1、2019 年山东省聊城市东阿县中考数学二模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）如果一个有理数的绝对值是 5，那么这个数一定是（ ）A5 B5 C5 或 5 D以上都不对2（3 分）下列运算中，正确的是（ ）Ax 3x3x 6 B3x 2+2x35x 5C（x 2） 3x 5 D（ab） 3a 3b3（3 分）肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.00000071 米，数字 0.00000071 用科学记数法表示为（ ）A7.110 7 B0.7110 6 C7.110 7 D7110 84（3 分）长方体的主视图与左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是（ ）A4 cm 2
2、 B6 cm 2 C8 cm 2 D12 cm 25（3 分）已知点 P（a+1，2a3）关于 x 轴的对称点在第二象限，则 a 的取值范围是（ ）A1a B a1 Ca1 Da6（3 分）如图，已知136，236，3140，则4 的度数等于（ ）A40 B36 C44 D1007（3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是边 AD 上的一点，射线 CF 和 BA 的延长线交于点 E，如果 ，那么 的值是（ ）A B C D8（3 分）如图，在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 交 AC 于 D，交 BC 于 E，连接 AE，则下列结论中不一定正确的是（ ）AAEBC BBEE
3、C CED EC DBACEDC9（3 分）如图，在ABC 中，ABAC ，BC 12，E 为 AC 边的中点，线段 BE 的垂直平分线交边 BC 于点 D设 BDx，tanACBy，则（ ）Axy 23 B2xy 29 C3xy 215 D4x y 22110（3 分）已知抛物线 ya（x3） 2+ 过点 C（0，4），顶点为 M，与 x 轴交于A、B 两点如图所示以 AB 为直径作圆，记作 D，下列结论：抛物线的对称轴是直线 x3；点 C 在 D 外；在抛物线上存在一点 E，能使四边形 ADEC 为平行四边形；直线 CM 与 D 相切正确的结论是（ ）A B C D二、填空题（每小题 3
4、分，共 24 分）11（3 分）若 x1 是方程 2x+a0 的解，则 a 12（3 分）一个 n 边形的内角和是 720，则 n 13（3 分）已知 xy 2，则 x2y 24y 14（3 分）点 P 的坐标是（a，b），从2，1，1，2 这四个数中任取一个数作为 a 的值，再从余下的三个数中任取一个数作 b 的值，则点 P（a，b）在平面直角坐标系中第一象限内的概率是 15（3 分）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 60方向，距离灯塔 86nmile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向上的 B 处，此时 B处与灯塔 P 的距离为 nmile（结
5、果保留根号）16（3 分）A，B 两地相距 120km甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发去 B 地，已知甲车的速度是乙车速度的 1.2 倍，结果甲车比乙车提前 20 分钟到达，则甲车的速度是 km/h17（3 分）如图，点 P 为MON 平分线 OC 上一点，以点 P 为顶点的APB 两边分别与射线 OM、ON 相交于点 A、 B，如果APB 在绕点 P 旋转时始终满足 OAOBOP 2，我们就把APB 叫做MON 的关联角如果MON 50，APB 是MON 的关联角，那么APB 的度数为 18（3 分）观察分析下列数据：0， ， ，3，2 ， ，3 ，根据数据排列的规律得到第 13 个数据应是
6、 三、解答题（共 66 分）19（6 分）解不等式组 ，并将它的解集在数轴上表示出来20（6 分）（x+3）（x 1）12（用配方法）21（6 分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球，B乒乓球， C跳绳，D踢毽子为了解学生最喜欢哪种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示两幅不完整的统计图：请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有 人；（2）请你将条形统计图补充完整22（8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ykx +b（k 0）的图象与反比例函数y （m0）的图象交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，点 A 的坐标为（n，12）
