1、“新定义”代数与几何综合应用类型一 新定义函数的综合题1.对于关于 x 的一次函数 y=kx+b（k0） ，我们称函数 ym= ，()kxb为它的 m 分函数（其中 m 为常数）例如，y=3x+2 的 4 分函数为：当 x4时，y 4=3x+2；当 x4 时，y 4=-3x-2（1）如果 y=-x+1 的 2 分函数为 y2，当 x=4 时，y 2= ；当 y2=3 时，x = （2）如果 y=x+1 的-1 分函数为 y-1，求双曲线 y= 与 y-1的图象的交点坐2x标；（3）设 y=-x+2 的 m 分函数为 ym，如果抛物线 y=x2 与 ym的图象有且只有一个公共点，直接写出 m 的
2、取值范围解：（1）y=- x+1 的 2 分函数为：当 x2时，y 2=-x+1；当 x2 时，y 2=x-1当 x=4 时，y 2=4-1=3，当 y2=3 时，如果 x2，则有， -x+1=3，x=-2，如果 x2，则有， x-1=3，x=4;（2）当 y=x+1 的-1 分函数为 y-1，当 x-1时，y -1=x+1，当 x-1 时，y -1=-x-1，双曲线 y= ，2联立解得， （舍）, ，1xy21xy双曲线 y= 与 y-1的交点坐标为（-2，-1） ，2x联立时，方程无解，双曲线 y= 与 y-1的图象的交点坐标（-2，-1） ；x（3）y =-x+2 的 m 分函数为 ym
3、，xm 时， ym=-x+2，当 xm 时， ym=x-2，抛物线 y=x2与 ym的图象有且只有一个公共点，联立，则有 x2=-x+2，x=-2，或 x=1，只有一个公共点，-2m1,联立，则有 x2=x-2，此方程无解;综上，m 的取值范围为-2m1.2.在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x， y）和 Q（x ，y） ，给出如下定义：若 y= ，则称点 Q 为点 P 的“可控变点”(0)x例如：点（1，2）的“可控变点” 为点（1， 2），点（-1，3）的“可控变点”为点（-1，-3 ）（1）点（-5，-2 ）的“ 可控变点”坐标为 ；（2）若点 P 在函数 y=-x2+16 的图
4、象上，其 “可控变点”Q 的纵坐标 y是 7，求“可控变点 ”Q 的横坐标；（3）若点 P 在函数 y=-x2+16（-5x a）的图象上，其 “可控变点”Q 的纵坐标 y的取值范围是-16 y16，求实数 a 的值解：（1）-5 0，y=- y=2，即点（-5 ，-2 ）的“可控变点”坐标为（-5，2） ；（2）如解图，第 2 题解图由题意，得 y=-x2+16 的图象上的点 P 的“ 可控变点”必在函数y= 的图象上，216(0)x“可控变点” Q 的纵坐标 y是 7，当 x0,即 -x2+16=7 时，解得 x=3，当 x 3或 x. 8.在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为
5、，点 N 的坐标为 ，1(,)xy2(,)xy且 ， ,我们规定：如果存在点 P，使MNP 是以线段 MN 为直12x12y角边的等腰直角三角形，那么称点 P 为点 M、N 的 “和谐点”.（1）已知点 A 的坐标为 ，)3,1(若点 B 的坐标为 ，在直线 AB 的上方，存在点 A，B 的“ 和谐点”)3,(C，直接写出点 C 的坐标；点 C 在直线 x=5 上，且点 C 为点 A，B 的“和谐点”，求直线 AC 的表达式.（2）O 的半径为 ，点 D 为点 E 、F 的“和谐点”，若使得r(1,4)(1,2),(nmDEF 与O 有交点，画出示意图并直接写出半径 的取值范围.r第 8 题图
6、解： (1) ；)5,3(),1(2C或由解图 可知，BA(1,3) ，AB=4 ， 为等腰直角三角形，CBC=4. .)1,5()7,(21或设直线 AC 的表达式为 ，(0)ykxb当直线过点 时，1(,)C得 ，解得 ， 直线 AC 的表达式为 ; 753bk12kb 2yx当直线过点 时，),5(2得 ，解得 ，直线 AC 的表达式为 ; 153bk14kb 4yx综上所述，直线 AC 的表达式是 或 ;2xyxy第 8 题解图(2)当点 F 在点 E 左侧时,如解图：第 8 题解图. 217r 当点 F 在点 E 右侧时，如解图：第 8 题解图， 517r 综上所述：r 的取值范围为
