1、2019 年山东省济宁市微山县中考数学一模试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1（3 分）2019 的相反数是（ ）A2019 B2019 C D2（3 分）下列各式正确的是（ ）A6a 25a 2a 2 B（2a） 22a 2C2（a1）2a+1 D（a+b） 2a 2+b23（3 分）如图，几何体是由 3 个大小完全一样的正方体组成的，在它的三视图中是中心对称图形的是（ ）A主视图 B左视图C俯视图 D左视图和俯视图4（3 分）要调查下列问题，应采用全面调查的是（ ）A检测某城市的空气质量B了解全国初中学生的视
2、力情况C某县引进“优秀人才”招聘，对应聘人员进行面试D调查某池塘里面有多少鱼5（3 分）如图，把一块含有 30角的直角三角板 ABC 的直角顶点放在矩形桌面 CDEF的一个顶点 C 处，桌面的另一个顶点 F 与三角板斜边相交于点 F，如果150，那么AFE 的度数为（ ）A10 B20 C30 D406（3 分）欧几里得的原本记载，形如 x2+axb 2 的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB90，BC ，AC b，再在斜边 AB 上截取 BD 则该方程的一个正根是（ ）AAC 的长 BAD 的长 CBC 的长 DCD 的长7（3 分）如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA 2km
3、，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60的方向，则该船航行的距离（即 AB 的长）为（ ）A2km B km C km D（ +1）km8（3 分）如图所示，已知二次函数 yax 2+bx+c 的图象与 x 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x1直线 yx+c 与抛物线 yax 2+bx+c 交于 C，D 两点，D点在 x 轴下方且横坐标小于 3，则下列结论错误的是（ ）A2a+b+ c0Ba1Cx（ ax+b） a+bD双曲线 y 的两分支分别位于第一、第三象限9（3 分）如图，在半径为 3cm
4、的O 中，点 D 是劣弧 AB 的中点，点 C 是优弧 AB 上一点，C30，下列四个结论：AOB150； AB3 cm；sinABO；四边形 ADBO 是菱形其中正确结论的序号是（ ）A B C D10（3 分）如图，已知菱形 OBAC 的顶 O（0，0），A （2，2），若菱形绕点 O 顺时针旋转，每秒旋转 45，则旋转 30 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为（ ）A（1，1） B（1，1） C（1，0） D（0， ）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.11（3 分）李克强总理在2019 年国务院政府工作报告中指出：“今年经济社会发展的主要预期目标是：国内生产
5、总值增长 6%6.5% ：城镇新增就业 11000000 以上，城镇调查失业率 5.5%左右， ”其中数据 11000000 用科学记数法表示为 12（3 分）若 b2a1，则代数式 4a24ab+b 2 的值是 13（3 分）某种商品的进价为每件 100 元，商场按进价提高 50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于 20%，则至多可以打 折14（3 分）等腰三角形一条边的边长为 3，它的另两条边的边长是关于 x 的一元二次方程x212x +k0 的两个根，则 k 的值是 15（3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC3，点 E 是 DC 边上一点，连接 BE，把C
6、沿 BE 折叠，使点 C 落在点 F 处，当DEF 为直角三角形时，DE 的长为 三、解答题：本大题共 7 题，满分 55 分，解答应写出文字说明、证明过程或推演过程.16（6 分）先化简，再求值：（m +2 ） ，其中 m 是不等式组的最小整数解17（6 分）图是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图是小明锻炼时上半身由 ON 位置运动到与地面垂直的 OM 位置时的示意图已知 AC0.66 米，BD0.26 米，20（参考数据：sin200.342，cos20 0.940，tan200.364）（1）求 AB 的长（精确到 0.01 米）；（2）若测得 ON0.8 米，试计算小明头顶由
7、 N 点运动到 M 点的路径 的长度（结果保留 ）18（7 分）某校开展学生对食堂评价调查，每名学生只能从“优”、“良”、“差”三种选择中一个进行评价，假设这三种评价是等可能的且所有学生都参与了评价学校对学生的评价信息进行了统计，并绘制了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信息解决下面问题：（1）学校共有多少学生参与评价？（2）图 2 中“良”所占扇形圆心角的度数是 ；（3）请将图 1 补充完整；（4）若甲、乙两名学生参与了对食堂的评价，请你用列表格或画树状图的方法求两人中至少有一个给“差”评价的概率19（8 分）某商业集团新进了 40 台空调机，60 台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁
