1、2019 年江苏省苏州市高新区中考数学模拟试卷（4 月份）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项正确的，请将正确答案前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上.）1（3 分）5 的绝对值是（ ）A5 B C5 D2（3 分）若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）Ax Bx Cx Dx3（3 分）下列式子中正确的是（ ）A BC D4（3 分）五张完全相同的卡片上，分别画有圆、平行四边形、等边三角形、角、线段，现从中随机抽取一张，恰好抽到轴对称图形的概率是（ ）A B C D5（3 分）甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且
2、毎团游客的平均年龄都是 32 岁，这三个团游客年龄的方差分别是 S 甲 227，S 乙 219.6，S 丙 21.6，导游小王最喜欢带游客年龄相近的团队，若在三个团中选择一个，则他应选（ ）A甲团 B乙团 C丙团 D甲或乙团6（3 分）一次函数 y3x+b 和 ykx +1 的图象如图所示，其交点为 P（3，4），则不等式 kx+13x +b 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D7（3 分）如图，A、B、C、D 四个点均在O 上，AOD70，AODC，则B 的度数为（ ）A40 B45 C50 D558（3 分）已知二次函数 y（x2） 2+c，当 xx 1 时，函数值为 y1；当 x
3、x 2 时，函数值为 y2，若| x12| |x 22| ，则 y1，y 2 的大小关系是（ ）Ay 1y 2 By 1y 2 Cy 1y 2 D无法确定9（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，6），点 B 在 x 轴的负半轴上，将线段AB 绕点 A 逆时针旋转 90至 AB，点 M 是线段 AB的中点，若反比例函数的图象恰好经过点 B，M ，则 k（ ）A4 B6 C9 D1210（3 分）如图 1，ABC 和DEF 都是等腰直角三角形，其中CEDF90，点A 与点 D 重合，点 E 在 AB 上，AB4，DE2如图 2，ABC 保持不动，DEF 沿着线段 AB 从点 A 向点 B
4、 移动，当点 D 与点 B 重合时停止移动设 ADx，DEF 与ABC 重叠部分的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ）A BC D二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，把答案填在答题卡相应位置上.）11（3 分）寨卡病毒是一种通过蚊虫进行传播的虫媒病毒，其直径约为 0.0000021cm将数据 0.0000021 用科学记数法表示为 12（3 分）一个正多边形的每一个外角都是 72，那么这个多边形是 边形13（3 分）已知一扇形的圆心角是 60，扇形的半径为 9，则这个扇形的弧长是 14（3 分）分解因式：ab 22a 2b+a2 15（3 分）某学校抽
5、查了 30 名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了如图所示的条形统计图，则 30 名学生参加活动的次数的中位数是 次16（3 分）已知 m 是方程 x2x30 的一个实数根，则代数式（m 2m）（m +1）的值为 17（3 分）今年植树节前一天，某单位筹集 7000 元购买了桂花树和樱花树共 30 棵，其中购买桂花树花费 3000 元已知桂花树比樱花树的单价高 50%，则桂花树的单价为 元18（3 分）已知点 A（4，0），B（0，2），C （a，a）及点 D 是一个平行四边形的四个顶点，则线段 CD 长的最小值为 三、解答题（本大题共 10 小题，共 76 分）19（5
6、分）计算： 20（5 分）解不等式组： 21（6 分）先化简，再求值： ，其中 22（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，且 BEBC（1）EC 平分BED 吗？证明你的结论（2）若 AB1，ABE45，求 BC 的长23（8 分）初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一为此某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A 级：对学习很感兴趣；B 级：对学习较感兴趣；C 级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图和图 的统计图（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了 名学生；（2
7、）图 中 C 级对应的人数为 ，图中 C 级所占的圆心角的度数为 ；（3）若甲、乙两同学为抽样调查对象中的任意两个学生，利用树状图或表格列举出这两个学生所有可能出现的结果24（8 分）如图，李明在大楼 27 米高（即 PH27 米）的窗口 P 处进行观测，测得山坡上 A 处的俯角 QPA15，山脚 B 处的俯角QPB60，已知该山坡的坡度 i（即tan ABC）为 1： ，点 P、 H、B、C 、A 在同一个平面内点 H、B、C 在同一条直线上，且 PHHC（1）山坡坡角（即ABC）的度数等于 度；（2）求 AB 的长（结果保留根号）25（8 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 是常数）的图象
