1、第 1 页，共 18 页2019 年山东省烟台市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知复数 z 满足（1-i）z=2i（i 为虚数单位），则 =（ ）A. B. C. D. 1 1+ 1+ 12. 若集合 M=x|x1，N=xZ|0x4，则（ RM）N= （ ）A. B. C. 1， D. 3，0 0,1 0, 2 2, 43. 在矩形 ABCD 中， 若点 M，N 分别是 CD，BC 的中点，则|=4， |=2=（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 14. 函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，则实数 m=（ ）(14)=1， 当 0时
2、 ， ()=2()+A. B. 0 C. 1 D. 215. 在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点（-3，1），则 cos2=（ ）A. B. C. D. 35 35 45 456. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 8B. 16C. 32D. 647. 已知 a，bR，则“ab0“是“ + 2”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件8. 已知函数 ，其图象相邻两条对称轴之间距离为 ，()=(+)( 0， |2) 2将函数 y=f（x）的向右平移 个单位长度后，得到关于 y
3、 轴对称，则（ ）6A. 的关于点 对称 B. 的图象关于点 对称() (6,0) () (6,0)C. 在 单调递增 D. 在 单调递增() (6,3) () (23,6)9. 我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等已知某第 2 页，共 18 页不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为 圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）14A. B. C. D. 1+2 13+6 1+2 13+2310. 在ABC 中，角 A，B
4、，C 的对边分别为 a，b，c，若cosA=0，则角 A=（ ）=1， 3+(3+)A. B. C. D. 23 3 6 5611. 已知圆锥曲线 的1： 2+2=1( 0)与 2： 22=1( 0， 0)公共焦点为 F1，F 2点 M 为 C1，C 2 的一个公共点，且满足F 1MF2=90，若圆锥曲线 C1 的离心率为 ，则 C2 的离心率为（ ）34A. B. C. D. 92 322 32 5412. 已知函数 ，则使不等式 f（x-1）0 成立的()=1+33+5577+991111+313x 的最小整数为（ ）A. B. C. D. 03 2 1二、填空题（本大题共 4 小题，共
5、20.0 分）13. 已知函数 f（x ）=2 x，则在0，10 内任取一个实数 x0，使得 f（x 0）16 的概率是_14. 已知 x，y 满足约束条件 的最小值是_3+300+40， 则 =2+15. 已知圆 x2+y2+4x-5=0 的弦 AB 的中点为（-1，1），直线 AB 交 x 轴于点 P，则的值为 _16. 若定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x）f （x），则不等式 ef（ln x）-xf（1）0的解集为_（结果用区间表示）三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 已知等差数列a n的公差是 1，且 a1，a 3，a 9 成等比数列（1）求数列a n的
6、通项公式；（2）求数列 的前 n 项和 Tn218. 如图，四边形 ABCD 为矩形，A，E，B，F 四点共面，且ABE 和 ABF 均为等腰直角三角形， BAE=AFB=90（1）求证：平面 BCE平面 ADF；（2）若平面 ABCD平面 AEBF，AF =1，BC=2 求三棱锥A-CEF 的体积第 3 页，共 18 页19. 已知 F 为抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点，过 F 的动直线交抛物线 C 于 A，B两点当直线与 x 轴垂直时，| AB|=4（1）求抛物线 C 的方程；（2）设直线 AB 的斜率为 1 且与抛物线的准线 l 相交于点 M，抛物线 C 上存在点P 使得直线
7、PA，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点 P 的坐标20. 2019 年 2 月 13 日烟台市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了 200 名学生每周阅读时间 X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图（1）求这 200 名学生每周阅读时间的样本平均数 和中位数 a（a 的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为6.5，7，5），7.5，8.5）的学生中抽取 9 名参加座谈会（i）你认为 9 个名额应该怎么分配？并说