8、店销售，其中 70 台给甲连锁店，30 台给乙连锁店两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：空调机 电冰箱甲连锁店 200 170乙连锁店 160 150设集团调配给甲连锁店 x 台空调机，集团卖出这 100 台电器的总利润为 y（元）（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并求出 x 的取值范围；（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利 a 元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？20（8 分）如图，AB 是 O 的直径，PA，PC 分别与O 相切于点 A，C，PC 交 A
9、B 的延长线于点 D，DEPO 交 PO 的延长线于点 E（1）求证：ODE APD；（2）若 PC6，tanPDA ，求 OE 的长21（9 分）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图 1 的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为 1，则新三角形与原三角形相似观点二：将邻边为 6 和 10 的矩形按图 2 的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为 1，则新矩形与原矩形相似请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由（2）如图 3，已知ABC，AC6，BC 8，AB10，将 ABC 按图 3 的方式向
10、外扩张，得到DEF，它们对应的边间距都为 1，求DEF 的面积22（11 分）如图，抛物线 yax 2+bx+c 经过 O（0，0）， A（1， ），B（3，）三个点（1）求抛物线解析式；（2）若点 P（4，p），Q（ t，q）为该抛物线上的两点，且 qp求 t 的取值范围（3）在线段 AB 上是否存在一点 C（不与点 A，点 B 重合），使点 A，点 B 到直线 OC的距离之和最大？若存在，求BOC 的度数，并直接写出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年山东省济宁市微山县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出
11、的四个选项中，只有一项符合题目要求.1（3 分）2019 的相反数是（ ）A2019 B2019 C D【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案【解答】解：2019 的相反数是2019故选：B【点评】此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键2（3 分）下列各式正确的是（ ）A6a 25a 2a 2 B（2a） 22a 2C2（a1）2a+1 D（a+b） 2a 2+b2【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、单项式乘多项式法则及完全平方公式逐一判断即可得【解答】解：A6a 25a 2a 2，正确；B（2a） 24a 2，错误；C2（a1）2a+2 ，错误；D（a+b） 2 a2+2ab+b2
12、，错误；故选：A【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握合并同类项法则、积的乘方、单项式乘多项式法则及完全平方公式3（3 分）如图，几何体是由 3 个大小完全一样的正方体组成的，在它的三视图中是中心对称图形的是（ ）A主视图 B左视图C俯视图 D左视图和俯视图【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得三视图，再利用中心对称图形的定义得出答案【解答】解：如图所示：故它的三视图中是中心对称图形的是左视图和俯视图故选：D【点评】本题考查了简单组合体的三视图以及中心对称图形的定义，从左边看得到的图形是左视图，从正面看得到的图形是
13、主视图，从上面看得到的图形是俯视图4（3 分）要调查下列问题，应采用全面调查的是（ ）A检测某城市的空气质量B了解全国初中学生的视力情况C某县引进“优秀人才”招聘，对应聘人员进行面试D调查某池塘里面有多少鱼【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似【解答】解：A、检测某城市的空气质量用抽样调查，错误；B、了解全国初中学生的视力情况用抽样调查，错误；C、某县引进“优秀人才”招聘，对应聘人员进行面试用全面调查，正确；D、调查某池塘里面有多少鱼用抽样调查，错误；故选：C【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考
14、查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查5（3 分）如图，把一块含有 30角的直角三角板 ABC 的直角顶点放在矩形桌面 CDEF的一个顶点 C 处，桌面的另一个顶点 F 与三角板斜边相交于点 F，如果150，那么AFE 的度数为（ ）A10 B20 C30 D40【分析】由四边形 CDEF 为矩形，得到 EF 与 DC 平行，利用两直线平行同位角相等求出AGE 的度数，根据AGE 为三角形 AGF 的外角，利用外角性质求出 AFE 的度数即可【解答】解：四边形 CDEF 为
15、矩形，EFDC，AGE150，AGE 为AGF 的外角，且A 30，AFE AGEA20故选：B【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键6（3 分）欧几里得的原本记载，形如 x2+axb 2 的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB90，BC ，AC b，再在斜边 AB 上截取 BD 则该方程的一个正根是（ ）AAC 的长 BAD 的长 CBC 的长 DCD 的长【分析】表示出 AD 的长，利用勾股定理求出即可【解答】解：欧几里得的原本记载，形如 x2+axb 2 的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB90，BC ，AC b，再在斜边 AB 上截取 BD ，设
