1、二次函数综合题类型一 线段、周长最值问题1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx 2x2 的图象与 x 轴相交于点 A、 B，与 y 轴交于点 C，过直线 BC 的下方抛物线上一动点 P 作PQAC 交线段 BC 于点 Q，再过点 P 作 PEx 轴于点 E，交 BC 于点 D.（1）求直线 AC 的解析式；（2）求PQD 周长的最大值及此时点 P 的坐标；（3）如图，当 PQD 的周长最大值时，在 y 轴上有两个动点 M、N(M在 N 的上方)，连接 AM，PN，若 MN1，求 PNMNAM 的最小值第 1 题图解：（1）令 y0，即 x2x20，解得 x1 1，x 22，A(1，0)，
2、B(2 ，0)，令 x0，则 y2，C(0，2) ，设直线 AC 的解析式为 ykxb(k0)，直线过点 A、C， ，解得 ，2bk0k 2b 2)直线 AC 的解析式为 y2x2； （2）BO CO ， BOC90，ABC45， ACO EPQ，tanEPQtanACO ，12如解图 ，过点 Q 作 QHPE，垂足为 H.设 QHa，则 PH2a，DHa，PD=PH+DH=3a，a PD，13B（2,0）， C（0，-2），直线 BC 的解析式为 y=x-2，设 P(m，m 2m2)，D(m，m2)，PD=m-2-（m 2-m-2）=-m 2+2m，CPQDPQQD PD( 3)a PD，5
3、 25 2 33CPQD PD (m 22m ) (m1) 25 2 33 5 2 33 5 2 33，5 2 33当 m1 时， PQD 的周长最大，且最大值为 ，此时 P(1，2) ；5 2 33（3）把点 A 向下平移 1 个单位到点 A，则 A(1，1) ，如解图，连接 AP，AMMNPN 的最小值APMN 1.5第 1 题解图 第 1 题解图类型二 与面积有关的问题2.在平面直角坐标系中，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点,与321yxy 轴交于点 C,连接 BC. (1)求直线 BC 的解析式； (2)如图 ,点 P 是抛物线上位于第一象限内的一点,连接 PC,PB,当PBC 面
4、积最大时,一动点 Q 从点 P 出发,沿适当路径运动到 y 轴上的某个点 G 再沿适当路径运动到 x 轴上的某个点 H 处,最后到达线段 BC 的中点 F 处停止.求当PBC 面积最大时 ,点 P 的坐标及点 Q 在整个运动过程中经过的最短路径的长；(3)如图 ,在(2)的条件下 ,当 PBC 面积最大时,把抛物线 向右平移使它的图象经过点 P,得到新抛物线 ,在新抛物线321yx y上是否存在点 E,使ECB 的面积等于 PBC 的面积？若存在,请求出点 E的坐标;若不存在,请说明理由.第 2 题图解:（ 1） 抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C, 31yx令 x=0
5、, 得 y=3，C（0,3），令 y=0，得 0= ，321x解得 x=- 或 x=3 ，B（3 ， 0），2设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， ，3bk解得 ，2直线 BC 的解析式为 y=- x+3；2(2)如解图 ,设 P（m ， ） （ 0m 3 ），312过点 P 作 PMy 轴交 BC 于点 M, 第 2 题解图直线 BC 的解析式为 y=- x+3，M（m，- m+3），2PM=- m2+ m+3-（- m+3）=- m2+ m=- （m- ） 2+ ，12131349SPBC= PMxB= - （m - ） 2+ 3 =- （m- ） 2+ ，134987当 m = 时，