8、明理由；（ii）座谈中发现 9 名学生中理工类专业的较多请根据 200 名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有 95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足 8.5 小时）与“是否理工类专业”有关？阅读时间不足 8.5 小时 阅读时间超过 8.5 小时理工类专业 40 60非理工类专业附： 2= ()2(+)(+)(+)(+)， (=+)临界值表：P（K 2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828第 4 页，共 18 页21. 已知函数 ()=1
9、44122， （1）当 a=1 时，求曲线 f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（2）设函数 g（x）=（x 2-2x+2-a）e x-ef（x），其中 e=2.71828是自然对数的底数，讨论 g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐=132=3+12标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为=2222（1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；（2）设点 ，直线 l 与曲线 C 相交于两点 A，B，求 的值(1， 3)1|+1|第 5 页，共 18 页
10、23. 已知函数 f（x ）=|2 x-1|-m|x+2|（1）当 m=1 时，求不等式 f（x）2 的解集；（2）若实数 m 使得不等式 f（x-2）m 在 x-1，1恒成立，求 m 的取值范围第 6 页，共 18 页答案和解析1.【答案】A【解析】解：由（1-i）z=2i，得 z= ， 故选：A把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2.【答案】B【解析】解：N=0， 1，2，3，4，RM=x|x1； （RM）N=0，1 故选：B 可求出集合 N，然后进行补 集、交集的运算即可考查描述法、列举法的定义，以及 补集、交集
11、的运算3.【答案】C【解析】解：由题意，画图如下：由图及题意，可得：= ，= = = = =第 7 页，共 18 页故选：C 本题可以以 两个向量作为基底向量用来表示所要求的 ，然后根据向量的性质来运算，从而得出结果本题主要考查基底向量的设立以及向量的运算，属基础题4.【答案】C【解析】解：f（x）是定义在 R 上的奇函数， ，且 x 0 时， f（x）=log2（-x）+m； ；m=1故选：C 根据 f（x）是奇函数，即可求出 ，而根据 x0 时， f（x）=log2（-x）+m 即可得出 ，从而求出 m=1考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法5.【答案】D【解析】解：角 的顶点在原点，
12、始 边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点（-3，1），|OP|= ，sin= 则 cos2=1-2sin2= 故选：D由任意角的三角函数的定义求得 sin，然后展开二倍角公式求 cos2本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题6.【答案】C【解析】解：当 a=1，b=2 时，S=ab=2，S100 成立， 则 a=2，b=2，S=ab=22=4，S100 成立， 则 a=2，b=4，S=ab=24=8，S100 成立， 第 8 页，共 18 页则 a=4，b=8，S=ab=48=32，S100 成立， 则 a=8，b=32，S=ab=832=256，S100 不成立，
13、 输出 b=32， 故选：C 根据程序框图进行模拟计算即可本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键7.【答案】B【解析】解：由 + 2，得： 0，故 ab0 且 ab，故“ab0“是“ + 2” 的必要不充分条件，故选：B 根据充分必要条件的定义判断即可本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题8.【答案】C【解析】解：函数 ，其 图象相 邻两条对称轴之间距离为 = ，=2，f（x）=sin（2x+）将函数 y=f（x）的向右平移 个单位长度后，可得 y=sin（2x- +） 的图象，根据得到的图象关于 y 轴对称，可得- +=k+ ，kZ，=- ，f（
14、x）=sin（2x- ）当 x= 时，f （x）= ，故 f（x）的图象不关于点 对称，故 A 错误；当 x=- 时，f （x）=-1，故 f（x）的图象关于直线 x=- 对称，不不关于点对称，故 B 错误；在 上，2x- - ， ，f（x）单调递增，故 C 正确；第 9 页，共 18 页在 上，2x- - ，- ，f（x）单调递减，故 D 错误，故选：C 由周期求出 ，利用函数 y=Asin（x+）的图象变换、图象的对称性求出 的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出 结论本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换，由周期求出 ，由图象的对称性求出 的值 ，正弦函数的图