16、ADx，根据勾股定理得：（x+ ） 2b 2+（ ） 2，整理得：x 2+axb 2，则该方程的一个正根是 AD 的长，故选：B【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键7（3 分）如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA 2km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60的方向，则该船航行的距离（即 AB 的长）为（ ）A2km B km C km D（ +1）km【分析】过点 A 作 ADOB 于 D先解 RtAOD，得出 AD OA1，再由ABD 是等腰直角三角形，得出 BD AD
17、1，则 AB AD2 【解答】解：如图，过点 A 作 ADOB 于 D在 Rt AOD 中，ADO 90，AOD 30，OA2，AD OA1在 Rt ABD 中，ADB90，BCABAOB753045，BDAD 1，AB AD 即该船航行的距离（即 AB 的长）为 km故选：C【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键8（3 分）如图所示，已知二次函数 yax 2+bx+c 的图象与 x 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x1直线 yx+c 与抛物线 yax 2+bx+c 交于 C，D 两点，D点在 x 轴下方且横坐标小
18、于 3，则下列结论错误的是（ ）A2a+b+ c0Ba1Cx（ ax+b） a+bD双曲线 y 的两分支分别位于第一、第三象限【分析】利用抛物线与 y 轴的交点位置得到 c0，利用对称轴方程得到 b2a，则2a+b+cc0，于是可对 A 进行判断；由于直线 yx +c 与抛物线 yax 2+bx+c 交于C、D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于 3，利用函数图象得 x3 时，一次函数值比二次函数值大，即 9a+3b+c3+c，然后把 b2a 代入解 a 的不等式，则可对 B 进行判断；根据二次函数的性质得到 x1 时，二次函数有最大值，则 ax2+bx+ca+b+c，于是可对 C 进行判
19、断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在点（1，0）右侧，则当 x1 时，y0，于是可对 D 进行判断；【解答】解：抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，c0，抛物线的对称轴为直线 x 1，b2a，2a+b+c2a2a+ cc0，所以 A 正确，不符合题意；直线 yx+c 与抛物线 yax 2+bx+c 交于 C、D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于3，x3 时，一次函数值比二次函数值大，即 9a+3b+c3+ c，而 b2a，9a6a3，解得 a1，所以 B 正确，不符合题意；x1 时，二次函数有最大值，ax 2+bx+ca +b+c，ax 2+bxa+b，所以 C 正
20、确，不符合题意；故选：A抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线 x1，抛物线与 x 轴的另一个交点在点（1，0）右侧，当 x1 时，y 0，ab+c0，双曲线 y 的两分支分别位于第二、第四象限所以 D 错误，符合题意，故选：D【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解也考查了二次函数图象与系数的关系9（3 分）如图，在半径为 3cm 的O 中，点 D 是劣弧 AB 的中点，点 C 是优弧 AB 上一点，C30，下列四个结论：AOB150； AB3 cm；sinABO；四边形 A
21、DBO 是菱形其中正确结论的序号是（ ）A B C D【分析】根据圆周角定理得到BOD60，根据点 D 是劣弧 AB 的中点，得到AOD BOD60，求得 AOB 120，故 错误；根据垂径定理得到ODAB，解直角三角形得到 AB3 ，故正确；根据等腰三角形的性质得到OBA30，求得 sinABO ，故 错误；设 OD 与 AB 交于 E，根据直角三角形的性质得到 OE OA OD，求得四边形 ADBO 是菱形，故 正确【解答】解：C30，BOD 60 ，点 D 是劣弧 AB 的中点，AOD BOD60，AOB120，故 错误；点 D 是劣弧 AB 的中点，ODAB，OA3，OAB30，AB3
22、 ，故正确；OAOB ，AOB 120，OBA30，sinABO ，故错误；设 OD 与 AB 交于 E，AEO90，OAB 30，OE OA OD，AEBE，ODAB，四边形 ADBO 是菱形，故 正确，故选：B【点评】本题考查了圆周角定理，菱形的判定，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键10（3 分）如图，已知菱形 OBAC 的顶 O（0，0），A （2，2），若菱形绕点 O 顺时针旋转，每秒旋转 45，则旋转 30 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为（ ）A（1，1） B（1，1） C（1，0） D（0， ）【分析】根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点 D 坐标，再根据旋转的性质可
