1、几何综合题类型一 与函数结合的证明与计算1. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，AB2， ABC120，动点 P 在线段 BD 上从点 B 向点 D 运动，PEAB 于点 E，四边形 PEBF 关于 BD 对称，四边形 QGDH 与四边形PEBF 关于 AC 对称设菱形 ABCD 被这两个四边形盖住部分的面积为S1，BPx：(1)对角线 AC 的长为_ ；S 菱形 ABCD_；(2)用含 x 的代数式表示 S1；(3)若点 P 在移动过程中满足 S1 S 菱形 ABCD时，求 x 的值12第 1 题图解：(1)2 ；2 ；【解法提示】菱形 ABCD 的对角线 AC，BD
2、相交于点3 3O，AB2， ABC120，AOB 90 ，ABO 60，AOABsin60 ，BOABcos601，AC2AO2 ，BD 2BO2，S 菱形3 3ABCD 2 ，2322 3(2)由题意可得ABO60，BP x，PEB90，BEBPcos60 ，PEBPsin60 ，x23x2当 0x 1 时，S 1 4 ，12x 3x223x22当 1x2 时，S1 4 x2 ，12x3x222（x 1）2 33（x 1）23643x3233综上所述，S 1 ；3x22 0 x1 3x26 43x3 233 1 x2)(3)菱形的面积是 2 ，3令 x2 ，解得 x1 1(舍去)，32 3
3、2x2 (舍去 )，2令 x2 x ，解得 x14 2(舍去)，x 24 ，36433233 3 6 6即若点 P 在移动过程中满足 S1 S 菱形 ABCD时，x 的值是 4 .12 62. 如图，在 ABC 中，ACBC，ACB 90，点 P 是线段 BC 延长线上任意一点，以 AP 为直角边作等腰直角APD，且APD90，连接 BD.(1)求证： ；ACAPABAD(2)在点 P 运动过程中，试问PBD 的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势；(3)已知 AB ，设 CPx ，S PBDS.2试求 S 关于 x 的函数表达式；当 S 时，求 BPD 的外接圆
4、半径38第 2 题图(1)证明：如解图，设 AD 与 PB 交于点 K.CABC，ACB 90，ABC45 ，PAPD，APD90，PDKPAD ABK45，AKB DKP，AKBPKD， ，AKPKBKDK ，AKP BKD，AKKBPKDKAKPBKD，BDKAPK，PAKDBK45，ABD ABK DBK90，ABD ACP，ADBAPC，ABDACP， ；ACAPABAD(2)解： PBD 的度数是定值，恒为 45.理由：由(1)可知 AKPBKD，PAKDBK45 ，在点 P 运动过程中，PBD 的度数是定值，且PBD 45(3)解： 在 RtABC 中，AB ，2BCAC1，在 R
5、tACP 中，PA ，AC2 PC2 1 x2ABDACP， ，ACABPCBD ，12 xBDBD x，2SS ABDS APDS ABP x (1x)1 x2 x.1222121 x21 x2121212如解图，取 AD 的中点 O，连接 OB、OP.第 2 题解图ABD APD90 ，OBOAOPOD，点 O 是PBD 的外接圆的圆心，S ，38 x2 x ，121238解得 x 或 (舍去 )，1232PC ，12由(2)可知 BD x，2BD ，22在 RtABD 中，AD ，AB2 BD2（2）2 （22）2 102OD AD ，12104PBD 的外接圆的半径为 .1043. 如
6、图 ，点 P 在 MON 的平分线上，且 OP2，以 P 为顶点作APB, 与MON 的两边分别交于点 A、B，其中APB 绕点 P 旋转时，始终满足OAOBOP 2.(1)已知 MON，求APB 的度数(用含 的代数式表示)；(2)如图 ，若MON90，求出四边形 OAPB 面积的最小值第 3 题图解：(1) OAOBOP 2， ，OAOPOPOBOP 平分MON，AOP POB，AOPPOB，PAO BPO，APBAPOBPOAPOPAO，在APO 中，由三角形内角和定理得：APO PAO180AOP，MON ， AOP ，12APB180 ；12(2)( )2AO2 BO0，AO BO
