于点 GBAC=60,C=90,AC=6,AB=12,O 的直径为 8,AO=4,BO=8,OGBC,C=90,OGAC, ,即 ,OGBAC8612解得 OD=4,即 OD 是O 的半径,BC 与O 相切；(3)C=90,当点 C 在直径 AD 上时,点 O 到 BC 的距离最小为 x=64=2；当点 C 在 DA 的延长线上时,
5、点 O 到 BC 的距离最大为 x=64=10,点 O 到 BC 的距离 x 的取值范围为 2x10.第 2 题解图3.如图,四边形 ABCD 是正方形,且 AB=8,点 O 与 B 重合,以 O 为圆心,作半径为 5的半圆 O,交 BC 于点 E,交 AB 于点 F,交 AB 延长线于点 G,连接 EF、AC ,M 是半圆 O 上任一点.发现:AM 的最大值为 ,AC 与 EF 的位置关系是 ,S 阴影 = .将半圆 O 绕点 F 逆时针旋转,旋转角为 .思考:(1)若点 C 落在半圆 O 的直径 GF 上,求圆心 O 到 AB 的距离；(2)若 =90,求半圆 O 落在正方形内部的弧长 ；
6、探究:在旋转过程中,若半圆 O 与正方形的边长相切,求点 A 到切点的距离.(注:sin37= ,sin53= ,tan37= )3543第 3 题图解:发现 :13；平行；64;【解法提示】当点 M 与点 G 重合时,AM 取得最大值,为 AG=ABBG=13,在正方形 ABCD 中,BAC=45,ABC=90, 在半圆 O 中,BF=BE,BFE=BEF= 90=45=BAC,ACEF,12在半圆 O 中,扇形 BEF、扇形 BFG 均为 圆,面积相等,14S 阴影 =S 正方形 ABCD=AB2=64.思考:(1)如解图 ,过点 O 作 OQAB 于点 Q.四边形 ABCD 是正方形,A
7、BC=90,OQBC, ,FCQBCF= , ,OQ= ,285989O4089圆心 O 到 AB 的距离为 ;40(2)如解图 ,设半圆 O 交 AD 于点 N,过点 O 作 OHAD 于点 H.四边形 ABCD 是正方形,DAB=90.半圆 O 绕点 F 逆时针旋转,旋转角为 90,OFA=90,四边形 HAFO 是矩形,AH=OF=5,OH=AF=ABBF=3,AHOF ,sinHNO= ,HNO=37,35OHNNOF=HNO=37,半圆 O 落在正方形内部的弧长: ;A3751806NF探究: 如解图 ,由思考 (2)得当半圆 O 与 AB 相切时,切点为 F,A 到切点的距离为 A
8、F=3;如解图 当半圆 O 与 CD 相切时,设切点为 R,连接 OR,并延长 RO 交 AB 于点T,连接 AR,则 ORC=90.DCAB,OTB=90,四边形 RCBT 是矩形 ,RT=CB=8,OT=8 5=3,FT= ,AT=AB BT=AB (BF FT)=7,2534AR= .26913RTA第 3 题解图当半圆 O 与 AD 相切时,设切点为 P,如解图,连接 OP,过点 F 作 FSPO 于点S,则四边形 PAFS 是矩形,PS=AF=3,AP=SF,SF= ,AP= .2512综上所述,点 A 到切点的距离为 3 或 或 .4.如图,已知扇形 BOG 的圆心为 O,半径为
9、2,圆心角为 270,AB 为直径,CD 为弦AB 与 CD 交于点 M,将 沿着 CD 翻折后,点 A 与圆心 O 重合,延长 OA 至 P,使ACDAP=OA,连接 PC(1)求 CD 的长；(2)求证 :PC 是扇形 BOG 的切线；(3)在 PC 延长线上有一点 Q,连接 QG 交 AB 于点 E,交 于点 F(F 与 B、C 不重AB合)求 GEGF 的值.第 4 题图(1)解:如解图,连接 OC, 沿 CD 翻折后,点 A 与圆心 O 重合,ACDOM= OA= 2=1,CDOA,12OC=2,CD=2CM=2 ;2213OCM(2) 证明: PA=OA=2,AM=OM=1,CM=
10、 CD= ,CMP=OMC=90,PC= ,22(3)CMPOC=2,PO=22=4,PC 2OC 2=(2 )22 2=16=PO2,PCO=90,PC 是O 的切线;(3)解:如解图,延长 GO 交O 于点 H,连接 FH.扇形 BOG 的圆心为 O,圆心角为 270,GOE=90,HFG=90,且 OGE=FGH,OGEFGH, ,GEFHGEGF=OGGH=24=8.第 4 题解图5.如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 是半圆上不与点 A、B 重合的一个动点，延长 BP 到点 C，使 PCPB，D 是 AC 的中点，连接 PD、PO （1）求证：CDPPOB；（2）填空：若 AB4
