1、2019 年山西省大同市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1（3 分）下列结果为 2 的是（ ）A（+2） B C|2| D|2|2（3 分）如图是由五个相同的小正方体组成的立体图形，从上面看到的图形是（ ）A B C D3（3 分）下列运算正确的是（ ）A（a 3） 2a 5 Ba 2+a2a 4 C D| 2| 24（3 分）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若127，则2 的度数是（ ）A53 B63 C73 D275（3 分）不等式组 的解集在数轴上表
2、示正确的是（ ）A BC D6（3 分）“山西八分钟，惊艳全世界”.2019 年 2 月 25 日下午，在外交部蓝厅隆重举行山西全球推介活动山西经济结构从“一煤独大”向多元支撑转变，三年累计退出煤炭过剩产能 8800 余万吨，煤层气产量突破 56 亿立方米数据 56 亿用科学记数法可表示为（ ）A5610 8 B5.610 8 C5.610 9 D0.5610 107（3 分）将抛物线 yx 2x +1 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，则所得抛物线的表达式为（ ）Ayx 2+3x+6 Byx 2+3x Cyx 25x+10 Dy x 25x+48（3 分）九章算术是中国
3、传统数学最重要的著作之一，其中记载：“今有共买物人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”译文：“几个人去购买物品，如果每人出 8 钱，则剩余 3 钱；如果每人出 7 钱，则差 4 钱问有多少人，物品的价格是多少”？设有 m 人，物品价格是 n 钱，下列四个等式：8m+37m4； ； ；8m 37m+4，其中正确的是（ ）A B C D9（3 分）寒假期间，小刚组织同学一起去看科幻电影流浪地球，票价每张 45 元，20 张以上（不含 20 张）打八折，他们一共花了 900 元，则他们买到的电影票的张数是（ ）A20 B22 C25 D20 或 2510（3 分）如图来自古希腊数学家希波
4、克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC ，ABC 的三边所围成的区域面积记为 S1，黑色部分面积记为 S2，其余部分面积记为 S3，则（ ）AS 1S 2 BS 1S 3 CS 2S 3 DS 1S 2+S3二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）计算：（a+b）（2a2b） 12（3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，A 的平分线 AE 交 CD 于E，AB5，BC3，则 EC 的长为 13（3 分）若反比例函数 的图象在每一个象限中，y 随着 x 的增大而减小，则 m的取值
5、范围是 14（3 分）某校园餐厅把 WIF 密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是 15（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，F 是 AD 的中点，E 是 CD 上一点，FBE45，则 tanFEB 的值是 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（10 分）计算：（1）（2）17（8 分）如图，一次函数 y1kx+b（k0）和反比例函数 y2 （m0）的图象相交于点 A（ 4，2），B（n，4）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出不等式 y1y
6、2 的解集18（7 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，直线 AB 分别与 y 轴，x 轴交于A（0， 4），B（3，0）两点（1）尺规作图：在 x 轴上求作一点 C，使ABC 是以 C 为顶角的等腰三角形，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求点 C 的坐标19（8 分）目前“微信”以其颠覆性的创新，赢得了数亿人的支持，为了调查某中学学生在周日上“微信”的时间，随机对 100 名男生和 100 名女生进行了问卷调查，得到了如下的统计结果表 1：男生上“微信时间的频数分布表上网时间（分钟） 30x40 40x50 50x60 60x70 70
7、x80人数 5 25 30 25 15表 2：女生上“微信”时间的频数分布表上网时间（分钟） 30x40 40x50 50x60 60x 70 70x80人数 10 20 40 20 10请结合图表完成下列各题（1）完成表 3：表 3 上“微信”时间少于 60 分钟 上“微信”时间不少于 60 分钟男生人数 女生人数 （2）若该中学共有女生 750 人，请估计其中上“微信”时间不少于 60 分钟的人数；（3）从表 3 的男生中抽取 5 人（其中 3 人上“微信”时间少于 60 分钟，2 人上“微信”时间不少于 60 分钟），再从抽取的 5 人中任取 2 人，请用列表或画树状图的方法求出至少有一
