1、2019 年浙江省金华市永康市中考数学一模试卷一、选择题（本题有 10 小题，每题 3 分，共 30 分请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1（3 分）在1，0，1， 四个数中，最大的数是（ ）A1 B0 C1 D2（3 分）据开化旅游部门统计，2018 年开化各景点共接待游客约为 12926000 人次，数据 12926000 用科学记数法表示为（ ）A0.1292610 8 B1.292610 6C12.92610 5 D1.2926 1073（3 分）下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）A BC D4（3 分）不等式 2x10 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A B
2、C D5（3 分）一组数据：1、3、3、5，若添加一个数据 3，则下列各统计量中会发生变化是（ ）A方差 B平均数 C中位数 D众数6（3 分）如图，已知射线 OM，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM 交于点A，再以点 A 为圆心， AO 长为半径画弧，两弧交于点 B，画射线 OB，那么AOB 的度数是（ ）A90 B60 C45 D307（3 分）已知，如图将圆心角为 120，半径为 9cm 的扇形，围成了圆锥侧面，则圆锥的底面半径为（ ）A3 B6 C6 D68（3 分）如图，C、D 是以线段 AB 为直径的O 上两点（位于 AB 两侧），CDAD，且ABC70，则BAD 的度
3、数是（ ）A50 B45 C35 D309（3 分）甲、乙两运动员在长为 400m 的环形跑道上进行匀速跑训练，两人同时从起点出发，同向而行，若甲跑步的速度为 5m/s，乙跑步的速度为 4m/s，则起跑后 500s 内，两人相遇的次数为（ ）A0 B1 C2 D310（3 分）一个大平行四边形按如图方式分割成九个小平行四边形，且只有标号为的小平行四边形为菱形在满足条件的所有分割中，若知道九个小平行四边形中 n 个小平行四边形的周长，就一定能算出这个大平行四边形的周长，则 n 的最小值是（ ）A2 B3 C4 D5二、填空（本题有 6 小题，每题 4 分，共 24 分）11（4 分）分解因式：x
4、 29 12（4 分）60的圆心角所对的弧长为 2cm，则此弧所在圆的半径为 13（4 分）如图 L4，L 5 被一组平行线 L1，L 2，L 3 所截，显然三条平行线不是等距的，若 ，则 为 14（4 分）一天，小明放学骑车从学校出发路过新华书店买了一本课外书再骑车回家，他所行驶的路程 s 与时间 t 的关系如图，则经 18 分钟后，小明离家还有 千米15（4 分）如图，点 A 在反比例函数 y 的图象上，点 B 在反比例函数 y 的图象上，点 C 在 x 轴上，且满足 AOAC，则ABC 的面积为 16（4 分）如图，在 RtABC 中，B90，AB3 ，BC 4，点 M、N 分别在AC、
5、AB 两边上，将 AMN 沿直线 MN 折叠，使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上，当DCM 是直角三角形时，则 tanAMN 的值为 三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分）17（6 分）计算： | 3|（ 1） 018（6 分）对于方程 1，某同学解法如下：解：方程两边同乘 6，得 3x2（x1）1 去括号，得 3x2x 21 合并同类项，得 x21 解得 x3 原方程的解为 x3 （1）上述解答过程中的错误步骤有 （填序号）；（2）请写出正确的解答过程19（6 分）如图，在 44 方格纸中，ABC 的三个顶点都在格点上请按要求完成下列作图，仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直
6、角（1）在图 1 中，画出一个与ABC 面积相等的且与ABC 有公共边的格点三角形；（2）在图 2 中，画出直线 CE，使得 CEAB，其中 E 是格点20（8 分）随着天气的逐渐炎热（如图 1），遮阳伞在我们的日常生活中随处可见如图2 所示，遮阳伞立柱 OA 垂直于地面，当将遮阳伞撑开至 OD 位置时，测得BOD 45，当将遮阳伞撑开至 OE 位置时，测得BOE60，且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度 BC 为 30cm，求当遮阳伞撑开至 OE 位置时，伞下半径 EC 的长（结果精确到 0.1cm，参考值 1.414， 1.732， 2.449）21（8 分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车
7、”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m 人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图（1）根据图中信息求出 m ，n ；（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；（3）根据抽样调查的结果，请估算全校 2000 名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？（4）已知 A、B 两位同学都最认可“微信”，C 同学最认可“支付宝”，D 同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率22（10 分）如图，已知半圆 O 的直径 AB4