23、得旋转后点 D 的坐标【解答】解：菱形 OABC 的顶点 O（0，0），B（2，2），得D 点坐标为（ ， ），即（1，1）每秒旋转 45，则第 30 秒时，得 45301350，13503603.75 周，OD 旋转了 3.75 周，菱形的对角线交点 D 的坐标为（1，1），故选：A【点评】本题主要考查菱形的性质及旋转的性质，熟练掌握菱形的性质及中点的坐标公式、中心对称的性质是解题的关键二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.11（3 分）李克强总理在2019 年国务院政府工作报告中指出：“今年经济社会发展的主要预期目标是：国内生产总值增长 6%6.5% ：城镇新增就业
24、 11000000 以上，城镇调查失业率 5.5%左右， ”其中数据 11000000 用科学记数法表示为 1.110 7 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 11000000 用科学记数法表示为：1.110 7故答案是：1.110 7【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的
25、值以及 n 的值12（3 分）若 b2a1，则代数式 4a24ab+b 2 的值是 1 【分析】先将所求代数式化简 4a24ab+b 2（2ab） 2，再将 b2a1 代入化简后的式子即可；【解答】解：4a 24ab+b 2（2ab） 2，当 b2a1 时，原式（2a2a+1） 21；故答案为 1；【点评】本题考查代数式求值；掌握代数式求值的方法：先化简后代入是解题的关键13（3 分）某种商品的进价为每件 100 元，商场按进价提高 50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于 20%，则至多可以打 8 折【分析】设打 x 折，根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可【解答】解
26、：设打 x 折，根据题意得：100（1+50%） x100（1+20%），解得：x8，即至多打 8 折，故答案为：8【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，能根据题意列出不等式是解此题的关键14（3 分）等腰三角形一条边的边长为 3，它的另两条边的边长是关于 x 的一元二次方程x212x +k0 的两个根，则 k 的值是 36 【分析】分 3 为等腰三角形的腰与 3 为等腰三角形的底两种情况考虑，当 3 为等腰三角形的腰时，将 x3 代入原方程可求出 k 的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；当 3 为等腰三角形的底时，由方程的系数结合
27、根的判别式可得出1444k0，解之即可得出 k 值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意此题得解【解答】解：当 3 为等腰三角形的腰时，将 x3 代入原方程得 9123+k0，解得：k27，此时原方程为 x212x +270，即（x 3）（x9）0，解得：x 13，x 29，3+369，3 不能为等腰三角形的腰；当 3 为等腰三角形的底时，方程 x212x+k 0 有两个相等的实数根，（12） 24k1444k0，解得：k36，此时 x1x 2 6，3、6、6 可以围成等腰三角形，k36故答案为：36【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、三角形的三边关系以及等
28、腰三角形的性质，分 3 为等腰三角形的腰与 3 为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键15（3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC3，点 E 是 DC 边上一点，连接 BE，把C 沿 BE 折叠，使点 C 落在点 F 处，当DEF 为直角三角形时，DE 的长为 1 或 【分析】由矩形的性质得出 CDAB4，ADBC3，分两种情况讨论：当FED90时，则CEF 90，由折叠的性质得：CEFEBC 3，得出DECDCE1；当 DFE90时，由勾股定理求出 BD 5，由折叠的性质得：BFE C90，BF BC3，FECE ，得出点 B、F、D 共线，即点 F 在 BD 上，DFBDBF2，
29、设 FECEx，则 DE4x，在 RtDEF中，由勾股定理得出方程，解方程求出 CE，即可的 DE 的长【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，CDAB 4，ADBC3，分两种情况讨论：当 FED90时，如图 1 所示，则CEF90，由折叠的性质得：CEFEBC 3，DECDCE1；当 DFE90时，如图 2 所示，在 Rt ABD 中，AB 4，AD 3，BD 5，由折叠的性质得：BFEC90，BFBC 3，FECE ，点 B、F 、D 共线，即点 F 在 BD 上，DFBDBF5 32，设 FECEx，则 DE4 x，在 Rt DEF中，EF 2+DF2DE 2，x 2+22（4x ） 2，
30、解得：x ，即 CE ，DECDCE综上所述，BE 的长为 1 或 ；故答案为：1 或 【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由题意画出图形，进行分类讨论是解题的关键三、解答题：本大题共 7 题，满分 55 分，解答应写出文字说明、证明过程或推演过程.16（6 分）先化简，再求值：（m +2 ） ，其中 m 是不等式组的最小整数解【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据 m 是不等式组的最小整数解，可以求得 m 的值，然后将 m 的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（m+2 ）2（m+3）2m6，由不等式组