7、 . 217r9.在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为（x 1，y 1） ，点 N 的坐标为（x 2，y 2） ，且 x1x2， y1y2，以 MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于 x 轴，y 轴，则称该菱形为边的 “坐标菱形”（1）已知点 A（2，0） ，B（0， ），则以 AB 为边的“坐标菱形”的最小23内角为 ；（2）若点 C（1，2），点 D 在直线 y=5 上，以 CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线 CD 表达式；（3）O 的半径为 ，点 P 的坐标为（3，m ） 若在 O 上存在一点Q，使得以 QP 为边的“ 坐标菱形”为正方形，求 m 的取值范围第
8、 9 题图解：（1）60； 【解法提示】如解图 点 A（2，0） ，B（0， ） ，23OA=2，OB= ，23在 RtAOB 中，由勾股定理得：AB= =4，22+（ ）ABO=30，四边形 ABCD 是菱形，ABC=2ABO=60，ABCD，DCB=180-60=120，以 AB 为边的“ 坐标菱形”的最小内角为 60.图 图第 9 题解图（2）如解图，以 CD 为边的“ 坐标菱形”为正方形，直线 CD 与直线 y=5 的夹角是 45过点 C 作 CEDE 于 ED（ 4，5）或（ -2，5） 直线 CD 的表达式为： y=x+1 或 y=-x+3；（3）分两种情况：设直线 x=3 与 x
9、 轴交于点 B，先作直线 y=x，再作圆的两条切线 、 ，1l2切点分别为 ， 与 x 轴交于点 A，且与 x=3 交于点 P， 与 x 轴交于Q、 1l 2点 D，且与 x=3 交于点 ，且平行于直线 y=x，如解图，P图 图第 9 题解图O 的半径为 ，且OQD 是等腰直角三角形，2OD= OQ=2，BD=3-2=1，PDB 是等腰直角三角形，PB=BD=1，P（3，1） ，同理可得：OA=2，AB=3+2=5，ABP 是等腰直角三角形，PB=5，P（3，5） ，当 1m5时，以 QP 为边的“坐标菱形”为正方形；先作直线 y=-x，再作圆的两条切线，且平行于直线 y=-x，如解图，O 的
10、半径为 ，且OQD 是等腰直角三角形，2OD= OQ=2，BD=3-2=1，PDB 是等腰直角三角形，PB=BD=1，P（3，-1） ，同理可得：OA=2，AB=3+2=5，ABP 是等腰直角三角形，PB=5，P（3，-5） ，当-5 m-1时，以 QP 为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述，m 的取值范围是 1m5或-5 m-110.在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x 1，y 1） ，点 Q 的坐标为（x 2，y 2） ，且 x1x2， y1y2，若 PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与 x 轴平行，则称该等腰三角形为点 P，Q 的“相关等腰三角形”下图为点 P
11、，Q 的“相关等腰三角形” 的示意图（1）已知点 A 的坐标为（0，1） ，点 B 的坐标为(- ，0)，则点 A，B 的3“相关等腰三角形” 的顶角为 ；（2）若点 C 的坐标为(0， )，点 D 在直线 y=4 上，且 C，D 的“ 相关3等腰三角形”为等边三角形，求直线 CD 的表达式；（3）O 的半径为 ，点 N 在双曲线 y=- 上若在O 上存在一点23xM，使得点 M、N 的“相关等腰三角形” 为直角三角形，直接写出点 N 的横坐标 xN 的取值范围第 10 题图解：（1）120； 【解法提示】如解图，第 10 题解图 A 的坐标为（ 0，1） ，点 B 的坐标为(- ,0),3点
12、 A，B 的“ 相关等腰三角形”ABC 的顶点 C 的坐标为( ，0）或（-23，1),3tanBAO= = ,31BAO=CAO=60，BAC=ABC=120.（2）如解图中，设直线 y=4 交 y 轴于 F（0，4 ),33第 10 题解图 C（0， ） ，CF=3 ，33且 C，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，CDF=CDF=60， DF=FD= =3，3tan60oD（ 3，4 ） ，D（-3，4 ） ，直线 CD 的解析式为 y= x+ ，或 y=- x+ .33（3）如解图中，第 10 题解图 点 M、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直线 MN 与 x 轴的夹角为 45，设直线 MN 的解析式为 y=-x+b，当直线与O 相切于点 M 时，易知 M(1,1)或 M (-1,-1).直线 MN 的解析式为 y=-x+2 或 y=-x-2，由 ，解得 或 ，23yx13N（-1，3） ，N （3，-1） ，由 ，解得 或 ，2yx1xy3N1（-3 ，1） ，N 2（1，-3 ） ，观察图象可知满足条件的点 N 的横坐标的取值范围为：-3x N-1或 1xN3