8、，C 为O 上的点，ABC 的平分线交O于点 D，过点 D 作 DEBC 交 BC 的延长线于点 E，延长 ED 交 BA 延长线于点 F（1）试判断 EF 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 ，求图中阴影部分的面积23（10 分）定义：若抛物线的顶点和与 x 轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时则称此抛物线为正抛物线概念理解：（1）如图，在ABC 中，BAC 90，点 D 是 BC 的中点试证明：以点 A 为顶点，且与 x 轴交于 D、C 两点的抛物线是正抛物线；问题探究：（2）已知一条抛物线经过 x 轴的两点 E、F（E 在 F 的左边）， E（1，0）且 EF2 若此条抛物线为正
9、抛物线，求这条抛物线的解析式；应用拓展：（3）将抛物线 y1x 2+2 x+9 向下平移 9 个单位后得新的抛物线 y2抛物线 y2 的顶点为 P，与 x 轴的两个交点分别为 M、N（M 在 N 左侧），把PMN 沿 x 轴正半轴无滑动翻滚，当边 PN 与 x 轴重合时记为第 1 次翻滚，当边 PM 与 x 轴重合时记为第 2 次翻滚，依此类推，请求出当第 2019 次翻滚后抛物线 y2 的顶点 P 的对应点坐标24（12 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 从点 D 出发，沿射线 DC 以每秒 1个单位长度向右运动，同时点 N 以相同的速度从 A 点出发，沿射线 AD 运动连结
10、AM、BN，交于点 E点 F 为射线 CB 上的点，且MAF45，直线 AF 与直线 BN相交于点 P设运动时间为 t（1）当 0t4 时，求证： AMBN ；（2）当 t3 时，求 MF 的长；（3）当 t 为何值时，S PBF ：S ABF 1：52019 年浙江省金华市永康市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有 10 小题，每题 3 分，共 30 分请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1（3 分）在1，0，1， 四个数中，最大的数是（ ）A1 B0 C1 D【分析】有理数大小比较的法则：正数都大于 0； 负数都小于 0； 正数大于一切负数； 两个负数，
11、绝对值大的其值反而小，据此判断即可【解答】解：10 1，在1，0，1， 四个数中，最大的数是 1故选：C【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 正数都大于 0； 负数都小于 0；正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小2（3 分）据开化旅游部门统计，2018 年开化各景点共接待游客约为 12926000 人次，数据 12926000 用科学记数法表示为（ ）A0.1292610 8 B1.292610 6C12.92610 5 D1.2926 107【分析】根据科学记数法的一般方法解答【解答】解：129260001.292610 7，故选：D
12、【点评】本题考查的是科学记数法表示较大的数，把一个大于 10 的数记成 a10n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法3（3 分）下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）A BC D【分析】先分析出四种几何体的主视图的形状，即可得出主视图为圆的几何体【解答】解：A、圆柱的主视图是长方形，故 A 错误；B、圆锥的主视图是三角形，故 B 错误；C、球的主视图是圆，故 C 正确；D、正方体的主视图是正方形，故 D 错误故选：C【点评】本题考查了利用几何体判断三视图，培养了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力4（3 分）不等式 2x10 的解集在数轴
13、上表示正确的是（ ）A BC D【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可【解答】解：不等式的两边同时除以 2 得，x5，在数轴上表示为：故选：D【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键5（3 分）一组数据：1、3、3、5，若添加一个数据 3，则下列各统计量中会发生变化是（ ）A方差 B平均数 C中位数 D众数【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可【解答】解：原数据的 1、3、3、5 的平均数为 3，中位数为 3，众数为 3，方差为 （13） 2+（33） 22+（53） 22；新数据 1、3、3、3、5 的平均数为
