1、二次函数综合题类型一 抛物线与直线的图象性质问题1.如图，抛物线 y=x2+2x-3 的图象与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 左侧） ，与 y轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点（1）求ABC 的面积；（2）P 是对称轴左侧抛物线上一动点，以 AP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点 M 正好落在对称轴上，画出图形并求出 P 点坐标；（3）若抛物线上只有三个点到直线 CD 的距离为 m，求 m 的值第 1 题图 备用图解：（1）针对于抛物线 y=x2+2x-3，令 x=0，则 y=-3，C（0，-3） ，令 y=0，则 x2+2x-3=0，x=-3 或 x=1，A（-3，0） ，B（1，0）
2、 ，SABC= AB|yC|=6；2（2）如解图，设对称轴与 x 轴相交于点 Q.第 1 题解图当点 P 在第三象限时，抛物线 y=x2+2x-3 的对称轴为直线 x=-1，AQ=2.过点 P 作 PGDM 于点 G，PGM=MQA=90，MPG+PMG=90，AMP=90， PMG+AMQ=90，MPG=AMQ，在PGM 和MQA 中， ，PGMQAPGMMQA（AAS） ，MG=AQ=2，PG= QM，设 M（ -1， m） （m0） ，QM=-m，PG=-m，QG =QM+MG=2-m，P（m-1，m-2） ，点 P 在抛物线 y=x2+2x-3 上，（m-1 ） 2+2（m-1 ）-3
3、=m-2，m=-1 或 m=2（舍） ，P（-2，-3） 当点 P 在第二象限时，同的方法得，P（-4，5） ； （3）抛物线 y=x2+2x-3=（x+1） 2-4，D（-1 ，-4） ，C（0，-3） ，直线 CD 的解析式为 y=x-3，如解图，作直线 EGCD 交 y 轴于点 E，交 x 轴于点 G，第 1 题解图设直线 EG 的解析式为 y=x+b，抛物线上只有三个点到直线 CD 的距离为 m，在直线 CD 下方的抛物线上只有一个点到直线 CD 的距离为 m，即直线 EG 与抛物线 y=x2+2x-3只有一个交点，联立得，x 2+2x-3=x+b，x2+x-3-b=0，=1+4（b
4、+3）=0，b=- ,134直线 EG 的解析式为 y=x- ,134E(0,- ),OE= ,134直线 CD 的解析式为 y=x-3，H（ 3,0） ，OH=3，OC=3 ，CH= ，132-=4CE，过点 E 作 EFCD 于 F，CFE=COH，ECF=HCO，CFECOH， ,EFCOH ,1432 ,8EF即：m= .22.已知二次函数 .21(0)yaxa（1）求证：抛物线与 x 轴有两个交点；（2）求该抛物线的顶点坐标；（3）结合图象回答：当 x1 时，其对应的函数值 y 的最小值范围是 2y6,求a 的取值范围.第 2 题图（1）证明： =（2a） 2-4a（a-1）=4a，
5、 a0，4a0，0，抛物线与 x 轴有两个交点；（2）24(1), 1,aa抛物线的顶点坐标为（-1，-1） ；（3）二次函数 y=ax2+2ax+a-1 经过（1，2）时，2=3a+a-1 ，解得 ，34a二次函数 y=ax2+2ax+a-1 经过（1，6）时，6=3a+a-1 ，解得 a= ，7观察图象可知，函数值 y 的最小值范围是 2y6，a 的取值范围为.374a3.已知二次函数 )0(22axay（1）该二次函数图象的对称轴是直线 ；（2）若该二次函数的图象开口向上，当 1x5时，函数图象的最高点为M，最低点为 N，点 M 的纵坐标为 ，求点 M 和点 N 的坐标；21（3）对于该
6、二次函数图象上的两点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，设 t x1 t+1，当 x23时，均有 y1 y2，请结合图象，直接写出 t 的取值范围解：（1）x=1 ;（2）该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 x=1， 1x5，当 x=5 时， y 的值最大，即 M（5， ）. 21把 M（ 5， ）代入 y=ax22ax2，解得 a= . 21该二次函数的表达式为 y= . 1x当 x=1 时，y ，25N（1， ）; （3）1t2. 类型二 抛物线与直线（线段）的公共点问题4.如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y= x-3 交于 A，B 两点，其中点 B 在 y12
7、轴上，点 A 坐标为（-4，-5） ，点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作 PCx 轴于点 C，交 AB 于点 D（1）求抛物线的解析式；（2）以 O，B，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）当点 P 运动到直线 AB 下方某一处时， PAB 的面积是否有最大值？如果有，请求出此时点 P 的坐标第 4 题图解：（1）直线 交 y 轴于点 B，132yxB（0，-3） ，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（-4，-5） ，点 B（0，-3） ，31645cb解得：b= ，c=-392抛物线解析式 y=x2+ x-3;9（2）