11、，则四边形 AOPD 的最大面积为 ；连接 OD，当PBA 的度数为 时，四边形 BPDO 是菱形第 5 题图（1）证明: PCPB，D 是 AC 的中点，DPAB，DP AB，CPDPBO，2BO AB，1DPBO，在CDP 与 POB 中，DPBOCCDPPOB（SAS）；（2）解:4；【解法提示】当四边形 AOPD 的 AO 边上的高等于半径时有最大面积，（42） （42）224.60【解法提示】如解图，DPAB，DPBO ，四边形 BPDO 是平行四边形，四边形 BPDO 是菱形，PB BO，POBO，PB BOPO，PBO 是等边三角形，PBA 的度数为 60第 5 题解图6.如图，
12、在矩形 ABCD 中，AB6，BC8 ，O 是 AD 的中点，以 O 为圆心在AD 的下方作半径为 3 的半圆 O，交 AD 于点 E、F思考：连接 BD，交半圆 O 于点 G、H，求 GH 的长；探究：将线段 AF 连带半圆 O 绕点 A 顺时针旋转，得到半圆 O，设其直径为EF，旋转角为 （0180）（1）设 F到 AD 的距离为 m，当 m 时，求 的取值范围；72（2）若半圆 O与线段 AB、BC 相切时，设切点为 R，求 的长AF（sin49 ，cos41 ，tan37 ，结果保留 ）343434第 6 题图 备用图解:思考：如解图，过点 O 作 ONBD 于点 N，HNGN ，四边
13、形 ABCD 是矩形，ADBC 8， BAD90，又AB 6，BD10，BADOND90， ADBNDO，ADBNDO， ，BDAONON ，125连接 OH，OH 3，HN ，95GH 2HN ；18探究：（1）如解图，过点 F作 FQAD 于点 Q，当 F到 AD 的距离为 时，有 FQ ，7272此时 ，712sin所以 30 ，如解图 ，当点 Q 落在 DA 延长线时，可求得 150 ，所以当 m 时， 的取值范围为 30 150；72（2）如解图，当半圆 O与 AB 相切，切点为 R，连接 OR，ORA90， ，3sin4AROAR49，AOR41，FOR139， ；A139=806
14、如解图 ，当半圆 O与 BC 相切，切点为 R，过点 O作 OPAB 于点 P，连接OR，ORB90，易得四边形 PBRO是矩形，ORBP3，AP 3， ，sin4APPOA49 ，ROF41， AFR413=806图 图 图 图 图第 6 题解图7.已知扇形 OAB 的半径为 8，AOB90，点 P 是 OA 的中点，点 Q 是弧 AB上的一个动点（不与点 A，B 重合），如图，将扇形沿 PQ 折叠，点 A 的对应点为 A，连接 AA.发现：在点 Q 的运动过程中，AAO 始终为_，点 A与点 B 之间的最小距离为_；思考：（1）如图，当点 O 与点 A重合时，求 的长；BQ（2）如图，当
15、Q 是 上的中点时，求 tanAPQ 的值.AB图 图 图第 7 题图解:发现： 90，4 4；5思考：（1）如解图，连接 OQ，根据题意可得 OP OQ， OPQ90，12PQOB，PQO30，QOB30， 的长 ；ABQ30841（2）如解图，连接 OQ，过点 Q 作 QDOA 于点 D，Q 是 上的中点 ，AOB 90，AOQ45，ADQ OD OQsinDOQ8 4 ，2DPOD OP4 4，2tanAPQ .21DQP图 图第 7 题解图8.如图，在CDE 中，DE3 ，D45，E75，点 B 在 DC 的延长线上，2BC2，点 A 在射线 DC 的上方，AB DC，垂足为点 B，且
16、 AB2，现以 AB 为直径作半圆 O发现：CDE 的边 DC ，点 C 到半圆 O 上的点的最小距离为 最大距离为 ；将半圆 O 沿射线 DC 反方向平移，设平移距离为 x思考：（1）当点 B 与点 C 重合时，求半圆 O 与CDE 重叠部分的面积；（2）当直径 AB 完全落在CDE 内部（含端点在边界）时，x 的取值范围是 ；探究：当 与CDE 的边有两个交点时， 求 x 的取值范围AB第 8 题图 备用图解:发现： 3 ， 1，2 ；5【解法提示】如解图，过点 E 作 EHCD 于点 H在 RtDEH 中，DE3 ， D45，DDEH45，EHDH 3，DEC75 ，CEH30 ，CH
17、，3CD3 连接 CO 交半圆 O 于点 M、连接 AC则点 C 到半圆 O 上的点的最小距离为CMOC OM 1，点 C 到半圆 O 上的点的最大距离为 AC2 5思考：（1）如解图，当点 B 与点 C 重合时，半圆 O 与CDE 重叠部分的面积S 扇形 OMCS OMCACEH，ACMCEH30，OMOC ，OMCOCM30，COM120，半圆 O 与 CDE 重叠部分的面积 S 扇形 OMCS OMC 2103613；34（2）如解图，当点 A 在线段 CE 上时，设 BCa.ABEH， ，ABCEH ，23aa ，此时 x2 ，3如解图 ，当点 A 在线段 DE 上时，易知 ABBD
