1、2019 年浙江省衢州市中考数学一模试卷一、单选题1计算（a 2） 5 的结果是（ ）Aa 7 Ba 7 Ca 10 Da 102下面是小林做的 4 道作业题：（1）2ab+3ab5ab；（2）2ab3abab；（3）2ab3ab6ab；（4）2ab3ab 做对一题得 2 分，则他共得到（ ）A2 分 B4 分 C6 分 D8 分3已知一次函数 y12x +m 与 y22x+n（mn）的图象如图所示，则关于 x 与 y 的二元一次方程组 的解的个数为（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D无数个4抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一对某单位 50 名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并
2、绘制成了统计图根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（ ）A20，20 B30，20 C30，30 D20，305当温度不变时，气球内气体的气压 P（单位：kPa）是气体体积 V（单位：m 3）的函数，下表记录了一组实验数据：P 与 V 的函数关系式可能是（ ） V（单位：m3）1 1.5 2 2.5 3P（单位：kPa）96 64 48 38.4 32AP96V BP16V+112CP16V 296V+176 DP6如图，在射线 OA，OB 上分别截取 OA1OB 1，连接 A1B1，在 B1A1，B 1B 上分别截取B1A2B 1B2，连接 A2B2， 按此规律作下去，若A 1B
3、1O ，则A 10B10O（ ）A B C D7已知抛物线 c：y x 2+2x3，将抛物线 c 平移得到抛物线 c，如果两条抛物线，关于直线 x1 对称，那么下列说法正确的是（ ）A将抛物线 c 沿 x 轴向右平移 个单位得到抛物线 cB将抛物线 c 沿 x 轴向右平移 4 个单位得到抛物线 cC将抛物线 c 沿 x 轴向右平移 个单位得到抛物线 cD将抛物线 c 沿 x 轴向右平移 6 个单位得到抛物线 c8如图，已知 AB 和 CD 是O 的两条等弦OMAB，ONCD，垂足分别为点M、N ，BA 、DC 的延长线交于点 P，联结 OP下列四个说法中： ；OM ON ；PAPC；BPODP
4、O，正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D49如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是边 CD 上一点，将ADE 沿 AE 折叠至AD E 处，AD与 CE 交于点 F，若B52，DAE 20，则 FED的度数为（ ）A40 B36 C50 D4510如图，正方形 ABCD 的边长是 3，BPCQ，连接 AQ，DP 交于点 O，并分别与边CD，BC 交于点 F，E，连接 AE，下列结论： AQDP；OA 2OE OP；S AODS 四边形 OECF； 当 BP1 时，tanOAE ，其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题11AB 为半圆 O 的直径，现将一块等腰直角三角板如
5、图放置，锐角顶点 P 在半圆上，斜边过点 B，一条直角边交该半圆于点 Q若 AB2，则线段 BQ 的长为 12从 、0、 、3.5 这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是 13如图，反比例函数 y 的图象经过矩形 OABC 的边 AB 的中点 D，则矩形 OABC 的面积为 14小菲受乌鸦喝水故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，量筒中至少放入 个小球时有水溢出15如图，点 P 为MON 平分线 OC 上一点，以点 P 为顶点的APB 两边分别与射线OM、ON 相交于点 A、B ，如果 APB 在绕点 P 旋转时始终满足 OAOBOP 2，我们就把A
6、PB 叫做MON 的关联角如果MON 50，APB 是MON 的关联角，那么APB 的度数为 16两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼 A 处透过窗户 E 发现乙楼 F 处出现火灾，此时 A，E，F 在同一直线上跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在 1.2m 高的 D 处喷出，水流正好经过 E， F若点 B 和点 E、点 C 和 F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移 0.4m，再向左后退了 m，恰好把水喷到 F 处进行灭火三、解答题17（1）计算： 2sin45+（2） 0（ ） 1 ；（2）先化简，再求值 （a 2b 2），其中 a ，b2 18解分