8、经过点A（1， 3），B（m，n），其中 m1过点 A 作 x 轴垂线，垂足为 C，过点 B 作 y 轴垂线，垂足为 D，AC 与 BD 交于点 E，连结 AD，DC， CB（1）若ABD 的面积为 ，求 k 的值和直线 AB 的解析式；（2）求证： 26（10 分）如图，在等腰ABC 中，ABAC ，AB 为直径的圆 O 交 BC 于点 D，过点 C作 CFAB ，与 O 的切线 BE 交于点 E，连接 DE：（1）求证：BDCD；（2）求证：CABCDE；（3）设ABC 的面积为 S1，CDE 的面积为 S2，若ABC30，S 1，S 2 满足，试求直径 AB 的长27（10 分）如图 1
9、，矩形 ABCD 中，BC12cm ，点 P 从 A 点出发，以 2cm/s 的速度沿AB C 匀速运动，运动到 C 点时停止；点 Q 从 B 点出发，以 acm/s 的速度沿BC DA 匀速运动，运动到 A 点时停止若 P，Q 两点同时出发，设点 P 运动的时间为 t（s），PBQ 的面积为 S（cm 2），S 与 t 之间的函数关系由图 2 中的曲线段OEF、线段 FG，GH 表示（1）a ，AB ；（2）求图 2 中曲线段 OEF 对应的函数表达式以及这个函数的最大值；（3）当 0t2，若PDQ 为直角三角形，求 t 的值28（10 分）如图 1，抛物线 C1：y x 23x+4 与 x
10、 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴的正半轴相交于 C 点（1）如图 1，求：抛物线 C1 顶点 D 的坐标；（2）如图 2，把抛物线 C1 以 1 个单位长度/ 秒的速度向右平移得到抛物线 C2，同时ABC 以 2 个单位长度/秒的速度向上平移得到ABC，当抛物线 C2 的顶点 D落在ABC之内时，设平移的时间为 t 秒求 t 的取值范围；若抛物线 C2 与 y 轴相交于 E 点，是否存在这样的 t，使得AEB 90，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由2019 年江苏省苏州市高新区中考数学模拟试卷（4 月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小
11、题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项正确的，请将正确答案前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上.）1（3 分）5 的绝对值是（ ）A5 B C5 D【分析】根据负数的绝对值是它的相反数是，可得答案【解答】解：5 的绝对值是 5故选：A【点评】本题考查了绝对值，利用了绝对值的性质是解题关键2（3 分）若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）Ax Bx Cx Dx【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可【解答】解：由题意得，2x+10，解得，x ，故选：B【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是
12、非负数是解题的关键3（3 分）下列式子中正确的是（ ）A BC D【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断【解答】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故错误；B、D、开平方是错误的；C、符合合并同类二次根式的法则，正确故选：C【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并4（3 分）五张完全相同的卡片上，分别画有圆、平行四边形、等边三角形、角、线段，现从中随机抽取一张，恰好抽到轴对称图形的概率是（ ）A B C D【分析】卡片共有五张，轴对称图形有圆、等边三角形、角、线段，根据概
13、率公式即可得到卡片上所画图形恰好是轴对称图形的概率【解答】解：卡片中，轴对称图形有圆、等边三角形、角、线段，根据概率公式，P（轴对称图形） 故选：D【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 5（3 分）甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且毎团游客的平均年龄都是 32 岁，这三个团游客年龄的方差分别是 S 甲 227，S 乙 219.6，S 丙 21.6，导游小王最喜欢带游客年龄相近的团队，若在三个团中选择一个，则他应选（ ）A甲团 B乙团 C丙团 D甲或乙团【分析】由 S 甲 227，S
