1、 1 切线的相关证明与计算1、如图所示, 直线 DP 和 O 相切于点 C,交直径 AE 的延长线于点 P, 过点 C 作AE 的垂线, 交 AE 于点 F, 交O 于点 B,作平行四边形 ABCD,连接 BE, DO,CO.(1)求证： DA=DC ;(2)求 P 及AEB 的大小.第 1 题图(1)证明：在平行四边形 ABCD 中，AD BC ，CBAE，ADAE，DAO90，又直线 DP 和O 相切于点 C，DCOC ，DCO90，在 RtDAO 和 RtDCO 中，DO DOAO CO)RtDAO RtDCO(HL)，DADC；(2)解：CBAE ，AE 是O 的直径，CF FB BC
2、，12又四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC， 2 CF AD，12又CFDA，PCF PDA， ，即 PC PD，DC PD.PCPD DCPD 12 12 12由 (1) 知 DA DC，DA PD，12在 RtDAP 中，P30.DPAB，FAB P 30，又ABE 90，AEB 903060.2、如图，已知 AO 为 RtABC 的角平分线，ACB90， ，以 O 为圆ACBC 43心，OC 为半径的圆分别交 AO，BC 于点 D，E，连接 ED 并延长交 AC 于点 F.(1)求证： AB 是O 的切线；(2)求 tanCAO 的值；(3)求 的值 .CFAD第 2 题图(1)证
3、明：作 OGAB 于点 G，如解图在OGA 和 OCA 中， OGA OCA GAO CAOAO AO ) 3 OGA OCA (AAS)，OGOC，OG 为O 的半径，OGAB，AB 是O 的切线；(2) 解：设 AC4x ，BC3x ， O 半径为 r，则 AB5x，由切线长定理知，ACAG4x，故 BGx.tanBOG BGACBC43，OG BG x，43 43tanCAOtan GAO ；43x4x 13(3)解：在 RtOCA 中，AO x，OC 2 AC 24103ADOA OD ( 1) x.43 10如解图，连接 CD，则DCFECDECDCEF，DCFCEF，又CEFEDO
4、FDA ，DCFADF，又FADDAC， 第 2 题解图DFACDA，DAACAF AD，即 ( 1) x4xAF ( 1)x，43 10 43 10 4 AF (112 )x，CF ，49 10 8（ 10 1） x9 .ADCF 323、如图， AB 是O 的直径，点 D 是弧 AE 上的一点，且BDE CBE ，BD与 AE 交于点 F.(1)求证： BC 是O 的切线；(2)若 BD 平分ABE，延长 ED、BA 交于点 P，若 PAAO ，DE2，求 PD 的长第 3 题图(1)证明：AB 是O 的直径， AEB90 ，EAB EBA90，BDEEAB，BDE CBE，EAB CBE
5、，ABE CBE90 ，CBAB，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线；(2)解：BD 平分 ABE ，ABDDBE ，如解图，连接 DO，ODOB ， ODBOBD，EBDODB， 第 3 题解图 5 ODBE， ，PDPE POPBPAAO ，PAAOOB， ， ，POPB 23 PDPE 23 ，PDPD DE 23DE2，PD4.4、如图,CD 是O 的直径,点 B 在O 上,连接 BC、BD ,直线 AB 与 CD 的延长线相交于点 A,AB 2=ADAC,OEBD 交直线 AB 于点 E,OE 与 BC 相交于点 F,(1)求证：直线 AE 是 O 的切线；(2)若 O 的半径为
6、 3,cosA= ,求 OF 的长.54第 4 题图(1)证明：如解图，连接 OB，AB 2AD AC， ，ABAD ACABA 为公共角，ABD ACB，ABDACB，在O 中，OBOC，OBCOCB，OBCABD，CD 是O 的直径，CBD90 ，OBCOBD90，OBDABD90， 6 即OBA90，点 B 为 AE 上一点，且 OB 为O 的半径，AE 是O 的切线；第 4 题解图(2)解：在 RtABO 中，OB3，cosA ，ABOA 45设 AB4k，OA5k (k 0)，又 OA2AB 2OB 2，(5k) 2(4k) 23 2，k 21( k0)，k1，即 AB4，OA5，O
7、D3，ADOA OD2，OEBD ， ，即 ，ADOD ABBE 23 4BEBE6.在 Rt OBE 中，OE 3 ，BE 2 OB 2 62 32 5CBD90，BDOE，EFB 90， 7 S OBE OBBE OEBF，12 12BF ，OBBEOE 3635 655在 Rt OBF 中，由勾股定理可知，.53632242 BF5、如图，在ABD 中， AB=AD,以 AB 为直径的 F 交 BD 于点 C，交 AD 于点E，CGAD 于点 G.（1）求证：GC 是F 的切线；（2）若BCF 的面积为 15，求BDA 的面积；第 5 题图(1)证明：ABAD，FBFC，BD，BBCF
8、，DBCF，CFAD，CGAD，CGCF，又FC 为F 的半径，GC 是F 的切线；(2)解：由(1)得：CFAD，BCFBDA， 8 ，S BCF S BDA 14，BFBA 12S BDA 4S BCF41560.6、如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 是O 的直径，点 P 在 CA 的延长线上，CAD45.(1)若 AB4，求 的长；CD (2)若 ，ADAP，求证：PD 是O 的切线BC AD 第 6 题图(1)解：如解图，连接 OC、OD，CAD45，COD2CAD90，AB4，OC AB2.12 的长为 2 ；CD 90180第 6 题解图(2)证明： ，BC AD BOCAO
9、D.COD90， 9 AOD 45.180 COD2OAOD ，ODA OAD.AOD ODAOAD180，ODA 67.5.180 AOD2ADAP，ADPAPD.CADADPAPD 45 ，ADP CAD22.5.12ODP ODAADP 90.又OD 是O 的半径，PD 是O 的切线7.如图，AB 为O 的直径， D、T 是圆上的两点，且 AT 平分BAD，过点 T 作AD 延长线的垂线 PQ，垂足为 C.（1）求证：PQ 是O 的切线；（2）已知O 的半径为 2，若过点 O 作 OEAD ，垂足为 E，OE ，求弦3AD 的长 .第 7 题图(1)证明：连接 OT，如解图 所示， 10
10、 OAOT ，OATOTA，AT 平分BAD ，OATCAT， 第 7 题解图OTACAT，OTAC，PQAC，PQOT，OT 是O 的半径，PQ 是O 的切线；(2)解：如解图所示，OEAD ，AE DE，AEO90 ，AE 1， OA2 OE2 22 （ 3） 2 第 7 题解图AD2AE2.8. 如图，OPA APB，O 与 PA 相切于点 C.12（1）求证：直线 PB 与O 相切.（2）PO 的延长线与O 相交于点 E，若O 的半径为 3，PC 4，求 CE 的长.第 8 题图(1)证明：如解图，连接 OC，作 ODPB 于 D 点O 与 PA 相切于点 C，OCPA .点 O 在APB 的平分线上，OCPA，ODPB ， 11 ODOC，即 OD 为O 的半径，直线 PB 与O 相切；第 8 题解图(2)解：如解图，设 PO 交O 于 F，连接 CF.OC3，PC4，PO5，PE8.O 与 PA 相切于点 C，PCFFCOFCOOCE，又EOCE，PCFE.又CPFEPC，PCFPEC，CFECPCPE48 12.EF 是直径，ECF90.设 CFx，则 EC2x ，则 x2(2 x)26 2，解得 x ，655则 CE2x .125 5