7、，点C 的坐标为（4，0），且 tanACO2（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点 B 的坐标；（3）连接 OA，OB，求AOB 的面积23（8 分）如图，AB 为 O 的直径，C 是 O 上一点，过点 C 的直线交 AB 的延长线于点 D，AE DC ，垂足为 E， F 是 AE 与O 的交点，AC 平分BAE（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 AE6，D30 ，求图中阴影部分的面积24（10 分）如图，点 F 在ABCD 的对角线 AC 上，过点 F、B 分别作 AB、AC 的平行线相交于点 E，连接 BF，ABFFBC+FCB （1）求证：四边形 ABEF 是菱形；（
8、2）若 BE5，AD 8，sinCBE ，求 AC 的长25（10 分）已知矩形 ABCD 的一条边 AD8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD边上的 P 点处（）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP、OP、OA 若OCP 与PDA 的面积比为 1：4，求边 CD 的长（）如图 2，在（）的条件下，擦去折痕 AO、线段 OP，连接 BP动点 M 在线段AP 上（点 M 与点 P、A 不重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BNPM，连接MN 交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当动点 M、N 在移动的过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变
9、化，说明变化规律若不变，求出线段 EF 的长度26（12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是（4，0），并且OAOC4OB，动点 P 在过 A，B，C 三点的抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F，连接 EF，当线段 EF 的长度最短时，求出点 P 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由2019 年山东省聊城市东阿县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小
10、题 3 分，共 30 分）1（3 分）如果一个有理数的绝对值是 5，那么这个数一定是（ ）A5 B5 C5 或 5 D以上都不对【分析】根据绝对值的性质，即可求出这个数【解答】解：如果一个有理数的绝对值是 5，那么这个数一定是5 或 5故选：C【点评】本题考查了绝对值的知识，注意绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 02（3 分）下列运算中，正确的是（ ）Ax 3x3x 6 B3x 2+2x35x 5C（x 2） 3x 5 D（ab） 3a 3b【分析】直接利用幂的乘方与积的乘方法则以及合并同类项、同底数幂的乘法运算法则进而得出答案【解答】解：A
11、、x 3x3x 6，正确；B、3x 2+2x3，无法计算，故此选项错误；C、（x 2） 3x 6，故此选项错误；D、（ab） 3a 3b3，故此选项错误；故选：A【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及合并同类项、同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键3（3 分）肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.00000071 米，数字 0.00000071 用科学记数法表示为（ ）A7.110 7 B0.7110 6 C7.110 7 D7110 8【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起
12、第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：数字 0.00000071 用科学记数法表示为 7.1107 ，故选：C【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定4（3 分）长方体的主视图与左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是（ ）A4 cm 2 B6 cm 2 C8 cm 2 D12 cm 2【分析】主视图的矩形的两边长表示长方体的长为 4，高为 2；左视图的矩形的两边长表示长方体的宽为 3，高为 2；那么俯视图的矩形的两边长表示长方体的长与宽，那么求面积即可【解答】解：
13、根据题意，正方体的俯视图是矩形，它的长是 4cm，宽是 3cm，面积4312（cm 2），故选：D【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是根据所给视图得到俯视图的矩形的边长5（3 分）已知点 P（a+1，2a3）关于 x 轴的对称点在第二象限，则 a 的取值范围是（ ）A1a B a1 Ca1 Da【分析】点 P（a+1，2a3）关于 x 轴的对称点在第二象限，则点 P（a+1，2a3）在第三象限，符号为（，）【解答】解：依题意得 P 点在第三象限， ，解得：a1故选：C【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，以及象各限内点的坐标的特点，先判断出点 P 在第三
