1、 三角形、四边形实践探究1.如图,在ABC 中,AB= AC,点 D 从点 B 出发沿射线 BA 移动,同时,点 E 从点 C 出发沿线段 AC 的延长线移动,已知点 D、E 移动的速度相同,DE 与直线 BC 相交于点 F (1)当点 D 在线段 AB 上时,过点 D 作 AC 的平行线交 BC 于点 G,连接 CD、GE ,判定四边形 CDG E 的形状,并证明你的结论； (2)过点 D 作直线 BC 的垂线,垂足为 M,当点 D、E 在移动的过程中,线段BM、MF、CF 有何数量关系？请直接写出你的结论解:(1)四边形 CDGE 是平行四边形理由:如解图,D、E 移动的速度相同, BD=
2、CE, DGAE,DGB=ACB, AB=AC, B=ACB, B=DGB,BD=GD=CE, 又DG CE, 四边形 CDGE 是平行四边形； (2)BMCF =MF 或 BMCF=MF.【解法提示】如解图,当点 D 在线段 AB 上时,由(1)得:BD=GD=CE ,DMBC,BM=GM,四边形 CDGE 是平行四边形 ,GF=CF, BMCF =GMGF=MF；如解图 ,当点 D 在线段 BA 的延长线上时,同理可得四边形 ADGE 是平行四边形,CF=GF,DGAE,DGB=ABG,BD=DG,DMBC,BM=MG,MF=MGFG,BMCF =MF.第 1 题解图2.如图 所示,将一个
3、边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2,宽为 1 的长方形CEFD 拼 在一起,构成一个大的长方形 ABEF,现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CEFD,旋转角为 （1）当边 CD恰好经过 EF 的中点 H 时,求旋转角 的大小； （2）如图,G 为 BC 中点,连接 GD,DE,且 090,求证:GD=ED； (3)小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中,DCD与BCD能否全等？若能,直接写出旋 转角 的大小；若不能,说明理由第 2 题图（1）解:如解图, 边 CD恰好经过 EF 的中点 H, EH= EF=1=CE, 2CEH 为等腰直角三角形,ECH=
4、45, =45； （2）证明: G 为 BC 中点, CG=1, CG=CE, 长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CEFD, DCE=DCE=90,CE=CE=CG,GCD=DCE=90, 在GCD和 ECD中, , DGCEGCDECD(SAS), GD=ED； （3）解:能理由: 四边形 ABCD 为正方形, CB=CD, CD=CD, BCD与DCD为腰相等的两等腰三角形, 当BCD=DCD时,BCD DCD, 当BCD与DCD 为钝角三角形时,则旋转角 = 180 =135, 902当BCD与DCD 为锐角三角形时,BCD=DCD= BCD=45 1则 =360 =315, 9
5、02即旋转角 的值为 135或 315时,BCD 与DCD全等.第 2 题解图3.如图，已知正方形 ABCD，E 是 AB 延长线上一点，F 是 DC 延长线上一点，连接 BF、EF，恰有 BFEF，将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转 90得 FG，过点 B作 EF 的垂线 ，交 EF 于点 M，交 DA 的延长线于点 N，连接 NG（1）求证：BE 2CF ；（2）试猜想四边形 BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明第 3 题图（1）证明:如解图，过点 F 作 FHBE 于点 H，四边形 ABCD 为正方形，ABC BCD90 ，FHBHBCBCF90，四边形 BCFH 为矩形，
6、BHCF，又BF EF，BE 2BH，BE 2CF；（2）解:四边形 BFGN 为菱形，证明: MNEF，EEBM90，且 EBMABN ，ABN E90，BF EF，EEBF，ABN EBF90，又EBC90，CBF EBF90，ABN CBF，四边形 ABCD 为正方形，AB BC， NABBCF90，在ABN 和 CBF 中，ABNCFABNCBF（ASA），BF BN，又由旋转可得 EFFG BF ， BNFG，GFMBME90， BNFG，四边形 BFGN 为菱形第 3 题解图4.在ABC 中，P 为边 AB 上一点（1）如图，若 ACPB，求证：AC 2AP AB；（2）若 M 为
7、 CP 的中点，AC2如图 ， 若 PBMACP ，AB 3，求 BP 的长；如图 ， 若 ABC45，ABMP60，直接写出 BP 的长图 图 图第 4 题图解:（ 1）ACPB，AA，ACPABC， ，ACPAC2APAB；（2） 如解图 ，取 AP 的中点 G，连接 MG，设 AGx，则PG x，BG3x，M 是 PC 的中点 ，MGAC，BGMA，ACP PBM，APCGMB， ，APCGMB即 ，213xx ，52AB 3，AP 3 ，5PB ；BP 17【解法提示】如解图，过点 C 作 CHAB 于点 H，延长 AB 到点 E，使BEBP，设 BPxABC45， A60，CH ，H
