1、2019 年山东省济南市长清区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4 分） 的绝对值为（ ）A2 B C D12（4 分）如图是由 6 个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）A B C D3（4 分）我国首艘国产航母于 2018 年 4 月 26 日正式下水，排水量约为 65000 吨，将65000 用科学记数法表示为（ ）A6.510 4 B6.510 4 C6.510 4 D0.6510 44（4 分）长城是我国古代劳动人民创造的伟大奇迹，是中国悠久历史的见证，是中华民族的象
2、征，被列为世界文化遗产下列以长城为背景的标志设计中，不是轴对称图形的是（ ）A BC D5（4 分）如图，已知175，如果 CDBE，那么B 的度数为（ ）A75 B100 C105 D1156（4 分）下列计算正确的是（ ）Aa 2a3a 6 B（ab 3） 2a 2b6C（a+2b）（a2b）a 22b 2 D5a2a 37（4 分）一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停留在阴影部分的概率为（ ）A B C D8（4 分）化简 的结果为（ ）A Ba1 Ca D19（4 分）如图，四边形 ABCD 内接于O ，点 I 是ABC 的内心，AIC124，点 E在 AD 的延长线上，则CD
3、E 的度数为（ ）A56 B62 C68 D7810（4 分）我国古代数学著作增删算法统宗记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，则符合题意的方程组是（ ）A BC D11（4 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A，B 在反比例函数y （k 0，x0）的图象上，横坐标分别为 1，4，对角线 BDx 轴若菱形 ABCD的面积为 ，则 k 的值为（ ）A B C4 D512（4 分）二次函数
4、yax 2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线 x1，下列结论：2a+b0； 9a+c3 b；若点 A（3，y 1）、点B（ ，y 2）、点 C（ ，y 3）在该函数图象上，则 y1y 3y 2：若方程ax2+bx+c3（a0）的两根为 x1 和 x2，且 x1x 2，则x113x 2；m（am +b）ba其中正确的结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题（本大题共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分）13（4 分）因式分解：a 26a+9 14（4 分）若分式 的值为 0，则 x 15（4 分）如图，EFBC，若 AE：EB2：1，E
5、M1，MF2，则 BC 16（4 分）一元二次方程（1+k）x 22x +10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 17（4 分）如图，矩形 ABCD 中，BC2，CD 1，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面积为 （结果保留 ）18（4 分）已知在平面直角坐标系中有两点 A（0，2），B（2，0），动点 P 在反比例函数 y 的图象上运动，当线段 PA 与线段 PB 之差的绝对值最大时，点 P 的坐标为 三、解答題：（本大題共 9 个小題，共 78 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19（6 分）计算：（2019 ） 0 + +4
6、sin6020（6 分）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来21（6 分）如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在边 CB、AD 的延长线上，且BE DF，EF 分别与 AB、 CD 交于点 G、H求证：AGCH22（8 分）某学校为了迎接“畅想青青”体育节活动，购买了一批排球和篮球，其中排球的单价比篮球的单价少 9 元，已知该学校用 3120 元购买排球的个数与用 4200 元购买篮球的个数相等（1）求该学校购买的排球和篮球的单价各是多少元？（2）若两种球共购买了 200 个，且购买的总费用不高于 6280 元，问至少要购买多少个排球？23（8 分）如图，AB 是 O 的直径，AE 交 O
7、 于点 F，且与O 的切线 CD 互相垂直，垂足为 D（1）求证：EACCAB；（2）若 CD4，AD8，求 AB 的长和 tanBAE 的值24（10 分）在 2019 年“新技术支持未来教育”的教师培训活动中，会议就“面向未来的学校教育、家庭教育及实践应用演示”等问题进行了互动交流，记者随机采访了部分参会教师，对他们发言的次数进行了统计，并绘制了不完整的统计表和条形统计图组别 发言次数 n 百分比A 0n3 10%B 3n6 20%C 6n9 25%D 9n12 30%E 12n15 10%F 15n18 m%请你根据所给的相关信息，解答下列问题：（1）本次共随机采访了 名教师，m ；（2
