1、 1 多解题类型一 与三角形有关的多解题1、已知 D，E 分别在直线 AB，AC 上，且 BCDE ，BAC 90，C30，BC2DE 8，则 BD 的长为_2 或 6 【解析】如解图，当 D，E 分别为 AB，AC 的中点时，BCDE，此时，AB BC4， BD 2；如解图，当 D，E 分别在 BA，CA 的延长线上时，12AB BC4, BCDE ，AD DE2，BD6.12 12第 1 题解图2、已知ABC 中，tanB ，BC6，过点 A 作 BC 边上的高，垂足为点 D，且23满足 BDCD21，则ABC 面积的所有可能值为_8 或 24 【解析】如解图，BC 6，BDCD21，BD
2、4，在 RtABD 中，ADBD tan B4 ，S ABC BCAD 6 8；如解图，BC6，BDCD21，BD 12，在 RtABD 中，23 83 12 12 83ADBDtanB12 8， SABC BCAD 6824.23 12 12第 2 题解图3、在ABC 中，AB2，ABC30 ，AC1，以 BC 为边长作等边三角形 2 BCD，则 AD 的长为_1 或 【解析】在ABC 中，AB2，ABC30，AC1，ABC 为直角三角形，ACB 90 ，7BCABcos30 .以 BC 为边长作等边三角形有两种情况：当所作等边三角形在 BC 边左侧时，如解3图，连接 AD.ABC30 ，D
3、BA30，AB 为 DC 的垂直平分线，ADAC1；当所作等边三角形在 BC 边右侧时，如解图 ，连接 AD.ABC30，CBD60，ABD90，又BDBC ，AD .综上所述，AD 的长为 1 或 .3 AB2 BD2 22 （ 3） 2 7 7第 3 题解图4、如图，正方形 ABCD 的边长为 2，AEEB，MN1，线段 MN 的两端在CB、CD 上滑动，当AED 与以 N、M、C 为顶点的三角形相似时，CM 的长为_第 4 题图或 【 解析】 正方形 ABCD 的边长为 2，AE EB，AE 1，DE ， 当55 255 AD2 AE2 5AED CNM 时， ，即 ，解得 CM ；当A
4、ED CMN 时， ，即ADCM DEMN 2CM 51 255 AECM DEMN ，解得 CM ，综上所述，CM 的长为 或 .1CM 51 55 55 2555、如图，菱形 ABCD 的边长为 10，BAD60，点 P 是对角线 AC 上一点， 3 连接 DP、BP ，当ADP 是直角三角形时， AP 的长为_第 5 题图5 或 【解析】由四边形 ABCD 是菱形得 ADABBCCD，则 AB10，且32033DAPBAP，BAD 60，DAP30，要使 ADP 为直角三角形，则当APD90时，此时在 RtADP 中，AD10，DAP30 ，APD90 ，则 APADcos30 10 5
5、 ；当32 3ADP90时，此时在 RtADP 中，DAP30 ，AD10，ADP90，则 AP 10 0cosAD23.则 AP 的长为 5 或 .2033 3 2033类型二 与四边形有关的多解题6、如图，菱形 ABCD 的对角线交于点 O，BD 、AC 的长分别为 6、6 ，将菱形3ABCD 绕点 C 旋转 60得到菱形 ABCD，则 AD的长为_第 6 题图12 或 6 【解析】四边形 ABCD 是菱形，AC6 ，BD6，AOCO AC3 ，BODO BD3，AC BD ，BC CD 6312 3 12 CO2 DO2，BCCDBD，BCD 是等边三角形，DCB60. 如解图，将菱形
6、ABCD 绕点 C 逆时针 4 旋转 60得菱形 ABCD，可得点 B与点 D 重合，A、D 、 D三点在一条直线上，AD AB BD ADBD6612； 如解图，将菱形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转 60得菱形ABCD，可得点 D与点 B 重合，AD AB 6. 综上可得 AD的长为 12 或 6.第 6 题解图7、在面积为 15 的平行四边形 ABCD 中，已知 BC 边上的高 AE ，CD 边的高52AF3，则 CECF 的值为_1 或 11 【解析】过点 A 作 AEBC，AFDC，垂足分别为点 E、点 F，由平行四边形面积32 1132公式得：BCAE CD AF15，解得 CD5
7、，BC6，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD5，BCAD6，如解图，在 RtABE 中，AE ，由勾股定理得52BE ，同理 DF3 5，即点 F 在 DC 的延长线上，CE6 ，CF3 5，即AB2 AE2532 3 532 3CECF1 ；如解图 ，在 RtABE 中，AE ，由勾股定理得 BE ，同理32 52 AB2 AE2 532DF3 ，CEBCBE6 ，CFCDDF53 ，CE CF11 . 综上，CE CF 的3532 3 1132值为 1 或 11 .32 1132 5 第 7 题解图类型三 与圆有关的多解题8、已知O 的直径 AB20，弦 CDAB 于点 E，且 CD