14、 3，中位数为 3，众数为 3，方差为（13） 2+（33） 23+（53） 21.6；添加一个数据 3，方差发生变化，故选：A【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键6（3 分）如图，已知射线 OM，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM 交于点A，再以点 A 为圆心， AO 长为半径画弧，两弧交于点 B，画射线 OB，那么AOB 的度数是（ ）A90 B60 C45 D30【分析】首先连接 AB，由题意易证得AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得AOB 的度数【解答】解：连接 AB，根据题意得：OBOAAB ，AOB 是等边
15、三角形，AOB60故选：B【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到 OBOAAB 7（3 分）已知，如图将圆心角为 120，半径为 9cm 的扇形，围成了圆锥侧面，则圆锥的底面半径为（ ）A3 B6 C6 D6【分析】根据扇形弧长公式求出弧长，根据圆的周长公式计算即可【解答】解：扇形的弧长 6，则圆锥的底面半径623（cm）故选：A【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长8（3 分）如图，C、D 是以线段 AB 为直径的O 上两点（位于 AB 两
16、侧），CDAD，且ABC70，则BAD 的度数是（ ）A50 B45 C35 D30【分析】根据BADDACBAC，只要求出DAC，BAC 即可【解答】解：AB 是直径，ACB90，ABC70，BAC20，DADC，DACDCA，ADCB70，DACDCA55，BADDACBAC 35，故选：C【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9（3 分）甲、乙两运动员在长为 400m 的环形跑道上进行匀速跑训练，两人同时从起点出发，同向而行，若甲跑步的速度为 5m/s，乙跑步的速度为 4m/s，则起跑后 500s 内，两人相遇的次数为（ ）A0
17、 B1 C2 D3【分析】可设甲、乙同向而跑，经过 xs 时间甲乙能相遇，根据速度差时间路程差，列出方程求解即可【解答】解：设甲、乙同向而跑，经过 xs 时间甲乙能相遇，依题意有：（54）x400，解得 x400由于 1 2所以两人相遇的次数为 1故选：B【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解10（3 分）一个大平行四边形按如图方式分割成九个小平行四边形，且只有标号为的小平行四边形为菱形在满足条件的所有分割中，若知道九个小平行四边形中 n 个小平行四边形的周长，就一定能算出这个大平行四边形的周长，则 n 的最小值是（
18、 ）A2 B3 C4 D5【分析】如图，设菱形的边长为 a，平行四边形 的周长为 b，平行四边形 的周长为 c由题意易知大平行四边形的周长a+b+c，由此即可判断【解答】解：如图，设菱形的边长为 a，平行四边形的周长为 b，平行四边形 的周长为 c由题意易知大平行四边形的周长a+b+c，知道九个小平行四边形中小平行四边形 的周长，就一定能算出这个大平行四边形的周长，n 的最小值为 3故选：B【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型二、填空（本题有 6 小题，每题 4 分，共 24 分）11（4 分）分解因式：x 29 （x+3）（x 3） 【分析】本
19、题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式【解答】解：x 29（x +3）（x 3）故答案为：（x+3）（x 3）【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法12（4 分）60的圆心角所对的弧长为 2cm，则此弧所在圆的半径为 6cm 【分析】根据弧长公式求解即可【解答】解：l ，r 6cm ，故答案为 6cm【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L 13（4 分）如图 L4，L 5 被一组平行线 L1，L 2，L 3 所截，显然三条平行线不是等距的，若 ，则 为 【分析】
20、根据平行线分线段成比例定理即可得到结论【解答】解：L 1L 2L 3， ， ，故答案为： 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理14（4 分）一天，小明放学骑车从学校出发路过新华书店买了一本课外书再骑车回家，他所行驶的路程 s 与时间 t 的关系如图，则经 18 分钟后，小明离家还有 0.6 千米【分析】根据待定系数法确定函数关系式，进而解答即可【解答】解：设当 15t20 时，s 关于 t 的函数关系式为 skt+b，把（15，2）（20，3.5）代入 skt+b，可得： ，解得： ，所以当 15t20 时，s 关于 t 的函数关系式为 s0.3t
