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2019年中考数学临考冲刺专题练测:切线的相关证明与计算(含解析)

1、 1 切线的相关证明与计算1、如图所示, 直线 DP 和 O 相切于点 C,交直径 AE 的延长线于点 P, 过点 C 作AE 的垂线, 交 AE 于点 F, 交O 于点 B,作平行四边形 ABCD,连接 BE, DO,CO.(1)求证: DA=DC ;(2)求 P 及AEB 的大小.第 1 题图(1)证明:在平行四边形 ABCD 中,AD BC ,CBAE,ADAE,DAO90,又直线 DP 和O 相切于点 C,DCOC ,DCO90,在 RtDAO 和 RtDCO 中,DO DOAO CO)RtDAO RtDCO(HL),DADC;(2)解:CBAE ,AE 是O 的直径,CF FB BC

2、,12又四边形 ABCD 是平行四边形,ADBC, 2 CF AD,12又CFDA,PCF PDA, ,即 PC PD,DC PD.PCPD DCPD 12 12 12由 (1) 知 DA DC,DA PD,12在 RtDAP 中,P30.DPAB,FAB P 30,又ABE 90,AEB 903060.2、如图,已知 AO 为 RtABC 的角平分线,ACB90, ,以 O 为圆ACBC 43心,OC 为半径的圆分别交 AO,BC 于点 D,E,连接 ED 并延长交 AC 于点 F.(1)求证: AB 是O 的切线;(2)求 tanCAO 的值;(3)求 的值 .CFAD第 2 题图(1)证

3、明:作 OGAB 于点 G,如解图在OGA 和 OCA 中, OGA OCA GAO CAOAO AO ) 3 OGA OCA (AAS),OGOC,OG 为O 的半径,OGAB,AB 是O 的切线;(2) 解:设 AC4x ,BC3x , O 半径为 r,则 AB5x,由切线长定理知,ACAG4x,故 BGx.tanBOG BGACBC43,OG BG x,43 43tanCAOtan GAO ;43x4x 13(3)解:在 RtOCA 中,AO x,OC 2 AC 24103ADOA OD ( 1) x.43 10如解图,连接 CD,则DCFECDECDCEF,DCFCEF,又CEFEDO

4、FDA ,DCFADF,又FADDAC, 第 2 题解图DFACDA,DAACAF AD,即 ( 1) x4xAF ( 1)x,43 10 43 10 4 AF (112 )x,CF ,49 10 8( 10 1) x9 .ADCF 323、如图, AB 是O 的直径,点 D 是弧 AE 上的一点,且BDE CBE ,BD与 AE 交于点 F.(1)求证: BC 是O 的切线;(2)若 BD 平分ABE,延长 ED、BA 交于点 P,若 PAAO ,DE2,求 PD 的长第 3 题图(1)证明:AB 是O 的直径, AEB90 ,EAB EBA90,BDEEAB,BDE CBE,EAB CBE

5、,ABE CBE90 ,CBAB,AB 是O 的直径,BC 是O 的切线;(2)解:BD 平分 ABE ,ABDDBE ,如解图,连接 DO,ODOB , ODBOBD,EBDODB, 第 3 题解图 5 ODBE, ,PDPE POPBPAAO ,PAAOOB, , ,POPB 23 PDPE 23 ,PDPD DE 23DE2,PD4.4、如图,CD 是O 的直径,点 B 在O 上,连接 BC、BD ,直线 AB 与 CD 的延长线相交于点 A,AB 2=ADAC,OEBD 交直线 AB 于点 E,OE 与 BC 相交于点 F,(1)求证:直线 AE 是 O 的切线;(2)若 O 的半径为

