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2019年中考数学压轴题专题九:二次函数压轴题(有解析)

1、专题九:二次函数压轴题【热点探究】类型一:抛物线与三角形的综合问题【例题 1】 (2016云南省昆明市)如图 1,对称轴为直线 x= 的抛物线经过 B(2,0) 、C(0,4)两点,抛物线与 x 轴的另一交点为 A(1)求抛物线的解析式;(2)若点 P 为第一象限内抛物线上的一点,设四边形 COBP 的面积为 S,求 S 的最大值;(3)如图 2,若 M 是线段 BC 上一动点,在 x 轴是否存在这样的点 Q,使MQC 为等腰三角形且MQB 为直角三角形?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 (1)由对称轴的对称性得出点 A 的坐标,由待定系数法求出抛

2、物线的解析式;(2)作辅助线把四边形 COBP 分成梯形和直角三角形,表示出面积 S,化简后是一个关于 S 的二次函数,求最值即可;(3)画出符合条件的 Q 点,只有一种,利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式;在直角OCQ 和直角CQM 利用勾股定理列方程;两方程式组成方程组求解并取舍【解答】解:(1)由对称性得:A(1,0) ,设抛物线的解析式为:y=a(x+1) (x2) ,把 C(0,4)代入:4=2a,a=2,y=2(x+1) (x2) ,抛物线的解析式为:y=2x 2+2x+4;(2)如图 1,设点 P(m,2m 2+2m+4) ,过 P 作 PDx 轴,垂足为 D,S=

3、S 梯形 +SPDB = m(2m 2+2m+4+4)+ (2m 2+2m+4) (2m) ,S=2m 2+4m+4=2(m1) 2+6,20,S 有最大值,则 S 大 =6;(3)如图 2,存在这样的点 Q,使MQC 为等腰三角形且MQB 为直角三角形,理由是:设直线 BC 的解析式为:y=kx+b,把 B(2,0) 、C(0,4)代入得: ,解得: ,直线 BC 的解析式为:y=2x+4,设 M(a,2a+4) ,过 A 作 AEBC,垂足为 E,则 AE 的解析式为:y= x+ ,则直线 BC 与直线 AE 的交点 E(1.4,1.2) ,设 Q(x,0) (x0) ,AEQM,ABEQ

4、BM, ,由勾股定理得:x 2+42=2a2+(2a+44) 2,由得:a 1=4(舍) ,a 2= ,当 a= 时,x= ,Q( ,0) 【同步练】(2016浙江省湖州市)如图,已知二次函数 y=x 2+bx+c(b,c 为常数)的图象经过点 A(3,1) ,点 C(0,4) ,顶点为点 M,过点 A 作 ABx 轴,交 y 轴于点 D,交该二次函数图象于点 B,连结 BC(1)求该二次函数的解析式及点 M 的坐标;(2)若将该二次函数图象向下平移 m(m0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC 的内部(不包括ABC 的边界) ,求 m 的取值范围;(3)点 P 是直线 AC

5、上的动点,若点 P,点 C,点 M 所构成的三角形与BCD 相似,请直接写出所有点 P 的坐标(直接写出结果,不必写解答过程) 类型二:抛物线与四边形的综合问题【例题 2】2016青海西宁12 分)如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是以AB 为直径的M 的内接四边形,点 A,B 在 x 轴上,MBC 是边长为 2 的等边三角形,过点M 作直线 l 与 x 轴垂直,交M 于点 E,垂足为点 M,且点 D 平分 (1)求过 A,B,E 三点的抛物线的解析式;(2)求证:四边形 AMCD 是菱形;(3)请问在抛物线上是否存在一点 P,使得ABP 的面积等于定值 5?若存在,请求出所有的点

6、P 的坐标;若不存在,请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 (1)根据题意首先求出抛物线顶点 E 的坐标,再利用顶点式求出函数解析式;(2)利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出AMD=CMD= AMC=60,进而得出 DC=CM=MA=AD,即可得出答案;(3)首先表示出ABP 的面积进而求出 n 的值,再代入函数关系式求出 P 点坐标【解答】 (1)解:由题意可知,MBC 为等边三角形,点 A,B,C,E 均在M 上,则 MA=MB=MC=ME=2,又COMB,MO=BO=1,A(3,0) ,B(1,0) ,E(1,2) ,抛物线顶点 E 的坐标为(1,2) ,设函数解析式为 y=a