8、E x，33CE2（ ） 2（ x） 2，PB BE，PM CM，BMCE，PMBPCE60A，EE，ECPEAC， ，CPCE2EPEA，33x 22 x2x（x 1），33解得 x1 或1 （舍），77BP 1图 图第 4 题解图5.如图，在正方形 ABCD 中，AB4，点 P 是 BC 上一点，连接 AP，将线段 AP绕点 P 顺时针旋转 90得到线段 PE，连接 AE 交 CD 于点 F，连接 PE，CE ，点Q 是 BC 延长线上一点.（1）求证:CE 平分 DCQ；（2）当 BP2，求 PF 的长；（3）若 SAPF:SPEF 4:1，求在旋转过程中，点 A 经过的路径长.第 5
9、题图（1）证明:如解图，过点 E 作 EGPQ 于点 G，由题可知APE90，APEP，APBEPG 90，又BAP APB90，BAPEPG，在ABP 和 PGE 中， ，BPGEAABPPGE（AAS），PGAB4，EGBP，PB PCPCCG ，BP CG EG，CGE 为等腰直角三角形，ECG45 ，CE 平分 DCQ；（2）解:PF ；103（3）解:分析知: ，41ADFCGECGEG BP1，AP PE ，27ABP点 A 经过的路径长为 .901=82第 5 题解图6.如图，等边ABC 中 ，AB 2，ADBC，以 AD、CD 为邻边做矩形 ADCE，将ADC 绕点 D 顺时针
10、旋转一定的角度得到A DC使点 A落在 CE 上，连接AA，CC （1）求 AD 的长；（2）求证：ADACDC ；（3）求 CC2的值第 6 题图（1）解: AD 是等边三角形 ABC 的高，B60，ADB 90，DAB30，AB 2，BD AB1，2AD ；3（2）证明:由旋转知，ADAD ，CDCD， ，ADC由旋转知，ADACDC，ADACDC；（3）解:在矩形 ADCE 中，DCE90，ADCE AD ，AECD1，3AC ，2ADCAECEACAD AC ，32在 RtAEA中，AA 2AE 2AE 2（ ） 21 262 ，ADACDC， ，3ADCCC2 267.已知，点 P
11、是 RtABC 斜边 AB 上一动点（不与 A、B 重合），分别过 A、B向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E、F，Q 为斜边 AB 的中点（1）如图，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 ，QE 与QF 的数量关系是 ；（2）如图，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图，当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明图 图 图第 7 题图解:（ 1）AEBF，QEQF；【解法提示】当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 AEBF，QE 与Q
12、F 的数量关系是 QEQF ，理由是：Q 为 AB 的中点， AQBQ，AECQ，BF CQ，AEBF，AEQ BFQ90，在AEQ 和BFQ 中，AQEBFAEQBFQ， QEQF（2）QE QF ；证明:如解图，延长 EP 交 BF 于点 D，由（1）知：AEBF ，AEQBFQ ，在AEQ 和BFQ 中，AQEBFAEQBFQ，QEQF；（3）当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立证明:如解图，延长 EQ 交 FB 的延长线于点 D，由（1）知：AEBF ，AEQBDQ ，在AEQ 和BDQ 中，AQEBDAEQBDQ，EQDQ，BFE90，QEQF图 图
13、第 7 题解图8.已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，ABC 的角平分线交 AD 于点 E，交 CD 的延长线于点 F.（1）求证：BCFC；（2）如果 CB 和 CF 绕点 C 顺时针旋转相同的角度 ，点 B 恰好落在点 A 处，点F 落在点 G 处.点 G_直线 AD 上；（填“在” 或“不在”）连接 FG，求证：FG/ AC；（3）在（2）的条件下，若四边形 CGFH 是平行四边形，请直接写出 ACB 的度数： .第 8 题图（1）证明: 四边形 ABCD 是平行四边形，ABFBFC，又BE 平分 ABC，ABFFBC，BFC FBC，BCFC；（2） 解:在；证明 :CB 和