6、S PBC 最大，最大值为 ，23 827点 P（ ， ），M （ ， ），41523 B（ ，0），C（0,3），23F（ ， ），点 M 和点 F 重合, 作点 P（ ， ）关于 y 轴的对称点 （- ， ），23415P23415再作点 F（ ， ）关于 x 的对称点 （ ，- ），F连接 交 y 轴于点 G,交 x 轴于点 H,连接 PG,FH， P此时 PG +GH +HF 最小,最小值为 = ；P427(3) 如解图,在抛物线 =- （x- ） 2+4 中, 321yx1令 y = ，即 = ，4152x解得 x = 或 x= ，23由平移知,抛物线 y 向右平移到 ,则平移了 -
7、 = 个单位，y23 =- （x-2 ） 2+4=- x2+2 x，y211设点 E（n，- n2+2 n），过点 E 作 EQy 轴交 BC 于点 Q, 直线 BC 的解析式为 y =- x+3，2Q（ n，- n+3），2EQ = = ，3-211625nECB 的面积等于PCB 的面积, EQxB= PMxB,21由(2)知 ,PM =- （m- ） 2+ ，21349PM 最大 = ，49EQ =PM 最大 , = ，216n5解得 n = 或 n= 或 n = 或 （舍），21215273E（ ）或（ ， ）495， 42189或（ ， ）.27第 2 题解图3.如图，在平面直角坐标
8、系中，抛物线 y x2- x+m 的图象交 x 轴于1B、C 两点，一次函数 y=ax+b 的图象过点 B，与抛物线相交于另一点A（4， 3）.（1）求 m 的值及一次函数的解析式；（2）如图，若点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 AB 下方，过 P作 PQx 轴，且 PQ4（点 Q 在点 P 右侧）以 PQ 为一边作矩形PQEF，且点 E 在直线 AB 上点 M 是抛物线上另一个动点，且 4SBCM = 5S 矩形 PQEF，当矩形 PQEF 的周长最大时，求出此时点 P 和点 M 的坐标；（3）如图，在（2）的结论下，连接 AP、BP，设 QE 交 x 轴于点 D，现将矩形 PQEF
9、沿射线 DB 以每秒 1 个单位长度的速度平移，当点 D 到达点 时停止，记平移时间为 t，平移后的矩形 PQEF 为 ，且D PQEF分别交直线 AB、x 轴于点 N、 ，设矩形 与ABP 的重叠部E D分面积为 S，当 NA N 时，求 S 的值85图 图第 3 题图解：(1) 点 A（4，3）在二次函数 y x2- x+m 的图象上，1 16- 4+m =3，21解得 m =-3，则二次函数的解析式为 y= x2- x-3，令 y=0，得 x2- x-3=0，1解得 x1=-2，x 2=3，则点 B 的坐标为（-2,0 ），点 C 的坐标为（3,0）.A（4,3）， B（-2,0）在一次
10、函数 y=ax+b 的图象上， ，解得 ，0ba2341b2a一次函数的解析式为 y= x+1；（2）矩形 PQEF 的周长=2（PQ+EQ）=8+2EQ，要使周长最大，EQ 边长最大即可.设 P（ a， a2 a3）， -2a 4，1Q（ a+4， a2 a3），E（a+4 ， a+3），21EQ a+3（ a2 a3） （a 1） 2+ ，3当 a1 时，EQ 最大，且最大值为 ，P（1， 3），此时矩形 PQEF 的面积为 4 =26，2设在BCM 中，BC 边上对应的高为 h，由 4SBCM =5S 矩形 PQEF，得 4 BCh=526，21BC=5，h=13.设 M 点的横坐标为
11、x，依题意得 =13，3x21解得 x= ，则点 M 的坐标为（ ，13）或（ ，13）；2199219（3） 当点 N 在线段 AE 上时，如解图，有DDt，OD 5 t，D（5t ，0），N（5t ， t+ ），过点 A 作217AHND，垂足为 H，第 3 题解图AHx 轴，NH t+ 3 t+ ，21721M（0，1），OM1，BM ，5sinMBO ，AHx 轴，NAHMBO，sinNAH ，51 ，NAHNA （ t+ ），521NA ND，8 （ t+ ） （ t+ ），52185217解得 t ，71BP 的解析式为 yx2，x J ，y J ，60J（ ， ），7M（ ，-