8、）补全条形统计图：观察此图，发言次数的“中位数”落在 组（填字母）；（3）已知受访的教师中，E 组只有 2 名女教师，F 组只有 1 名男教师，现要从 E 组、F组中分别选派 1 名教师写总结报告，请用列表法或画树状图的方法，求所选派的两名教师恰好是 1 男 1 女的概率25（10 分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 y1kx +b（k 0）与反比例函数y2 （m0）的图象交于 A、B 两点，过点 A 作 ADx 轴于 D，AO5，tanAOD，且点 B 的坐标为（n， 2）（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出 y1y 2 时，x 的取值范围；（3）在 x 轴上是否存
9、在一点 E，使AOE 是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的 E 点坐标；若不存在，请说明理由26（12 分）如图，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点E，GFCD ，垂足为点 F则易知四边形 CEGF 是正方形（1）请直接写出 的值为 ；（2）探究与证明：将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角（045），如图所示，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由（3）拓展与运用正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F 三点在一条直线上时，如图所示，延长CG 交 AD 于点 H若 AH ，GH ，则 BC 27（12 分）如
10、图，已知二次函数 yax 2+2x+c 的图象经过点 C（0，3），与 x 轴分别交于点 A，点 B（ 3，0），点 P 是抛物线上一动点（1）求二次函数 yax 2+2x+c 的表达式（2）若点 P 在直线 BC 上方的抛物线上运动，当PBC 的面积最大时，求出 P 点的坐标和最大面积（3）连接 PO，PC，并把POC 沿 y 轴翻折，得到四边形 POPC若四边形POPC 为菱形，求出此时点 P 的坐标2019 年山东省济南市长清区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4 分
11、） 的绝对值为（ ）A2 B C D1【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号【解答】解：| | ， 的绝对值为 故选：C【点评】本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0，比较简单2（4 分）如图是由 6 个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）A B C D【分析】根据组合体的形状即可求出答案【解答】解：该主视图是：底层是 3 个正方形横放，右上角有一个正方形，左边有一个正方形故选：C【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的
12、空间想象能力解题的关键是根据组合体的形状进行判断，3（4 分）我国首艘国产航母于 2018 年 4 月 26 日正式下水，排水量约为 65000 吨，将65000 用科学记数法表示为（ ）A6.510 4 B6.510 4 C6.510 4 D0.6510 4【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：650006.510 4，故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示
13、形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4（4 分）长城是我国古代劳动人民创造的伟大奇迹，是中国悠久历史的见证，是中华民族的象征，被列为世界文化遗产下列以长城为背景的标志设计中，不是轴对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可【解答】解：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不合题意；故选：A【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合5（4 分）如图，已知175
14、，如果 CDBE，那么B 的度数为（ ）A75 B100 C105 D115【分析】直接利用对顶角的定义得出2 的度数，再利用平行线的性质得出答案【解答】解：175，275，CDBE ，2+B 180，B105故选：C【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出2 的度数是解题关键6（4 分）下列计算正确的是（ ）Aa 2a3a 6 B（ab 3） 2a 2b6C（a+2b）（a2b）a 22b 2 D5a2a 3【分析】各项利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，以及合并同类项法则计算得到结果，即可作出判断【解答】解：Aa 2a3a 5，错误；B（ab 3） 2a 2b6，正确；
15、C（a+2b）（a2b）a 2（2b） 2a 24b 2，错误；D .5a2a3a，错误故选：B【点评】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，合并同类项，熟练掌握法则并准确计算是解题关键7（4 分）一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停留在阴影部分的概率为（ ）A B C D【分析】根据正方形的性质求出阴影部分占整个面积的 ，进而得出答案【解答】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的 ，因此一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是： 故选：B【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然