8、人上“微信”时间不少于 60 分钟的概率20（7 分）大张高铁是连接晋北地区与京津冀地区的重要交通枢纽，也是大同市的“一号工程”，大张高铁预计于今年 9 月进行联调联试，并计划年底开通大张高铁开通后，从大同至北京的列车运行时间将比普通列车缩短 4 小时，已知大同到北京全程约 350千米，高铁列车的速度是普通列车速度的 3.6 倍，求从大同乘坐高铁到北京需要多长时间？21（8 分）阅读下列材料，并完成相应的任务托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元 90 年公元 168 年），希腊著名的天文学家，他的要著作天文学大成被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作数学文集，托勒密从书中摘出并加
9、以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和已知：如图 1，四边形 ABCD 内接于O ，求证：ABCD+BCADAC BD下面是该结论的证明过程：证明：如图 2，作BAECAD，交 BD 于点 EABE ACDABE ACDABCDACBEACBADE（依据 1）BAE CADBAE +EAC CAD+EAC即BACEADABCAED（依据 2）ADBCACEDABCD+ ADBCAC（BE+ ED）ABCD+ ADBCACBD任务：（1）上述证明过程中的“依据 1”、“依据 2”分别是指什么？（2）当圆内接四边形 ABCD
10、 是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： （请写出）（3）如图 3，四边形 ABCD 内接于O ，AB3，AD5，BAD60，点 C 为 的中点，求 AC 的长22（13 分）综合与实践问题情境：如图 1，在数学活动课上，老师让同学们画了等腰 RtABC 和等腰 RtADE，并连接 CE，BD 操作发现：（1）当等腰 Rt ADE 绕点 A 旋转，如图 2，勤奋小组发现了：线段 CE 与线段 BD 之间的数量关系是 直线 CE 与直线 BD 之间的位置关系是 类比思考：（2）智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图 3，若ABC 与ADE 都为直角三角形，BACDAE90，且 AC2A
11、B ，AE2AD，请你写出 CE 与 BD的数量关系和位置关系，并加以证明拓展应用：（3）创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，当点 E 在直线AB 上方时，若 DEAB，且 AB ，AD1，其他条件不变，试求出线段 CE 的长（直接写出结论）23（14 分）综合与探究如图，已知抛物线 yax 23x +c 与 y 轴交于点 A（0，4），与 x 轴交于点 B（4，0），点 P 是线段 AB 下方抛物线上的一个动点（1）求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标；（2）当点 P 移动到抛物线的什么位置时，PAB90求出此时点 P 的坐标；（3）当点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 下方的抛
12、物线向终点 B 移动，在移动中，设点 P的横坐标为 t，PAB 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数表达式，并求 t 为何值时 S 有最大值，最大值是多少？2019 年山西省大同市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1（3 分）下列结果为 2 的是（ ）A（+2） B C|2| D|2|【分析】根据绝对值的性质和相反数的性质逐一计算可得【解答】解：A、（+2）2，此选项不符合题意；B、 2，此选项不符合题意；C、|2|2，此选项符合题意；D、| 2|
13、2，此选项不符合题意；故选：C【点评】本题主要考查绝对值和相反数，解题的关键是熟练掌握绝对值和相反数的性质2（3 分）如图是由五个相同的小正方体组成的立体图形，从上面看到的图形是（ ）A B C D【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图【解答】解：从上边看第一列是三个小正方形，第二列中间一个小正方形，故选：B【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图3（3 分）下列运算正确的是（ ）A（a 3） 2a 5 Ba 2+a2a 4 C D| 2| 2【分析】分别计算积的乘方、合并同类项、负指数幂运算、绝对值，进行判断即可【解答】A（a 3） 2a 6，故 A 错误；Ba2+a
14、22a2，故 B 错误；C. 4，故 C 正确；D. ，故 D 错误；故选：C【点评】本题考查了整式的运算，熟练掌握积的乘方、合并同类项、负指数幂运算、绝对值计算则是解题的关键4（3 分）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若127，则2 的度数是（ ）A53 B63 C73 D27【分析】先由余角的定义求出3 的度数，再根据平行线的性质求出2 的度数，即可得出结论【解答】解：127，3901902763ab，2363故选：B【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等5（3 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D【分析】首先解出两个不等式
15、的解；根据在数轴上表示不等式解集的方法分别把每个不等式的解集在数轴上表示出来即可【解答】解：解不等式 得， x3解不等式 得， x2在数轴上表示为：故选：D【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示6（3 分）“山西八分钟，惊艳全世界”.2019 年 2 月 25 日下午，在外交部蓝厅隆重举行山西全球推介活动山西经济结构从“一煤独大”向多元支