12、），1MJ ，30同理：IP ，29SS 梯形 +SIPA （MJ+IP）|x PxM|+ IP|xAxM| （ + ）121217309（1 ）+ （41） ，769873当点 N 在 AB 上时，同理可得 S （2+ ） + （1+ ）（ 1） 23523067综上所述，S 的值为 或 .98761类型三 与特殊三角形有关的问题4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2+x+2 与 x 轴交于 A、B两点，交 y 轴于点 C.（1）求线段 AC 的长度；（2）P 为线段 BC 上方抛物线上的任意一点，点 E 为（0，1），一动点 Q 从点 P 出发运动到 y 轴上的点 G，再沿 y 轴
13、运动到点E当四边形 ABPC 的面积最大时，求 PG+ GE 的最小值；2（3）将线段 AB 沿 x 轴向右平移，设平移后的线段为 AB，直至 AP 平行于 y 轴（点 P 为第（2）问中符合题意的 P 点），连接直线 CB将AOC 绕着点 O 顺时针旋转，设旋转后 A、C 的对应点分别为 A、C，在旋转过程中直线 AC与 y 轴交于点 M，与线段 CB交于点 N当CMN 是以 MN 为腰的等腰三角形时，求 CM 的长度图 图 第 4 题图解：（1）令 y0，得 x2 或- ，令 x0，得 y2 ，2A（ ， 0），B （2 ，0），C（0，2 ），2AC ，1直线 BC 的解析式为 yx+2
14、 ；（2）如解图，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H，第 4 题解图设点 P 的横坐标为 m，则 P（m， m2+m+2 ），H（m ， m+2 ），2PH= m2+m+2 -（ m+2 ）= m2+2m.S 四边形 ABPCS ABC+SPBC，S ABC 是个常量，四边形 ABPC 的面积最大时，只需 SPBC 最大即可，SPBC PHxB- m2+2 m=-（m- ） 2+2，21当 m 时，S PBC 取得最大值 2，此时 P（ ，2 ），过点 E 作 REGR，使 RE 与 y 轴夹角为 45，则 GR GE，则 PG+ GEPG+GR，2当 P、 G、R 三点共线时，
15、PG+ GE 有最小值，2易得直线 ER 的方程为 y x1，则直线 PR 的解析式为 yx+ ，联立 ，2xy1解得 ，21yR（ ， ），则 PR ，26即 PG+ GE 的最小值为 ；2（3） 当 MNCM 时，如解图，过点 C 作 CHMN 于点 H，第 4 题解图设 MNCMa，CHx，tanMCN 2，CAB由勾股定理得，a 2x 2+（a x） 2，解得 x a，154则 tanCMH tan M ，HC34在 M 中， M COCM2 a， ，A A2tan 2，过点 O 作 K C，则 K sinA ，AM ，A5105则 CM2 ；5当 MNCN 时，如解图 ，过点 N 作
16、 NSCM 于点 S，第 4 题解图设点 N 的横坐标为 n，tanMCN = 2，CS n，CM n，CABSN21M MCCCMC MA， A M2 n ，CMn ；2综上所述，CM 的长度为 2 或 525. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 x 与 y 轴交9313于点 A，点 B 在第一象限抛物线上，直线 y xb 与 x 轴交于点 C，33与 y 轴交于点 A，点 D 在 x 轴上，BD6，ODB120，连接 OB、CB.（1）求点 A、C 两点的坐标；（2）如图，设点 E 是第一象限 OB 上方抛线线上一动点，过点 E 作EFy 轴交 OB 于点 F，过点 E 在 EF
17、 的右侧作FEGBOD，交 OB 于点G，求EFG 周长的最大值；（3）如图，将直线 AC 沿 x 轴向右平移，平移过程中直线 AC 交直线BC 于点 H，交 x 轴于点 K，在平移过程中，是否存在某一时刻，使KDH为等腰三角形？若存在，求出平移后点 C 的对应点 K 的坐标；若不存在，请说明理由第 5 题图 备用图解：（1）当 x0 时， y ，3A(0， )，3将 A(0， )代入 y xb 中，得 b ，333 3y x ，33 3当 y0 时， x3，C(3，0)；（2）如解图，延长 EF 交 x 轴于点 M，过点 B 作 BQx 轴于点 Q，第 5 题解图ODB120，BDQ60，B