7、AOBOAOBO2 2 4，AOBO OP2第 3 题解图如解图，过点 P 作 PGOM、PHON，垂足分别为 G、H，MON 90，OP 平分MON，PGPH，POH45，S 四边形 APBOS APOS POB OAPG OBPH (OAOB )PH，121212S 四边形 APBO 4PH2PH，12OP 平分MON，MON90，又PHO90，PO 2，PHOH ， 2S 四边形 APBO2 ，2即四边形 APBO 面积的最小值为 2 .24. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1， P 是对角线 AC 上任意一点，E为 AD 上的点，且EPB90，PMAD， PNAB.(1)求证：
8、四边形 PMAN 是正方形；(2)求证： EMBN；(3)若点 P 在线段 AC 上移动，其他不变，设 PCx，AEy，求 y 关于 x的解析式，并写出自变量 x 的取值范围第 4 题图(1)证明： 四边形 ABCD 是正方形，BAD90，AC 平分BAD，PMAD，PNAB，PMPN，PMAPNA 90，四边形 PMAN 是矩形，PMPN，四边形 PMAN 是正方形；(2)证明： 四边形 PMAN 是正方形，PMPN，MPN 90，EPB90，MPENPB，在EPM 和BPN 中，PME PNBPM PNMPE NPB)EPMBPN(ASA)，EMBN；(3)解：如解图，过 P 作 PFBC
9、 于 F，第 4 题解图四边形 ABCD 是正方形，ABC90 ，ABBC1，PCF45，AC ，PCF 是等腰直角三角形，12 12 2APAC PC x，BNPF x，222EMBN x，22PAM45，PMA90，APM 是等腰直角三角形，AP AM (AEEM)，2 2即 x (y x)，2 222解得 y1 x，2x 的取值范围为 0x ，22y1 x(0x )2225. 在ABC 中， BAC90，ABAC10 ，直线 MN 过点 A 且2MNBC，以点 B 为一锐角顶点作 RtBDE， BDE90，且点 D 在直线MN 上(不与点 A 重合 )，如图，DE 与 AC 交于点 P，
10、设BD x，DPBCy，cosADPz.(1)小强同学通过几何画板画图及测量得到以下近似数据：x 25 30 35 40y 45 50 55 60z 0.4 0.33 0.29 0.25猜想 y 关于 x 的函数表达式， z 关于 x 的函数表达式，并给出证明；(2)如图 ，DE 与 CA 的延长线交于点 P，以上 y 关于 x 的函数表达式仍成立吗？请证明；(3)如图 ，DE 与 AC 的延长线交于点 P，BD 与 AP 交于点 Q，若此时xBD20 ，求 SABQ的值2第 5 题图解：(1) y 关于 x 的函数表达式为 yx 20，z 关于 x 的函数表达式为z ，10x证明：如解图，过
11、点 D 作 DFAD 交 AB 于点 F，交 BC 于点 G，ADBC， ABC45，BAD AFD45 ，ADF 是等腰直角三角形， ADDF，DAP 4590135，DFB18045135 ，BDP ADF90 ，ADP FDB，在ADP 和FDB 中，ADP FDBAD FDDAP DFB)ADPFDB，DPBDx，ABAC 10 ， BAC90，BC 20，2 AB2 AC2yx20 ，ADBC， DG AB 10 10，2222 2在 RtBDG 中，cos BDG ，DGDB10xADP BDG，zcos ADPcos BDG ；10x第 5 题解图(2)y 关于 x 的函数表达式
12、仍然成立，第 5 题解图如解图 ，过点 D 作 DFMN，交 AB 延长线于点 F，由(1)知BAD45， AFD45，DADF，FDB BDA90 ，BDAADP90，FDB ADP，DAP90BAD 45 ，在ADP 和FDB 中，DAP DFBDA DFADP FDB)ADPFDB，DPBDx，BC20，yx20 成立；第 5 题解图(3)如解图 ，过点 B 作 BTMN 于点 T，MNBC， ABC45，TABABC45，AB10 ，2ATBT 10，BD20 ，2在 RtBTD 中，DT 10 ，BD2 BT2 7MNBC，AQDCQB， ，AQQCADBC ，AQAC AQ DT