7、式方程： 1 19某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按 A、B 、 C、D 四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A 级：90 分100 分；B 级：75 分89 分；C 级：60 分74 分；D 级：60 分以下）（1）写出 D 级学生的人数占全班总人数的百分比为 ，C 级学生所在的扇形圆心角的度数为 ；（2）该班学生体育测试成绩的中位数落在等级 内；（3）若该校九年级学生共有 500 人，请你估计这次考试中 A 级和 B 级的学生共有多少人？20小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，
8、旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在 C 处且与地面成 60角，小明拿起绳子末端，后退至 E 处，拉直绳子，此时绳子末端 D 距离地面 1.6m 且绳子与水平方向成 45角（1）填空：AD AC（填“”，“”，“”）（2）求旗杆 AB 的高度（参考数据： 1.41， 1.73，结果精确到 0.1m）21如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 关于 y 轴对称，边 AD 在 x 轴上，点 B 在第四象限，直线 BD 与反比例函数 y 的图象交于点 B、E（1）求反比例函数及直线 BD 的解析式；（2）求点 E 的坐标22在 RtABC 中，ACB90，BE 平分
9、ABC ，D 是边 AB 上一点，以 BD 为直径的O 经过点 E，且交 BC 于点 F（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若 BF6，O 的半径为 5，求 CE 的长23如图，已知直线 yx +3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，抛物线 yx 2+bx+c 经过 A，B 两点，点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发，以 1 个单位 /秒的速度匀速运动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以 个单位/ 秒的速度匀速运动，连接 PQ，设运动时间为 t 秒（1）求抛物线的解析式；（2）当 t 为何值时，APQ 为直角三角形；（3）过点 P 作 PEy 轴，交 A
10、B 于点 E，过点 Q 作 QFy 轴，交抛物线于点 F，连接EF，当 EFPQ 时，求点 F 的坐标24在正方形 ABCD 中，AB8，点 P 在边 CD 上，tanPBC ，点 Q 是在射线 BP 上的一个动点，过点 Q 作 AB 的平行线交射线 AD 于点 M，点 R 在射线 AD 上，使 RQ 始终与直线 BP 垂直（1）如图 1，当点 R 与点 D 重合时，求 PQ 的长；（2）如图 2，试探索： 的比值是否随点 Q 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图 3，若点 Q 在线段 BP 上，设 PQx ，RMy，求 y 关于 x 的函数关系式
11、，并写出它的定义域2019 年浙江省衢州市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单选题1计算（a 2） 5 的结果是（ ）Aa 7 Ba 7 Ca 10 Da 10【分析】直接利用积的乘方运算法则求出答案【解答】解：（a 2） 5a 10故选：D【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键2下面是小林做的 4 道作业题：（1）2ab+3ab5ab；（2）2ab3abab；（3）2ab3ab6ab；（4）2ab3ab 做对一题得 2 分，则他共得到（ ）A2 分 B4 分 C6 分 D8 分【分析】这几个式子的运算是合并同类项的问题，根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字
12、母和字母的指数不变【解答】解：（1）2ab+3ab5ab，正确；（2）2ab3abab，正确；（3）2ab3abab，2ab3ab6ab 错误；（4）2ab3ab ，正确3 道正确，得到 6 分，故选：C【点评】本题主要考查合并同类项得法则即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变3已知一次函数 y12x +m 与 y22x+n（mn）的图象如图所示，则关于 x 与 y 的二元一次方程组 的解的个数为（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D无数个【分析】由图象可知，一次函数 y12x+m 与 y22x+n（ mn）是两条互相平行的直线，所以关于 x 与 y 的二元一次方程组 无解【解答】解：一次函
