1、二次函数与三角形相似1. 在平面直角坐标系中，直线 y3x 3 交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点，过 A、 B 两点的抛物线 C 交 x 轴于另一点 M(3，0)(1)求抛物线 C 的表达式；(2)求抛物线 C 关于 y 轴的对称图形 C的顶点 D 的坐标；(3)若点 A是点 A 关于原点的对称点，则在 x 轴上是否存在点 P，使得 PAD 与ABO 相似，若存在，求出符合条件的 P 点坐标；若不存在，请说明理由【思维教练】(1)要求抛物线 C 的表达式，根据题意过 A、B、M 三点可考虑运用待定系数法求得，又根据已知 A、B 分别为 y3x 3 与 x 轴、y 轴的交点，可考虑运用
2、“分别令 0 法” 求得 A、B 坐标，从而求得抛物线表达式； (2)要求 C的顶点 D 的坐标，可考虑先求出 C的函数表达式，根据已知 C与 C 关于 y 轴对称，可运用数形结合思想得到对称以后 C图象上各点与 C 图象上对应各点相比，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解；(3)要求使得 PADABO 的点 P坐标，可考虑当PAD 与ABO 相似时，对应边成比例，根据比例关系式，求出 AP 的长，根据题意对应边不确定，则需要分情况讨论解：(1) 设抛物线 C 的表达式为 yax 2bx c(a0)，直线 y3x 3 交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点，令 y0，得 x1，令 x0，得
3、 y3，A 点坐标为 (1，0)，B 点坐标为(0，3) 又抛物线经过 A、B 、M 三点， ，039cba解得 ，321c抛物线 C 的表达式为 yx 22x3；(2)抛物线 C 关于 y 轴的对称图形 C的表达式为 y( x) 22( x)3x 2 2x3，即 y(x1) 24.该抛物线 C的顶点 D 的坐标为(1，4) ；(3)点 A的坐标为( 1，0) ，第 1 题解图若PAD 与ABO 相似，如解图，当 3 时，DAAP BOOAAP ，P 点坐标为( ，0)或( ，0)；43 13 73如解图，当 3 时，APDA BOOAAP12，P 点坐标为(11，0)或(13，0)；当PAD
4、 与 ABO 相似时， P 点坐标为( ，0) 或( ，0)或( 11，0)或13 73(13， 0)2. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点抛物线 yax 2bxc经过点 A(3，0) 、B(0 ，2)、C(1，0)(1)求抛物线表达式；(2)求抛物线顶点坐标；(3)在线段 AB 上是否存在点 Q，使得 ACQ 与 AOB 相似？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图 解：(1) 抛物线过点 A(3，0)、C(1，0) ，则可设抛物线表达式为 ya(x 3)(x1) ，将点 B(0， 2)代入可得 a(03)(01)2，解得 a ，23抛物线表达式为 y (x3
5、)( x1) x2 x2；23 23 83(2)y x2 x2 (x2) 2 ，23 83 23 23抛物线的顶点为(2 ， )；23(3)存在如解图，过点 C 作 x 轴的垂线交 AB 于点 Q1，第 2 题解图此时Q 1CA BOA90，Q 1AC BAO，ACQ1AOB，C(1，0)，对于直线 y x2，当 x1 时，y ，23 43Q1(1， )；43如解图，过点 C 作 CQ2AB 于点 Q2，此时CQ 2A BOA90，Q 2AC OAB，ACQ2ABO，过 Q2 作 Q2MAC 于点 M，则CMQ 2Q2MA, ，即 Q2M2CMAM ， CMQ2M Q2MAM设点 Q2(x， x2)， 23则 CMx 1，AM 3 x，Q 2M x2，23( x2) 2( x1)(3x)，23解得 x13(与 A 点重合，舍去 )，x 2 ，2113Q2( ， )，2113 1213综上所述，存在点 Q1(1， )、Q 2( ， )使 ACQ 与AOB 相似43 2113 1213