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江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题含附加题(有答案解析)

1、江苏省南通市 2019 届高三适应性考试数学参考公式:球体体积公式: ( 为球的半径).34=rV球 p样本数据 的方差 其中 12nxxL, , , 221()niisx, 1nix一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上1. 已知集合 , ,则集合 = 1357A, , , 013B, , AB2. 若 ,其中 为虚数单位, ,则 的值为 i=ab+-iabR, a3. 已知一组数据 7,8,11,14,15,则该组数据的方差为 4. 一个算法的流程图如图所示,则输出的 的值为 5. 函数 的定义域为 2()ln4)

2、fx=-6. 一根绳子长为 5 米,若将其任意剪为两段,则剪成的两段绳子的长度有一段大于 3 米的概率为 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 210xya( ) 的离心率为 ,则该双曲线的焦距为 238. 某长方体的长、宽、高分别为 2 cm,2 cm,4 cm,则该长方体的体积与其外接球的体积之比为 9. 已知等差数列 满足 ,且 , , 成等比数列,则 的所有值为 na41a243a10 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O1: 与圆 O2: 的9xy240xy公共弦的长为 11 若函数 存在零点,且与函数 的零点完全相同,则实数2()()fxaR()fxa 的值为 12 如图,在

3、直角ABC 中, , ,90ACB60AC以 为直径向ABC 外作半圆,点 在半圆弧4ABCP上,且满足 ,则 的值为 =6P13. 在 中,已知 AB 边上的中线 CM ,且AB1输出 a10na,4结束(第 4 题)开始 3a1nNY成等差数列,则11tanttanACB, , AB的长为 14. 已知函数 ,若存在实数 使得 ,则 a+2b 的最大值()e1xf=-()ab, ()aff=为 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 (本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 ABCD 中,ABBC, , BE

4、AC,点 F42ABC=是 的中点, , CD3EF=5B求证:(1)EF 平面 ABD; (2)平面 ABC平面 ADC16 (本小题满分 14 分)在 中,已知 AB = 2 , , ABC2cos10B4Cp=(1 )求 的长;(2 )求 的值sin(2)3p+17 (本小题满分 14 分)如图所示,现有一张边长为 10 cm 的正三角形纸片 ABC,在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形 ADA1F1,BD 1B1E,CE 1C1F(剪去的四边形均有一组对角为直角) ,然后把三个矩形 A1B1D1D,B 1C1E1E,A 1C1FF1 折起,构成一个以 A1B1C1 为底面的无

5、盖正三棱柱(1 )若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为 3,求该三棱柱的高;(2 )求所折成的正三棱柱的体积的最大值18 (本小题满分 16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 经过2:1yxCab=(0)点 .设椭圆 C 的左顶点为 A,右焦点为 ,右准线与 x 轴交于点 ,且 F 为线段 AM 的中点.312( , ) FM(1 )求椭圆 C 的标准方程;(2 )若过点 A 的直线 与椭圆 C 相交于另一点 P(P 在 轴上方) ,直线 PF 与椭圆 C 相交于另l x一点 Q,且直线 与 垂直,求直线 的斜率.OQ19 (本小题满分 16 分)设函数 ,其中 e 为自然对

6、数的底数()eln()xfa=-R(1 )当 时,判断函数 的单调性;0a2lnfa-20 (本小题满分 16 分)定义:从数列 中抽取 项按其在 中的次序排列形成一个新数列na(3)mN, na,则称 为 的子数列;若 成等差(或等比) ,则称 为 的等差(或nb nbnbna等比)子数列(1 ) 记数列 的前 项和为 ,已知 nanS21n 求数列 的通项公式; 数列 是否存在等差子数列,若存在,求出等差子数列;若不存在,请na说明理由(2 ) 已知数列 的通项公式为 ,证明: 存在等比子数列nna+()Qna2019 届高三适应性考试数学( 附加题)21 【 选做题 】本题包括 A、B、

7、C 三小题,请选定其中两题,并在答题卡相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分)已知 1 是矩阵 的一个特征值,求点( 1,2)在矩阵 对应的变换作用下得102aAA到的点的坐标B 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)已知曲线 C 的极坐标方程为 以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角2sin坐标系,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) 132xty,(1 )求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;(2 )求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长C 选修 45

8、:不等式选讲(本题满分 10 分)已知关于 的不等式 的解集为 ,其中 x20xmn|12xmnR,求证: (1)3(1)45x【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答22 (本小题满分 10 分)已知正四棱锥 的底面边长和高都为 2现从该棱锥的 5 个顶点中PABCD随机选取 3 个点构成三角形,设随机变量 表示所得三角形的面积X(1)求概率 的值 ;(2)PX(2)求随机变量 的概率分布及其数学期望 ()E23 (本小题满分 10 分) 已知抛物线 C: 的焦点为 F,过 F 且斜率为 的直线 与2ypx(0)43l抛物线 C 交于 A,