14、 乙 219.6，S 丙 21.6，得到丙的方差最小，根据方差的意义得到丙旅行团的游客年龄的波动最小【解答】解：S 甲 227，S 乙 219.6，S 丙 21.6，S 甲 2S 乙 2S 丙 2，丙旅行团的游客年龄的波动最小，年龄最相近故选：C【点评】本题考查了方差的意义：方差反映了一组数据在其平均数的左右的波动大小，方差越大，波动越大，越不稳定；方差越小，波动越小，越稳定6（3 分）一次函数 y3x+b 和 ykx +1 的图象如图所示，其交点为 P（3，4），则不等式 kx+13x +b 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D【分析】观察图象，直线 ykx+1 落在直线 y3x+b
15、 上方的部分对应的 x 的取值范围即为所求【解答】解：一次函数 y3x+b 和 ykx +1 的图象交点为 P（3，4），当 x3 时，kx+13x+b，不等式 kx+13x+b 的解集为 x3，在数轴上表示为：故选：B【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 ykx+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 ykx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，也考查了在数轴上表示不等式的解集7（3 分）如图，A、B、C、D 四个点均在O 上，AOD70，AODC，则B 的度数为（ ）A40
16、 B45 C50 D55【分析】连接 OC，由 AO DC，得出ODC AOD 70，再由 ODOC，得出ODCOCD70，求得COD40，进一步得出 AOC，进一步利用圆周角定理得出B 的度数即可【解答】解：如图，连接 OC，AODC，ODCAOD70，ODOC，ODCOCD70，COD40，AOC110，B AOC55故选：D【点评】此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键8（3 分）已知二次函数 y（x2） 2+c，当 xx 1 时，函数值为 y1；当 xx 2 时，函数值为 y2，若| x12| |x 22| ，则 y1，y 2
17、 的大小关系是（ ）Ay 1y 2 By 1y 2 Cy 1y 2 D无法确定【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性即可确定出y1 与 y2 的大小关系【解答】解：y（x 2） 2+c，二次函数图象开口向下，对称轴为直线 x2，|x 12|x 22|，y 1y 2故选：A【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据解析式确定开口方向和对称轴9（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，6），点 B 在 x 轴的负半轴上，将线段AB 绕点 A 逆时针旋转 90至 AB，点 M 是线段 AB的中点，若反比例函数的图象恰好经过点
18、 B，M ，则 k（ ）A4 B6 C9 D12【分析】根据题意可以求得点 B的横坐标，然后根据反比例函数 y （k0）的图象恰好经过点 B、M，从而可以求得 k 的值【解答】解：如图所示，作 BCy 轴于点 C，BAB 90，AOB90，ABAB，BAO+ABO 90，BAO +BAC90，ABOBAC，ABOBAC（AAS），AOB C ，点 A（0，6），BC6，设点 B的坐标为（6， ），点 M 是线段 AB的中点，点 A（0，6），点 M 的坐标为（3， ），反比例函数 y （k 0）的图象恰好经过点 M， ，解得 k12，故选：D【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、旋转的
19、性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答10（3 分）如图 1，ABC 和DEF 都是等腰直角三角形，其中CEDF90，点A 与点 D 重合，点 E 在 AB 上，AB4，DE2如图 2，ABC 保持不动，DEF 沿着线段 AB 从点 A 向点 B 移动，当点 D 与点 B 重合时停止移动设 ADx，DEF 与ABC 重叠部分的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ）A BC D【分析】要找出准确反映 y 与 x 之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中 y 随 x 变化的情况，由题意知，在DEF 移动的过程中，重叠部分总为等腰直角三角形；据此根据重合部分的斜边长的不同
20、分情况讨论求解【解答】解：由题意知：在DEF 移动的过程中，重叠部分总为等腰直角三角形当 0x2 时，此时重合部分的斜边长为 x，则 y （x+2） （x+2） x2 x2+x+1当 2x4 时，此时重合部分的斜边长为 2，则 y （x4） 2；由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为抛物线的一部分，右边为抛物线的一部分故选：B【点评】本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，把答案填在答题卡相应位置上.）11（3 分）寨卡病毒是一种通过蚊虫进行传播的虫媒病毒，其直径约为 0.0000021c
21、m将数据 0.0000021 用科学记数法表示为 2.110 6 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.0000021 用科学记数法表示为 2.1106 ，故答案为 2.1106 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定12（3 分）一个正多边形的每一个外角都是 72，那么这个多边形是 5 边形【分析】由一个多边形的外角为 3