7、(x+1) 22(a0)把点 B(1,0)代入 y=a(x+1) 22,解得:a= ,故二次函数解析式为:y= (x+1) 22;(2)证明:连接 DM,MBC 为等边三角形,CMB=60,AMC=120,点 D 平分弧 AC,AMD=CMD= AMC=60,MD=MC=MA,MCD,MDA 是等边三角形,DC=CM=MA=AD,四边形 AMCD 为菱形(四条边都相等的四边形是菱形) ;(3)解:存在理由如下:设点 P 的坐标为(m,n)S ABP = AB|n|,AB=4 4|n|=5,即 2|n|=5,解得:n= ,当 时, ( m+1) 22= ,解此方程得:m 1=2,m 2=4即点

8、P 的坐标为(2, ) , (4, ) ,当 n= 时, (m+1) 22= ,此方程无解,故所求点 P 坐标为(2, ) , (4, ) 【同步练】(2016四川眉山)已知如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B、C 分别为坐标轴上上的三个点,且 OA=1,OB=3,OC=4,(1)求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P,使得以以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点 M 为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当|PMAM|的最大值时点 M 的坐标,并直接写出|

9、PMAM|的最大值类型三:抛物线与图形变换的综合问题【例题 3】 (2016陕西)如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+5 经过点 M(1,3)和 N(3,5)(1)试判断该抛物线与 x 轴交点的情况;(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点 A(2,0) ,且与 y 轴交于点 B,同时满足以 A、O、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 (1)把 M、N 两点的坐标代入抛物线解析式可求得 a、b 的值,可求得抛物线解析式,再根据一元二次方程根的判别式,可判断抛物线与 x 轴的交点情况;(2)利用 A

10、 点坐标和等腰三角形的性质可求得 B 点坐标,设出平移后的抛物线的解析式,把 A、B 的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式,比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程【解答】解:(1)由抛物线过 M、N 两点,把 M、N 坐标代入抛物线解析式可得 ,解得 ,抛物线解析式为 y=x23x+5,令 y=0 可得 x23x+5=0,该方程的判别式为=(3) 2415=920=110,抛物线与 x 轴没有交点;(2)AOB 是等腰直角三角形,A(2,0) ,点 B 在 y 轴上,B 点坐标为(0,2)或(0,2) ,可设平移后的抛物线解析式为 y=x2+mx+n,当抛物线过点 A(2,0) ,

11、B(0,2)时,代入可得 ,解得 ,平移后的抛物线为 y=x2+3x+2,该抛物线的顶点坐标为( , ) ,而原抛物线顶点坐标为( , ) ,将原抛物线先向左平移 3 个单位,再向下平移 3 个单位即可获得符合条件的抛物线;当抛物线过 A(2,0) ,B(0,2)时,代入可得 ,解得 ,平移后的抛物线为 y=x2+x2,该抛物线的顶点坐标为( , ) ,而原抛物线顶点坐标为( , ) ,将原抛物线先向左平移 2 个单位,再向下平移 5 个单位即可获得符合条件的抛物线【同步练】(2016重庆市 A 卷12 分)如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线y= x2+ x+3 与 x 轴交于 A,B 两点

12、(点 A 在点 B 左侧),与 y 轴交于点 C,抛物线的顶点为点 E(1)判断ABC 的形状,并说明理由;(2)经过 B,C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D,点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动点,当PCD 的面积最大时,Q 从点 P 出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 M 处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处,最后沿适当的路径运动到点 A 处停止当点 Q 的运动路径最短时,求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长;( 3)如图 2,平移抛物线,使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动,点 E 平移后的对应点为点 E,点 A 的对应点为点 A,将