13、数 y12x+m 与 y22x+n（mn）是两条互相平行的直线，关于 x 与 y 的二元一次方程组 无解故选：A【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标4抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一对某单位 50 名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（ ）A20，20 B30，20 C30，30 D20，30【分析】根据众数和中位数的定义，出现次数最多的那个数就是众
14、数，把一组数据按照大小顺序排列，中间那个数或中间两个数的平均数叫中位数【解答】解：捐款 30 元的人数为 20 人，最多，则众数为 30，中间两个数分别为 30 和 30，则中位数是 30，故选：C【点评】本题考查了条形统计图、众数和中位数，这是基础知识要熟练掌握5当温度不变时，气球内气体的气压 P（单位：kPa）是气体体积 V（单位：m 3）的函数，下表记录了一组实验数据：P 与 V 的函数关系式可能是（ ） V（单位：m3）1 1.5 2 2.5 3P（单位：kPa）96 64 48 38.4 32AP96V BP16V+112CP16V 296V+176 DP【分析】观察表格发现 vp9
15、6，从而确定两个变量之间的关系即可【解答】解：观察发现：vp1961.5642482.538.433296，故 P 与 V 的函数关系式为 p ，故选：D【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数 96，难度不大6如图，在射线 OA，OB 上分别截取 OA1OB 1，连接 A1B1，在 B1A1，B 1B 上分别截取B1A2B 1B2，连接 A2B2， 按此规律作下去，若A 1B1O ，则A 10B10O（ ）A B C D【分析】根据等腰三角形两底角相等用 表示出A 2B2O，依此类推即可得到结论【解答】解：B 1A2B 1B2，A 1B1O ，A
16、 2B2O ，同理A 3B3O ，A 4B4O ，A nBnO ，A 10B10O ，故选：B【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成 2 的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键7已知抛物线 c：y x 2+2x3，将抛物线 c 平移得到抛物线 c，如果两条抛物线，关于直线 x1 对称，那么下列说法正确的是（ ）A将抛物线 c 沿 x 轴向右平移 个单位得到抛物线 cB将抛物线 c 沿 x 轴向右平移 4 个单位得到抛物线 cC将抛物线 c 沿 x 轴向右平移 个单位得到抛物线 cD将抛物线 c 沿 x 轴向右平移 6 个单位得到抛
17、物线 c【分析】主要是找一个点，经过平移后这个点与直线 x1 对称抛物线 C 与 y 轴的交点为 A（0，3），与 A 点以对称轴对称的点是 B（2，3）若将抛物线 C 平移到C，就是要将 B 点平移后以对称轴 x1 与 A 点对称则 B 点平移后坐标应为（4，3）因此将抛物线 C 向右平移 4 个单位【解答】解：抛物线 C：yx 2+2x3（x+1） 24，抛物线对称轴为 x1抛物线与 y 轴的交点为 A（0，3）则与 A 点以对称轴对称的点是 B（2，3）若将抛物线 C 平移到 C，并且 C，C 关于直线 x1 对称，就是要将 B 点平移后以对称轴 x1 与 A 点对称则 B 点平移后坐标
18、应为（4，3）因此将抛物线 C 向右平移 4 个单位故选：B【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减8如图，已知 AB 和 CD 是O 的两条等弦OMAB，ONCD，垂足分别为点M、N，BA、DC 的延长线交于点 P，联结 OP下列四个说法中： ；OM ON ；PAPC；BPODPO，正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明 RtOMBRtOND，Rt OPM Rt OPN 即可解决问题【解答】解：如图连接 OB、 OD；ABCD， ，故正确OM AB，ON CD ，AMMB，CN ND，
19、BMDN ，OBOD ，RtOMBRtOND，OM ON，故正确，OPOP ，RtOPMRtOPN，PMPN， OPBOPD，故 正确，AMCN，PAPC，故 正确，故选：D【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型9如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是边 CD 上一点，将ADE 沿 AE 折叠至AD E 处，AD与 CE 交于点 F，若B52，DAE 20，则FED的度数为（ ）A40 B36 C50 D45【分析】由平行四边形的性质得出D B52，由折叠的性质得：DD52，EAD