16、撑转变，三年累计退出煤炭过剩产能 8800 余万吨，煤层气产量突破 56 亿立方米数据 56 亿用科学记数法可表示为（ ）A5610 8 B5.610 8 C5.610 9 D0.5610 10【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值是易错点，由于 56 亿有 10 位，所以可以确定 n1019【解答】解：56 亿5610 85.610 9，故选：C【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键7（3 分）将抛物线 yx 2x +1 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，则所得抛物线的表达式为
17、（ ）Ayx 2+3x+6 Byx 2+3x Cyx 25x+10 Dy x 25x+4【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，左加右减的原则即可；【解答】解：yx 2x +1（ x ） 2+ ，当向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，得y（x +2）2+ +3（x+ ）2+ x 2+3x+6；故选：A【点评】本题考查二次函数的平移；掌握平移的法则“左加右减”，二次函数的平移一定要将解析式化为顶点式进行；8（3 分）九章算术是中国传统数学最重要的著作之一，其中记载：“今有共买物人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”译文：“几个人去购买物品，如果每人出 8 钱，则剩余 3
18、 钱；如果每人出 7 钱，则差 4 钱问有多少人，物品的价格是多少”？设有 m 人，物品价格是 n 钱，下列四个等式：8m+37m4； ； ；8m 37m+4，其中正确的是（ ）A B C D【分析】根据钱数可以列出相应的方程或者根据人数列出相应的方程，从而可以解答本题【解答】解：由题意可得，8m37m+4，故错误，正确，故错误，正确，故选：D【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程9（3 分）寒假期间，小刚组织同学一起去看科幻电影流浪地球，票价每张 45 元，20 张以上（不含 20 张）打八折，他们一共花了 900 元，则他们买到的电影票的张数
19、是（ ）A20 B22 C25 D20 或 25【分析】本题分票价每张 45 元和票价每张 45 元的八折两种情况讨论，根据数量总价单价，列式计算即可求解【解答】解：若购买的电影票不超过 20 张，则其数量为 9004520（张）；若购买的电影票超过 20 张，设购买了 x 张电影票，根据题意，得：45x80%900，解得：x25；综上，共购买了 20 张或 25 张电影票；故选：D【点评】本题考查了一元一次方程的应用，注意分类思想的实际运用，同时熟练掌握数量，总价和单价之间的关系10（3 分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形
20、ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC ，ABC 的三边所围成的区域面积记为 S1，黑色部分面积记为 S2，其余部分面积记为 S3，则（ ）AS 1S 2 BS 1S 3 CS 2S 3 DS 1S 2+S3【分析】由勾股定理，由整个图形的面积减去以 BC 为直径的半圆的面积，即可得出结论【解答】解：RtABC 中，AB 2+AC2BC 2S 2 （ AB） 2+ （ AC） 2 （ BC） 2+SABC （AB 2+AC2BC 2）+SABC S 1故选：A【点评】本题考查了勾股定理、圆面积公式以及数学常识；熟练掌握勾股定理是解题的关键二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共
21、15 分）11（3 分）计算：（a+b）（2a2b） 2a 22b 2 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式2a 22ab+2ab2b 22a 22b 2，故答案为：2a 22b 2【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型12（3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，A 的平分线 AE 交 CD 于E，AB5，BC3，则 EC 的长为 2 【分析】首先根据平行四边形的性质可得 ABCD5，DCAB，ADBC3，然后证明 ADDE ，进而可得 EC 长【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD5，DCAB，A
22、DBC3，DEAEAB，AE 平分DAB，DAEEAB，DAEDEA，ADDE ，AD3，DE3，EC532故答案为：2【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等且平行13（3 分）若反比例函数 的图象在每一个象限中，y 随着 x 的增大而减小，则 m的取值范围是 m1 【分析】根据反比例函数的性质可得 m10，再解不等式即可【解答】解：图象在每一个象限中 y 随着 x 的增大而减小，m10，解得：m1，故答案为：m1【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数 （k 0），（1）k0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k0，反比例函数图象在第二、