15、象和性质，属于中档题9.【答案】B【解析】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与 圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为 V= 112+ 122= +；所以对应不规则几何体的体积为 + 故选：B 根据三视图知该几何体是三棱锥与 圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题10.【答案】D【解析】解： cosA=0， sinAcosC+ sinCcosA=-bcosA， sin（A+C）= sinB=-bcosA， asinB=-bcosA，由正弦定理可得： sinAsinB=-sinBcosA
16、，sinB0， sinA=-cosA，即：tanA=- ，第 10 页，共 18 页A（0，），A= 故选：D由两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 tanA=- ，结合范围 A（0，），可求A 的值本题主要考查了两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题11.【答案】B【解析】解：C 1： ，C2： 设 ， ，MF1=s，MF2=t，由椭圆的定义可得 s+t=2a1，由双曲 线的定义可得 s-t=2a2，解得 s=a1+a2，t=a
17、1-a2，由 F1MF2=90，运用勾股定理，可得s2+t2=4c2，即为 a12+a22=2c2，由离心率的公式可得， ， ， ，则 故选：B 设 MF1=s，MF2=t，由椭圆的定义可得 s+t=2a1，由双曲线的定义可得 s-t=2a2，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求 C2 的离心率第 11 页，共 18 页本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考 查运算能力，属于中档题12.【答案】D【解析】解：根据题意，函数 ，其导数 f（x）=1-x2+x4-x6+x8-x10+x12，x0时，f（x）可以看成是 1 为首项， -x2 为公比的等比数列，则有 f
18、（x）=1-x2+x4-x6+x8-x10+x12= 0，函数 f（x）在 R 上为增函数，又由 f（-1）=1+（-1）+（ - ）+（ - ）+（ - ）0，f（-2）=1+（-2）+（ - ）+（ - ）+（ - ）0，则函数 f（x）在（-2 ，-1）上存在唯一的零点，设其零点为 t，f（x-1）0x-1txt+1，又由-2 t -1 ，则-1t+10，故不等式 f（x-1）0 成立的 x 的最小整数为 0；故选：D根据题意，求出 f（x）的导数，利用等比数列前 n 项 和公式分析可得 f（x）0，进而可得 f（x）在 R 上为增函数，求出 f（-1）与 f（-2）的值，由函数零点判定
19、定理可得（x）在（-2， -1）上存在唯一的零点，设其零点为 t，据此可得 f（x-1）0x-1 t xt+1，分析 t 的取值范围即可得答案本题考查函数与不等式的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于综合题13.【答案】0.6【解析】解：由 f（x）16 得 2x16，得 x4，即 4x010，第 12 页，共 18 页则在0 ，10内任取一个实数 x0，使得 f（x0）16 的概率 P= = = =0.6，故答案为：0.6根据不等式求出 x0 的范围，结合几何概型的概率公式进行求解即可本题主要考查几何概型的概率的计算，结合指数不等式是解决本题的关键14.【答案】94【解析】解：作出
20、x，y 满足约束条件 的对应的平面区域如图：由 z=2x+y 得 y=-2x+z，平移直线 y=-2x+z，由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 A 时，直 线的截距最小，此时 z 最小，由 解得 A（ ， ）此时 z= 2+ = ，故答案为： 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义 ，即可得到结论本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法15.【答案】-5【解析】第 13 页，共 18 页解：设 M（-1，1）圆心 C（-2，0），kMC= =1，根据圆的性质可知，k AB=-1，AB 所在直线 方程为 y-1=-（x+1），即
21、 x+y=0，联立方程 可得，2x 2+4x-5=0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=- ，令 y=0 可得 P（0，0），=x1x2+y1y2=2x1x2=-5，故答案为：-5 由已知先求 kMC，然后根据圆的性质可求 kAB，写出 AB 所在直线方程，联立方程可求 A，B，然后根据向量数量积的坐标表示即可求解本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用16.【答案】（0，e）【解析】解：令 g（x）= ，则 g（x）= ，因为 f（x）f（x），所以 g（x）0，所以，函数 g（x）为（- ，+）上的增函数，由 ef（lnx）xf（1），得： ，