20、DAE 20，由三角形的外角性质求出AEF72，与三角形内角和定理求出AED108，即可得出FED的大小【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，DB52，由折叠的性质得：D D52，EADDAE20，AEF D +DAE 52+2072，AED180EADD 108，FED1087236；故选：B【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出AEF 和AED是解决问题的关键10如图，正方形 ABCD 的边长是 3，BPCQ，连接 AQ，DP 交于点 O，并分别与边CD，BC 交于点 F，E，连接 AE，下列结
21、论： AQDP；OA 2OE OP；S AODS 四边形 OECF； 当 BP1 时，tanOAE ，其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由四边形 ABCD 是正方形，得到 ADBC，DABABC90，根据全等三角形的性质得到PQ ，根据余角的性质得到 AQ DP；故正确；根据相似三角形的性质得到 AO2ODOP，由 ODOE，得到 OA2OE OP；故错误；根据全等三角形的性质得到 CFBE，DF CE，于是得到 SADF S DFO S DCE S DOF ，即 SAOD S 四边形 OECF；故正确；根据相似三角形的性质得到 BE ，求得 QE，QO ，OE ，由三角
22、函数的定义即可得到结论【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，ADBC，DAB ABC90，BPCQ，APBQ ，在DAP 与ABQ 中， ，DAPABQ，PQ，Q+QAB90，P+QAB90，AOP90，AQDP ；故正确；DOA AOP90，ADO+ PADO+DAO90，DAO P，DAO APO， ，AO 2OD OP，AEAB，AEAD ，ODOE ，OA 2OE OP；故错误；在CQF 与BPE 中 ，CQFBPE，CFBE，DFCE，在ADF 与DCE 中， ，ADFDCE，S ADF S DFO S DCE S DOF ，即 SAOD S 四边形 OECF；故正确；BP1，AB
23、3，AP4，PBE PAD， ，BE ，QE ，QOE PAD， ，QO ，OE ，AO5QO ，tanOAE ，故正确，故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键二、填空题11AB 为半圆 O 的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点 P 在半圆上，斜边过点 B，一条直角边交该半圆于点 Q若 AB2，则线段 BQ 的长为 【分析】连接 AQ，BQ，根据圆周角定理可得出QABP45，AQB90，故ABQ 是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论【解答】解：连接 AQ，BQ，P45，
24、QABP45，AQB90，ABQ 是等腰直角三角形AB2，2BQ 24，BQ 故答案为： 【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键12从 、0、 、3.5 这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是 【分析】直接利用无理数的定义得出无理数的个数，再利用概率公式求出答案【解答】解： 、 是无理数，从 、0、 、3.5 这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是：故答案为： 【点评】此题主要考查了无理数的定义以及概率公式的应用，正确把握概率公式是解题关键13如图，反比例函数 y 的图象经过矩形 OABC 的边 AB 的中点 D，则矩形 OABC
25、的面积为 4 【分析】可设 D 点坐标为（ x，y），则可表示出 B 点坐标，从而可表示出矩形 OABC的面积，利用 xy2 可求得答案【解答】解：设 D（x，y），反比例函数 y 的图象经过点 D，xy2，D 为 AB 的中点，B（x ，2y），OAx，OC 2y，S 矩形 OABCOAOCx 2y2xy224，故答案为：4【点评】本题主要考查反比例函数 k 的几何意义，利用条件用 D 点坐标表示出 B 点坐标是解题的关键14小菲受乌鸦喝水故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，量筒中至少放入 10 个小球时有水溢出【分析】设放入球后量桶中水面的高度 y（c