23、四象限内14（3 分）某校园餐厅把 WIF 密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是 143549 【分析】根据题中 wif 密码规律确定出所求即可【解答】解：原式7210000+75100+7（2+5 ）143549，故答案为：143549【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键15（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，F 是 AD 的中点，E 是 CD 上一点，FBE45，则 tanFEB 的值是 3 【分析】根据正方形的性质得 BABC，ABC 90，则可把BAE 绕点 B 顺时针旋转 90得到
24、BCG，如图，根据旋转的性质得BCGBAF90，FBGABC90，AFCG，所以点 G、C 、F 共线，再利用“SAS”证明BFE BGE，得到FEBGEB，设正方形的边长为 2a，CEx，则AFDF a，CGAF a，DF2ax，EFEGx+a，在 RtDEF 中，利用勾股定理得到 a2+（2ax） 2（x +a） 2，解得 x a，然后在 RtBCF 中，根据正切的定义得 tanBEC 3，即 tanFEB 的值为 3【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，BABC， ABC90，把BAF 绕点 B 顺时针旋转 90得到BCG，如图，BCGBAF90，FBGABC90，AFCG，点 G、C
25、、E 共线，EBF 45，GBE45，BG BF，在BEF 和BGE 中，BEF BGE（SAS），FEB GEB，设正方形的边长为 2a，CE x，则AFDF a，CGAF a，DF2ax，EFEGx+a，在 Rt DEF 中，DF 2+DE2EF 2，a 2+（2ax） 2（x +a） 2，解得 x a，在 Rt BCE 中，tanCEB ，tanFEB3故答案为 3【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理和锐角三角函数的定义三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分
26、.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（10 分）计算：（1）（2）【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案（2）根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：（1）原式 + 3+1 + 23；（2）原式 ；【点评】本题考查学生的运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型17（8 分）如图，一次函数 y1kx+b（k0）和反比例函数 y2 （m0）的图象相交于点 A（ 4，2），B（n，4）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出不等式 y1y 2 的解集【分析】将点 A（4，2）代入 y2 ，求反比例函数解析式，再求得 B 的坐标，将 A与 B 两点坐
27、标代入 y1kx+ b，即可求解；（2）y 1y 2，在图象中找反比例函数图象在一次函数图象上方的部分即可；【解答】解：（1）将点 A（4，2）代入 y2 ，m8，y ，将 B（n，4）代入 y ，n2，B（2，4），将 A（4，2），B（2，4）代入 y1kx+b，得到 ， ，yx2，（2）由图象直接可得：x2 或4x0；【点评】本题考查一次函数和反比例函数图象和性质；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键18（7 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，直线 AB 分别与 y 轴，x 轴交于A（0， 4），B（3，0）两点（1）尺规作图：在 x 轴上求作一点 C，使ABC 是以
28、 C 为顶角的等腰三角形，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求点 C 的坐标【分析】（1）利用尺规作图作线段 AB 的中垂线，与 x 轴的交点即为点 C，连接AC、BC 即可得；（2）设 OCx，利用勾股定理得出 AC2OA 2+OC24 2+x2，BC 2（OC 2+OB2）（x+3） 2，依据 ACBC 得出关于 x 的方程，解之可得【解答】解：（1）如图所示，ABC 即为所求（2）设 OCx，A（0，4），B（3，0），OA4，OB3，AC 2OA 2+OC24 2+x2，BC 2（OC 2+OB2）（x+3） 2，4 2+x2（x+3） 2，解得 x
29、 ，C（ ，0）【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握线段中垂线的尺规作图和勾股定理19（8 分）目前“微信”以其颠覆性的创新，赢得了数亿人的支持，为了调查某中学学生在周日上“微信”的时间，随机对 100 名男生和 100 名女生进行了问卷调查，得到了如下的统计结果表 1：男生上“微信时间的频数分布表上网时间（分钟） 30x40 40x50 50x60 60x70 70 x80人数 5 25 30 25 15表 2：女生上“微信”时间的频数分布表上网时间（分钟） 30x40 40x50 50x60 60x 70 70x80人数 10 20 40 20 10请结合图表完成下列各题