22、即 g（lnx）g（1），因为函数 g（x）为（-， +）上的增函数，所以 lnx1所以不等式的解集是（0，e）故答案为（0，e）由题目要求解的不等式是 ef（lnx）-xf（1）0，由此想到构造函数 g（x）= ，求导后结合 f（x）f（x），可知函数 g（x）是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集第 14 页，共 18 页本题考查了导数的运算法则，考查了不等式的解法，解答此题的关键是联系要求解的不等式，构造出函数 g（x）= ，然后利用导数的运算法则判断出其导函数的符号，得到该函数的单调性此 题是中档题17.【答案】解：（1）因为a n是公差为 1 的等差数列，且 a1
23、，a 3，a 9 成等比数列，所以 ，即 ，解得 a1=1（4 分）23=19 (1+2)2=1(1+8)所以 an=a1+（n-1）d=n（5 分）（2） ，=1(12)1+2(12)2+3(12)3+(12)（6 分）12=1(12)2+2(12)3+(1)(12)+(12)+1两式相减得 （8 分）12=(12)1+(12)2+(12)3+(12)(12)+1所以 （11 分）12=12(12)+1112 (12)+1=112 2+1所以 （12 分）=22+2【解析】（1）因为a n是公差为 1 的等差数列，且 a1，a3，a9 成等比数列，可得 ，即 ，解得 a1利用通项公式即可得出
24、（2）利用错位相减法即可得出本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.【答案】（1）证明：四边形 ABCD 为矩形，BC AD，又 BC平面 ADF，AD平面 ADF，BC平面 ADFABE 和ABF 均为等腰直角三角形，且 BAE=AFB=90，BAF=ABE=45， AFBE，又 BE平面 ADF，AF 平面 ADF，BE平面 ADF，BC平面 ADF，BE 平面 ADF，BC BE=B，平面 BCE平面 ADF；（2）解：ABCD 为矩形，BC AB，又 平面 ABCD平面 AEBF，BC 平面 ABCD，平面 ABCD平面 A
25、EBF=AB，BC平面 AEBF，在AEF 中，AF =1， ，=2 =12135=121222=12第 15 页，共 18 页V 三棱锥 A-CEF=V 三棱锥 C-AEF= = 1313122=13【解析】（1）由四边形 ABCD 为矩形，得 BCAD，再由 线面平行的判定可得 BC平面ADF再由已知 证明 AFBE，得到 BE平面 ADF，然后利用平面与平面平行的判定可得平面 BCE平面 ADF； （2）由 ABCD 为矩形，得 BCAB，结合面面垂直的性质可得 BC平面AEBF，由已知 结合等积法求三棱锥 A-CEF 的体积本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练
26、了利用等积法求多面体的体积，是中档题19.【答案】解：（1）因为 ，在抛物线方程 y2=2px 中，令 ，可得 y=p(2， 0) =2于是当直线与 x 轴垂直时，|AB|=2p=4，解得 p=2所以抛物线的方程为 y2=4x（2）因为抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1，所以 M（-1，-2）设直线 AB 的方程为 y=x-1，联立 消去 x，得 y2-4y-4=02=4=1设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则 y1+y2=4，y 1y2=-4若点 P（x 0，y 0）满足条件，则 2kPM=kPA+kPB，即 ，20+20+1=0101+0202因为点 P，A ，B 均
27、在抛物线上，所以 0=204， 1=214， 2=224代入化简可得 ，2(0+2)20+4= 20+1+220+(1+2)0+12将 y1+y2=4，y 1y2=-4 代入，解得 y0=2将 y0=2 代入抛物线方程，可得 x0=1于是点 P（1，2）为满足题意的点【解析】（1）由题意可得|AB|=2p=4，即可求出抛物线的方程，（2）设直线 AB 的方程为 y=x-1，联立 消去 x，得 y2-4y-4=0，根据韦达定理结合直线 PA，PM，PB 的斜率成等差数列，即可求出点 P 的坐标第 16 页，共 18 页本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，综合
28、性强20.【答案】解：（1）该组数据的平均数=60.03+70.1+80.2+90.35+100.19+110.09+120.04=9（2 分）因为 0.03+0.1+0.2+0.35=0.680.5，所以中位数 a8.5，9.5），由 0.03+0.1+0.2+（a-8.5）0.35=0.5，解得 ； （4 分）=0.50.330.35+8.58.99（2）（i）每周阅读时间为6，5，7.5）的学生中抽取 3 名，每周阅读时间为7.5，8.5）的学生中抽取 6 名 （5 分）理由：每周阅读时间为6，5 ，7.5）与每周阅读时间为7.5，8.5）是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致