26、m）与小球个数 x（个）之间的一次函数关系式为 ykx+b，由待定系数法就可求出结论；当 y49 时，建立不等式求出其解即可【解答】解：设放入球后量桶中水面的高度 y（cm）与小球个数 x（个）之间的一次函数关系式为 ykx+b，由题意，得： ，解得： ，即 y2x+30；由 2x+3049，得 x9.5，即至少放入 10 个小球时有水溢出方法 2：由题意可得每添加一个球，水面上升 2cm，设至少放入 x 个小球时有水溢出，则2x+3049，解得 x9.5，即至少放入 10 个小球时有水溢出故答案为：10【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，列不等式
27、解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键15如图，点 P 为MON 平分线 OC 上一点，以点 P 为顶点的APB 两边分别与射线OM、ON 相交于点 A、B ，如果 APB 在绕点 P 旋转时始终满足 OAOBOP 2，我们就把APB 叫做MON 的关联角如果MON 50，APB 是MON 的关联角，那么APB 的度数为 155 【分析】由已知条件得到 ，由于BOPAOP，得到PBOAOP，根据相似三角形的性质得到OBPOPA，根据等量代换即可得到结论；【解答】解：OAOBOP 2， ，BOPAOP，PBOAOP，OBPOPA，MON50，BOP25，OBP+BPO 18025155A
28、PB BPO+APO155；故答案为：155【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的性质得到OBPOPA16两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼 A 处透过窗户 E 发现乙楼 F 处出现火灾，此时 A，E，F 在同一直线上跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在 1.2m 高的 D 处喷出，水流正好经过 E， F若点 B 和点 E、点 C 和 F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移 0.4m，再向左后退了 10 m，恰好把水喷到 F 处进行灭火【分析】由图形得出点 A（0，21.2）、D （0，1.2）、E（20，9.2）、点 F 的
29、纵坐标为6.2，先利用待定系数法求得直线 AE 解析式，据此求得点 F 的坐标，再根据点D、E、F 的坐标求得抛物线的解析式为 y x2+ x+ （x15） 2+ ，若设向左移动的距离为 p，则移动后抛物线的解析式为 y （x+p15） 2+ + ，将点 F 坐标代入求得 p 的值即可【解答】解：由图形可知，点 A（0，21.2）、D （0，1.2）、E（20，9.2）、点 F 的纵坐标为 6.2设 AE 所在直线解析式为 ymx+n，则 ，解得： ，直线 AE 解析式为 y0.6x +21.2，当 y6.2 时，0.6x +21.26.2，解得：x25，点 F 坐标为（25，6.2），设抛物
30、线的解析式为 yax 2+bx+c，将点 D（0，1.2）、E（20， 9.2）、F（25，6.2）代入，得：，解得： ，抛物线的解析式为 y x2+ x+ （x15） 2+ ，设消防员向左移动的距离为 p（p0），则移动后抛物线的解析式为 y （x+p15） 2+ + ，根据题意知，平移后抛物线过点 F（25，6.2），代入得： （25+p15） 2+ + 6.2，解得：p 10（舍）或 p 10，即消防员将水流抛物线向上平移 0.4m，再向左后退了（ 10）m，恰好把水喷到F 处进行灭火，故答案为： 10【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函
31、数图象的平移规律三、解答题17（1）计算： 2sin45+（2） 0（ ） 1 ；（2）先化简，再求值 （a 2b 2），其中 a ，b2 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂可以解答本题；（2）根据分式的乘除法、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将 a、b 的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（1） 2sin45+（2） 0（ ） 12 2 +132 +13 2；解：（2） （a 2b 2） （a+ b）（ab）a+b，当 a ，b2 时，原式 +（2 ） 【点评】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各