18、D6，BQ3 ，DQ3，3B 点的纵坐标为 3 ，3代入抛物线解析式可求得 B 点的横坐标为 9，B(9，3 )，3直线 OB 的解析式为 y x，33BOD30，EFy 轴，EMx 轴，FEGBOD ，EFGOFM，EG EF，FG EF，32 12CEFGEFEGFG EF，3 32设 E(m， m2 m )，F(m， m)，39 1139 3 33EF yEy F m2 m m (m4) 2 ，39 1139 3 33 39 2539当 m4 时， CEFG 最大 ( ) ;2539 3 32 25（1 3）6（3）存在，设 DKa，AO ，OC3，3ACOHKO30.当 DHDKa 时
19、，如解图，过点 H 作 HNCD 于点 N，第 5 题解图DHKDKH30 ，HDN60，ND a，HN a， CN3 a，12 32 12 ，解得 a2，CRHN32a3 a2 336K(8，0)；当 KH KDa 时，如解图 ，过点 H 作 HRDK 于点 R，则 HR a，KR a，DRa a，12 32 32 ，解得 a ，K( ，0)；CRHN12a3 a 32a 336 36 30313 114 30313当点 K 在点 D 左边时，设 DKKHa，同理可得 ，2a3 a 3a 336解得 a ，K ( ，0)，213 946 1053 4546第 5 题解图HDK HKD，HD
20、HK 不存在综上所述，满足要求的 K 点坐标为(8，0)、( ，0) 或114 30313（ ，0）465316. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 x+3 与 x 轴交于点63413A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，过点 C 作 CDx轴，且交抛物线于点 D，连接 AD，交 y 轴于点 E，连接 AC（1）求 SABD 的值；（2）如图，若点 P 是直线 AD 下方抛物线上一动点，过点 P 作 PFy 轴交直线 AD 于点 F，作 PGAC 交直线 AD 于点 G，当 PGF 的周长最大时，在线段 DE 上取一点 Q，当 PQ+ QE 的值最小时，求此
21、时53PQ+ QE 的值；53（3）如图，M 是 BC 的中点，以 CM 为斜边作直角CMN ，使 CNx 轴，MNy 轴，将CMN 沿 CB 平移，记平移后的三角形为 ，当点 NMC落在 x 轴上即停止运动，将此时的 绕点 逆时针旋转（旋转度NMC数不超过 180），旋转过程中直线 与直线 CA 交于点 S，与 y 轴交于点 T，与 x 轴交于点 W，请问CST 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的 W 的长度；若不能，请说明理由N图 图 图第 6 题图解：（1）令 y0，则 2 x233x+36 0，33解得 x 或 4 23A（ ， 0），B （4 ，0），C（0，3 ），3C
22、DAB，SABDS ABC ABOC 3 ;21213545（2）如解图中，第 6 题解图设 P（ m， m2 m+3 ）63413A（ ， 0），D （ ，3 ），2直线 AD 的解析式为 y x ，489PFy 轴，F（m， m ），4389PGAC，PGF 的形状不变，PF 的值最大时， PFG 的周长最大，PF m （ m2 m+3 ） m2+ m ，4389634136783当 m 时，PF 的值最大，此时 P（ ， ），a2b7 21作 P 关于直线 DE 的对称点 ，连接 Q，PQ，作 ENx 轴，QMEN 于PM，QEMEAO， ，QEMAO53QM QE，PQ+ EQPQ +