29、性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为 0.1，0.2，所以按照 1：2 进行名额分配（7 分）（ii）由频率分布直方图可知，阅读时间不足 8.5 小时的学生共有200（0.03+0.1+0.2）=66 人，超过 8.5 小时的共有 200-66=134 人于是列联表为：阅读时间不足 8.5 小时 阅读时间超过 8.5 小时理工类专业 40 60非理工类专业 26 74（9 分）K2 的观测值 ， （11 分）=200(40742660)2661341001004.432 3.841所以有 95%的把握认为学生阅读时间不足与 “是否理工类专业”有关（12 分）【
30、解析】（1）根据平均数，中位数的定义进行求解即可 （2）完成列联表，计算 K2 的观测值， 结合独立性检验的性质进行判断即可本题主要考查独立性检验的应用，根据数据计算出 K2 的观测值是解决本题的关键考查学生的计算能力21.【答案】解：（1）由题意 f（x ）= x3-ax，所以当 a=1 时，f（2）=2，f （2）=6，（2 分）因此曲线 y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程是 y-2=6（x-2），即 6x-y-10=0（4 分）（2）因为 g（x）=（x 2-2x+2-a）e x-ef（x）所以 g（x）=（2x-2 ）e x+（x 2-2x+2-a）e x-ef（x）=（x 2
31、-a）e x-e（x 3-ax）=（x 2-a）（e x-ex），（6 分）令 h（x）=e x-ex，则 h（x ）=e x-e，令 h（x）=0 得 x=1，当 x（-，1）时，h（x ）0，h（x）单调递减，当 x（1，+）时，h（x ） 0，h（x）单调递增，第 17 页，共 18 页所以当 x=1 时，h（x ） min=h（1）=0，也就说，对于x R 恒有 h（ x）0（8 分）当 a0 时，g（x）=（x 2-a）h（x）0，g（x）在（-，+ ）上单调递增，无极值； （9分）当 a0 时，令 g（x）=0，可得 当 或 ，= g（x） =（x 2-a）h（x）0，g（x）单调
32、递增，当 ，g（x）0，g（x）单调递减； 因此，当 时，g（x）取极大值 ；= ()=(2+2)+42当 时，g （x ）取极小=值 （11 分）()=(2+2)+42综上所述：当 a0 时 g（x ）在（-，+）上单调递增，无极值；当 a0 时，g（x）在 和 单调递增，在 单调递减，(， ) (， +) (， )函数既有极大值，又有极小值，极大值为 ，()=(2+2)+42极小值为 （12 分）()=(2+2)+42【解析】（1）求出函数的导数，计算 f（2），f（2）的值，求出切线方程即可； （2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出函数的极值即可本题考查了函数的
33、单调性，极值，最 值问题，考查导 数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题22.【答案】解：（1）直线 l 的普通方程为 ；+3+2=0因为 ，2= 822所以 22-2cos2=8，将 x=cos， 2=x2+y2，代入上式，可得 x2+2y2=8（2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，可得 ，521234=0设 A，B 两点所对应的参数分别为 t1，t 2，则 ， 1+2=1235 12=45于是1|+1|=|+|=|12|12|第 18 页，共 18 页= (1+2)2412|12| =42【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进
34、行转换 （2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23.【答案】解：（1）当 m=1 时，|2 x-1|-|x+2|2，当 x-2 时，原不等式转化为 1-2x+x+22，解得 x-2；（1 分）当-2x 时，原不等式转化为 1-2x-x-22，解得-2x-1；（2 分）12当 x 时，原不等式转化为 2x-1-x-22，解得 x5； （3 分）12综上，不等式的解集为x| x-1 或 x5（ 4 分）（2）由已知得：f（x -2）=|2 x-5|-m|x|m，即 . ，由|25|+1()=|25|+1， 1， 1题意 mg（x） min（5 分）当 x0，1时， 为减函数，()=2+5+1=2+7+1此时最小值为 ； （7 分）(1)=32当 x-1，0）时， 为增函数，()=2+5+1=2 31此时最小值为 （9 分）(1)=72又 ，所以 32 72 ()=32所以 m 的取值范围为 （10 分）|32【解析】（1）分 3 种情况去绝对值，解不等式组可得； （2）将不等式分离参数 m 后构造函数求最小值可得本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题