8、16，则 AE 的长为_16 或 4 【解析】如解图，当弦 CD 远离 A 点时，由题可知OC10，CE CD8，OE6，AE16；如解图，当弦 CD 靠近 A 点时，同理12OE6，AEOAOE4，AE 的长为 16 或 4.第 8 题解图9、如图，平面直角坐标系中，P 与 x 轴分别交于 A、B 两点，点 P 的坐标为(3， 1)， AB2 .将P 沿着与 y 轴平行的方向平移 _时，P 与 x 轴3相切 6 第 9 题图1 或 3 【解析】如解图，连接 PA，作 PCAB 于点 C，由垂径定理得：AC AB 2 ，在 Rt12 12 3 3PAC 中，由勾股定理得：PA 2PC 2AC
9、2，即 PA21 2 ( )24，PA 2，P 的半径是 2.将P 向3上平移，当P 与 x 轴相切时，平移的距离123；将P 向下平移，当P 与 x 轴相切时，平移的距离211，综上所述，平移 1 或 3 时，P 与 x 轴相切第 9 题解图10、已知 AB 是O 的直径， AC，AD 是O 的弦，且AB4，AC2 ，AD2，则COD 的度数是_230或 150 【 解析】分两种情况讨论：当 AD、AC ，在直径 AB 同侧时，如解图，连接OC，OD，OAOC2，AC2 ，OA 2OC 2AC 2，AOC90，又2OAOD AD 2，AOD60，COD AOCAOD30，当 AD、AC 在直
10、径 AB 两侧时，如解图，同理CODAOCAOD150.综上所述， COD 的度数为 30或 150.第 10 题解图11、已知半径为 1 的O 中，弦 AB ，点 C 是优弧 上的一个动点，且2AB 7 ABC 是等腰三角形，则劣弧 的长等于_AC 或 或 【解析】如解图，作 AB 的垂直平分线，交优弧 AB 于一点 C，在优弧 AB 取两点34 12D，E，使得 ， OAOB1，AB ， OA2OB 2AB 2，AOB 90，AB AD BE 2l (21 ) ，l l l ，l l l .AC 12 901180 34 AD AB BE 901180 12 AE AB BE 第 11 题
11、解图类型四 与函数有关的多解题12.已知关于 x 的函数 y =（m1）x 2+2x+m 图象与坐标轴只有 2 个交点，则m=_.1 或 0 或 【解析】当 m1=0 时， m=1，函数为一次函数，解析式为 y=2x+1，与 x 轴交点坐标25为（ ，0）；与 y 轴交点坐标（0，1）符合题意；当 m10 时，m 1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，过原点，且与 x 轴有两个不同的交点，于是 =44（m1）m 0，解得，（macb2） 2 ，解得 m 或 m 将（0，0 ）代入解析式得，m=0，符合题意；函数为二145251251次函数时，还有一种情况是：与 x 轴只有一个交点，与 y 轴
12、交于另一点，此时：b 24ac=44（m 1）m=0，解得： m= 251 8 13.已知一次函数的图象经过点 P（3，0），且与两坐标轴截得的三角形面积为 4，则此一次函数的解析式为_.y= x+ 或 y= x 【解析】依照题意画出图形，893893 如解图所示设一次函数图象与 y 轴交于点 Q（0，m ），则 SPOQ = |3|m|=4，m = 设一次函数的解析128 式为 y=kx+b（k0）当 m= 时，将（3，0）， （0， ）代入83y=kx+b，得： ，解得： ，38389bk一次函数的解析式为 y= x+；9当 m= 时，同理可求出一次函数的解析式为 y= x . 83 89
13、314.函数 y=a +2ax+m（a0）的图象过点（2，0），则使函数值 y0 成立的 x2x的取值范围是_.x 2【解析】函数 y=a +2ax+m（a0）的图象过点（2，0），2xa2 2+2a2+m=0，解得，m= 8a，y=ax 2+2ax+m=ax2+2ax8a=a（x+4）（x2），当 y=0 时，x = 4 或 x = 2，a0，该函数图象开口向下，使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是 x4 或 x2， 9 15.过反比例函数 y = （k 0）图象上一动点 M 作 MNx 轴交 x 轴于点 N，Qx是直线 MN 上一点，且 MQ=2MN，过点 Q 作 QRx 轴交该反比例函数图象于点 R已知 =8，那么 k 的值为 . QRMS4 或 12【解析】有两种情形：当点 Q 在第一象限时，如解图中设 M（ ，m），则 R（ ，3m），由题意： 2m（ ）=8，kk12k3解得 k=12图 图第 15 题解图如解图中，当点 Q 在第三象限时，设 M（ ，m），k则 R（ ，m），由题意： 2m=8，k12k=4，故答案为 4 或 12.