23、QM +QM，53QP当 P、Q、M 共线时， PQ+ EQ 的值最小，53易知直线 PP的解析式为 y x+ ，462由 ，可得 G（ ， ），839x4y625501739PGGP，P（ ， ），507931PM + ，820637PQ+ EQ 的最小值为 （3） 如解图 中，当 CSCT 时，作 CK 平分OCA，作 KGAC 于G第 6 题解图易知 KOKG ， ，KAOSC 52OK 3 6 ，5215易证BW OCK ，NtanBW tanOCK ， NWB3615B 2 ，3W 2 +4 N15如解图 中，当 TCTS 时，第 6 题解图易证BW OAC，NtanBWNtan O
24、AC ，NWB23W ，N3如解图 中，当 TSTC 时，延长 B 交直线 AC 于 Q，作 BGAQ 于G，QR AB 于 R第 6 题解图TSTC，TSC TCSACO，TSC+SQ 90， ACO+OAC90，NBQAOACBAQ，BA BQ，AGGQ，设 AQa，则易知 BGa，BQ AB a，25 AQBG ABQR，2121QR a，BR a，5053tanWB tanQBR ，N4NWBW 38如解图 中，当 CSCT 时，第 6 题解图由可知，在 RtBNW 中，tan NBW ，BW3615 2 4 WN153综上所述，满足条件的 WN的长为 2 +4 或 或 或 2 4 1
25、53381537.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y- x2+ x+ 与 x 轴交于A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，对称轴与 x 轴交于点 D（1）求直线 BC 的解析式；（2）如图，点 P 为直线 BC 上方抛物线上一点，连接 PB、PC 当PBC 的面积最大时，在线段 BC 上找一点 E（不与 B、C 重合），使 PE+BE 的值最小，求点 P 的坐标和 PE+ BE 的最小值；21 21（3）如图，点 G 是线段 CB 的中点，将抛物线 y x2+3x+ 沿 x 轴正方向平移得到新抛物线 ， 经过点 D， 的顶点为2 y F在抛物线 的对称轴上，是否存在
26、一点 Q，使得FGQ 为直角三角形？y若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由图 图 图第 7 题图解：（1）当 x0 时， y x2+ x+ ，33点 C 的坐标为（0， ），当 y0 时，有 x2+ x+ 0，33解得 x1 1，x 23，点 B 的坐标为（ 3，0）设直线 BC 的解析式为 ykx+b（k0），将 B（ 3，0）、C（0， ）代入 ykx+b，得：，解得： ，bk3bk直线 BC 的解析式为 y x+ ；（2）如解图中，过点 P 作 PMx 轴于点 M，交直线 BC 于点 F作ENx 轴，第 7 题解图设 P（ a， a2+ a+ ），则 F（a， a+ ），
27、333PF a2+ a ,SPBC PF3 a2+ a ,13当 a 时，S PBC 最大 ,23P（ ， ），45直线 BC 的解析式为 y x+ 3CBO30 ，EN x 轴，EN BE，21PE+ BEPE+EN ，根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当 P，E，N 三点共线且垂直于x 轴时，PE+ BE 值最小21PE+ BEPE+ENPM ；435（3）存在，点 Q 坐标为(3, ),(3,- ),25D 是对称轴 x1 与 x 轴的交点，G 是 BC 的中点，D（ 1，0）， G（ ， ），23直线 DG 解析式 y x ，抛物线 y x2+ x+ （x1） 2+ 沿 x 轴正方向