6、 3,cosA= ,求 OF 的长.54第 4 题图(1)证明:如解图,连接 OB,AB 2AD AC, ,ABAD ACABA 为公共角,ABD ACB,ABDACB,在O 中,OBOC,OBCOCB,OBCABD,CD 是O 的直径,CBD90 ,OBCOBD90,OBDABD90, 6 即OBA90,点 B 为 AE 上一点,且 OB 为O 的半径,AE 是O 的切线;第 4 题解图(2)解:在 RtABO 中,OB3,cosA ,ABOA 45设 AB4k,OA5k (k 0),又 OA2AB 2OB 2,(5k) 2(4k) 23 2,k 21( k0),k1,即 AB4,OA5,O

7、D3,ADOA OD2,OEBD , ,即 ,ADOD ABBE 23 4BEBE6.在 Rt OBE 中,OE 3 ,BE 2 OB 2 62 32 5CBD90,BDOE,EFB 90, 7 S OBE OBBE OEBF,12 12BF ,OBBEOE 3635 655在 Rt OBF 中,由勾股定理可知,.53632242 BF5、如图,在ABD 中, AB=AD,以 AB 为直径的 F 交 BD 于点 C,交 AD 于点E,CGAD 于点 G.(1)求证:GC 是F 的切线;(2)若BCF 的面积为 15,求BDA 的面积;第 5 题图(1)证明:ABAD,FBFC,BD,BBCF

8、,DBCF,CFAD,CGAD,CGCF,又FC 为F 的半径,GC 是F 的切线;(2)解:由(1)得:CFAD,BCFBDA, 8 ,S BCF S BDA 14,BFBA 12S BDA 4S BCF41560.6、如图,四边形 ABCD 内接于O,AB 是O 的直径,点 P 在 CA 的延长线上,CAD45.(1)若 AB4,求 的长;CD (2)若 ,ADAP,求证:PD 是O 的切线BC AD 第 6 题图(1)解:如解图,连接 OC、OD,CAD45,COD2CAD90,AB4,OC AB2.12 的长为 2 ;CD 90180第 6 题解图(2)证明: ,BC AD BOCAO

9、D.COD90, 9 AOD 45.180 COD2OAOD ,ODA OAD.AOD ODAOAD180,ODA 67.5.180 AOD2ADAP,ADPAPD.CADADPAPD 45 ,ADP CAD22.5.12ODP ODAADP 90.又OD 是O 的半径,PD 是O 的切线7.如图,AB 为O 的直径, D、T 是圆上的两点,且 AT 平分BAD,过点 T 作AD 延长线的垂线 PQ,垂足为 C.(1)求证:PQ 是O 的切线;(2)已知O 的半径为 2,若过点 O 作 OEAD ,垂足为 E,OE ,求弦3AD 的长 .第 7 题图(1)证明:连接 OT,如解图 所示, 10

10、 OAOT ,OATOTA,AT 平分BAD ,OATCAT, 第 7 题解图OTACAT,OTAC,PQAC,PQOT,OT 是O 的半径,PQ 是O 的切线;(2)解:如解图所示,OEAD ,AE DE,AEO90 ,AE 1, OA2 OE2 22 ( 3) 2 第 7 题解图AD2AE2.8. 如图,OPA APB,O 与 PA 相切于点 C.12(1)求证:直线 PB 与O 相切.(2)PO 的延长线与O 相交于点 E,若O 的半径为 3,PC 4,求 CE 的长.第 8 题图(1)证明:如解图,连接 OC,作 ODPB 于 D 点O 与 PA 相切于点 C,OCPA .点 O 在APB 的平分线上,OCPA,ODPB , 11 ODOC,即 OD 为O 的半径,直线 PB 与O 相切;第 8 题解图(2)解:如解图,设 PO 交O 于 F,连接 CF.OC3,PC4,PO5,PE8.O 与 PA 相切于点 C,PCFFCOFCOOCE,又EOCE,PCFE.又CPFEPC,PCFPEC,CFECPCPE48 12.EF 是直径,ECF90.设 CFx,则 EC2x ,则 x2(2 x)26 2,解得 x ,655则 CE2x .125 5