8、存在，设 P（ m，m 2+ m-3） ， （m0） ，D（ m， m-3） ，1PD=|m2+4m|，PDBO，当 PD=OB=3 时，故存在以 O，B ，P，D 为顶点的四边形是平行四边形，|m2+4m|=3，当 m2+4m=3 时，m1=-2- ，m 2=-2+ （舍） ，77当 m=-2- 时，则 m2+ m-3=-1- ，972P（-2- ，-1- ） ；7当 m2+4m=-3 时，m1=-1，m 2=-3，当 m1=-1 时，则 m2+ m-3=- ，9132P（-1，- ） ，当 m2=-3，m 2+ m-3=- ，9152P（-3，- ） ，15综上所述，点 P 的坐标为（-2
9、- ，-1- ） ， （-1，- ） ， （-3，- ） 722152（3）设点 P（x，x 2+ x-3） ，则点 D（x， x-3） ，9PD= x-3-（x 2+ x-3）=-x 2-4x，1SAPB= PD4=-2x2-8x=-2（x+2） 2+8当 x=-2 时， PAB 的面积的最大值为 8点 P 坐标（ -2，-8）.5.在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 ： 向右平移1G23(m0)yx个单位长度后得到抛物线 ，点 A 是抛物线 的顶点.32 2（1）直接写出点 A 的坐标；（2）过点（0， ）且平行于 x 轴的直线 l 与抛物线 交于 B,C 两点.3 2G当BAC=90
10、 时，求抛物线 的表达式；2G若 60BAC120，直接写出 m 的取值范围.解：（1）将抛物线 G1：y=mx 2+2 （m0）向右平移 个单位长度后得33到抛物线 G2，抛物线 G2：y= m（x- ） +2 （m0） ，32点 A 的坐标为（ ，2 ） （2） 设抛物线对称轴与直线 l 交于点 D，如解图所示第 5 题解图点 A 是抛物线顶点，AB=ACBAC=90，ABC 为等腰直角三角形，CD=AD= ，3点 C 的坐标为（2 ， ） 3点 C 在抛物线 G2 上， =m（2 - ） +2 ，33解得：m= .如解图 所示第 5 题解图同理：当BAC=60 时，点 C 的坐标为（ +
11、1, ） ，3当BAC=120 时，点 C 的坐标为（ +3， ） ，60BAC120，点（ +1， ）在抛物线 下方，点（ +3， ）在抛物线 上方，32G32G ，2(1-)3m解得： .39m6.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 经过点 和230yaxba1,0A点 45B，（1）求该抛物线的表达式；（2）求直线 关于 轴的对称直线的表达式；ABx（3）点 P 是 x 轴上的动点，过点 P 作垂直于 x 轴的直线 l，直线 l 与该抛物线交于点 M，与直线 AB 交于点 N当 PMPN 时，求点 P 的横坐标 xP的取值范围第 6 题图解：（1）将 A（-1，0） ，B（4，5）代入
12、函数解析式，得 ,301645ab解得 ，2ab抛物线的解析式为 y=x2-2x-3；（2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，将 A（-1 ，0） ，B （4，5）代入函数解析式，得 ，045kb解得 ，1b直线 AB 的解析式为 y=x+1，直线 AB 关于 x 轴的对称直线的表达式 y=-（x+1） ，化简，得 y=-x-1；（3）设 M（n，n 2-2n-3） ，N （n，n+1） ，PMPN，即 |n2-2n-3| n+1|当 n-1 时，n 2-2n-3-（n+1） ，化简，得 n2-n-20，由 y=n2-n-2 与 x 轴的交点，得n2-n-20 的解是 -1n2（不符合题
13、意，舍） ，当-1n3 时，-（n 2-2n-3）n+1，化简，得 n2-n-20，由 y=n2-n-2 与 x 轴的交点，得n2-n-20 的解是 n-1 或 n2，2n3；当 n3时，n 2-2n-3n+1 ，化简，得 n2-3n-40，由 y=n2-3n-4 与 x 轴的交点，得n2-3n-40 的解是-1n4，3n4，综上所述：2n4，当 PMPN 时，求点 P 的横坐标 xP 的取值范围是 2x P47.如图，抛物线 交 x 轴于 A、B 两点，直线经过点 A，与这条21yxmn抛物线的对称轴交于点 M（1，2） ，且点 M 与抛物线的顶点 N 关于 x 轴对称.（1）求这条抛物线的
14、函数关系式；（2）根据图象，写出函数值 y 为负数时，自变量 x 的取值范围；（3）设题中的抛物线与直线的另一交点为 C，已知 P（x，y）为直线 AC上一点，过点 P 作 PQx 轴，交抛物线于点 Q当-1 x 时，求线段 PQ32的最大值第 7 题图解：（1）由题意知，抛物线顶点 N 的坐标为（1，-2） ，故其函数关系式为 y= ；2213()xx（2）由 ，解得 x=-1 或 3，即 A（-1 ，0） 、B（3，0） ；根据图230x象得：函数值 y 为负数时，自变量 x 的取值范围为 -1x3；（3）由（2）得：A（-1，0） 、B（3，0） ；设经过点 A,M 的直线为 y=kx+
15、b,将 A（ -1， 0） 、M（1，2）的坐标分别代入 y=kx+b 中得： ，02kb解得： ，kb直线 AC 的函数关系式为 y=x+1，P 坐标为（ x，x+1） ，Q 的坐标为（x， ） ，213xPQ=（x+1）-（ ）= - =- ,2132529()a=- 0，-1x ，12当 x= 时， PQ 有最大值为 ,358即点 P（ ， ）时，PQ 长有最大值为 .53588.如图，抛物线 y=ax2+bx-3 经过 A（1，0） ，B（3，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 M，直线 y=-2x-9 与 y 轴交于点 C，与直线 OM 交于点 D，现将抛物线平移