22、60和每一个外角都是 72，可求得其边数【解答】解：一个多边形的每一个外角都是 72，多边形的外角和等于 360，这个多边形的边数为：360725，故答案为：5【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和注意多边形的内角和为：（n2）180；多边形的外角和等于 360是解答此题的关键13（3 分）已知一扇形的圆心角是 60，扇形的半径为 9，则这个扇形的弧长是 3 【分析】根据弧长公式计算即可【解答】解：扇形的弧长 3，故答案为：3【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：l 是解题的关键14（3 分）分解因式：ab 22a 2b+a2 a（b 22ab+a） 【分析】原式提取公因式即可得到结
23、果【解答】解：原式a（b 22ab+a）故答案为：a（b 22ab+a）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键15（3 分）某学校抽查了 30 名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了如图所示的条形统计图，则 30 名学生参加活动的次数的中位数是 2 次【分析】根据中位数的定义求解即可【解答】解：这组数据按顺序排列后中位数为：2故答案为：2【点评】本题考查了中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握中位数的定义16（3 分）已知 m 是方程 x2x30 的一个实数根，则代数式（m 2m）（m +1）的值为 6 【分析】把
24、xm 代入已知方程，得到 m2m3，m 23m，然后代入所求的代数式进行求值即可【解答】解：m 是方程 x2x30 的一个实数根，m 2m30，m 2m3，m 23m，（m 2m）（m +1）3（ +1）3（1+1）6故答案是：6【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义注意“整体代入”思想的应用17（3 分）今年植树节前一天，某单位筹集 7000 元购买了桂花树和樱花树共 30 棵，其中购买桂花树花费 3000 元已知桂花树比樱花树的单价高 50%，则桂花树的单价为 300 元【分析】设樱花树的单价为 x 元，则桂花树的单价为（1+50%）x 元，根据购买了桂花树和樱花树共 30 棵列方程解答
25、即可【解答】解：设樱花树的单价为 x 元，则桂花树的单价为（1+50%）x 元，由题意得+ 30解得：x200经检验 x200 是原方程的解则（1+50%）x300答：桂花树的单价为 300 元【点评】此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键18（3 分）已知点 A（4，0），B（0，2），C （a，a）及点 D 是一个平行四边形的四个顶点，则线段 CD 长的最小值为 3 【分析】讨论两种情形：CD 是对角线， CD 是边CD 是对角线时 CF直线 yx时，CD 最小CD 是边时，CDAB2 ，通过比较即可得出结论【解答】解：如图，由题意得：点 C 在直线 yx 上，如果
26、 AB、CD 为对角线，AB 与 CD 交于点 F，当 FC直线 yx 时，CD 最小，易知直线 AB 为 y x2，AFFB，点 F 坐标为（2，1），CF直线 y x，设直线 CF 为 yx+b，F（2，1）代入得 b1，直线 CF 为 yx+1，由 ，解得： ，点 C 坐标（ ， ）CD2CF2 3 如果 CD 是平行四边形的边，则 CDAB 2 3 ，CD 的最小值为 3 故答案为：3 【点评】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、垂线段最短、勾股定理等知识，学会分类讨论是解题的关键，灵活运用垂线段最短解决实际问题，属于中考常考题型三、解答题（本大题共 10 小题，共 76 分）
27、19（5 分）计算： 【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可【解答】解：2 2 3 3【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用20（5 分）解不等式组： 【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解【解答】解：由得 x2，由得 x ，不等式组的解集为2x 【点评】本题考查了解一元一次方程组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较
28、大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了21（6 分）先化简，再求值： ，其中 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式 ，当 a2 +3 时，原式 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型22（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，且 BEBC（1）EC 平分BED 吗？证明你的结论（2）若 AB1，ABE45，求 BC 的长【分析】（1）由矩形的性质得出DECECB，由 BEBC 得出ECB BEC，即可得出DECBEC，结论得证；（2）求出 AEAB 1，根据勾股定理求出 BE 即可【解答】解：（1）EC 平
