1、 1 几何图形的证明与计算类型一 简单几何图形的证明与计算1.如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与 A，B 重合），连接DE，点 A 关于 DE 的对称点为 F，连接 EF 并延长交 BC 于点 G，连接 DG，过点 E 作 EHDE 交 DG 的延长线于点 H，连接 BH（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明；（3）若正方形 ABCD 的边长为 4，取 DH 的中点 M，请直接写出线段 BM 长的最小值第 1 题图证明：（1）如解图，连接 DF，四边形 ABCD 是正方形，DA= DC， A=C=90 ，点 A 关于直线 D
2、E 的对称点为 F，ADEFDE， 第 1 题解图DA= DF=DC，DFE=A=90，DFG=90，在 Rt DFG 和 RtDCG 中， ，DFG DCG（HL），DFCGGF= GC； 2 （2）结论：BH= AE，证明如下：2证法一：如解图，在线段 AD 上截取 AM，使 AM=AE， 第 1 题解图 AD= AB，DM=BE，由（1）知：1=2，3= 4，ADC=90 ，1+2+3+4=90，22+23=90，2+3=45，即EDG =45，EHDE ，DEH =90，DEH 是等腰直角三角形，AED+BEH =AED +1=90，DE=EH ，1=BEH，在DME 和EBH 中，
3、，1DMBEH DMEEBH（SAS），EM=BH ，RtAEM 中， A =90，AM=AE， 3 EM = AE，2BH = AE；（3）如解图中，取 DE 的中点 O，连接 OM，OA ，AM，EMDEH 是等腰直角三角形，DM =HM，EM=DM =HM，EM DM，DAE=DME=90，OD=OE ，DO= OA=OE=OM，A，D，M ，E 四点共圆， 第 1 题解图MAB =MDE=45，DAM=MAB，点 M 在正方形的对角线 AC 上，当 BMAM 时，BM 的值最小，最小值为 2 2.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F
4、，连结 AF、CE（1）试判断四边形 AFCE 的形状，并说明理由；（2）若 AB=5，2AE=3BF，求 EF 的长；（3）连结 BE，若 BECE，求 的值.BFAE第 2 题图解：（1）四边形 AFCE 是菱形理由：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，AD=BC， 4 EAO=FCO，EF 是 AC 的垂直平分线，AO= CO， EOA=FOC=90，在AEO 和CFO 中，,EAOFC AEOCFO（ASA），AE=CF，四边形 AFCE 是平行四边形，又ACEF，四边形 AFCE 是菱形；（2）2AE=3BF，可以假设 AE=3m，BF=2m，四边形 AECF 是菱形，AF=AE=3
5、m， 第 2 题解图在 Rt ABF 中，AB 2+BF2=AF2，25+4m 2=9m2，m= 5AF=FC= ，3BF= ，2BC= ，5四边形 ABCD 是矩形， 5 ABC=90 ，AC= ,25126ABCOC= ,16tanOCF= ,OFCB ,OF=562302AEOCFOOE= OF,EF=2OF= .30（3）设 AE=a，BF=b 则 AF=CF=EC=a，BC=a+b，BF=DE=b四边形 ABCD 是矩形，ADCB，DEC=BCE，BECE，BEC= D=90，CDEBEC， ，ECB ，=bab 2+aba 2=0， + 1=0() （舍弃）.512ba或 6 .5
6、12BFAE3. (1)已知：ABC 是等腰三角形，其底边是 BC，点 D 在线段 AB 上，E 是直线BC 上一点，且DECDCE，若A60(如图)求证：EBAD ；(2)若将 (1)中的 “点 D 在线段 AB 上” 改为“点 D 在线段 AB 的延长线上” ，其它条件不变(如图) ，(1) 的结论是否成立，并说明理由；(3)若将 (1)中的 “若A60”改为“若A90” ，其它条件不变，则 的值是多EBAD少？(直接写出结论，不要求写解答过程)第 3 题图(1)证明：如解图所示，过点 D 作 DFBC 交 AC 于点 F，则 ADAF，FDCDCE，A60 ，DFAD AF，又DEBDC
7、E，FDCDEB， 第 3 题解图又 EDCD，DBEDFC120，DBECFD(AAS) ， EBDF ，EBAD . 7 (2)解：EBAD 成立理由如下：如解图所示，过点 D 作 DFBC 交 AC 的延长线于 F，则 ADAFDF，FDC ECD，又DECECD，FDCDEC，EDCD ，又DBEDFC60， 第 3 题解图DBECFD(AAS) ；EBDF ， EBAD . (3) 解： .EBAD 2【解法提示】过点 D 作 BC 的垂线，根据等腰直角三角形的性质，可以得出线段间关系，进而求得所需答案.类型二 涉及动点、平移、折叠、旋转的几何图形的证明与计算4. 如图，正方形 AB