13、AOC 绕点 O 顺时针旋转至A 1OC1的位置,点A,C 的对应点分别为点 A1,C 1,且点 A1恰好落在 AC 上,连接 C1A,C 1E,AC 1E是否能为等腰三角形?若能,请求出所有符合条件的点 E的坐标;若不能,请说明理由类型四:抛物线下的动态最值问题【例题 4】 (2016贵州安顺14 分)如图,抛物线经过 A(1,0) ,B(5,0) ,C(0, )三点(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使 PA+PC 的值最小,求点 P 的坐标;(3)点 M 为 x 轴上一动点,在抛物线上是否存在一点 N,使以 A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求

14、点 N 的坐标;若不存在,请说明理由【分析】 (1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c(a0) ,再把 A(1,0) ,B(5,0) ,C(0, )三点代入求出 a、b、c 的值即可;(2)因为点 A 关于对称轴对称的点 B 的坐标为(5,0) ,连接 BC 交对称轴直线于点P,求出 P 点坐标即可;(3)分点 N 在 x 轴下方或上方两种情况进行讨论【解答】解:(1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c(a0) ,A(1,0) ,B(5,0) ,C(0, )三点在抛物线上, ,解得 抛物线的解析式为:y= x22x ;(2)抛物线的解析式为:y= x22x ,其对称轴为直线 x=

15、= =2,连接 BC,如图 1 所示,B(5,0) ,C(0, ) ,设直线 BC 的解析式为 y=kx+b(k0) , ,解得 ,直线 BC 的解析式为 y= x ,当 x=2 时,y=1 = ,P(2, ) ;(3)存在如图 2 所示,当点 N 在 x 轴下方时,抛物线的对称轴为直线 x=2,C(0, ) ,N 1(4, ) ;当点 N 在 x 轴上方时,如图,过点 N2作 N2Dx 轴于点 D,在AN 2D 与M 2CO 中,AN 2DM 2CO(ASA) ,N 2D=OC= ,即 N2点的纵坐标为 x22x = ,解得 x=2+ 或 x=2 ,N 2(2+ , ) ,N 3(2 , )

16、 综上所述,符合条件的点 N 的坐标为(4, ) , (2+ , )或(2 , ) 【点评】本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识,在解答(3)时要注意进行分类讨论【同步练】(烟台市 2015 中考 -24)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+c 与M 相交于 A、B、C、D 四点,其中 A、B 两点的坐标分别为(1,0) , (0,2) ,点 D 在 x 轴上且 AD 为M 的直径点 E 是M 与 y 轴的另一个交点,过劣弧 上的点 F 作 FHAD 于点H,且 FH=1.5(1)求点 D 的坐标及该

17、抛物线的表达式;(2)若点 P 是 x 轴上的一个动点,试求出PEF 的周长最小时点 P 的坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使QCM 是等腰三角形?如果存在,请直接写出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由类型五:抛物线下的动态存在问题【例题 5】 (枣庄市 2015 中考 -25)如图,直线 y=x+2 与抛物线(a0)相交于 A( , )和 B(4,m) ,点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的26yaxb125动点,过点 P 作 PCx 轴于点 D,交抛物线于点 C(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的 P 点,使线段 PC 的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若

18、不存在,请说明理由;(3)求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标思路分析:此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识解题时注意联系,对于题(1)已知 B(4,m)在直线y=x+2 上,很容易求得 m 的值,又因为已知抛物线图象上的 A、B 两点坐标,可将其代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求得待定系数的值 (2)要弄清 PC 的长,实际是直线 AB 与抛物线函数值的差可设出 P 点横坐标,根据直线 AB 和抛物线的解析式表示出P、C 的纵坐标,进而得到关于 PC 与 P 点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出PC 的最大

19、值对于题(3)当PAC 为直角三角形时,根据直角顶点的不同,需要结合图形从三种情况进行分类讨论,分别求解解题过程:解:(1)B(4,m)在直线 y=x+2 上,m=4+2=6,B(4,6) ,A( , ) 、B(4,6)在抛物线 上,12526yaxb ,解得 ,()1ab8b抛物线的解析式为 26yx(2)设动点 P 的坐标为(n,n+2) ,则 C 点的坐标为( , ) ,n286PC=( +2)( ) ,286= ,294n= ,()8PC0,当 n= 时,线段 PC 最大且为 94498(3)PAC 为直角三角形,i)若点 P 为直角顶点,则APC=90由题意易知,PCy 轴,APC=