31、，得 x2，m 是不等式组 的最小整数解，m1，原式2（1）6264【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法17（6 分）图是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图是小明锻炼时上半身由 ON 位置运动到与地面垂直的 OM 位置时的示意图已知 AC0.66 米，BD0.26 米，20（参考数据：sin200.342，cos20 0.940，tan200.364）（1）求 AB 的长（精确到 0.01 米）；（2）若测得 ON0.8 米，试计算小明头顶由 N 点运动到 M 点的路径 的长度（结果保留 ）【分析】（1）过 B 作 BEAC
32、 于 E，求出 AE，解直角三角形求出 AB 即可；（2）求出MON 的度数，根据弧长公式求出即可【解答】解：（1）过 B 作 BEAC 于 E，则 AEACBD0.66 米0.26 米0.4 米，AEB90，AB 1.17（米）；（2）MON90+20 110，所以 的长度是 （米）【点评】本题考查了弧长公式，解直角三角形的应用，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键18（7 分）某校开展学生对食堂评价调查，每名学生只能从“优”、“良”、“差”三种选择中一个进行评价，假设这三种评价是等可能的且所有学生都参与了评价学校对学生的评价信息进行了统计，并绘制了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信
33、息解决下面问题：（1）学校共有多少学生参与评价？（2）图 2 中“良”所占扇形圆心角的度数是 96 ；（3）请将图 1 补充完整；（4）若甲、乙两名学生参与了对食堂的评价，请你用列表格或画树状图的方法求两人中至少有一个给“差”评价的概率【分析】（1）用中评和差评的人数之和除以它们所占的百分比得到调查的总人数；（2）用 360乘以“良”所占的百分比得到图 2 中“良”所占扇形圆心角的度数；（3）计算出“好评”的人数，然后补全条形统计图；（4）画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，找出两人中至少有一个给“差”评价的结果数，然后概率公式求解【解答】解：（1）（40+20）（160% ）150，所以
34、学校共有 150 名学生参与评价；（2）360 96，所以图 2 中“良”所占扇形圆心角的度数是 96，故答案为 96；（3）“好评”的人数为 60%15090（人），图 1 补充为：（4）画树状图为：共有 9 种等可能的结果数，其中两人中至少有一个给“差”评价的结果数为 5，所以两人中至少有一个给“差”评价的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件B 的概率也考查了扇形统计图19（8 分）某商业集团新进了 40 台空调机，60 台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙
35、两个连锁店销售，其中 70 台给甲连锁店，30 台给乙连锁店两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：空调机 电冰箱甲连锁店 200 170乙连锁店 160 150设集团调配给甲连锁店 x 台空调机，集团卖出这 100 台电器的总利润为 y（元）（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并求出 x 的取值范围；（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利 a 元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？【分析】（1）首先设调配给甲连锁店电冰箱（70x）台，调配给乙连锁店空调机（40x）台
36、，电冰箱 60（70x）（x 10）台，列出不等式组求解即可；（2）由（1）可得几种不同的分配方案；依题意得出 y 与 a 的关系式，解出不等式方程后可得出使利润达到最大的分配方案【解答】解：（1）由题意可知，调配给甲连锁店电冰箱（70x）台，调配给乙连锁店空调机（40x）台，电冰箱为 60（70x）（x10）台，则 y200x+170 （70x ）+160（40x ）+150 （x 10），即 y20x+16800 10x40y20x+16800 （10x 40 ）；（2）由题意得：y（200a）x+170（70x ）+160 （40x）+150（x10），即 y（20a）x +168002
37、00a170，a30当 0a20 时，20a0，函数 y 随 x 的增大而增大，故当 x40 时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机 40 台，电冰箱 30 台，乙连锁店空调 0 台，电冰箱 30 台；当 a20 时，x 的取值在 10x40 内的所有方案利润相同； 当 20a30 时，20a0，函数 y 随 x 的增大而减小，故当 x10 时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机 10 台，电冰箱 60 台，乙连锁店空调 30 台，电冰箱 0 台【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，（1）根据 40 台空调机，60 台电冰箱都能卖完，列出不等式