8、CD，将边 CD 绕点 C 顺时针旋转 60，得到线段 CE，连接DE， AE，BD ， AE 与 BD 交于点 F（1）求AFB 的度数；（2）求证：BF =EF；第 4 题图解：（1）四边形 ABCD 是正方形，ADB= ADC=45，2由旋转得：CD= CE，DCE=60，DCE 是等边三角形， 8 CD=DE =AD，ADE=90+60=150， DAE=DEA =15， AFB =FAD+ ADB=15+45=60；（2）如解图，连接 CF，CDE 是等边三角形，DEC=60 ，DEA=15， 第 4 题解图CEF= CBF=45， 四边形 ABCD 是正方形，AD= CD， ADF
9、=CDF=45，DF= DF，ADFCDF（SAS ），DAF=DCF=15，FCB=90 15=75，ECF=60+15=75，FCB= ECF，CF=CF，ECFBCF（SAS），BF=EF；5、如图，点 O 是等边ABC 内一点，将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC，连接 OD.已知 AOB110. 9 (1)求证： COD 是等边三角形；(2)当 150时，试判断AOD 的形状，并说明理由；(3)探究：当 为多少度时，AOD 是等腰三角形第 5 题图(1)证明：由旋转的性质可得，COCD，OCD60，COD 是等边三角形；(2)解：当 150，即BOC150 时，AOD
10、是直角三角形理由如下：BOCADC，ADCBOC150，又COD 是等边三角形，ODC60，ADO 90，即AOD 是直角三角形；(3)解：分三种情况讨论：AOAD ，AOD ADO，AOD 360AOBCOD 36011060 190 ，ADO60，190 60，125；OAOD ， OADADO，AOD 190， 10 ADO 60，OAD 180(AOD ADO)50，6050，110；ODAD ， AODOAD，190 50，140；综上所述：当 的度数为 125或 110或 140时，AOD 是等腰三角形6.如图，将一张矩形纸片 ABCD 沿着对角线 BD 向上折叠，顶点 C 落到点
11、 E处，BE 交 AD 于点 F.(1)求证： BDF 是等腰三角形；(2)如图 ，过点 D 作 DGBE，交 BC 于点 G，连接 FG 交 BD 于点 O.判断四边形 BFDG 的形状，并说明理由；（3）在（2）的基础上，若 AB6，AD8，求 FG 的长第 6 题图(1)证明：由折叠的性质可得，DBCDBF，四边形 ABCD 是矩形，ADBC，ADBDBC，DBFADB， 11 BFDF ，BDF 是等腰三角形；(2)解：四边形 BFDG 是菱形理由：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，即 DFBG ，DGBF，四边形 BFDG 是平行四边形，BFDF (1)中已证) ，平行四边形 BF
12、DG 是菱形；（3）解：矩形 ABCD 中 AB6，AD8，A90，BD 10，AB2 AD2四边形 BFDG 是菱形，BDGF ，GF2OF，BD2OD，OD5，tanADB = ，OFOD ABAD 86OF ，154FG .1527.如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE3，动点 F 在边 BC上，且不与点 B，C 重合，将EBF 沿 EF 折叠，得到EBF.(1)当 BEF45 时，求证：CFAE；(2)当 BD BC 时，求 BF 的长；(3)求 CBF 周长的最小值 12 第 7 题图(1)证明：如解图，第 7 题解图当BEF 45时，易知四边形 BE
13、BF 是正方形，BFBE，ABBC，CFAE；(2)解： 如解图，作 BNBC 于点 N，NB的延长线交 AD 于点 M，作 EGMN 于点 G，则四边形MNCD、四边形 AEGM 都是矩形第 7 题解图B DBC，B DCB CD，ADCBCD90，B DMBCN ，B MDBNC 90， 13 B MDBNC (AAS)，B MB N8，AEMG 3，GB 5，在 Rt EGB中，EG 12，EB2 GB2 132 52EBGFBN90 ，FBNBFN90 ，EBGBFN，EGBFNB90，EGBBNF， ， ，EGBN EBFB 128 13BFBFBF ；263(3)解：如解图，以 E
14、 为圆心，EB 为半径画圆，连接 EC，在 Rt EBC 中，EBC90，EB13，BC 16，第 7 题解图EC 5 ，162 132 17CFB 的周长CFFBCBBFCFCB BC CB16CB，欲求CFB的周长的最小值，只要求出 CB的最小值即可，CBEBEC，当 E、B 、C 共线时，CB 的值最小， CB最小值是为 5 13.17 14 CFB 的周长的最小值为 35 .178.如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，点 D 以每秒 1 个单位长度的速度由点 A 向点 B 匀速运动，到达 B 点即停止运动M，N 分别是AD， CD 的中点，连接 MN.设点 D 运动的