30、（1）完成表 3：表 3 上“微信”时间少于 60 分钟 上“微信”时间不少于 60 分钟男生人数 60 40 女生人数 70 30 （2）若该中学共有女生 750 人，请估计其中上“微信”时间不少于 60 分钟的人数；（3）从表 3 的男生中抽取 5 人（其中 3 人上“微信”时间少于 60 分钟，2 人上“微信”时间不少于 60 分钟），再从抽取的 5 人中任取 2 人，请用列表或画树状图的方法求出至少有一人上“微信”时间不少于 60 分钟的概率【分析】（1）利用男生和女生的“微信时间的频数分布表求解；（2）用 750 乘以女生上“微信”时间不少于 60 分钟的百分比即可；（3）画树状图（
31、上“微信”时间少于 60 分钟的三人分别用 A、B、C 表示，上“微信”时间不少于 60 分钟的 2 人用 a、b 表示）展示所有 20 种等可能的结果数，找出至少有一人上“微信”时间不少于 60 分钟的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）上“微信”时间少于 60 分钟的男生人数为 60 人，女生人数为 70；上“微信”时间不少于 60 分钟的男生人数为 40 人，女生人数 30；故答案为 60，40；70，30；（2）750 215，所以估计其中上“微信”时间不少于 60 分钟的人数为 215 人；（3）画树状图为：（上“微信”时间少于 60 分钟的三人分别用 A、B、C 表示，上
32、“微信”时间不少于 60 分钟的 2 人用 a、b 表示）共有 20 种等可能的结果数，其中至少有一人上“微信”时间不少于 60 分钟的结果数为14，所以至少有一人上“微信”时间不少于 60 分钟的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率也考查了统计图20（7 分）大张高铁是连接晋北地区与京津冀地区的重要交通枢纽，也是大同市的“一号工程”，大张高铁预计于今年 9 月进行联调联试，并计划年底开通大张高铁开通后，从大同至北京的列车运行时间将比普通列车缩短 4
33、小时，已知大同到北京全程约 350千米，高铁列车的速度是普通列车速度的 3.6 倍，求从大同乘坐高铁到北京需要多长时间？【分析】设从大同乘坐高铁到北京需要 x 小时，根据时间、速度、路程间的数量关系以及高铁列车的速度是普通列车速度的 3.6 倍列出方程并解答【解答】解：设从大同乘坐高铁到北京需要 x 小时，根据题意，得 3.6解得：x经检验 x 是原方程的解，且符合题意答：从大同乘坐高铁到北京需要 小时【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键21（8 分）阅读下列材料，并完成相应的任务托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元 90 年公元 168 年），希
34、腊著名的天文学家，他的要著作天文学大成被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作数学文集，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和已知：如图 1，四边形 ABCD 内接于O ，求证：ABCD+BCADAC BD下面是该结论的证明过程：证明：如图 2，作BAECAD，交 BD 于点 EABE ACDABE ACDABCDACBEACBADE（依据 1）BAE CADBAE +EAC CAD+EAC即BACEADABCAED（依据 2）ADBCACEDABCD+ ADBCAC（BE+ ED）ABCD+
35、ADBCACBD任务：（1）上述证明过程中的“依据 1”、“依据 2”分别是指什么？（2）当圆内接四边形 ABCD 是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： 勾股定理 （请写出）（3）如图 3，四边形 ABCD 内接于O ，AB3，AD5，BAD60，点 C 为 的中点，求 AC 的长【分析】（1）根据圆周角定理，相似三角形的判定即可解决问题（2）利用矩形的性质以及托勒密定理即可判断（3）连接 BD，作 CEBD 于 E首先证明 BD2DE CD，由托勒密定理，构建方程求出 AC 即可【解答】解：（1）上述证明过程中的“依据 1”是同弧所对的圆周角相等“依据 2”是两角分别相等的两个三
36、角形相似（2）当圆内接四边形 ABCD 是矩形时，则 ABCD，ADBC，ACBD ，ABCD+ ADBCACBD，AB 2+AD2BD 2，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：勾股定理，故答案为勾股定理（3）连接 BD，作 CEBD 于 E四边形 ABCD 是圆内接四边形，BAD+BCD180，BAD60，BCD120， ，CDCB，CDB30，在 Rt CDE 中， cos30 ，DE CD，BD2DE CD，由托勒密定理：ACBDADBC+CDAB，AC CD3CD+5CD，AC ，答：AC 的长为 【点评】本题属于圆综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，锐角三角
