1、几何图形的相关证明及计算1.已知，在 RtABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，连接 AD.（1）如图，若点 E 在 AB 中点处，连接 DE，若 AD=1，求点 D 到 AC的距离；（2）如图，点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 上，连接 DE、 DF，若DEDF，连接 EF，求证：BE 2+CF2=EF2.第 1 题图（1）解：在 RtABC 中，AB=AC,D 为 BC 的中点，ADBC，B=45，ABD 为等腰直角三角形，AD=BD =1，AB= = ,2DAE 为 AB 的中点，DEAB， DE= AB= ，21AD 为BAC 的角平分线，点 D 到 AC 的距离等于点
2、D 到 AB 的距离，即 DE 的长为 ；2（2）证明：如解图，延长 ED 至点 M，使 DM=DE,连接 FM、CM.第 1 题解图A=90， AB=AC，B=ACB=45.点 D 是 BC 的中点，BD=DC.在BDE 和CDM 中，,DCBMEBDECDM，MC = BE， B =MCD =ACB =45，FCM=90，FM 2=CM 2+CF 2=BE 2+CF 2.DE DF ， DE=DM，EF=FM, BE2+CF2=EF2.2.已知，在 ABCD 中，连接对角线 AC，CAD 的平分线 AF 交 CD 于点F， ACD 的平分线 CG 交 AD 于点 G，AF、CG 交于点 O
3、，点 E 为 BC 上一点，且BAEGCD.(1)如图 ，若 ACD 是等边三角形，OC2，求 ABCD 的面积；(2)如图 ，若 ACD 是等腰直角三角形，CAD90，求证：EC = AG.第 2 题图(1)解： ACD 为等边三角形，CADACD60.AF、CG 分别平分CAD、ACD，CAF CAD 6030，2121ACGDCG 6030，且 AFCD，CD2CF ，CAOACO30，AO CO2.在 RtOCF 中，DCG30，OF OC 21，21CF ，OFC23AFAOOF2 13，CD 2 2 ，3S ABCD CDAF2 36 ；(2)证明： 如解图，延长 OF 到点 H，
4、使 FHOF ，连接 HD，OHOFFH 2OF.第 2 题解图ACD 为等腰直角三角形，AF 平分CAD，CFDF，AF CD，又CFODFH，CFO DFH ，OCFHDF， CG HD ，AOGH，AGOADH . 在 RtOCF 中，OCFCOF90，在 RtACG 中，ACGAGC90，CG 平分ACD，ACGFCG，COFAGC，AOGAGC，AO AG，H ADH，AH AD，AH AOADAG，即 OHGD，2OF GD .四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AD BC，BACACD.BAEDCG，BACBAE ACDDCG，即EACACG，AECG，四边形 AECG 为
5、平行四边形，ECAG.3.如图在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，AD AO，点 E为 OA 中点（1）若 DECD，CD6，AD2 ，求 DE 的长； 5（2）证明：CD2DE第 3 题图（1）解：四边形 ABCD 是平行四边形，OA OC，点 E 为 OA 中点，AD AO ，AD2 ，5OE ，OC2 ，55CEOE+OC 3 ，DE CD，CD6，DE 3；2CDE（2）证明：如解图，取 AD 的中点 F，连接 OF，第 3 题解图AD AO，点 E 为 OA 中点，AEAF，在ADE 和 AOF 中，AFEODADE AOF，DE OF，OA OC，AF DF