20、45,因此这种情形不存在;ii)若点 A 为直角顶点,则PAC=90如答图 31,过点 A( , )作 ANx 轴于点 N,则 ON= ,AN= 125125过点 A 作 AM直线 AB,交 x 轴于点 M,则由题意易知,AMN 为等腰直角三角形,MN=AN= ,OM=ON+MN= + =3,52M(3,0) 设直线 AM 的解析式为:y=kx+b,则: ,解得 ,15230kb13kb直线 AM 的解析式为:y=x+3 又抛物线的解析式为:y=2x 28x+6 联立式,解得:x=3 或 x= (与点 A 重合,舍去)1C(3,0) ,即点 C、M 点重合当 x=3 时,y=x+2=5,P 1

21、(3,5) ;iii)若点 C 为直角顶点,则ACP=90y=2x 28x+6=2(x2) 22,抛物线的对称轴为直线 x=2如答图 32,作点 A( , )关于对称轴 x=2 的对称点 C,125则点 C 在抛物线上,且 C( , ) 7当 x= 时,y=x+2= 7212P 2( , ) 点 P1(3,5) 、P 2( , )均在线段 AB 上,71综上所述,PAC 为直角三角形时,点 P 的坐标为(3,5)或( , ) 721规律总结:熟练把握关于二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识是解此类综合性强的问题的关键【同步练】(2016内蒙

22、古包头)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+ bx2(a0)与 x 轴交于 A(1,0) 、B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C,其顶点为点 D,点 E 的坐标为(0,1) ,该抛物线与 BE 交于另一点 F,连接 BC(1)求该抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为 y=a(xh) 2+k 的形式;(2)若点 H(1,y)在 BC 上,连接 FH,求FHB 的面积;(3)一动点 M 从点 D 出发,以每秒 1 个单位的速度平沿行与 y 轴方向向上运动,连接OM,BM,设运动时间为 t 秒(t0) ,在点 M 的运动过程中,当 t 为何值时,OMB=90?(4)在 x 轴上方的抛

23、物线上,是否存在点 P,使得PBF 被 BA 平分?若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由类型六:抛物线与相似的综合问题【例题 6】 (烟台市 2014 中考 -26)如图,在平面直角坐标系中,RtABC 的顶点A,C 分别在 y 轴,x 轴上,ACB=90,OA= ,抛物线 y=ax2axa 经过点B(2, ) ,与 y 轴交于点 D(1)求抛物线的表达式;(2)点 B 关于直线 AC 的对称点是否在抛物线上?请说明理由;(3)延长 BA 交抛物线于点 E,连接 ED,试说明 EDAC 的理由【解析】 (1)把点 B 的坐标代入抛物线的表达式即可求得(2)通过AOCCFB 求

24、得 OC 的值,通过OCDFCB 得出DC=CB,OCD=FCB,然后得出结论(3)设直线 AB 的表达式为 y=kx+b,求得与抛物线的交点 E 的坐标,然后通过解三角函数求得结果【解答】解:(1)把点 B 的坐标代入抛物线的表达式,得 =a222aa,解得 a= ,抛物线的表达式为 y= x2 x (2)连接 CD,过点 B 作 BFx 轴于点 F,则BCF+CBF=90ACB=90,ACO+BCF=90,ACO=CBF,AOC=CFB=90,AOCCFB, = ,设 OC=m,则 CF=2m,则有 = ,解得 m1=m2=1,OC=CF=1,当 x=0 时,y= ,OD= ,BF=OD,

25、DOC=BFC=90,OCDFCB,DC=CB,OCD=FCB,点 B、C、D 在同一直线上,点 B 与点 D 关于直线 AC 对称,点 B 关于直线 AC 的对称点在抛物线上(3)过点 E 作 EGy 轴于点 G,设直线 AB 的表达式为 y=kx+b,则 ,解得 k= ,y= x+ ,代入抛物线的表达式 x+ = x2 x 解得 x=2 或 x=2,当 x=2 时 y= x+ = (2)+ = ,点 E 的坐标为(2, ) ,tanEDG= = = ,EDG=30tanOAC= = = ,OAC=30,OAC=EDG,EDAC【点评】本题考查了待定系数法求解析式,三角形相似的判定及性质,以