28、平移得到新3334抛物线 ， 经过点 D,y= （x 3） 2+ ，43F（3， ），对称轴为 x3,FGQ 为直角三角形 ,FGQ90或 FQG90，GFQ90（不合题意，舍去）当FQG90，则 QGx 轴；Q（ 3， ）；2当FGQ90，设点 Q 坐标（3，y）,FQ2FG 2+GQ2,（ y） 2（3 ） 2+（ ） 2+（3 ） 2+（ y） 24343y ，5Q（ 3， ），2综上所述：Q 的坐标可能为（3， ）或（3， ）.25328.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y- x2+ x+2 与 x 轴交于34A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，点 D 抛物
29、线的顶点（1）求直线 BD 的解析式；（2）抛物线对称轴交 x 轴于点 E，P 为抛物线上一动点，过点 P 作PFBD 于点 F，当线段 PF 的长最大时，连接 PE，过点 E 作射线 EM，且 EMEP，点 G 为射线 EM 上一动点（点 G 不与点 E 重合），连接PG，H 为 PG 中点，连接 AH，求 AH 的最小值；（3）如图，平移抛物线，使抛物线的顶点 D 在射线 BD 上移动，点B，D 平移后的对应点分别为点 B，D，y 轴上有一动点 M，连接MB，MD ， MBD是否能为等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的 M 点的坐标；若不能，请说明理由图 图 图第 8 题图解：（1）
30、对于抛物线 y x2+ x+2 ，34令 y0，得 x2+ x+2 0，解得 x 或 3 ，342A（ ， 0），B（3 ，0），y x2+ x+2 （x ） 2+ 43238D（ ， ），38设直线 BD 的解析式为 ykx+b (k0)，则有 ，0bk238解得 ，243bk直线 BD 的解析式为 y x+4 ； 342（2）如解图中，设 P（m， m2+ m+2 ），连接 PD、PB，作34PQOB 于 Q第 8 题解图要求 PF 的最大值，易知当PBD 面积最大时，PF 的值最大，SPBDS PDE+SPEBSEDB， （m ）+ 2 （ m2+ m+2 ） 2 21382123421
31、328 （m ） 2+ ，34 0，3m 2 时， PBD 的面积最大， PF 的值最大，此时 P（2 ，2 ），易知点 H 的运动轨迹是线段 PE 的垂直平分线，当 AH 垂直 PE 的垂直平分线时，AH 的值最小，设 AH 交 EM 于 K，在 RtEPQ 中，PE ，2PQE2210由AKEEQP ，得到 ，PAEQKAK ，5102易知 HKNE PE ，210AHAK+KH ；109（3）如解图中，作 MNBD 于 N第 8 题解图B（3 ， 0），D （ ， ），223BD ，23810当 MNBD 时，存在MBD 为等腰直角三角形（只要 D或 B与 N 重合即可），直线 BD 的
32、解析式为 y x+4 ，直线 BD 与 y 轴的交点 H（0，4 ），342 2HMNDBE， ，BEMNDH ，2310HM ，95OMHMOH 4 ，02912M（0， ），9142点 M 关于 H 的对称点 M也满足条件，此时 M（0， ），9286当 M是 HM 的中点时，M是等腰三角形MBD的直角顶点，此时 M（0， ），921综上所述，满足条件的点 M 的坐标为（0， ）或（0， ）或9142921（0， ）9286类型四 与特殊四边形有关的问题9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 x3 与 x 轴相交于 A、B 两84点（点 A 在点 B 的左侧），过点 A 的直线交 y 轴于点 D，且tanDAO 43（1）求直线 AD 的解析式；（2）如图，若点 P 是抛物线上第四象限的一个动点，过点 P 作直线PFx 轴于点 P，直线 PF 交 AD 于 E；过点 P 作 PGAD 于 G，PG 交 x轴于点 H，当PGE 的周长取得最大值时，求点 P 的坐标及四边形GEFH 的面积；（3）如图，在（2）的条件下，当PGE 的周长取得最大值时 P 停止运动，连接 PA 交直线 CB 于 Q，将直线 AD 绕点 Q 旋转，旋转后的直线 l与直线 AD 相交于点 M，与直线 CB 相交于点 N，当四边形 QDMN 为平行四边形时，求点 M 的坐标