13、ATBC ，AQ102 AQ 107 1020解得 AQ ，402 10143SABQ ABAQ 10 .1212 2402 10143 400 10073类型二 几何图形中的证明与计算1. 如图，在矩形 ABCD 中，AD6，DC8，菱形 EFGH 的三个顶点E，G，H 分别在矩形 ABCD 的边 AB，CD ，DA 上，AH 2，连接 CF.(1)若 DG2，求证：四边形 EFGH 为正方形；(2)若 DG6，求 FCG 的面积第 1 题图(1)证明： 四边形 EFGH 为菱形，HG EH，AH2，DG2，DG AH，在 RtDHG 和 RtAEH 中，HG EHDG AH)RtDHGRt
14、AEH，DHGAEH，AEH AHE90 ，DHGAHE90，GHE90，四边形 EFGH 为正方形；(2)解：如解图，过点 F 作 FQCD 交 DC 的延长线于 Q，连接 GE，第 1 题解图四边形 ABCD 为矩形，ABCD，AEG QGE，即AEHHEGQGFFGE，四边形 EFGH 为菱形，HEGF，HEGF ，HEGFGE ，AEH QGF，在AEH 和QGF 中，A QAEH QGFHE FG )AEHQGF，AHQF2，DG 6， CD8，CG2，SFCG CGFQ 222.12122. 如图，已知 ABC 中，ABAC，CD 平分ACB 交 AB 于 D，延长 AC到 E，使
15、得 CEBD ，连接 DE 交 BC 于 F. (1)求证： CE2CF；(2)当A 60，AB 6，将CEF 绕点 C 逆时针旋转角 (0360)，得到CEF ，当点 F恰好落在直线 AC 上，连接 BE，求此时 BE的长第 2 题图(1)证明：如解图 ，过 D 作 DGBC 交 AC 于 G，CD 平分ACB，ACD BCD，DGBC， GDC BCD，GDC GCD，第 2 题解图DG GC.ABAC ， B ACB，DGBC，ADGB ，AGD ACB，ADGAGD ，ADAG，BDCG ，CEBD，CGCE ，DGBC， CF 是 EDG 的中位线，DG 2CF，CECGDG2CF
16、；(2)解： 当点 F 旋转到线段 AC 上点 F处时，如解图所示，FCE FCE120，ACD30，DCE90 CDB，ABCE，BDCECE，四边形 BDCE是矩形，BE CD AB 63 ；3232 3第 2 题解图当点 F 旋转到线段 AC 的延长线上的点 F处时，如解图，连接AE，易得四边形 ADCE是矩形，AE DC3 ，EAC30，BAE90，3在 RtABE中，由勾股定理得 BE 3AB2 AE2 62 （33）2. 73. 如图，在ABCD 中，ACCD，点 E 在射线 CB 上，点 F 在射线 DC 上，且EAF B.(1)当BAD 135时，若点 E 在线段 CB 上，点
17、 F 在线段 DC 上，求证：BE DFAD ；22(2)当BAD 120时，若点 E 在线段 CB 上，点 F 在线段 DC 上，求AD、 BE、DF 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；(3)当BAD 120时，连接 EF，直线 AF 与直线 BC 交于点 Q，当AB3，BE2 时，请分别求出 EQ 和 EF 的长第 3 题图(1)证明： BAD135，且BAC 90，CAD45，即ABC、 ADC 都是等腰直角三角形；AD AC，且DACB 45；2又EAC DAF45FAC ，AECAFD， ，即 EC FD；AEAFECFDACAD1222BCBE DF，即 BE DFAD；222