21、2.5，把 t18 代入 s0.3t2.5 中，可得：s2.9，3.52.90.6，答：当 t18 时，小明离家路程还有 0.6 千米故答案为：0.6【点评】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，行程问题的数量关系速度路程时间的运用，解答时理解清楚函数图象的数据的含义是关键15（4 分）如图，点 A 在反比例函数 y 的图象上，点 B 在反比例函数 y 的图象上，点 C 在 x 轴上，且满足 AOAC，则ABC 的面积为 12 【分析】根据题意可以分别设点 A、点 B 的坐标，根据点 O、A、B 在同一条直线上可以得到 A、B 的坐标之间的关系，由 AOAC 可知点 C 的横坐标是点 A 横坐
22、标的两倍，从而可以得到ABC 的面积【解答】解：设点 A 的坐标为（a， ），点 B 的坐标为（b， ）点 C 是 x 轴上一点，且 AOAC点 C 的坐标为（2a，0）设直线 OA 的解析式为 ykx，则 ka，k ，直线 OA 的解析式为：y x，又点 B 在直线 OA 上， b， 9， 3（负值不合题意，舍去）S ABC S AOC S OBC 2a 2a 18612故答案为：12【点评】此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征通过一次函数，三角形面积的计算，突出考查的目的16（4 分）如图，在 RtABC 中，B90，AB3 ，BC 4，点 M、N 分别在AC、AB 两边上，将 AMN
23、 沿直线 MN 折叠，使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上，当DCM 是直角三角形时，则 tanAMN 的值为 1 或 2 【分析】依据DCM 为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当CDM 90时，CDM 是直角三角形；当 CMD90时，CDM 是直角三角形，分别求解即可【解答】解：分两种情况：如图 1 中，当 CDM90时，CDM 是直角三角形，作 NHAM 于 H易证四边形 AMDN 是菱形，设 ANAMa，在 Rt ABC 中，AB3，BC 4，AC 5，由AHNABC， ， ，AH a，NH a，MH a a a，tanAMN 2，如图 2 中，当 CMD90时，CDM 是
24、直角三角形，此时AMN45，tanAMN 1，综上所述，满足条件的 tanAMN 的值为 1 或 2【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分）17（6 分）计算： | 3|（ 1） 0【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可【解答】解： | 3|（ 1） 02312【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即
25、先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用18（6 分）对于方程 1，某同学解法如下：解：方程两边同乘 6，得 3x2（x1）1 去括号，得 3x2x 21 合并同类项，得 x21 解得 x3 原方程的解为 x3 （1）上述解答过程中的错误步骤有 （填序号）；（2）请写出正确的解答过程【分析】（1）第步在去分母的时候，两边同乘以 6，但是方程右边没有乘，另外在去括号时没有注意到符号的变化，所以出现错误；（2）注重改正错误，按以上步骤进行即可【解答】解：（1）方程两边同乘 6，得 3x2（x1）6 去括
26、号，得 3x2x +26 错误步骤在第 步（2）方程两边同乘 6，得 3x2（x1）6去括号，得 3x2x +26合并同类项，得 x+26解得 x4原方程的解为 x4【点评】本题考查的解一元一次方程，注意去分母与去括号中常见错误，符号也经常是出现错误的原因19（6 分）如图，在 44 方格纸中，ABC 的三个顶点都在格点上请按要求完成下列作图，仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角（1）在图 1 中，画出一个与ABC 面积相等的且与ABC 有公共边的格点三角形；（2）在图 2 中，画出直线 CE，使得 CEAB，其中 E 是格点【分析】（1）根据要求画出BCD 即为所求（2）取格点 E，作直线
27、EC 即可【解答】解：（1）BCD 即为所求（2）取格点 E，作直线 EC 即可【点评】本题考查作图应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型20（8 分）随着天气的逐渐炎热（如图 1），遮阳伞在我们的日常生活中随处可见如图2 所示，遮阳伞立柱 OA 垂直于地面，当将遮阳伞撑开至 OD 位置时，测得BOD 45，当将遮阳伞撑开至 OE 位置时，测得BOE 60，且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度 BC 为 30cm，求当遮阳伞撑开至 OE 位置时，伞下半径 EC 的长（结果精确到 0.1cm，参考值 1.414， 1.732， 2.449）【分析】