26、及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握【同步练】(2016湖北荆门14 分)如图,直线 y= x+2 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,点 B,两动点 D,E 分别从点 A,点 B 同时出发向点 O 运动(运动到点 O 停止) ,运动速度分别是 1 个单位长度/秒和 个单位长度/秒,设运动时间为 t 秒,以点 A 为顶点的抛物线经过点 E,过点 E 作 x 轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点 G,与 AB 相交于点 F(1)求点 A,点 B 的坐标;(2)用含 t 的代数式分别表示 EF 和 AF 的长;(3)当四边形 ADEF 为菱形时,试判断AFG 与AGB 是否相似,并说明理由(

27、4)是否存在 t 的值,使AGF 为直角三角形?若存在,求出这时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由【达标检测】1. (2016湖北黄石8 分)科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园如图所示,图中点的横坐标 x 表示科技馆从 8:30 开门后经过的时间(分钟) ,纵坐标y 表示到达科技馆的总人数图中曲线对应的函数解析式为 y=,10:00 之后来的游客较少可忽略不计(1)请写出图中曲线对应的函数解析式;(2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过 684 人,后来的人在馆外休息区等待从 10:30 开始到 12:00 馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆 4 人,直到馆内人数减少到 624 人时,

28、馆外等待的游客可全部进入请问馆外游客最多等待多少分钟?2. (2016广西百色12 分)正方形 OABC 的边长为 4,对角线相交于点 P,抛物线L 经过 O、P、A 三点,点 E 是正方形内的抛物线上的动点(1)建立适当的平面直角坐标系,直接写出 O、P、A 三点坐标;求抛物线 L 的解析式;(2)求OAE 与OCE 面积之和的最大值3. (2016广西桂林12 分)如图 1,已知开口向下的抛物线 y1=ax22ax+1 过点A(m,1) ,与 y 轴交于点 C,顶点为 B,将抛物线 y1绕点 C 旋转 180后得到抛物线 y2,点 A,B 的对应点分别为点 D,E(1)直接写出点 A,C,

29、D 的坐标;(2)当四边形 ABCD 是矩形时,求 a 的值及抛物线 y2的解析式;(3)在(2)的条件下,连接 DC,线段 DC 上的动点 P 从点 D 出发,以每秒 1 个单位长度的速度运动到点 C 停止,在点 P 运动的过程中,过点 P 作直线 lx 轴,将矩形 ABDE沿直线 l 折叠,设矩形折叠后相互重合部分面积为 S 平方单位,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 的函数关系4. (2016黑龙江齐齐哈尔8 分)如图,对称轴为直线 x=2 的抛物线 y=x2+bx+c 与x 轴交于点 A 和点 B,与 y 轴交于点 C,且点 A 的坐标为(1,0)(1)求抛物线的解析式;(

30、2)直接写出 B、C 两点的坐标;(3)求过 O,B,C 三点的圆的面积 (结果用含 的代数式表示)注:二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为( , )5. (枣庄市 2014 中考 -25)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=x22x3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,连接 BC,点 D 为抛物线的顶点,点 P 是第四象限的抛物线上的一个动点(不与点 D 重合) (1)求OBC 的度数;(2)连接 CD、BD、DP,延长 DP 交 x 轴正半轴于点 E,且 SOCE =S 四边形 OCDB,求此时 P点的坐标;(3)过点 P 作 PFx 轴交 BC

31、于点 F,求线段 PF 长度的最大值6. (郴州市 2014 中考 -26)已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(1,0) 、B(2,0) 、C(0,2)三点(1)求这条抛物线的解析式;(2)如图一,点 P 是第一象限内此抛物线上的一个动点,当点 P 运动到什么位置时,四边形 ABPC 的面积最大?求出此时点 P 的坐标;(3)如图二,设线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E,垂足为 D,M 为抛物线的顶点,那么在直线 DE 上是否存在一点 G,使CMG 的周长最小?若存在,请求出点 G 的坐标;若不存在,请说明理由7. (2016湖北荆州14 分)阅读:我们约定,在平面直角坐标系中