6、 ，CD 2OF，CD2DE.4.如图，在菱形 ABCD 中，E 为 BC 延长线上一点，连接 AE，EB，过点 D 作 DHAE 于点 H（1）若 AB13，DH5，求 HE 的长；（2）求证：AHCE+EH第 4 题图（1）解：四边形 ABCD 是菱形，AD AB13，E B ，AEAB13，DHAE，AH = =12,2DHA2513EH AE-AH 13-121；（2）证明：如解图，过点 D 作 DFBC 的延长线于点 F，连接 DE，第 4 题解图四边形 ABCD 是菱形，ABCD，AD BC， ADCD，1B，23，B 2，13，DHAE，DFCF，4F，在ADH 和CDF 中，C
7、DA，413ADHCDF，AH CF，DHDF，在 RtDEH 和 RtDEF 中，,DEFHRtDEHRtDEF，EH EF，CFCE+ EF，AH CE+EH5.如图，在等腰 RtABC 中，ACB =90，AC =BC，点 F 是 AC 边的中点，过点 C 作 BF 的垂线，垂足为点 H，交 AB 于点 D，CE 平分ACB，交 BF于点 E.（1）若 AC =8，求 CH 的长度；（2）求证：BE =2EF.第 5 题图（1）解：AC =8 ，F 是 AC 的中点，AC =BC ，CF = AC =4，BC =8，2ACB =90，BF = = =4 ,2BCF2845由三角形面积公式
8、得，S BCF = BFCH= CFBC，12BFCH =CFBC，CH = = = ；BFCH548（2）证明：如解图，延长 CE 交 AB 于点 M，连接 MF，过点F 作 FNCD，与 AB 交于点 N,第 5 题解图ACB =90，AC =BC,CE 平分ACB ，CM AB，CM =AM =BM，点 F 是 AC 的中点， FNCD，AM =CM，FN 是ACD 的中位线，CD =2FN，CHE =BME =90， CEH =BEM，ECH =EBM，ACM =ABC =45，ACD =CBE，在ACD 和 CBE 中，45BCEADACD CBE，CD =BE，点 F 是 AC 的
9、中点， AM =CM，MFA =90，MF =AF =CF，EMF =A =45，CDBF，FNCD，EFN =EHD =90，MFA -MFN=EFN -MFN，即AFN =MFE，AFN MFE，FN =FE，又CD =2FN，CD =BE，BE =2EF.6.已知ABC 和 ADE 都是等边三角形，点 B，D ，E 同一在一条直线上（1）如图，当 ACDE，且 AD2 时，求线段 BC 的长度；（2）如图，当且 CDBE 时，取线段 BC 的中点 F，线段 DC 的中点G，连接 DF，EG，求证：DF EG第 6 题图（1）解：如解图设 AC 与 DE 交于点 F，ABC 和ADE 都是
10、等边三角形，ACDE，AD2，BCAC，DEAD 2，DF DE1，AFCF ，AF ， AC2AF 2 ，BC2 ；2DFA333第 6 题解图（2）证明：如解图连接 CE、 GF，ABC 和ADE 都是等边三角形，点 B，D，E 同一在一条直线上AB AC，ADAE，BAC DAE AED60，ADB120， BAD CAE，在ABD 和ACE 中，AEDCBABDACE，BDCE， AECADB120，CEDAEC- AED60，CDBE，DCE30 ，DE CE，21线段 BC 的中点为 F，线段 DC 的中点为 G，FGBD，FG BD，FGDE，FG DE，四边形 DFGE 是平行
11、四边形，DFEG7.如图，四边形 ABCD 为矩形，连接 AC， AD2CD，点 E 在 AD 边上(1)如图 ，若ECD30，CE4，求AEC 的面积；(2)如图 ，延长 BA 至点 F 使得 AF2CD，连接 FE 并延长交 CD 于点G，过点 D 作 DHEG 于点 H，连接 AH，求证： FH AHDH.2第 7 题图(1)解： 在 RtEDC 中，ECD30 ，ED EC 42 ，21DCECcos 30 4 2 ，3AE 2DCED 4 2，SAEC AEDC (4 2)2 122 ；1133(2) 证明：如解图，过 A 作 AMAH，交 FG 于点 M，第 7 题解图MAHMAD