28、根据题意可得 OE OD，由三角函数得出 OC OE，OB ，再利用 BCOBOC 解答即可【解答】解：由题意可得：OEOD，在 Rt OEC 中， BOE 60，OCE90，OC OE，在 Rt OBD 中，DOB45 ，OBD 90，OB ，BCOBOC，即 ，解得：OE ，EC 302.449+301.732125.4cm【点评】此题考查了解直角三角形的应用，关键是由三角函数得出 OC OE，OB21（8 分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m 人（每名学生必选一种且只能从这四种
29、中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图（1）根据图中信息求出 m 100 ，n 35 ；（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；（3）根据抽样调查的结果，请估算全校 2000 名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？（4）已知 A、B 两位同学都最认可“微信”，C 同学最认可“支付宝”，D 同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数 m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比 n 的值；（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可
30、补全两个图形；（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得【解答】解：（1）被调查的总人数 m1010% 100 人，支付宝的人数所占百分比 n% 100%35%，即 n35，故答案为：100、35；（2）网购人数为 10015% 15 人，微信对应的百分比为 100%40%，补全图形如下：（3）估算全校 2000 名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为200040%800 人；（4）列表如下：共有 12 种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有 10 种，所以这两位同学最认可的
31、新生事物不一样的概率为 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比22（10 分）如图，已知半圆 O 的直径 AB4，C 为O 上的点，ABC 的平分线交O于点 D，过点 D 作 DEBC 交 BC 的延长线于点 E，延长 ED 交 BA 延长线于点 F（1）试判断 EF 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 ，求图中阴影部分的面积【分析】（1）连接 OD，由 BD 平分ABC ，得OBDEBD
32、，又OBOC，OBDODB ，所以ODB EBD ，再由 EBD+EDB 90，得到ODB +EDB 90，即 ODE90，ODEF ，因此 EF 是 O 的切线；（2）连接 OC，设 FAx ，则 DF ，由勾股定理求出 x2，于是 AF2，DF，F 30，DOF60，EBA 60，DOB120，COB60，DOC60，所以 S 阴S 扇形 ODBS ODB （S 扇形 OCBS OCB ）S 扇形 ODC【解答】解：（1）EF 与O 的位置关系：相切，理由如下：连接 OD，BD 平分ABC，OBD EBD，OBOC，OBD ODB，ODB EBD，DEBC，EBD+EDB 90，ODB +
33、EDB 90，即ODE 90 ，ODEF ，EF 是O 的切线；（2）连接 OC，设 FAx ，则 DF ，AB4，OAOB 2，OD 2+DF2OF 2，2 2+（ ） 2（2+x ） 2，解得 x2，AF2，DF ，F30，DOF 60，EBA60，DOB 120，OCOB，OCB 为等边三角形，COB60，DOC60S 阴S 扇形 ODBS ODB （S 扇形 OCBS OCB ）S 扇形 ODBS ODB S 扇形 OCB+SOCBS 扇形 ODC 【点评】本题是圆综合题，熟练掌握切线的判定与特殊直角三角形的性质是解题的关键23（10 分）定义：若抛物线的顶点和与 x 轴的两个交点所组
34、成的三角形为等边三角形时则称此抛物线为正抛物线概念理解：（1）如图，在ABC 中，BAC 90，点 D 是 BC 的中点试证明：以点 A 为顶点，且与 x 轴交于 D、C 两点的抛物线是正抛物线；问题探究：（2）已知一条抛物线经过 x 轴的两点 E、F（E 在 F 的左边）， E（1，0）且 EF2 若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；应用拓展：（3）将抛物线 y1x 2+2 x+9 向下平移 9 个单位后得新的抛物线 y2抛物线 y2 的顶点为 P，与 x 轴的两个交点分别为 M、N（M 在 N 左侧），把PMN 沿 x 轴正半轴无滑动翻滚，当边 PN 与 x 轴重合时记为第 1