38、关系式即可求解；（2）由（1）关系式，结合让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，列不等式解答，根据 a 的不同取值范围，代入利润关系式解答20（8 分）如图，AB 是 O 的直径，PA，PC 分别与O 相切于点 A，C，PC 交 AB 的延长线于点 D，DEPO 交 PO 的延长线于点 E（1）求证：ODE APD；（2）若 PC6，tanPDA ，求 OE 的长【分析】（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：EPDEDO，从而得到结论；（2）连接 OC，利用 tanPDA ，可求出 CD4，再证明OEDDEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出 OE 的长【解答
39、】（1）证明：PA，PC 与O 分别相切于点 A，C，APOEPD APD 且 PAAO ，PAO90，AOPEOD，PAOE90，APOEDO，ODE APD ；（2）解：连接 OC，PAPC6，tanPDA ，在 RtPAD 中，AD8，PD10，CD4，tanPDA ，在 RtOCD 中，OC OA3，OD5，EPDODE，DEPOED， 2，DE2OE在 Rt OED 中，OE 2+DE2OD 2，即 5OE25 2，OE 【点评】本题综合考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力
40、21（9 分）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图 1 的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为 1，则新三角形与原三角形相似观点二：将邻边为 6 和 10 的矩形按图 2 的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为 1，则新矩形与原矩形相似请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由（2）如图 3，已知ABC，AC6，BC 8，AB10，将 ABC 按图 3 的方式向外扩张，得到DEF，它们对应的边间距都为 1，求DEF 的面积【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定甲乙的观点是否
41、正确；（2）首先根据勾股定理的逆定理求出C 是直角，求出ACB 的内切圆半径，进而DEF 的内切圆的半径，根据相似三角形的性质以及面积公式即可求出DEF 的边长，进而求出DEF 的面积【解答】解：（1）观点一正确；观点二不正确理由： 如图（ 1）连接并延长 DA，交 FC 的延长线于点 O，ABC 和DEF 对应的边的距离都为 1，ABDE ，AC DF，FDO CAO ，ODE OAB ，FDO +ODECAO+OAB，即FDECAB，同理DEFABC，ABCDEF，观点一正确；如图（ 2）由题意可知，原矩形的邻边为 6 和 10，则新矩形邻边为 4 和 8， ， ， ，新矩形于原矩形不相似
42、，观点二不正确；（2）如图（3），延长 DA、 EB 交于点 O，A 到 DE、DF 的距离都为 1，DA 是FDE 的角平分线，同理，EB 是DEF 的角平分线，点 O 是ABC 的内心，AC6，BC8，AB10，ABC 是直角三角形，设ABC 的内切圆的半径为 r，则 6r+8r 10，解得 r2，过点 O 作 OHDE 于点 H，交 AB 于 G，ABDE ，OGAB，OGr2， ，同理 ，DF9，EF12，DEF 的面积为： 【点评】本题主要考查了相似三角形的综合题，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键22（11 分）如图，抛物线 yax 2
43、+bx+c 经过 O（0，0）， A（1， ），B（3，）三个点（1）求抛物线解析式；（2）若点 P（4，p），Q（ t，q）为该抛物线上的两点，且 qp求 t 的取值范围（3）在线段 AB 上是否存在一点 C（不与点 A，点 B 重合），使点 A，点 B 到直线 OC的距离之和最大？若存在，求BOC 的度数，并直接写出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法将 O，A，B 三个点的坐标代入 yax 2+bx+c 即可求得a，b，c 的值，进而求得抛物线解析式（2）设出点 P 关于对称轴对称的点的坐标，利用数形结合的思想求解即可（3）分析如图，运用点到直线的距离的性质求
44、解即可【解答】解：（1）抛物线 yax 2+bx+c 经过点 O（0， 0），A（1， ），B（3， ），解得 抛物线解析式为，y x2+ x，（2）由（1）得抛物线开口向上，对称轴直线为，x ，设点 P（4，p）关于直线 x 的对称点是（ ，p）当 x 时，y 随 x 的增大而减小当 x 时，y 随 x 的增大而增大当4t 时，qp（3）存在如图，分别过点 A，B 作 AMx 轴于点 M，BN x 轴于点 N，并作 BEOC 于点 E，AD OC于点 DADAC，BE BC，AD+ BEAC+BCAB当 OCAB 时，点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大过点 A 作 AM x 轴于点 M，过 B 作 BNx 轴于点 NAB 与 x 轴交于 H又A（1， ），B（3， ），AMBN ，AMH BNH90又AHO BHN，AMHBNHMH NH又OM 1，ON3，OM MH NH1又tanHBN NBH30同理，BON30BOCCOH+ BONHBN+BON30+3060点 C 的坐标为（ ， ）【点评】本题考查了待定系数法求解抛物线解析式的基本能力，同时考查了用数形结合的思想解决几何问题的能力