12、 DAH90，又FAD MADFAM90，FAMDAH，AFCD，FEGD，DHEG，DHE HDG EGD90，EDGEDHHDG90，EGD EDH，FEDH，又AF 2CD，AD 2CD，AF AD，AFMADH，AMAH，FM DH，MAH 是等腰直角三角形，MH AH，2FHMHFM ，FH AHDH.8.如图，在等腰 RtABC 中，BAC=90，AB =AC，AE 为线段 BD 的垂直平分线，垂足为 E.连接 DC 交 AE 于点 F.（1）如图，连接 BF、AD，若ABF =15，AD =2 ，求 DC 的长；2（2）如图，取 DC 的中点 M，取 AF 的中点 N，连接 MN
13、.求证：MNAF.第 8 题图（1）解：AE 为线段 BD 的垂直平分线，ADF ABF，ADF =ABF =15， AB =AD，AB =AC =AD ,ACD =ADC =15，FBC =15+45=60， BCF =45-15=30，BFC =90，在 RtBCF 中，BF = BC =2，FC =2 .213又DF =BF =2 ，DC =DF +FC =2+2 ；3（2）证明：如解图，连接 BF、AD，则ABF =ADF，由 AD =AB =AC，得ADF =ACF，ABF =ACF.BFC =BAC =90，DF =BF，BDF 为等腰直角三角形，又EF 垂直平分 BD，DE =B
14、E =EF.过点 C 作 CHEA，交 EA 的延长线于点 H，连接 DN 并延长交 CH 于点I，HCA +CAH =90，BAE + CAH =90，BAE =HCA，AB =AC， AEB =CHA =90，BEAAHC，HC =AE , AH =BE =EF，点 N 为 AF 的中点，FN =AN,EN =NH,DEN =IHN=90，DNE = INH，DEN IHN，HI =DE =EF,DN =NI,MN 为 DIC 的中位线，MNIC，ICEN，MNEH，即 MNAF.第 8 题解图9.如图，平行四边形 ABCD 中，点 E 为 AB 边上一点，连接 DE，点 F 为DE 的中
15、点，且 CFDE，点 M 为线段 CF 上一点，使DMBE，DCM DMF31（1）若 AB13，DE 10，求 CF 的长度；（2）求证：CMBC第 9 题图（1）解：四边形 ABCD 是平行四边形，CDAB 13，F 为 DE 中点，DF DE5，21CFDE，CF 12； 2DFC2513（2）证明：如解图，连接 CE，第 9 题解图DCM DMF，31DMFCDM+DCF3DCM，CDM2DCM，ABCD，CDF+BEF180，CDF+CEF+CEB180，CFDE，F 为 DE 中点，CDCE，CDFCEF，2CDF+CEB180，CDF90-DCM ，CEB2 DCM，CDMCEB
16、 ，在CDM 和 CEB 中，ECDBMCDMCEB，CMBC10.如图，在ABC 中， ABAC，点 D 是ABC 内一点，AD BD，且ADBD，连接 CD过点 C 作 CEBC 交 AD 的延长线于点 E，连接BE过点 D 作 DFCD 交 BC 于点 F（1）若 BDDE ，CE ，求 BC 的长；52（2）若 BDDE ，求证：BF CF.第 10 题图（1）解：BD AD，点 E 在 AD 的延长线上，BDE90，BDDE ，5BE ，2DEB10BCCE，BCE90，BC 2 ；2CEB10（2）证明：如解图，连接 AF，第 10 题解图CDBD，DFCD，BDECDF90，BDFCDE，CEBC，BCE90，DBCCED，在BDF 和EDC 中， ，CDEBFBDFEDC，DFCD ，CFDDCF45，ADBCDF，ADB+BDFCDF+BDF，ADFBDC，在ADF 和BDC 中， ，CDFBAADFBDC，AFDBCD，AFD45，AFC AFD+CFD90 ，AFBC，AB AC，BF CF声明：试题解析著作权属菁优网所有