16、后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率8（4 分）化简 的结果为（ ）A Ba1 Ca D1【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式 +a1故选：B【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型9（4 分）如图，四边形 ABCD 内接于O ，点 I 是ABC 的内心，AIC124，点 E在 AD 的延长线上，则CDE 的度数为（ ）A56 B62 C68 D78【分析】由点 I 是ABC 的内心知BAC2IAC、ACB2ICA，从而求得B180（BAC+ACB）1802（180AIC），再利用圆内接四边形的外角
17、等于内对角可得答案【解答】解：点 I 是ABC 的内心，BAC2IAC、ACB 2ICA，AIC124，B180（BAC+ ACB）1802（IAC+ICA）1802（180AIC）68，又四边形 ABCD 内接于O，CDEB68，故选：C【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质10（4 分）我国古代数学著作增删算法统宗记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设绳索长 x 尺，竿长 y
18、 尺，则符合题意的方程组是（ ）A BC D【分析】设索长为 x 尺，竿子长为 y 尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组【解答】解：设索长为 x 尺，竿子长为 y 尺，根据题意得： 故选：A【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键11（4 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A，B 在反比例函数y （k 0，x0）的图象上，横坐标分别为 1，4，对角线 BDx 轴若菱形 ABCD的面积为 ，则 k 的值为（ ）A B C4 D5【分析】根据题意，利用面积法求出 AE，
19、设出点 B 坐标，表示点 A 的坐标应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为 k 构造方程求 k【解答】解：连接 AC，BD，AC 与 BD、x 轴分别交于点 E、F由已知，A、B 横坐标分别为 1，4BE3四边形 ABCD 为菱形，AC、BD 为对角线S 菱形 ABCD4 AEBEAE设点 B 的坐标为（4，y ），则 A 点坐标为（1，y + ）点 A、B 同在 y 图象上4y1（y+ ）yB 点坐标为（4， ）k5故选：D【点评】本题考查了菱形的性质、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与 k 之间的关系12（4 分）二次函数 yax 2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过
20、点（1，0），对称轴为直线 x1，下列结论：2a+b0； 9a+c3 b；若点 A（3，y 1）、点B（ ，y 2）、点 C（ ，y 3）在该函数图象上，则 y1y 3y 2：若方程ax2+bx+c3（a0）的两根为 x1 和 x2，且 x1x 2，则x113x 2；m（am +b）ba其中正确的结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【解答】解：由题意可知：对称轴 x1， 1，2a+b0，故正确；当 x3 时，y0，y9a3b+c 0，故错误；（ ，y 3）关于直线 x1 的对称点为（ ，y 3），由图可知：x1 时，y 随着 x 的增大
21、而减小，由于3 ，y 1y 3y 2，故 正确；设 yax 2+bx+c，y 3，由于图象可知：直线 y3 与抛物线 yax 2+bx+c 有两个交点，方程 ax2+bx+c3（a0）的两根为 x1 和 x2，x 113x 2，故错误；当 x1 时，ya+b+ c，此时 a+b+c 为最大值，当 xm 时，yam 2+bm+c，am 2+bm+ca+ b+c，即 m（am+b）ba，故 错误；故选：B【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型二、填空题（本大题共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分）13（4 分）因式分解：a 26a+9 （a
22、3） 2 【分析】本题是一个二次三项式，且 a2 和 9 分别是 a 和 3 的平方，6a 是它们二者积的两倍，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解【解答】解：a 26a+9（a3） 2【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键14（4 分）若分式 的值为 0，则 x 1 【分析】分式的值为 0 的条件是：（1）分子为 0；（2）分母不为 0两个条件需同时具备，缺一不可据此可以解答本题【解答】解：分式 的值为 0，得x210 且 x+10解得 x 1，故答案为：1【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且