9、B 两点,B 在 x 轴的上方,且点 B 的横坐标为 4(1 ) 求抛物线 C 的标准方程;(2 ) 设点 P 为抛物线 C 上异于 A,B 的点,直线 PA 与 PB 分别交抛物线 C 的准线于 E,G 两点,x 轴与准线的交点为 H,求证:HG HE 为定值,并求出定值南通市 2019 届高三适应性考试数学试题 解析解析为学科网调研员所做,请下载自用,但不要盗用本解析再上传到本网站或其它网站!全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分 160 分,考试时间 120 分钟) ,第二部分为选修物理考生的加试部分(满分 40 分,考试时间 30 分钟) 注意事项:1 答卷前,请考生务必将自己

10、的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方2第一部分试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效3选修物理的考生在第一部分考试结束后,将答卷交回,再参加加试部分的考试一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分1、 已知集合 , ,则集合 = 1357A, , , 013B, , AB【答案】 ,【考点】集合的运算。【解析】取公共部分,得 。AB13,2、 若 ,其中 为虚数单位, ,则 的值为 i=1ab+-iabR, a【答案】-2【考点】复数的运算。【解析】 ,(1)i=i()=122aabbi+-所以 ,120ab解得: 1a所以, 2b3、 已知一组数据 7,

11、8 ,11,14,15,则该组数据的方差为 【答案】10【考点】方差的计算。【解析】数据的平均数为: ,1(78145)5x方差为: 21(6906)05s4、 一个算法的流程图如图所示,则输出的 的值为 a【答案】9【考点】程序框图。【解析】第 1 步:n14 成立,aa33,nn12;第 2 步:n24 成立,aa36,nn13;第 3 步:n34 成立,aa39,nn14;第 4 步:n44 不成立,退出循环。所以,a9。5、 函数 的定义域为 2()l)fx=-【答案】 (2),-【考点】函数的定义域,一元二次不等式,对数函数的定义。【解析】依题意,得: 0,24x解得: ,所以,定义

12、域为 。2x(2),-6、 一根绳子长为 5 米,若将其任意剪为两段,则剪成的两段绳子的长度有一段大于 3 米的概率为 【答案】 45【考点】几何概型。【解析】如下图,在 A、C 之间任意一点剪开,或在 BD 之间任意一点剪开,都可以满足有一段大于 3 米,所以,所求的概率为:P 。245+=7、 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 的离心率为 ,则该双曲线的焦距为 210xya( ) 23【答案】 4【考点】双曲线的性质。【解析】双曲线中,b1,又 c ,2a+离心率为: ,213e即: ,229a所以, ,c 231a+所以,双曲线的焦距为 48. 某长方体的长、宽、高分别为 2 cm,

13、2 cm,4 cm,则该长方体的体积与其外接球的体积之比为 【答案】 6: 3p【考点】球的体积,长方体的外接球。【解析】长方体的体积为:V122416,长方体外接球的直径为:2R ,246+=外接球的体积为:V2 ,34()8长方体的体积与其外接球的体积之比为: 。1236V9、 已知等差数列 满足 ,且 , , 成等比数列,则 的所有值为 na41a243a【答案】3,4【考点】等差数列,等比数列。【解析】因为 , , 成等比数列,1a24所以, ,24即 ,11()(3)add化简,得: ,0a作所以, 或 ,413d413ad解得: 或 ,10ad1所以 ,或 ,34312ad所以,

14、的所有值为 3,4。3a10 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O1: 与圆 O2: 的29xy2430xy公共弦的长为 【答案】 125【考点】直线与圆的方程,两圆的公共弦长问题。【解析】由 ,得:29430xy两圆的公共弦所在的直线方程为: ,2xy圆 O1: 的圆心(0,0)到直线 的距离为: ,29xy30|03|5公共弦长为: 。23()5111 若函数 存在零点,且与函数 的零点完全相同,则实数2()()fxaR()fx的值为 a【答案】1【考点】函数的零点。【解析】函数 存在零点,显然 a0,2()1()fxaR所以,04a(a1)0,解得:0a1, ()fx2(1)fa22(1