32、自的计算方法18解分式方程： 1 【分析】首先找出最简公分母，进而去分母解方程即可【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x2）得：（x2） 2（x +2）（x 2） 16解得：x2，检验：当 x2 时，（x +2）（x 2）0，x2 是原方程的增根，原方程无解【点评】此题主要考查了解分式方程，正确找出最简公分母是解题关键19某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按 A、B 、 C、D 四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A 级：90 分100 分；B 级：75 分89 分；C 级：60 分74
33、分；D 级：60 分以下）（1）写出 D 级学生的人数占全班总人数的百分比为 4% ，C 级学生所在的扇形圆心角的度数为 72 ；（2）该班学生体育测试成绩的中位数落在等级 B 内；（3）若该校九年级学生共有 500 人，请你估计这次考试中 A 级和 B 级的学生共有多少人？【分析】（1）先求出总人数，再求 D 成绩的人数占的比例；C 成绩的人数为 10 人，占的比例105020%，表示 C 的扇形的圆心角36020%72；（2）根据中位数的定义判断；（3）该班占全年级的比例5050010%，所以，这次考试中 A 级和 B 级的学生数（13+25）10%380 人【解答】解：（1）总人数为 2
34、550%50 人，D 成绩的人数占的比例为250100%4%，表示 C 的扇形的圆心角 360（1050）36020%72，故答案为：4%，72；（2）由于 A 成绩人数为 13 人，C 成绩人数为 10 人，D 成绩人数为 2 人，而 B 成绩人数为 25 人，故该班学生体育测试成绩的中位数落在 B 等级内；故答案为：B；（3） 500380（人），答：估计这次考试中 A 级和 B 级的学生共有 380 人【点评】本题考查对统计图形的识图、读图能力从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小20小明想利用所学数
35、学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在 C 处且与地面成 60角，小明拿起绳子末端，后退至 E 处，拉直绳子，此时绳子末端 D 距离地面 1.6m 且绳子与水平方向成 45角（1）填空：AD AC（填“”，“”，“”）（2）求旗杆 AB 的高度（参考数据： 1.41， 1.73，结果精确到 0.1m）【分析】设绳子 AC 的长为 x 米；由三角函数得出 AB，过 D 作 DFAB 于 F，根据ADF 是等腰直角三角形，得出方程，解方程即可【解答】解：（1）由图形可得：ADAC ；（2）设绳子 AC 的长为 x 米；在ABC 中，AB ACsin60，
36、过 D 作 DFAB 于 F，如图：ADF45，ADF 是等腰直角三角形，AFDF xsin45，ABAFBF1.6，则 xsin60xsin45 1.6，解得：x10，AB10sin608.7（m），答：旗杆 AB 的高度为 8.7m故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握三角函数，根据题意得出方程是解决问题的关键，本题难度适中21如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 关于 y 轴对称，边 AD 在 x 轴上，点 B 在第四象限，直线 BD 与反比例函数 y 的图象交于点 B、E（1）求反比例函数及直线 BD 的解析式；（2
37、）求点 E 的坐标【分析】（1）根据正方形的边长，正方形关于 y 轴对称，可得点 A、B、D 的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据两个函数解析式，可的方程组，根据解方程组，可得答案【解答】解：（1）边长为 2 的正方形 ABCD 关于 y 轴对称，边在 AD 在 x 轴上，点 B在第四象限，A（1，0），D（1，0）， B（1，2）反比例函数 y 的图象过点 B， ，m 2，反比例函数解析式为 y ，设一次函数解析式为 ykx+b，ykx+b 的图象过 B、D 点， ，解得 直线 BD 的解析式 yx1；（2）直线 BD 与反比例函数 y 的图象交于点 E， ，解得B（1，2），
38、E（2，1）【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，利用方程组求交点坐标22在 RtABC 中，ACB90，BE 平分ABC ，D 是边 AB 上一点，以 BD 为直径的O 经过点 E，且交 BC 于点 F（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若 BF6，O 的半径为 5，求 CE 的长【分析】（1）连接 OE，证明 OEA90即可；（2）连接 OF，过点 O 作 OHBF 交 BF 于 H，由题意可知四边形 OECH 为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出 OH 的长，进而求出 CE 的长【解答】（1）证明：连接 OEOEOB ，OBEOEB，BE 平分ABC