14、CF 绕点 C 顺时针旋转相同的角度，点 B 恰好落在点 A 处，点F 落在点 G 处，CBCA，CFCG，BCA FCG，BAC CBA，CFGCGF，BAC CFG，ABCF，BAC ACF，CFGACF，FGAC；（3）解:36.9.如图，在ABCD 中，AB6，BC4，B60，点 E 是边 AB 上的一点，点F 是边 CD 上一点，将ABCD 沿 EF 折叠，得到四边形 EFGH，点 A 的对应点为点 H，点 D 的对应点为点 G（1）当点 H 与点 C 重合时填空：点 E 到 CD 的距离是 ；求证： BCEGCF；求 CEF 的面积；（2）当点 H 落在射线 BC 上，且 CH1
15、时，直线 EH 与直线 CD 交于点 M，请直接写出MEF 的面积第 9 题图（1） 解:2 ；3【解法提示】如解图，作 CKAB 于点 K，B60，CKBCsin604 2 ，3点 C 到 AB 的距离和点 E 到 CD 的距离都是平行线 AB、CD 间的距离，点 E 到 CD 的距离是 2 ；3证明 :四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC， D B，ABCD，由折叠可知，ADCG，DG， AECG，BCGC，B G，BCDECG，BCE GCF，在BCE 和 GCF 中，BCEGFBCEGCF（AAS）；解:如解图，过点 E 作 EPBC 于点 P，B60，EPB90，BEP30，BE
16、 2BP，设 BPm， 则 BE2m，EP BEsin602m m，3由折叠可知，AE CE ，AB 6，AE CE62m，BC4，PC4m，在 RtECP 中，由勾股定理得（4m） 2（ m） 2（62m ） 2，解得3m ，5EC62m62 ，5472BCEGCF，CFEC ，72SCEF 2 ；132（2）解:如解图，当点 H 在 BC 的延长线上 ，且位于 C 点的右侧时，过 E点作 EQBC 于点 Q，B60，EQB 90，BEQ30，BE 2BQ，设 BQn，则 BE2n ，QEBEsin602n n，3由折叠可知，AE HE ，AB 6，AE HE62n，BC4，CH1，BH5，
17、QH 5n，在 RtEHQ 中，由勾股定理得（5n） 2（ n） 2（62n） 2，解得3n ，14AE HE62n ，317ABCD，CMHBEH， ，即 ，MHCEB1357MH ，135EM ，724由折叠知AEF MEF，又由平行知AEFEFM，EMFM ，12435SEMF 2 212435如解图 ，当点 H 在线段 BC 上时，过点 E 作 EQBC 于点 Q，B60，EQB 90，BEQ30，BE 2BQ，设 BQn，则 BE2n ，QEBEsin602n n，3由折叠可知，AE HE ，AB 6，AE HE62n，BC4，CH1，BH3，QH 3n，在 RtEHQ 中，由勾股定
18、理得（3n） 2（ n） 2（62n） 2，解得3n ，2BE 2n3，AEHE62n3，BE EH，B60，BHE 是等边三角形，BEH60，AEFHEF ，FEHAEF60，EFBC，DFCF 3，ABCD，CMHBEH， ，即 ，CMHBE13CCM1，EMCF CM4，SEMF 42 4 23综上，MEF 的面积为 或 4 1253图 图 图第 9 题解图10.四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在边 AD 所在直线上，连接 CE，以 CE 为边，作正方形 CEFG（点 D，点 F 在直线 CE 的同侧），连接 BF（1）如图，当点 E 与点 A 重合时，请直接写出 BF
19、 的长；（2）如图，当点 E 在线段 AD 上时，AE1；求点 F 到 AD 的距离；求 BF 的长；（3）若 BF3 ，请直接写出此时 AE 的长10图 图 备用图第 10 题图解:（ 1）如解图，作 FHBA 的延长线于点 H，则FHE90，四边形 ABCD 和四边形 CEFG 是正方形，ADCD 4，EFCE，ADC DAHBAD CEF 90 ，FEHCED，在EFH 和CED 中，90FHEDCEFHCED（AAS），FHED4，AHCD4，BHABAH8，BF 4 ；2BHF285（2）如解图，过点 F 作 FHAD 交 AD 的延长线于点 H，作 FMAB 交 BA的延长线于点
20、M，则 FMAH，AMFH，AD4，AE1， DE3，同（1）得：EFHCED（AAS），FHDE3，即点 F 到 AD 的距离为 3；BMABAM 437，由得 EHCD4，FMAEEH 5，BF ；2BMF2574（3）1 或 2 41【解法提示】分两种情况：如解图 ，当点 E 在边 AD 的左侧时， 过 F 作 FHAD 交 AD 于点 H，交 BC于点 K同（1）得：EFHCED，FHDEAE4，EHCD4，FK8AE，在 RtBFK 中，BKAHEHAE4AE，由勾股定理得：（4AE） 2（8AE ） 2（3 ） 2，10解得 AE1 或 AE 5（舍去），AE 1；如解图 ，当点 E 在边 AD 的右侧时， 过 F 作 FHAD 交 AD 的延长线于点H，交 BC 延长线于点 K，同理得：AE 2 或 2 （舍去）41当点 E 在 AD 上时，可得：（8AE） 2（4AE） 2（3 ） 2，10解得 AE5 或1，54 不符合题意综上所述：AE 的长为 1 或 2 41图 图 图 图第 10 题解图