15、)xa 4 设两函数相同的零点为 ,则0x,即 ,201ax21a,420()0x所以, ,22211()0aa化简,得: ,0解得: 1a12 如图,在直角ABC 中, , , 以 为直径向ABC 外作90ACB60AC4BC半圆,点 在半圆弧 上,且满足 ,则 的值为 PAB=PP【答案】 7【考点】平面向量的坐标运算。【解析】 , , ,90ACB60AC4B所以,AC2,BC2 ,BDC90,3设 BC 为直径的圆交 AB 于 D,则ABC30,以 D 为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则 CD ,BD3,AD1,A(1,0) ,B(3,0) ,C(0, ) ,设 P(x,y) ,3

16、,(3,)=(4,)PxyA,解得:x ,+126 2又 BC 为直角,所以,BPC90,所以, 0,PCBA即 0,3(,)(,2y即 0,解得: ,9432y所以,P( , ) ,32(1, ) ( , )ACP352 529713. 在 中,已知 AB 边上的中线 CM ,且 成等差数列,则 ABC11tanttanACB, , AB的长为 【答案】 23【考点】等差数列的性质,三角恒等变换。【解析】在 中,根据中线长公式 ,得 ABC22abcCM22cab由 成等差数列,11tanttanB, ,得 ,从而2tttA,22sin()sico sininicosicoCABCCcab解

17、得, 23c14、 已知函数 ,若存在实数 使得 ,则 a+2b 的最大值()e1xf=-,()ab()aff=为 【答案】 32ln7【考点】函数的导数及其应用。【解析】,则 ,解得 , ,()fabte1abt-=ln(1)at=-ln(1+)bt所以 2+2ln()l(+)lttt-设 ,则 2()101gttt-312( , )左顶点为 A,右焦点为 ,右准线与 x 轴交于点 ,且 F 为线段 AM 的中点.FM(1 )求椭圆 C 的标准方程;(2 )若过点 A 的直线 与椭圆 C 相交于另一点 P(P 在 轴上方) ,直线 PF 与椭圆 C 相交于另l x一点 Q,且直线 与 垂直,

18、求直线 的斜率.OQ【解】 (1)因为 , , ,且 F 为 AM 的中点(0)Aa, ()Fc,2(0)aMc,所以 ,则 222+-=即 ,所以 2 分()0caac223bac因为点 在椭圆上,312( , )所以 , 4 分294ab+=又因为 ,所以 ,则 , 23c1c=24a223bac=所以椭圆的标准方程为 6 分24xy(2 )由题意直线 AP 的斜率必存在且大于 ,0设直线 AP 的方程为: ,(2)ykx()k代入椭圆方程并化简得: , 222(34)1610kxk因为 ,21634Pkx得 , , 8 分28228()34Pkky当 时,PQ 的斜率不存在,此时 不符合

19、题意 214k 0OQAP当 时,直线 PQ 的方程为: ,2(1)4kyx因为 ,所以直线 OQ 的方程为: , 12 分0OQAP两直线联立解得: ,因为 在椭圆上, 2(4)k, Q所以 ,化简得: ,即 ,421613k=22(3)(610k6k因为 ,所以 , 14 分06此时 .2()3Q,直线 的斜率为 、 16 分P619 (本小题满分 16 分)设函数 ,其中 e 为自然对数的底数()eln()xfa=-R(1 )当 时,判断函数 的单调性;02lnfxa-解:(1) 函数 的定义域为 ()eln()xf=-R(0), +因为 ,所以 ,0a所以 在区间上单调递增 2 分()

20、fx(2) 设切点为 ,则 ,00eln)xa, -00elnexa-=因为 ,所以 ,得 ,()xf=0x-0x所以 4 分00elnexx-=设 ,则 ,g()lxg()1)elnxx-所以当 时, , 单调递增,01当 时, , 单调递减,xg()x()所以 6 分max1e=因为方程 仅有一解 ,00lnx- 01x=所以 8 分e(3) 因为 ,e()xxaf-=-设 ,则 ,所以 单调递增e0)xh()1e0xh=+()hx因为 , , 10 分(0)a-0hxfxf所以 12 分0min0()()elnffa=-因为 ,所以 , , 14 分0exa-0x=0lnxa-所以 16

21、 分0min00()l(l)ln2lxf xa-=+-20 (本小题满分 16 分)定义:从数列 中抽取 项按其在 中的次序排列形成一个新数列na(3)mN, na,则称 为 的子数列;若 成等差(或等比) ,则称 为 的等差(或nb nbnbna等比)子数列(1 ) 记数列 的前 项和为 ,已知 nanS21n 求数列 的通项公式; 数列 是否存在等差子数列,若存在,求出等差子数列;若不存在,请na说明理由(2 ) 已知数列 的通项公式为 ,证明: 存在等比子数列nna+()Qna解:(1) 因为 ,所以当 时, , 21S112当 时, ,所以 n1n 11()()2nnna综上可知: 2