23、分母不等于零注意：“分母不为零”这个条件不能少15（4 分）如图，EFBC，若 AE：EB2：1，EM1，MF2，则 BC 【分析】利用平行线分线段成比例定理求出 BN，CN 即可【解答】解：EFBC， ，EM2，BN ， ，MF2，CN3，BCBN+CN ，故答案为 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型16（4 分）一元二次方程（1+k）x 22x +10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k 0 且 k1 【分析】根据方程（1+k）x 22x +10 有两个不相等的实数根结合根的判别式以及二次项系数非 0，即可得出关于 k 的一元一次不等式
24、组，解不等式组即可得出结论【解答】解：方程（1+k）x 22x +10 有两个不相等的实数根， ，解得：k0 且 k1故答案为：k0 且 k1【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数非 0 得出关于 k 的一元一次不等式组是解题的关键17（4 分）如图，矩形 ABCD 中，BC2，CD 1，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面积为 （结果保留 ）【分析】连接 OE，利用切线的性质得 OD1，OE BC，易得四边形 OECD 为正方形，先利用扇形面积公式，利用 S 正方形 OECDS 扇形 EOD 计
25、算由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积【解答】解：连接 OE，如图，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，OD1，OEBC，易得四边形 OECD 为正方形，由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积S 正方形 OECD S 扇形EOD1 2 1 ，阴影部分的面积 21（1 ） 故答案为： 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了矩形的性质和扇形的面积公式18（4 分）已知在平面直角坐标系中有两点 A（0，2），B（2，0），动点
26、P 在反比例函数 y 的图象上运动，当线段 PA 与线段 PB 之差的绝对值最大时，点 P 的坐标为 （3，1）或（1，3） 【分析】由三角形三边关系知|PA PB|AB 知直线 AB 与双曲线 y 的交点即为所求点 P，据此先求出直线 AB 解析式，继而联立反比例函数解析式求得点 P 的坐标【解答】解：如图，设直线 AB 的解析式为 ykx+b，将 A（0，2），B（2，0）代入，得：，解得 ，直线 AB 的解析式为 yx +2，直线 AB 与双曲线 y 的交点即为所求点 P，此时| PA PB|AB，即线段 PA 与线段PB 之差的绝对值取得最大值，由 可得 或 ，点 P 的坐标为（3，1
27、）或（1，3），故答案为：（3，1）或（1，3）【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据三角形三边关系得出点 P 的位置三、解答題：（本大題共 9 个小題，共 78 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19（6 分）计算：（2019 ） 0 + +4sin60【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值【解答】解：原式12 +2+4 3【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键20（6 分）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来【分析】分别解两不等式得到 x3 和 x2，然后根据大小小大中间找确定不等式组
28、的解集，再利用数轴表示其解集【解答】解：解得 x3，解得 x2，所以不等式组的解集为3x2，用数轴表示为：【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集21（6 分）如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在边 CB、AD 的延长线上，且BE DF，EF 分别与 AB、 CD 交于点 G、H求证：AGCH【分析】利用平行四边形的性质得出 AFEC，再利用全等三角形的判定与性质得出答案【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AC，ADBC，EF ，BEDF ，AFEC，在AGF
29、 和CHE 中，AGFCHE（ASA ），AGCH【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握平行线的性质是解题关键22（8 分）某学校为了迎接“畅想青青”体育节活动，购买了一批排球和篮球，其中排球的单价比篮球的单价少 9 元，已知该学校用 3120 元购买排球的个数与用 4200 元购买篮球的个数相等（1）求该学校购买的排球和篮球的单价各是多少元？（2）若两种球共购买了 200 个，且购买的总费用不高于 6280 元，问至少要购买多少个排球？【分析】（1）设排球的单价为 x 元/ 个，则篮球的单价为（x+9）元/个，根据数量总价单价结合用 3120 元购买排球的