15、时间为 t.(1)判断 MN 与 AC 的位置关系；第 8 题图(2)求在点 D 由点 A 向点 B 匀速运动的过程中，线段 MN 所扫过区域的面积；(3)若 DMN 是等腰三角形，求 t 的值解：(1)MNAC.证明：在ADC 中，M 是 AD 的中点，N 是 DC 的中点，MNAC；(2) 如解图，分别取ABC 三边中点 E，F，G 并连接 EG，FG ，第 8 题解图根据题意，可知线段 MN 扫过区域的面积就是平行四边形 AFGE 的面积AC6，BC8，AE3，GC4， 15 ACB90，S AFGEAEGC12，线段 MN 扫过区域的面积为 12；(3)依题意可知，MD AD，DN D
16、C，MN AC3.12 12 12分三种情况讨论：()当 MDMN3 时，DMN 为等腰三角形，此时 ADAC6，t6.()当 MDDN 时，ADDC.如解图，过点 D 作 DHAC 于点 H，则 AH AC3，12第 8 题解图cosA ，AB10，AC=6，AHAD ACAB即 .3AD 610tAD5.()当 DNMN3 时，AC DC，如解图，连接 MC，则 CMAD.第 8 题解图cosA ，即 ，AMAC ACAB AM6 610 16 AM ，185tAD2AM .365综上所述，当 t5 或 6 或 时，DMN 为等腰三角形365类型三 涉及探究类问题的几何图形的证明与计算9.
17、 如图，在ABC 中，BCAC，点 E 在 BC 上，CE CA，点 D 在 AB 上，连接 DE，ACB ADE180，作 CHAB，垂足为 H.(1)如图 ，当 ACB90时，连接 CD，过点 C 作 CFCD 交 BA 的延长线于点 F.求证：FA DE；请猜想三条线段 DE、AD、CH 之间的数量关系，直接写出结论；(2)如图 ，当 ACB120时，三条线段 DE、AD、CH 之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论第 9 题图(1)证明：ACBADE180，CADCED360180180，CADCAF180，CAFCED，CFCD，ACB90，DCFACB90，ECD=90ACD， 1
18、7 ACF90ACDECD，在AFC 和EDC 中， ACF ECDCA CE CAF CED)AFCEDC(ASA)，FADE ；解：DEAD2CH；【解法提示】由得 FADE，AFC EDC，CFCD，CFCD，CFDCDF45，CHFD，CHHDFH，FDFAADDEAD 2CH.(2)解：三条线段 DE，AD，CH 之间的数量关系是：DE AD 2 CH.3证明：延长 BA 到点 F，使 AFED，连接 CF，CD ，如解图，ACBADE180 ，CADCED360180180，第 9 题解图CADCAF180， 18 CAFCED.在AFC 和EDC 中，AC EC CAF CEDA
19、F ED )AFCEDC(SAS)，CFCD，ACFECD，FCDACFACDECDACDACB 120，CFCD，CHDF，FHDH DF (AFAD) (DEAD)，12 12 12HCD FCD60，12tanHCD ，DHCH 3DH CH，3DEAD AFAD2DH2 CH.310. ABC 中，AB AC，G 为 BC 的中点， P，A 在直线 BC 的同侧，PGBC ，直线 BP 与直线 AC 相交于点 D，直线 CP 与直线 AB 相交于点 E，且BAC2PBC.(1)当点 P 在 AB 边上时 (如图)，E 与 P 重合， D 与 A 重合，则线段 BE 与线段 CD 之间的
20、数量关系是_；(2)当点 P 在ABC 内(如图)时，线段 BE 与线段 CD 有何数量关系？并证明你的结论； 19 第 10 题图解：(1)BECD；【解法提示】PGBC，G 为 BC 的中点；PBPC， PBCPCB，APCPBCPCB 2PBC ，BAC2PBC，APCPAC，CPCA，BPCA，E 与 P 重合，D 与 A 重合，BECD.(2)BECD ；第 10 题解图证明： 如解图，过点 B 作 BFCE 交 CE 的延长线于点 F，过点 C 作 CMBD 于点 M，BFCE，CM BD ，PFB PMC90，PG 是 BC 的垂直平分线，PBPC， 20 在PBF 和PCM 中， PFB PMC BPF CPMPB PC )PBF PCM (AAS)，BFCM，PBPC，BPE PBCPCB2PBC，BAC2PBC，BPE BAC，EPDBPEEPD BAC180，AEP ADP180，又AEP BEF ，ADPCDM180 ，BEF CDM ，在BEF 和CDM 中， BEF CDM BFE CMD 90BF CM )BEF CDM (AAS)，BECD；