29、分 BED，证明如下：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，DECBCE，BEBC，BECBCE，BECDEC，EC 平分BED （2）四边形 ABCD 是矩形，A90，ABE 45，ABE AEB45，AEAB1，由勾股定理得：BE ，BCBE 【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，证出DECECB 是解决问题（1）的关键23（8 分）初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一为此某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A 级：对学习很感兴趣；B 级：对学习较感兴趣；C 级：对学习
30、不感兴趣），并将调查结果绘制成图和图 的统计图（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了 200 名学生；（2）图 中 C 级对应的人数为 30 ，图中 C 级所占的圆心角的度数为 54 ；（3）若甲、乙两同学为抽样调查对象中的任意两个学生，利用树状图或表格列举出这两个学生所有可能出现的结果【分析】（1）由 A 层级的人数及其所占百分比可得总人数；（2）根据各层级人数之和等于总人数求出 C 级人数，用 360乘以 C 级人数占被调查人数的比例即可得；（3）利用树状图可得出所有可能出现的结果【解答】解：（1）5025%200（人）；故答案为：200；（2）C 级
31、人数：200120 5030（人）条形统计图如图所示：C 所占圆心角度数360 （125%60%）54故答案为：30，54；（3）所有可能出现的结果如图所示：【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小24（8 分）如图，李明在大楼 27 米高（即 PH27 米）的窗口 P 处进行观测，测得山坡上 A 处的俯角 QPA15，山脚 B 处的俯角QPB60，已知该山坡的坡度 i（即tan ABC）为 1： ，点 P、 H、B、C 、A 在同一个平面内点
32、 H、B、C 在同一条直线上，且 PHHC（1）山坡坡角（即ABC）的度数等于 30 度；（2）求 AB 的长（结果保留根号）【分析】（1）根据 tanABC ，即可直接求出ABC30； （2）先求出PBHQPB60，APB45，再根据ABC30，求出ABP 90，根据PAB 45，得出 ABPB，最后根据 PB 求出 PB即可【解答】解：（1）tanABC ，ABC30，故答案为：30； （2）由题意知过点 P 的水平线为 PQ，QPA15， QPB60，PBHQPB60，APBQPB QPA45 ，ABC30，ABP 90，PAB 45，ABPB，在 RtPBH 中，PB 18 ，ABPB
33、 ，答：AB 的长为 18 米【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是平行线的性质、特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质、俯角、坡度的概念25（8 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 是常数）的图象经过点A（1， 3），B（m，n），其中 m1过点 A 作 x 轴垂线，垂足为 C，过点 B 作 y 轴垂线，垂足为 D，AC 与 BD 交于点 E，连结 AD，DC， CB（1）若ABD 的面积为 ，求 k 的值和直线 AB 的解析式；（2）求证： 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题（2）利用数形结合的思想解决问题即可【解答】解：（1）由题意：BDm ，AE3m，mn3，S AB
34、D m（3n） ，m2，n ，B（2， ），设直线 AB 的解析式为 ykx+b，则 ，解得 ，直线 AB 的解析式为 y x+ （2）BEm 1，CEn，DEAE3nBECEn（m 1）3n，DEAEBECE， 【点评】本题考查待定系数法，一次函数的应用，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型26（10 分）如图，在等腰ABC 中，ABAC ，AB 为直径的圆 O 交 BC 于点 D，过点 C作 CFAB ，与 O 的切线 BE 交于点 E，连接 DE：（1）求证：BDCD；（2）求证：CABCDE；（3）设ABC
35、 的面积为 S1，CDE 的面积为 S2，若ABC30，S 1，S 2 满足，试求直径 AB 的长【分析】（1）因为 ABAC，欲证明 BDDC，只要证明 ADBC 即可（2）可根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明（3）分别用 x 表示 S1、S 2，列出方程即可解决问题【解答】（1）证明：AB 是直径，ADB90，ADBC，ABAC，BDCD（2）证明：ABCE，ABCBCE，ABAC，ABCACB，ACBBCE，BE 是O 切线，ABE 90，ABCE，BEC+ ABE 90，BEC90，BDDC，DEDB DC，BCEDEC，ABCDEC，CABCDE（3）解：设 AB2x ，则 S