32、,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线” 例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=x+4问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形 OABC,点 B 在第一象限,A、C 分别在 x 轴和 y 轴上,抛物线 经过 B、C 两点,顶点 D 在正方形内部(1)直接写出点 D(m,n)所有的特征线;(2)若点 D 有一条特征线是 y=x+1,求此抛物线的解析式;(3)点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点,连接 OP,将OAP 沿着 OP 折叠,点 A 落在点 A的位置,当点 A在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时,满足(2)中条件的

33、抛物线向下平移多少距离,其顶点落在 OP 上?8. (2016福建龙岩14 分)已知抛物线 与 y 轴交于点 C,与 xcbxy21轴的两个交点分别为 A(4,0) ,B(1,0) (1)求抛物线的解析式;(2)已知点 P 在抛物线上,连接 PC,PB,若PBC 是以 BC 为直角边的直角三角形,求点 P 的坐标;(4)已知点 E 在 x 轴上,点 F 在抛物线上,是否存在以 A,C,E,F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点 E 的坐标;若不存在,请说明理由【参考答案】类型一:抛物线与三角形的综合问题【同步练】(2016浙江省湖州市)如图,已知二次函数 y=x 2+bx+c(b

34、,c 为常数)的图象经过点 A(3,1) ,点 C(0,4) ,顶点为点 M,过点 A 作 ABx 轴,交 y 轴于点 D,交该二次函数图象于点 B,连结 BC(1)求该二次函数的解析式及点 M 的坐标;(2)若将该二次函数图象向下平移 m(m0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC 的内部(不包括ABC 的边界) ,求 m 的取值范围;(3)点 P 是直线 AC 上的动点,若点 P,点 C,点 M 所构成的三角形与BCD 相似,请直接写出所有点 P 的坐标(直接写出结果,不必写解答过程) 【考点】二次函数综合题【分析】 (1)将点 A、点 C 的坐标代入函数解析式,即可求出 b

35、、c 的值,通过配方法得到点 M 的坐标;(2)点 M 是沿着对称轴直线 x=1 向下平移的,可先求出直线 AC 的解析式,将 x=1 代入求出点 M 在向下平移时与 AC、AB 相交时 y 的值,即可得到 m 的取值范围;(3)由题意分析可得MCP=90,则若PCM 与BCD 相似,则要进行分类讨论,分成PCMBDC 或PCMCDB 两种,然后利用边的对应比值求出点坐标【解答】解:(1)把点 A(3,1) ,点 C(0,4)代入二次函数 y=x 2+bx+c 得,解得二次函数解析式为 y=x 2+2x+4,配方得 y=(x1) 2+5,点 M 的坐标为(1,5) ;(2)设直线 AC 解析式

36、为 y=kx+b,把点 A(3,1) ,C(0,4)代入得,解得直线 AC 的解析式为 y=x+4,如图所示,对称轴直线 x=1 与ABC 两边分别交于点E、点 F把 x=1 代入直线 AC 解析式 y=x+4 解得 y=3,则点 E 坐标为(1,3) ,点 F 坐标为(1,1)15m3,解得 2m4;(3)连接 MC,作 MGy 轴并延长交 AC 于点 N,则点 G 坐标为(0,5)MG=1,GC=54=1MC= = ,把 y=5 代入 y=x+4 解得 x=1,则点 N 坐标为(1,5) ,NG=GC,GM=GC,NCG=GCM=45,NCM=90,由此可知,若点 P 在 AC 上,则MC

37、P=90,则点 D 与点 C 必为相似三角形对应点若有PCMBDC,则有BD=1,CD=3,CP= = = ,CD=DA=3,DCA=45,若点 P 在 y 轴右侧,作 PHy 轴,PCH=45,CP=PH= =把 x= 代入 y=x+4,解得 y= ,P 1( ) ;同理可得,若点 P 在 y 轴左侧,则把 x= 代入 y=x+4,解得 y=P 2( ) ;若有PCMCDB,则有CP= =3PH=3 =3,若点 P 在 y 轴右侧,把 x=3 代入 y=x+4,解得 y=1;若点 P 在 y 轴左侧,把 x=3 代入 y=x+4,解得 y=7P 3(3,1) ;P 4(3,7) 所有符合题意