37、函数，托勒密定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题22（13 分）综合与实践问题情境：如图 1，在数学活动课上，老师让同学们画了等腰 RtABC 和等腰 RtADE，并连接 CE，BD 操作发现：（1）当等腰 Rt ADE 绕点 A 旋转，如图 2，勤奋小组发现了：线段 CE 与线段 BD 之间的数量关系是 EC BD 直线 CE 与直线 BD 之间的位置关系是 BD EC 类比思考：（2）智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图 3，若ABC 与ADE 都为直角三角形，BACDAE90，且 AC2AB ，AE2AD，请你写出 CE 与 BD的数量
38、关系和位置关系，并加以证明拓展应用：（3）创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，当点 E 在直线AB 上方时，若 DEAB，且 AB ，AD1，其他条件不变，试求出线段 CE 的长（直接写出结论）【分析】（1）如图 2 中，延长 BD 交 AC 于点 O，交 EC 于 H证明EACDAB（SAS ），即可解决问题（2）结论：CE2BD，CEBD 如图 3 中，延长 BD 交 AC 于点 O，交 EC 于点H证明ABDACE，即可解决问题（3）如图 4 中，当 DEAB 时，设 DE 交 AC 于 H，易证 ACDE 求出 EH，CH，理由勾股定理即可解决问题【解答】解：（1）如图 2
39、 中，延长 BD 交 AC 于点 O，交 EC 于 HAEAD ，AC AB，EADCAB 90，EACDAB，EACDAB（SAS），ECBD，ECAABD，ABD+AOB 90，AOB COH，ECA+ COH90，CHO90，BDEC，故答案为 ECBD，BDEC（2）结论：CE2BD，CEBD 理由：如图 3 中，延长 BD 交 AC 于点 O，交 EC 于点 HBACDAE，BADCAE，AC2AB，AE2AD， ，ABDACE， ，CE2BD，ABD ACE，ABD+AOB 90，AOB COH，ECA+ COH90，CHO90，BDEC（3）如图 4 中，当 DEAB 时，设 D
40、E 交 AC 于 H，易证 ACDE AE2AD ，AD1，AE2，DE ，AH ，EH ，AC2AB，AB ，CHACAH ，在 Rt ECH 中， EC 4【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题23（14 分）综合与探究如图，已知抛物线 yax 23x +c 与 y 轴交于点 A（0，4），与 x 轴交于点 B（4，0），点 P 是线段 AB 下方抛物线上的一个动点（1）求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标；（2）当点 P 移动到抛物线的什么位置时，PAB90求出
41、此时点 P 的坐标；（3）当点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 下方的抛物线向终点 B 移动，在移动中，设点 P的横坐标为 t，PAB 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数表达式，并求 t 为何值时 S 有最大值，最大值是多少？【分析】（1）根据点 A，B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线的顶点坐标；（2）过点 P 作 PQOA 于点 Q，由 OAOB 结合PAB90可得出PAQ 45，进而可得出 AQPQ，设点 P 的坐标为（m，m 23m 4 ），由点 A 的坐标结合AQPQ 可得出关于 m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（3）根据点
42、 A，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线 AB 的解析式，过点 P 作PMx 轴，垂足为点 M，由点 P 的横坐标为 t 可得出点 P，M 的坐标，进而可得出 PM的长，由 SPAB S 梯形 OAPM+SPBM S AOB 可得出 S 关于 t 的函数表达式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）将 A（0，4），B（4，0）代入 yax 23x+c，得：，解得： ，抛物线的解析式为 yx 23x 4yx 23x 4（x ） 2 ，抛物线的顶点坐标为（ ， ）（2）过点 P 作 PQOA 于点 Q，如图 1 所示OAOB ，OAB45又PAB 90，PAQ45，AQPQ
43、设点 P 的坐标为（m，m 23m4），m4（m 23m4），解得：m 10（舍去），m 22，点 P 的坐标为（2，6）（3）设直线 AB 的解析式为 ykx+b（k0），将 A（0，4），B（4，0）代入 ykx+b，得：，解得： ，直线 AB 的解析式为 yx 4过点 P 作 PM x 轴，垂足为点 M，如图 2 所示点 P 的坐标为（t，t 23t 4），点 M 的坐标为（t，0），PMt 2+3t+4S PAB S 梯形 OAPM+SPBM S AOB ， （OA+PM）OM+ PMBM OAOB， 4+（t 2+3t+4）t+ （t 2+3t+4）（4t） 44，2t 2+8t，即 S2t 2+8t（0t4）S2t 2+8t2（t2） 2+8，20，当 t2 时，S 取得最大值，最大值为 8【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解一元二次方程以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用等腰直角三角形的性质，找出关于 m 的一元二次方程；（ 3）利用分割图形求面积法，找出 S 关于 t 的函数关系式