18、2，BH1，此时x3 ，当直径 AB 完全落在CDE 内部（含端点在边界）时，x 的取值范围是2 x3 ；探究：如解图，当半圆 O 与 DE 相切时，设切点为 N，连接 ON、OD ，在DB 上取一点 M，使得 DMOM则易知ODNODM22.5， OMB45，OMDM ，BM1，2BC3 （ 1）2 ，32此时 x4 ，如解图 中，当半圆 O 与 CE 相切于点 N 时，易知OCB OCN60，BC ，此时 x2 33综上所述，当弧 与CDE 的边有两个交点时 2 x2 或 x4AB 3 或 3 x 5 23图 图 图图 图 图第 8 题解图9.如图 ，四边形 ABCD 是正方形，且 AB8
19、，点 O 与 B 重合，以 O 为圆心，作半径长为 5 的半圆 O，交 BC 于点 E，交 AB 于点 F，交 AB 延长线于 G 点，M 是半圆 O 上任意一点发现：AM 的最大值为 ，S 阴影 ；如图 ，将半圆 O 绕点 F 逆时针旋转，旋转角为 （0180）思考：（1）若点 C 落在半圆 O 的直径 GF 上，求圆心 O 到 AB 的距离；（2）若 90，求半圆 O 落在正方形内部的弧长 ；探究：在旋转过程中，若半圆 O 与正方形的边相切，求点 A 到切点的距离（注：sin37 ，sin53 ，tan37 ）354534图 图第 9 题图解:发现： 13，64；【解法提示】当点 M 与
20、G 重合时，AM 的值最大最大值为 8513，观察图象可知：S 阴影 S 正方形 AB 264思考：（1）如解图中，过点 O 作 OQAB 于点 Q，四边形 ABCD 是正方形，ABC90OQBC， ，OFCQBCF ，2859 ，OOQ 4089（2）如解图中，设半圆 O 交 AD 于点 N，过 O 作 OHAD 于点 H，连接ON，四边形 ABCD 是正方形，DAB90半圆 O 绕点 F 逆时针旋转，旋转角为 90，OFA90四边形 HAFO 是矩形，AHOF，OHAF ABBF3，AH OF，sinHNO ，5OHNHNO37，HNONOF37，半圆 O 落在正方形内部的弧长 ；A371
21、853706NF探究： 由思考（2）得当半圆 O 与 AB 相切时，切点为点 F，A 到切点的距离为 AF3；如解图 中，当半圆 O 与 CD 相切时， 设切点为 R，连接 OR，并延长 RO交 AB 于点 T，ORC90 ，DCAB，OTF 90，四边形 RCBT 是矩形，RTCB8，OT 853，FT 4，ATAF FT 7，连接 AR，253AR ，26491RTA如解图 中，当半圆 O 与 AD 相切时，设切点为 P，连接 OP，过点 F 作FSPO，易得四边形 PAFS 是矩形，PSAF3，APSF，SF ， AP ，25121综上，点 A 到切点的距离为 3 或 或 21图 图 图
22、 图第 9 题解图10.如图，A45，ABC 60，AB MN，BH MN 于点 H，BH 8，点 C 在MN 上，点 D 在 AC 上，DEMN 于点 E，半圆的圆心为点 O，直径 DE6，G为 的中点，F 是 上的动点ADEADE发现：CF 的最小值是 ，CF 的最大值为 探究：沿直线 MN 向右平移半圆 O（1）当点 G 落在ABC 的边上时，半圆与 ABC 重合部分的面积；（2）当点 E 与点 H 重合时，求半圆在 BC 上截得的线段长；（3）当半圆与ABC 的边相切时，求 CE 的长第 10 题图解:发现： 6，3 3；5【解法提示】如解图，当点 F 与点 E 重合时，CF 的最小值
23、为 CE 的长6 当 CF 经过圆心时，CF 的长最大，最大值OCOF 332635探究：（1）如解图，当点 G 落在 AC 边上时，点 E 与 C 重合，连接 OG，点 G 为 的中点， 则 DOGGOC90 ，半圆与ABC 重合部分的面积 ADE 1232 33 ；1942如解图 ，当点 G 落在 BC 上，OGMN，BGO BCE60，设 BC 交半圆另一个点为 S，连接 OS，OS OG，OSG 是等边三角形，半圆与 ABC 重叠部分的面积为 32 32 60334934（2）如解图，点 E 与 H 重合时，BH8，OE3，BO 5，设 BC 交半圆于点 R、 T，过点 O 作 OPRT 于点 P，则 PTPR，CBE30，OP ，52连接 OR，则 RP ，3()1RT2PR 1（3） 如解图 中，当半圆与 AC 相切时，设切点为 K，则 CKCE，过点 K作 KUDE 于点 U，KOE45 ，OK 3，KUOU ，EU3 ，22过点 K 作 KLMN 于点 L，可得 KLEU，KCL45， LCKLEU ， CEOU EU3 32如解图 中，当半圆与 BC 相切时，设切点为点 W，连接 OW，OC，则CECW，OWOE，OCEOCW30，OE3，tan30 ，CE3 CE图 图 图 图 图 图第 10 题解图