1、二次函数与四边形判定1. 已知抛物线 L：y x 2bxc 经过点 M(2，3)，与 y 轴交于点C(0，3)(1)求抛物线 L 的表达式；(2)试判断抛物线 L 与 x 轴交点的情况；(3)平移该抛物线，设平移后的抛物线为 L，抛物线 L的顶点记为 P，它的对称轴与 x 轴交于点 Q，已知点 N(2，8) ，怎样平移才能使得以 M、N 、P、Q 为顶点的四边形为菱形？解：(1) 抛物线 L：yx 2bxc 经过 C(0，3)，M (2，3) 两点，代入得，解得 ，324cb3b抛物线 L 的表达式为 yx 22x3；(2)令 x22 x30，则 b24ac(2) 24(3) 160，抛物线
2、L 与 x 轴有两个不同的交点；(3)由题意得，M(2， 3)，N(2，8)，MNy 轴，MN5.PQMNy 轴，当 PQMN5 时，四边形 MNPQ 为平行四边形设点 Q(m，0)，则点 P 的坐标为(m，5)，如解图，要使以 M、N、P、Q 为顶点的四边形为菱形， 只需 PNMN5，（m2） 2( 5+8) 25 2，解得 m16，m 22.点 P(6，5)或(2，5)yx 22x3(x1) 24， 第 1 题解图抛物线 L 的顶点坐标为(1，4) ， 当 P(6，5) 时，615，5(4)1.将原抛物线先向右平移 5 个单位，再向下平移 1 个单位，可得到符合条件的抛物线 L； 当 P(
3、2，5) 时，213，5(4) 1. 将原抛物线先向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，可得到符合条件的抛物线 L.2. 抛物线 yax 2bxc (a，b，c 为常数，且 a0)与 x 轴交于点 A(3，0)和点 B(5， 0)，与 y 轴交于点 C(0， ).154(1)求抛物线的函数表达式；(2)求该抛物线的对称轴；(3)连接 AC，设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点，过点 E 作 AC 的平行线交 x 轴于点F，是否存在这样的点 E，使得以 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1) 根据题意，设抛物线表达式为 y
4、a( x3)(x5) ，抛物线经过点 C(0， )，154 a3(5)，154解得 a ，14抛物线的表达式为 y (x3)( x5) x2 x ；14 14 12 154(2)由(1)得 y x2 x ，14 12 154则抛物线的对称轴为 x 1，b2a12 24该抛物线的对称轴为直线 x1；(3)存在 .以 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形， ACEF，且 ACEF，如解图.第 2 题解图 当点 E 在 x 轴上方时，过点 E 作 EGx 轴于点 G.ACEF，CAOEFG .又COA EGF90，ACEF ，CAOEFG，EGCO ，即 yE ，154 154 x xE ，1
5、54 142E 12 154解得 xE2(x E0 时与 C 点重合，舍去)，E 点坐标为 (2， )；154当点 E在 x 轴下方时，过点 E 作 EGx 轴于点 G，同理可求得 E( 1， ).31154综上所述，存在满足条件的点 E 的坐标为(2， )或( 1， ).154 31 1543.已知二次函数 yax 2bxc(a0) 的图象过点 A(1， 0)、 B(0，1) ，且与 x 轴有唯一交点.(1)求二次函数 yax 2bxc (a0)的表达式；(2)若将 (1)中的抛物线沿 y 轴向下平移 m 个单位后与 x 轴的两个交点分别为C、 D(点 C 在点 D 的左边)，当CBD90时
6、，求 m 的值；(3)在(2)中平移后的抛物线上是否存在一点 E，使以 C、D 、B、E 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1) 由题意得 ，0412acb解得 ，1ca二次函数的表达式为 yx 22x1；(2)由题可知，平移后的抛物线的表达式为 yx 22x1m，CBD90 ，点 A 是 CD 的中点，AB ，2ACAD AB ，2C(1 ，0)，D( 1 ，0)，2 2将点 C 的坐标代入 yx 22x 1m，解得 m2；(3)存在 .由(2)可知，平移后的抛物线的表达式为 yx 22x1.分两种情况讨论：当 CD 为对角线时，如解图，第 3 题解图连接 BA 并延长至点 E，使 AEBA，连接 CE、DE.可得点 E 的坐标为( 2，1)，在抛物线 yx 22x1 中，当 x2 时， y1，点 E 在平移后的抛物线上，且 BECD，存在点 E(2，1)，使四边形 BDEC 是矩形；当 BD 或 BC 为对角线时，由CBD90 可知，不存在满足题意的点 E.综上所述，平移后的抛物线上存在点 E(2，1) ，使以点 C、D 、B、E 为顶点的四边形是矩形.