1、 1 探究相似三角形存在性问题1如图，已知抛物线 yax 2bx 4 与 x 轴交于点 A(1，0)、B(8，0) ，与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，交 x 轴于点 N，过点 M 作MHBC 于点 H，求PMH 周长的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在点 P，使得以点 P、C、M 为顶点的三角形与OBC 相似？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由第 1 题图解：(1)将点 A(1，0)，B(8 ，0) 分别代入 yax 2bx4 中，得 ，a b 4 064a 8b 4 0)解得
2、 ，a 12b 72)抛物线的解析式为 y x2 x4；12 72(2)对于 y x2 x4，12 72令 x0，则 y4，点 C 的坐标为(0，4)，设直线 BC 的解析式为 ykx t，将点 B(8，0) ， C(0，4)分别代入得，解得 ，8k t 0t 4 ) k 12t 4)直线 BC 的解析式为 y x4，12设点 P 的坐标为(m， m4) ，则点 M 的坐标为(m， m2 m4)，12 12 72PM m2 m4( m4) m24m (m4) 28，12 72 12 12 12 0，12当 m4 时，PM 有最大值 ，其最大值为 8， 2 MH BC，MNAB ，MHPPNB9
3、0 ，MPHBPN，HMPABC，MHPBOC90 ，MPHBCO，OC4，OB8，BC 4 ，42 82 5OBC 的周长为 484 124 ，5 5设PMH 的周长为 L，则 ，解得 L 8，L12 45 845 2455PMH 周长的最大值为 8；2455(3)存在，当MCP90时，易得MPC BCO，第 1 题解图如解图，过点 M 作 MGOC 于点 G，GCMBCOOBC BCO90，GCMOBC，CGMBOC90，CMGBCO， ，MGCG OCOB 12MG CG，12由(2)知，点 P 的坐标为(m， m4)，点 M 的坐标为( m， m2 m4)，12 12 72m CG (
4、OGOC) ( m2 m44)，12 12 12 12 72整理得 m23m0，解得 m0(舍去)或 m3，点 P 的坐标为(3， )；52 3 第 1 题解图当PMC90时，如解图，易得CPM BCO，MNOCMP180，CMOB，MNOC4， m2 m44，12 72解得 m0(舍去)或 m7，点 P 的坐标为(7， )，12综上所述，存在满足条件的点 P，点 P 的坐标为(3， )或 (7， )52 122如图，以 D 为顶点的抛物线 yx 2bxc 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，直线 BC 的表达式为 yx3.(1)求抛物线的表达式；(2)在直线 BC 上有一点 P，
5、使 POPA 的值最小，求点 P 的坐标；(3)在 x 轴上是否存在一点 Q，使得以 A、C、Q 为顶点的三角形与BCD 相似，若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图解：(1)直线 yx3 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，当 x0 时，y3，当 y0 时， x3，B 点坐标是(3，0) ，C 点坐标是 (0，3)，抛物线 yx 2bx c 经过 B，C 两点， ，解得 ，c 3 9 3b c 0) c 3b 2)抛物线的解析式为：yx 22x 3；(2)如解图，作点 O 关于直线 BC 的对称点 O，连接 OC， OB，OA，OO ，点 B，C 两点的坐标分别
6、是 (3，0)和(0 ，3)，四边形 COBO为正方形，O的坐标为(3，3)， 4 抛物线 yx 22x 3 交 x 轴于 A，B 两点，当 y0 时，x 22x 3 0，解得：x 11，x 23，A 点坐标是( 1，0)，设直线 AO的解析式为 ykx b，A(1，0) ， O(3，3)， ，解得 ， k b 03k b 3) k 34b 34)直线 AO的解析式为：y x ，34 34直线 AO与直线 BC 的交点就是使 POPA 的值最小的点 P 的位置，联立直线 AO与直线 BC 的解析式，得 ，解得 ，y 34x 34y x 3) x 97y 127)点 P 的坐标是( ， )；97
7、 127(3)存在抛物线的解析式可化为 y(x1) 24，点 D 的坐标是(1，4)，B(3，0) ，C(0，3)，BC3 ，CD ，BD2 ，2 2 5BC 2CD 2BD 2，即DCB90，点 Q 在 x 轴上，CAQ90，当CQA90时，Q 点与原点重合，此时 AQ1，CQ 3，AC ，10 ，AQDC CQBC ACDB 22ACQDBC，此时 Q(0，0); 当ACQ90时，ACQDCBAOC， ， ，AQ10，OACA ACAQ 110 10AQA(1，0) ， Q(9，0)；综上所述，在 x 轴上存在点 Q，使得以 A、C、Q 为顶点的三角形与 BCD 相似，点 Q 的坐标是(9，0)或(0，0)第 2 题解图