35、次翻滚，当边 PM 与 x 轴重合时记为第 2 次翻滚，依此类推，请求出当第 2019 次翻滚后抛物线 y2 的顶点 P 的对应点坐标【分析】（1）由 RtABC 中 AD 是斜边 BC 的中线可得 ADCD，由抛物线对称性可得 ADAC，即证得ACD 是等边三角形（2）设抛物线顶点为 G，根据正抛物线定义得 EFG 是等边三角形，又易求 E、F 坐标，即能求 G 点坐标由于不确定点 G 纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式（3）根据题意求出抛物线 y2 的解析式，并按题意求出 P、M、N 的坐标，得到等边PMN，所以当PMN 翻滚时，每 3 次为一个周期，点 P 回到 x
36、 轴上方，且横坐标每多一个周期即加 6 ，其规律为当翻滚次数 n 能被 3 整除时，横坐标为： +n2 （2n+1） 2019 能被 3 整除，代入即能求此时点 P 坐标【解答】解：（1）证明：BAC90，点 D 是 BC 的中点ADBD CD BC抛物线以 A 为顶点与 x 轴交于 D、C 两点ADACADACCDACD 是等边三角形以 A 为顶点与 x 轴交于 D、C 两点的抛物线是正抛物线（2）E（1，0）且 EF2，点 F 在 x 轴上且 E 在 F 的左边F（3，0）一条经过 x 轴的两点 E、F 的抛物线为正抛物线，设顶点为 GEFG 是等边三角形x G ，|y G|当 G（2，
37、）时，设抛物线解析式为 ya（x2） 2+把点 E（1，0）代入得：a+ 0ay （x 2） 2+当 G（2， ）时，设抛物线解析式为 ya（x2） 2把点 E（1，0）代入得：a 0ay （x 2） 2综上所述，这条抛物线的解析式为 y （x2） 2+ 或 y （x 2） 2（3）抛物线 y1x 2+2 x+9（x ） 2+12y 1 向下平移 9 个单位后得抛物线 y2（x ） 2+3P（ ，3），M（0，0），N（2 ，0）PMMNPN 2PMN 是等边三角形第一次翻滚顶点 P 的坐标变为 P1（4 ，0），第二次翻滚得 P2 与 P1 相同，第三次翻滚得 P3（7 ，3）即每翻滚 3
38、次为一个周期，当翻滚次数 n 能被 3 整除时，点 P 纵坐标为 3，横坐标为：+n2 （2n+1 ）20193673（22019+1） 4039当第 2019 次翻滚后抛物线 y2 的顶点 P 的对应点坐标为（4039 ，3）【点评】本题考查了新定义的理解、性质运用，二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质第（3）题的解题关键是发现等边PMN 每 3 次翻滚看作一个周期，点 P 对应点坐标的特征，是规律探索的典型题24（12 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 从点 D 出发，沿射线 DC 以每秒 1个单位长度向右运动，同时点 N 以相同的速度从 A 点出发，沿射线
39、AD 运动连结AM、BN，交于点 E点 F 为射线 CB 上的点，且MAF45，直线 AF 与直线 BN相交于点 P设运动时间为 t（1）当 0t4 时，求证： AMBN ；（2）当 t3 时，求 MF 的长；（3）当 t 为何值时，S PBF ：S ABF 1：5【分析】（1）证明ADM 与BAN 即可；（2）当 t3 时，ANDM3，如图 1，连接 AC，作 FHAC 于点 H，设 CFx，根据MAF 45 ，DAC45，得到DAMHAF，tanHAFtanDAM，列出方程求解即可；（3）分两种情况讨论，当 0t4 时，即点 M、N 分别在线段 CD 与线段 AD 上运动时，当 t4 时，
40、即点 M、N 分别在线段 CD 延长线与线段 AD 延长线上运动时【解答】解：（1）当 0t 4 时，点 M、N 分别在线段 CD 与线段 AD 上运动，在ADM 与BAN 中，ADM 与BAN（SAS），DAMABN，ABN+ ANB90，DAM+ANB90，NEA90，即 AMBN ；（2）当 t3 时，ANDM3，如图 1，连接 AC，作 FHAC 于点 H，设 CFx，则 CHFH ，AH ，MAF 45 ，DAC45，DAMHAF，tanHAFtanDAM ，即 ，解得 x ，CFMF 2CM 2+CF21 2+（ ） 2 ，MF ；（3） 当 0 t4 时，即点 M、N 分别在线段
41、 CD 与线段 AD 上运动时，如图 1，连接AC，作 FHAC 于点 HS PBF ：S ABF 1：5，PF：AP1：4， ，BF t，CF4 ，HCHF 2 ，AHACCH （2 ）2 + ，MAF 45 ，DAC45，DAMHAF，tanHAFtanDAM ，化简，得，t 2+20t640，解得 t10+2 ，或 t102 （舍去）当 t 4 时，即点 M、N 分别在线段 CD 延长线与线段 AD 延长线上运动时，如图 2，设 AM 与 BC 交于点 K，连接 C，作 FHAC 于点 H，作 PQCB 的延长线于点 QDNCMt4，ABCD， ， ，CK ，HCHK ，AHACCH S PBF ：S ABF 1：5， ，PQ ，易证CKMQPB ，QB ， ， ，BF ，同理 tanHAKtan BAF ，化简，得 t220t+960，解得 t12 或 t8综上，当 t 的值为10+2 或 12 或 8 时，S PBF ：S ABF 1：5【点评】本题是相似三角形综合题，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键