39、，OBEEBC，EBCOEB，OEBC，OEAC，ACB90，OEA90AC 是O 的切线；（2）解：连接 OE、OF，过点 O 作 OHBF 交 BF 于 H，由题意可知四边形 OECH 为矩形，OHCE，BF6，BH3，在 Rt BHO 中，OB5，OH 4，CE4【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性23如图，已知直线 yx +3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，抛物线 yx 2+bx+c 经过 A，B 两点，点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发，以 1 个单位 /秒的速度匀速运动；同时
40、，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以 个单位/秒的速度匀速运动，连接 PQ，设运动时间为 t 秒（1）求抛物线的解析式；（2）当 t 为何值时，APQ 为直角三角形；（3）过点 P 作 PEy 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作 QFy 轴，交抛物线于点 F，连接EF，当 EFPQ 时，求点 F 的坐标【分析】（1）先求得直线 AB 与 x 轴、y 轴的交点坐标，然后将点 A、点 B 的坐标代入抛物线的解析式得到关于 b、c 的方程组求得 b、c 的值从而可得到抛物线的解析式；（2）由点 A、B 的坐标可知 OBOA ，从而可求得BAO45，然后分为PQA90和QPA 9
41、0两种情况求解即可；（3）由题意可知：EPFQ ，EFPQ，故此四边形 EFQP 为平行四边形，从而得到PEFQ ，然后设点 P 的坐标为（t，0）则可表示出点 Q、E、F 的坐标，从而可求得PE、FQ 的长，最后根据 PEFQ 列方程求解即可【解答】解：（1）yx+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，当 y0 时，x 3，即 A 点坐标为（ 3，0），当 x0 时， y3，即 B 点坐标为（0，3）将 A（3，0），B（0，3）代入得： ，解得 ，抛物线的解析式为 yx 2+2x+3（2）OAOB3，BOA90，QAP45如图 所示： PQA90时设运动时间为 t 秒，则 QA
42、t，PA 3t在 Rt PQA 中， ，即 解得：t1如图 所示： QPA90时设运动时间为 t 秒，则 QA t，PA 3t在 Rt PQA 中， ，即 解得：t 综上所述，当 t1 或 t 时，PQA 是直角三角形（3）如图 所示：设点 P 的坐标为（t，0），则点 E 的坐标为（t，t +3），则 EP3t点 Q 的坐标为（3t，t），点 F 的坐标为（3t ，（3t） 2+2（3t）+3），即 F（3t ，4tt 2），则 FQ4tt 2t3tt 2EPFQ ，EFPQ，四边形 EFQP 为平行四边形EPFQ ，即 3t3tt 2解得：t 11，t 23（舍去）将 t1 代入得点 F
43、的坐标为（2，3）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数图象上的点的坐标与函数解析式之间的关系、待定系数法二次函数的解析式、等腰三角形三角形的性质和判定、平行四边形的判定，用含 t 的式子表示 EP 和 FQ 的长是解题的关键24在正方形 ABCD 中，AB8，点 P 在边 CD 上，tanPBC ，点 Q 是在射线 BP 上的一个动点，过点 Q 作 AB 的平行线交射线 AD 于点 M，点 R 在射线 AD 上，使 RQ 始终与直线 BP 垂直（1）如图 1，当点 R 与点 D 重合时，求 PQ 的长；（2）如图 2，试探索： 的比值是否随点 Q 的运动而发生
44、变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图 3，若点 Q 在线段 BP 上，设 PQx ，RMy，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域【分析】（1）先求出 PC6 、PB 10、RP2，再证PBCPRQ 得 ，据此可得；（2）证RMQPCB 得 ，根据 PC6、BC8 知 ，据此可得答案；（3）由 PDAB 知 ，据此可得 、PN ，由 、RMy 知，根据 PDMQ 得 ，即 ，整理可得函数解析式，当点 R与点 A 重合时，PQ 取得最大值，根据 ABQNAB 知 ，求得 x ，从而得出 x 的取值范围【解答】解：（1）由题意，得 ABBCCDAD 8，CA90，在 Rt BCP 中，C90， ， ，PC6，RP2， ，RQBQ ，RQP90，CRQP ，BPCRPQ，PBCPRQ， ， ， ；（2） 的比值随点 Q 的运动没有变化，如图 1，