16、，保持顶点在直线 OD 上，若平移后的抛物线与射线 CD（含端点 C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围第 8 题图解：（1）把 A（1，0） ，B（3，0）的坐标分别代入抛物线 y=ax2+bx-3 中得：，解得： ，390ab14ab抛物线的解析式：y=-x 2+4x-3；（2）y =-x2+4x-3=-（x -2） 2+1，M（2，1） ，直线 OD 的解析式为：y= x，平移后的抛物线顶点坐标为（h， h） ，则平移后的抛物线解析式为：2y=-（x-h） 2+ h，1由 y=-2x-9,得当 x=0，y=-9，C （0，-9 ） ，当抛物线经过点 C 时，-h 2+ h=-
17、9，1解得：h= ，145当 时，平移后的抛物线与射线 CD 只有一个公共点；44h当抛物线与直线 CD 只有一个公共点时，得 ，21()9yxh则 x2+（-2h-2 ）x +h2- h-9=0,解得 h=-4，此时抛物线 y=-x2-8x-18 与直线 CD 有唯一的公共点为（-3 ，-3） ，点（-3，-3）在射线 CD 上，符合题意.平移后的抛物线与射线 CD 只有一个公共点时，它的顶点横坐标取值范围是当 或 h=-4,145145h类型三 抛物线与直线（线段）构成的封闭区域内的整点问题8. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2-2mx+m-2（m0）与 x 轴的交点为 A
18、，B （1）求抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点当 m=1 时，求线段 AB 上整点的个数；若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）恰有 7 个整点，结合函数的图象，求 m 的取值范围第 9 题图解：（1）y= mx2-2mx+m-2 =m（x 2-2x+1） -2=m（x -1） 2-2，抛物线的对称轴为 x=1,顶点坐标为（1，-2） ；（2） 当 m=1 时，抛物线解析式为 y=x2-2x-1，令 y=0 得：x 2-2x-1=0，解得： ，12,1即 A（ 1- ，0） 、B（ 1+ ，0） ，则线段 AB 上整点有(0,0)
19、、(1,0)、(2,0)这 3 个；如解图，抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）恰有 7 个整点，第 9 题解图则 ，209614m解得： .210. 如图，抛物线 y=ax2+bx-3 过 A（1，0） 、B（-3，0）两点，直线 AD 交抛物线于点 D，点 D 的横坐标为-2，点 P（ m，n）是线段 AD 上的动点（1）求直线 AD 及抛物线的解析式；（2）过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的长度 l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R 为顶点的四
20、边形是平行四边形？若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由第 10 题图解：（1）把 A（1，0） ，B（-3，0）的坐标分别代入函数解析式，得，解得 ，39ab2ab抛物线的解析式为 y=x2+2x-3；当 x=-2 时，y=（-2） 2+2（-2）-3=-3，即 D（-2，-3） 设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，将 A（1，0） ，D（-2，-3）的坐标分别代入，得 ，023kb解得 ，直线 AD 的解析式为 y=x-1；1b（2）由题意得 P 点坐标为（m，m-1） ，Q（m，m 2+2m-3） ，l=（m-1 ）-（m 2+2m-3）整理，得 l=-m2-m+2配方，
21、得 l= ，19()4点 P 在线段 AD 上， -2 m1. 当 m=- 时，l 最大 = ；1294即当 m=- 时,PQ 最长，其值为 ；94（3）存在.由（2）可知，0PQ 当 PQ 为边平行四边形的边时， DRPQ 且DR=PQR 是整点， D（-2，-3） ，PQ 的长是正整数，PQ=1 或 PQ=2当 PQ=1 时，DR =1，此时点 R 的横坐标为-2，纵坐标为-3+1=-2 或-3-1=-4，R（-2，-2）或 R（-2，-4 ） ；当 PQ=2 时，DR=2，此时点 R 的横坐标为-2，纵坐标为-3+2=-1 或-3-2=-5，即 R（-2，-1）或 R（-2，-5） 当 PQ 为平行四边形的对角线时，则 PQ 的中点即为 DQ 的中点，又P（m，m-1） 、D（-2，-3） ，点 R 的坐标为（ 2m+2，m 2+3m-1） R 是整点且点 D、P、Q、R，-2m1，当 m=-1 时，点 R 的坐标为（0，-3） ；当 m=0 时，点 R 的坐标为（2，-1） 综上所述，存在满足 R 的点，它的坐标为（-2，-2 ）或（-2，-4 ）或（-2，-1）或（-2 ， -5） 或（0，-3）或（2，-1）