18、2(2)解： 2BEDF AD；理由如下：如解图 ，取 BC 的中点 G，连接 AG；第 3 题解图易知：DAC BCA30，BD60；在 RtABC 中，G 是斜边 BC 的中点，则：AGE60，ADBC2AG ；GADAGE 60EAF，EAG FAD60 GAF；又AGE D60，AGEADF，得： ；AGADEGFD12即 FD2EG；BC2BG2( BEEG)2BE2EG2BEDF，即 AD2BEDF；(3)解：在 RtABC 中，ACB30 ，AB 3，则 BCAD 6，EC4.当点 E、F 分别在线段 BC、CD 上时，如解图 ，过 F 作 FHBQ于 H；同(2)可知：DF 2
19、EG2，CFCD DF1；在 RtCFH 中，FCH60，CH ，FH ；12 32易知：ADFQCF，由 DF2CF，可得 CQ AD3；12EQECCQ437；在 RtEFH 中，EH ECCH ，FH ；9232由勾股定理可求得：EF ；21当点 E、F 分别在 CB、DC 的延长线上时，如解图 ；分别过点 A、F 作 BC 的垂线，垂足分别为 M、N ，EAFGAD60，EAG FAD60 FAG，又EGA D60，EAGFAD，得： ；EGFDAGAD12即 FD2EG10，FC 10CD7；在 RtFCN 中， FCN60 ，易求得 FN ，NC ，GN ； 7327212在等边A
20、BG 中，AMBG，易求得AM ，MG ，MNMGGN1；33232由AMQFNQ，得： ，即 QN ，MQ ；AMFNMQNQ37710310EQ EBBM MQ2 ；32310195由勾股定理得 EF ； 57综上可知：EQ7 或 ，EF 或 .195 21 57图 图第 3 题解图4. 如图 ，已知 ACB 和DCE 为等边三角形，点 A，D，E 在同一条直线上，连接 BE.(1)求证： ADBE；(2)求AEB 的度数；(3)如图 ，若ACB 和 DCE 为等腰三角形，且ACBDCE90，点A，D，E 在同一条直线上，CMDE 于点 M，连接 BE.计算AEB 的度数；写出线段 CM，
21、AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由图 图第 4 题图(1)证明： ACB 和DCE 均为等边三角形，CACB，CDCE，ACB DCE60.ACDBCE，在ACD 和 BCE 中，AC BCACD BCECD CE )ACDBCE(SAS)，ADBE. (2)ACDBCEADCBEC. DCE 为等边三角形，CDECED60. 点 A，D， E 在同一条直线上，ADC120，BEC120 ，AEBBEC CED60. (3)如解图，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，且ACBDCE90，CACB，CDCE，ACDACB DCB DCEDCBBCE，在ACD 和 BCE 中，CA CBA
22、CD BCECD CE )ACDBCE(SAS)，ADBE，ADCBEC.DCE 为等腰直角三角形，CDECED45.点 A，D， E 在同一直线上，ADC135，BEC135 ，AEBBEC CED90，第 4 题解图CDCE，CMDE 于 M，DM ME，DCE90，DM MECM，AEADDEBE2CM.5. 如图，在ABC 中， ABC90，ABBC ，点 P 是 AC 上的一个动点(点 P 与 A、C 不重合)，连接 BP，分别过点 B、C 作 BP、AC 的垂线BQ、 CQ，两垂线交于点 Q，连接 QP，交 BC 于点 E.(1)求证： CQAP ；(2)求证： CPBCEQ；(3
23、)若 AB2 ，在点 P 的运动过程中，是否存在一点 P，使得2CE BC？若存在，请求出ABP 的面积，若不存在，请说明理由38第 5 题图(1)证明： 在 ABC 中， ABC90，AB BC，A ACB45 ，BQBP, CQAC，QCBA45，ABPPBC QBCPBC 90，ABP QBC.又BA BC，BAPBCQ(ASA). CQAP；(2)证明：由(1) 得， QCBACB 45，又PCQ PBQ 180，P、C、Q、B 四点共圆，CQPPBC，CPBCEQ；(3)解：存在理由如下：由 CE BC，可得 CE BC AB ，383838324由勾股定理可得，AC 4；AB2 BC2设 APCQx，则 PC4x ，由(2)得 CPBCEQ， ，即 ，CPCE BCCQ4 x324 22x可得 x24x30，