30、个数与用 4200 元购买篮球的个数相等，即可得出关于 x 的分式方程，解之并检验后，即可得出结论；（2）设购买排球 y 个，则购买篮球（200y）个，根据总价单价数量且购买的总费用不高于 6280 元，即可得出关于 y 的不等式，即可求得答案【解答】解：（1）设排球的单价为 x 元/ 个，则篮球的单价为（x+9）元/个，根据题意得： ，解得：x26，经检验，x26 是原分式方程的解，x+935（元/个）答：排球的单价为 26 元/个，篮球的单价为 35 元/ 个（2）设购买排球 y 个，则购买篮球（200y）个，依题意得：26y+35（200y ）6280解得 y80所以 y 最小值 80答
31、：至少要购买 80 个排球【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程23（8 分）如图，AB 是 O 的直径，AE 交 O 于点 F，且与O 的切线 CD 互相垂直，垂足为 D（1）求证：EACCAB；（2）若 CD4，AD8，求 AB 的长和 tanBAE 的值【分析】（1）首先连接 OC，由 CD 是O 的切线，CDOC，又由 CDAE，即可判定 OCAE ，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得EACCAB；（2）连接 BC，易证得ACD ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB 的长，继而可得O 的半径长；连接 CF 与 B
32、F由四边形 ABCF 是O 的内接四边形，易证得DCFDAC，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得 AF 的长，又由 AB 是O 的直径，即可得BFA 是直角，利用勾股定理求得 BF 的长，即可求得tanBAE 的值【解答】解：（1）证明：连接 OCCD 是O 的切线，CDOC ，又CDAE ，OCAE ，13，OCOA，23，12，即EACCAB；（2）连接 BCAB 是O 的直径，CDAE 于点 D，ACBADC90，12，ACDABC， ，AC 2AD 2+CD24 2+8280，AB 10， O 的半径为 1025连接 CF 与 BF四边形 ABCF 是O 的内接四边形，ABC+ A
33、FC180，DFC+AFC180，DFCABC，2+ABC90，DFC +DCF90，2DCF，12，1DCF，CDFCDF，DCFDAC， ，DF 2，AFAD DF826，AB 是O 的直径，BFA 90，BF 8，tanBAD 【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用24（10 分）在 2019 年“新技术支持未来教育”的教师培训活动中，会议就“面向未来的学校教育、家庭教育及实践应用演示”等问题进行了互动交流，记者随机采访了部分参会教师，对他们发言的次数进行了
34、统计，并绘制了不完整的统计表和条形统计图组别 发言次数 n 百分比A 0n3 10%B 3n6 20%C 6n9 25%D 9n12 30%E 12n15 10%F 15n18 m%请你根据所给的相关信息，解答下列问题：（1）本次共随机采访了 60 名教师，m 5 ；（2）补全条形统计图：观察此图，发言次数的“中位数”落在 C 组（填字母）；（3）已知受访的教师中，E 组只有 2 名女教师，F 组只有 1 名男教师，现要从 E 组、F组中分别选派 1 名教师写总结报告，请用列表法或画树状图的方法，求所选派的两名教师恰好是 1 男 1 女的概率【分析】（1）根据：某组的百分比 100%，所有百分
35、比的和为 1，计算即可；（2）先计算出 D、F 组的人数，再补全条形统计图，继而根据中位数的定义求解可得；（3）列出树形图，根据总的情况和一男一女的情况计算概率【解答】解：（1）由条形图知，C 组共有 15 名，占 25%，所以本次共随机采访了 1525%60（名），m10010202530 105，故答案为：60，5；（2）A 组人数为 6010% 6（人），B 组人数为 6020%12（人），E 组人数为 6010%6（人）， D 组教师有：6030%18（名）F 组教师有：605%3（名），补全图形如下：中位数是第 30、31 个数据的平均数，而第 30、31 个数据均落在 C 组，所以
36、中位数落在 C 组，故答案为：C（3）E 组共有 6 名教师，4 男 2 女，F 组有三名教师，1 男 2 女，共有 18 种可能，P 一男一女 ，答：所选派的两名教师恰好是 1 男 1 女的概率为 【点评】本题考查了条形图、频率分布图、树形图、概率等相关知识，难度不大，综合性较强概率所求情况数与总情况数之比25（10 分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 y1kx +b（k 0）与反比例函数y2 （m0）的图象交于 A、B 两点，过点 A 作 ADx 轴于 D，AO5，tanAOD，且点 B 的坐标为（n， 2）（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出 y1y 2 时，x
37、 的取值范围；（3）在 x 轴上是否存在一点 E，使AOE 是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的 E 点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）在 RtAOD 中，设 AD4a，则 OD3a，OA5a，结合 OA5 可求出a 值，进而可得出点 A 的坐标，由点 A 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数解析式，由点 B 的纵坐标可得出 n 的值，进而可得出点 B 的坐标，由点A，B 的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）观察函数图象，由两函数图象的上下位置关系可找出：当 y1y 2 时，x 的取值范围；（3）分 AOAE ，OEOA 及 EAEO 三种