22、 分2na假设从数列 中抽 项 , , 成等差,3kalm()kl-lk-所以 为偶数, 为奇数,所以 不成立2lk12mk21lmk因此,数列 不存在三项等差子数列 6 分na若从数列 中抽 项,其前三项必成等差数列,不成立(,4)N综上可知,数列 不存在等差子数列 8 分na(2) 假设数列 中存在 项 , , 成等比30a0nk0al()k设 ,则 ,故可设 (p 与 q 是互质的正整数) 0nab+Qb则需满足 , 12 分200()()knal即需满足 ,则需满足 bl22kpkbq取 ,则 14 分kq2lkpq此时 ,22()()bq2lqpp故此时 成立2()()bkl因此数列

23、 中存在 项 , , 成等比,na30na0k0nal()k所以数列 存在等比子数列 16 分na数学(附加题)21 【 选做题 】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定两题,并在相应的答题区域内作答已知 1 是矩阵 的一个特征值,求点( 1,2)在矩阵 对应的变换作用下得102a A到的点的坐标【解】因为矩阵 A 的特征多项式为 ,1()()202af a因为 1 是矩阵 的一个特征值,所以 ,()f解得 ,所以矩阵 6 分a=102A因此 13024A所以点(1,2 )在矩阵 对应的变换作用下得到的点为( 3,4) 10 分AB 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)已知

24、曲线 C 的极坐标方程为 以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角2sin坐标系,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) 132xty,(1 )求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;(2 )求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长【解】 (1)因为曲线 C 的极坐标方程可化为 2sin且 , 22sinxy,所以曲线 C 的直角坐标方程为 20xy直线 l: (t 为参数)的普通方程为 6 分132xy 32yx(2)圆心 到 直线 l: 的距离为 ,(01), 32yx213d又因为半径为 1,所以弦长为 10 分21()C 选修 45:不等式选讲(本题满分 10 分)已知

25、关于 的不等式 的解集为 ,其中 x20xmn|12xmnR,求证: (1)3(1)45x【解】因为关于 的不等式 的解集为 ,x20n|12x所以 3 分=1+3=mn,所以 ,()(1)4234xxx由柯西不等式可得, ,222)(1)(3)(4)5x当且仅当 ,即 时取等号234xx6345作所以, 10 分(1)(1)mn【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答22 (本小题满分 10 分)已知正四棱锥 的底面边长和高都为 2现从该棱锥的 5 个顶点中随机PABCD选取 3 个点构成三角形,设随机变量 表示所得三角形的面积X(1)求概

26、率 的值 ;(2)X(2)求随机变量 的概率分布及其数学期望 ()E解:(1)从 5 个顶点中随机选取 3 个点构成三角形,共有 种取法其中 的三角形如ABD,3=10C2X这类三角形共有 个34因此 4 分2105PX(2 )由题意, 的可能取值为 ,2 , 其中 的三角形是侧面,这类三角形共有 4 个;5XCA BDP(第 22 题)(第 23 题)OFHEAPyBGx其中 的三角形有两个,PAC 和PBD2X因此 , 8 分5P125PX所以随机变量 的概率分布列为: 52 2PX15所求数学期望= 10 分()E212+45=523 (本小题满分 10 分)已知抛物线 C: 的焦点为

27、F,过 F 且斜率为 的直线 与抛物线 C 交于 A,B 两2ypx(0)43l点,B 在 x 轴的上方,且点 B 的横坐标为 4(3 ) 求抛物线 C 的标准方程;(4 ) 设点 P 为抛物线 C 上异于 A,B 的点,直线 PA 与 PB 分别交抛物线 C 的准线于 E,G 两点,x 轴与准线的交点为 H,求证:HG HE 为定值,并求出定值【解】 (1)由题意得: ,(0)2pF,因为点 B 的横坐标为 4,且 B 在 x 轴的上方,所以 ,(48)p,因为 的斜率为 ,A3所以 ,整理得: ,842p280p即 ,得 ,()()0抛物线 C 的方程为: 4 分24yx(2)由(1 )得: , ,准线方程 ,()B, (10)F, 1x直线 的方程: ,l3yx由 解得 或 ,于是得 6 分24(1)3yx, 4x1()4A,设 点 , 又 题 意 且 ,()4nP, 1n所 以 直 线 : ,令 ,得 ,A4()yx1x41ny即 , 8 分1nHE同理可得: ,4GHG HE 10 分1n