38、得点 P 坐标有 4 个,分别为 P1( ) ,P 2( ) ,P3(3,1) ,P 4(3,7) 类型二:抛物线与四边形的综合问题【同步练】(2016四川眉山)已知如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B、C 分别为坐标轴上上的三个点,且 OA=1,OB=3,OC=4,(1)求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P,使得以以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点 M 为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当|PMAM|的最大值时点 M 的坐标,并直接写出|PMAM

39、|的最大值【分析】 (1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,把 A,B,C 三点坐标代入求出a,b,c 的值,即可确定出所求抛物线解析式;(2)在平面直角坐标系 xOy 中存在一点 P,使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形,理由为:根据 OA,OB,OC 的长,利用勾股定理求出 BC 与 AC 的长相等,只有当 BP与 AC 平行且相等时,四边形 ACBP 为菱形,可得出 BP 的长,由 OB 的长确定出 P 的纵坐标,确定出 P 坐标,当点 P 在第二、三象限时,以点 A、B、C、P 为顶点的四边形只能是平行四边形,不是菱形;(3)利用待定系数法确定出直线 PA 解析式,当

40、点 M 与点 P、A 不在同一直线上时,根据三角形的三边关系|PMAM|PA,当点 M 与点 P、A 在同一直线上时,|PMAM|=PA,当点 M 与点 P、A 在同一直线上时,|PMAM|的值最大,即点 M 为直线 PA 与抛物线的交点,联立直线 AP 与抛物线解析式,求出当|PMAM|的最大值时 M 坐标,确定出|PMAM|的最大值即可【解答】解:(1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,A(1,0) 、B(0,3) 、C(4,0) , ,解得:a= ,b= ,c=3,经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y= x2 x+3;(2)在平面直角坐标系 xOy 中存在一点 P,使得以

41、点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形,理由为:OB=3,OC=4,OA=1,BC=AC=5,当 BP 平行且等于 AC 时,四边形 ACBP 为菱形,BP=AC=5,且点 P 到 x 轴的距离等于 OB,点 P 的坐标为(5,3) ,当点 P 在第二、三象限时,以点 A、B、C、P 为顶点的四边形只能是平行四边形,不是菱形,则当点 P 的坐标为(5,3)时,以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形;(3)设直线 PA 的解析式为 y=kx+b(k0) ,A(1,0) ,P(5,3) , ,解得:k= ,b= ,直线 PA 的解析式为 y= x ,当点 M 与点 P、A 不在同一直线上时,

42、根据三角形的三边关系|PMAM|PA,当点 M 与点 P、A 在同一直线上时,|PMAM|=PA,当点 M 与点 P、A 在同一直线上时,|PMAM|的值最大,即点 M 为直线 PA 与抛物线的交点,解方程组 ,得 或 ,点 M 的坐标为(1,0)或(5, )时,|PMAM|的值最大,此时|PMAM|的最大值为 5【点评】此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:二次函数的性质,待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式,菱形的判定,以及坐标与图形性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键 类型三:抛物线与图形变换的综合问题【同步练】(2016重庆市 A 卷12 分)如图 1,在平面直角坐标系中,抛物

43、线y= x2+ x+3 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 左侧),与 y 轴交于点 C,抛物线的顶点为点 E(1)判断ABC 的形状,并说明理由;(2)经过 B,C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D,点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动点,当PCD 的面积最大时,Q 从点 P 出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 M 处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处,最后沿适当的路径运动到点 A 处停止当点 Q 的运动路径最短时,求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长;( 3)如图 2,平移抛物线,使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动,点 E 平移后的对应点为点 E,点 A 的对应点为点 A,将AOC 绕点 O 顺时针旋转至A 1OC1的位置,点A,C 的对应点分别为点 A1,C 1,且点 A1恰好落在 AC 上,连接 C1A,C 1E,AC 1E是否能为等腰三角形?若能,请求出所有符合条件的点 E的坐标;若不能,请说明理由