38、情况考虑：当 AOAE 时，由等腰三角形的性质可得出 DE1 的长度，结合点 D 的坐标可得出点 E1 的坐标； 当 OEOA 时，由等腰三角形的性质可得出 OE2，OE 3 的长度，进而可得出点 E2，E 3 的坐标；当EAEO 时，设 DE4t，则 AE4 ，OE 43+t ，由 AE4OE 4 可得出关于 t 的方程，解之即可得出 t 的值，进而可得出点 E4 的坐标综上，此题得解【解答】解：（1）在 RtAOD 中，设 AD4a，则 OD3a，OA5a，5a5，a1，AD4，OD3，点 A 的坐标为（3，4）点 A（3，4）在反比例函数 y2 （m0）的图象上，m3412，反比例函数的
39、解析式为 y2 点 B（n，2）在反比例函数 y2 的图象上，n 6，点 B 的坐标为（6，2）将 A（3，4），B（6，2）代入 y1kx+b，得：，解得： ，一次函数的解析式为 y1 x+2（2）观察函数图象，可知；当 x3 或 0x6 时，一次函数图象在反比例函数图象上方，当 y1y 2 时，x 3 或 0 x6（3）分三种情况考虑（如图所示）：当 AOAE 时，DEDE 13，点 E1 的坐标为（6，0）；当 OEOA 时，OE 2OE 35，点 E2 的坐标为（5，0），点 E3 的坐标为（5，0）；当 EAEO 时，设 DE4t ，则 AE4 ，OE 43+t，16+t 2（3+t
40、） 2，解得：t ，OE 4 ，点 E4 的坐标为（ ，0）综上所述：点 E 的坐标为（6，0），（5，0），（5，0）或（ ，0）【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用两函数图象的上下位置关系可找出当 y1y 2 时 x 的取值范围；（3）分 AOAE，OE OA 及 EAEO 三种情况求出点 E 的坐标26（12 分）如图，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点E，GFCD ，垂足为点 F则易知四边形 CEGF 是
41、正方形（1）请直接写出 的值为 ；（2）探究与证明：将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角（045），如图所示，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由（3）拓展与运用正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F 三点在一条直线上时，如图所示，延长CG 交 AD 于点 H若 AH ，GH ，则 BC 【分析】（1）根据 AC BC，CG EC，可得 AG BE，即 （2）根据BCEAGC，利用对应边之间的比例关系就可以得到 AG 和 BE 的比值（3）过点 H 作 HM 垂直于 AG，可求出 HMMG1，AM2，AG3，BE ，根据AHG AHC，可得出 ，
42、设 BCCDAD a，则 AC a，则，可得到 AH a，则 a 【解答】解：（1）AC BC，CG EC，AG BE， ，故答案为： （2）如图 1 所示，连接 CG，ACGBCE ， ，ACGBEC， ，故（1）中的结论成立（3）如图 2 所示，过点 H 作 HM 垂直于 AG，BECAGC，BECAGC135，CGE45，A、G、F 三点共线，AGH 45 ，HM MG 1，AH ，AM2，AG3， ，BE ，AHG AHC ， ，设 BCCDADa，则 AC a，则 ，AH a，a ，故答案为： 【点评】此题考查了正方形的相关性质，相似三角形的性质及判定，解题关键是发现题目中的相似三角
43、形，列出相应的比例关系求解27（12 分）如图，已知二次函数 yax 2+2x+c 的图象经过点 C（0，3），与 x 轴分别交于点 A，点 B（ 3，0），点 P 是抛物线上一动点（1）求二次函数 yax 2+2x+c 的表达式（2）若点 P 在直线 BC 上方的抛物线上运动，当PBC 的面积最大时，求出 P 点的坐标和最大面积（3）连接 PO，PC，并把POC 沿 y 轴翻折，得到四边形 POPC若四边形POPC 为菱形，求出此时点 P 的坐标【分析】（1）根据点 B，C 的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的表达式；（2）过点 P 作 PDx 轴于点 D，设点 P 的坐标为（x，x 2+
44、2x+3）（0x3），则点 D 的坐标为（x，0），利用分割图形求面积法可求出 SPBC x2+ x，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）由菱形的性质可得出 PPOC，且 PP，OC 互相平分，结合点 C 的坐标可得出点 P 的纵坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点 P 的坐标【解答】解：（1）将 B（3，0），C（0，3）代入 yax 2+2x+c，得：，解得： ，二次函数的表达式为 yx 2+2x+3（2）过点 P 作 PDx 轴于点 D，如图 1 所示设点 P 的坐标为（x ，x 2+2x+3）（0x 3），则点 D 的坐标为（x，0），S PBC S 梯形 ODPC+SPBD S OBC ， （OC +PD）OD+ PDBD OCOB， 3+（x 2+2x+3）x + （x 2+2x+3）（3x ） 33， x2+ x （x ） 2+ 0，