36、1 ，CABCDE， ， ，由题意得： ，解得，x2（负值舍去），AB4【点评】本题考查圆的综合题、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题27（10 分）如图 1，矩形 ABCD 中，BC12cm ，点 P 从 A 点出发，以 2cm/s 的速度沿ABC 匀速运动，运动到 C 点时停止；点 Q 从 B 点出发，以 acm/s 的速度沿BCDA 匀速运动，运动到 A 点时停止若 P，Q 两点同时出发，设点 P 运动的时间为 t（s），PBQ 的面积为 S（cm 2），S 与 t 之间的函数关系由图 2 中的曲线段OEF、线段 FG
37、，GH 表示（1）a 6 ，AB 6 ；（2）求图 2 中曲线段 OEF 对应的函数表达式以及这个函数的最大值；（3）当 0t2，若PDQ 为直角三角形，求 t 的值【分析】（1）结合题意和函数图象，根据图 2 中点 F 的位置列式可得 a 的值，根据点G 的位置可得 AB 的长；（2）先根据题意表示出 PB、BQ 的长，再根据三角形面积公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得出其最大值；（3）若PDQ 为直角三角形，存在以三个顶点分别为直角三种情况：因为PDQ 90，所以 PDQ 不可能等于 90，只能存在两种情况：证明三角形相似列比例式可得对应 t 的值【解答】解：（1）由图 2 得：点 F
38、 表示点 Q 运动到点 C 的位置，a1226，点 G表示点 P 运动到点 B，点 Q 运动到点 D 的位置：（12+CD）6AB 2，ABCD， ，AB 6，故答案为：6，6；（2）根据题意知，AP2t、BQ 6t ，AB6，PB62t，则 S 6t（ 62t）6t 2+18t6（t ） 2+ ，当 t 时， S 取得最大值，最大值为 ；（3）当 0t2 时，点 P 在边 AB 上，Q 在边 BC 上，如图 3，此时 PB62t、BQ 6t、CQ126t，PDQ 90 ，PDQ 不可能等于 90，若PDQ 为直角三角形，存在以下两种情况：当 DPQ 90时，APDBQP， ，即 ，解得：t
39、10，t 215（舍），当 PQD 90，PBQQCD， ，即 ，3t27t+30，解得：t ；综上，t 的值是 0 或 【点评】本题主要考查四边形和函数图象的综合问题，解题的关键是掌握二次函数的性质、相似三角形的判定和性质及矩形的判定与性质等知识，此类题有难度，正确读图中的信息是关键28（10 分）如图 1，抛物线 C1：y x 23x+4 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴的正半轴相交于 C 点（1）如图 1，求：抛物线 C1 顶点 D 的坐标；（2）如图 2，把抛物线 C1 以 1 个单位长度/ 秒的速度向右平移得到抛物线 C2，同时ABC 以 2 个单
40、位长度/秒的速度向上平移得到ABC，当抛物线 C2 的顶点 D落在ABC之内时，设平移的时间为 t 秒求 t 的取值范围；若抛物线 C2 与 y 轴相交于 E 点，是否存在这样的 t，使得AEB 90，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）把抛物线 C1： yx 23x+4 转化成顶点式即可（2） 由抛物线 C1：y x23x+4 可知 A（1，0），B（4，0），C（0，4），求得 BC 所在的直线由 yx+4，则 BC所在的直线 yx+4+2 t，C 2 的顶点 D 的坐标可用 t 表示，代入直线 BC解析式可得 t 的值，同理可求得 D在 AC 的 t 值，进而求得
41、t 的取值范围；通过三角形相似求得 EF 的值，求得 E 的坐标，进而根据 EF 的长，求得 t 的值，再与（1）中的取值比较来看结果【解答】解：（1）抛物线 C1：y x 23x+4 ，D ；（2） 抛物线 C1：y x23x+4 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴的正半轴相交于 C 点A（1，0），B（4，0），C （0，4），如图 1，则 CM ，DM ，AN ，DN ， ， ，抛物线 C2 的顶点 D经过 BC边进入AB C 之内，经过 AC 边移出ABC 外；BC 所在的直线为；y x+4，BC所在的直线为：y x+4+2 t，D ，代入 yx+4+2t，解得 t ，同理 AC所在直线 y4x+4+2t ，当 D在直线 AC上时，得 t ， ，如图 2 所示；记 AB 与 y 轴的交点为 F，假设存在 t 使得AEB90，AFE EFB90，AEFEB F；AFE EFB， ，EF 2AF BF14 4，EF2，抛物线 C2 为 y（x1t）（x +4t ），E（0，t 2+3t+4），EF（t 2+3t+4）2t2，解得：t 12，t 21（舍去） ，不存在这样的 t 的值，使得 A EB90【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的综合应用，根据二次函数得出相关点的坐标是解题的基础