14、象限是解题的关键6（3 分）如图，已知136，236，3140，则4 的度数等于（ ）A40 B36 C44 D100【分析】根据平行线的性质和判定定理即可得到结论【解答】解：136，236，12，PQMN，4PNM180340，故选：A【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键7（3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是边 AD 上的一点，射线 CF 和 BA 的延长线交于点 E，如果 ，那么 的值是（ ）A B C D【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，AECD，EAF CDF， ， ， ，AFBC，EA
15、F EBC， ，故选：D【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键8（3 分）如图，在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 交 AC 于 D，交 BC 于 E，连接 AE，则下列结论中不一定正确的是（ ）AAEBC BBEEC CED EC DBACEDC【分析】根据圆周角定理和等腰三角形的性质即可得到结论【解答】解：AB 为O 的直径，AEBC，ABAC，BECE， BAECAE， ，EDEC，EDCB，故选：D【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键9（3 分）如图，在ABC 中，ABA
16、C ，BC 12，E 为 AC 边的中点，线段 BE 的垂直平分线交边 BC 于点 D设 BDx，tanACBy，则（ ）Axy 23 B2xy 29 C3xy 215 D4x y 221【分析】过 A 作 AQBC 于 Q，过 E 作 EMBC 于 M，连接 DE，根据线段垂直平分线求出 DEBD x ，根据等腰三角形求出 BQCQ6，求出 CMQM3，解直角三角形求出 EM3y ，AQ6y ，在 RtDEM 中，根据勾股定理求出即可【解答】解：过 A 作 AQBC 于 Q，过 E 作 EMBC 于 M，连接 DE，BE 的垂直平分线交 BC 于 D，BDx，BDDE x，ABAC，BC12
17、，tan ACBy， y，BQCQ6，AQ6y，AQBC，EM BC，AQEM，E 为 AC 中点，CMQM CQ3，EM3y，DM 123 x9x，在 Rt EDM 中，由勾股定理得：x 2（3y ） 2+（9x ） 2，即 2xy 29，故选：B【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键10（3 分）已知抛物线 ya（x3） 2+ 过点 C（0，4），顶点为 M，与 x 轴交于A、B 两点如图所示以 AB 为直径作圆，记作 D，下列结论：抛物线的对称轴是直线 x3；点 C 在 D 外；在抛物线上存在一点 E，能使四
18、边形 ADEC 为平行四边形；直线 CM 与 D 相切正确的结论是（ ）A B C D【分析】 根据抛物线的解析式即可判定；求得 AD、CD 的长进行比较即可判定，过点 C 作 CEAB，交抛物线于 E，如果 CEAD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得直线 CM、直线 CD 的解析式通过它们的斜率进行判定；【解答】解：由抛物线 ya（x3） 2+ 可知：抛物线的对称轴 x3，故 正确；抛物线 ya（x 3） 2+ 过点 C（0，4），49a+ ，解得：a ，抛物线的解析式为 y （x3） 2+ ，令 y0，则 （x 3） 2+ 0，解得：x8 或 x2，A（2，0），
19、B（8，0）；AB10，AD5，OD3C（0，4），CD 5，CDAD，点 C 在圆上，故错误；过点 C 作 CEAB，交抛物线于 E，C（0，4），代入 y （x 3） 2+ 得：4 （x3） 2+ ，解得：x0，或 x6，CE6，ADCE，四边形 ADEC 不是平行四边形，故错误；由抛物线 ya（x 3） 2+ 可知：M（3， ），C（0，4），直线 CM 为 y x+4，直线 CD 为：y x+4，CMCD，CDAD5，直线 CM 与D 相切，故 正确；故选：B【点评】本题考查了抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，平行四边形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线的判定等二、填空题（每小题
20、3 分，共 24 分）11（3 分）若 x1 是方程 2x+a0 的解，则 a 2 【分析】把 x1 代入方程计算即可求出 a 的值【解答】解：把 x1 代入方程得：2+a0，解得：a2故答案为：2【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值12（3 分）一个 n 边形的内角和是 720，则 n 6 【分析】多边形的内角和可以表示成（n2）180，依此列方程可求解【解答】解：依题意有：（n2）180720，解得 n6故答案为：6【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理13（3 分）已知 xy 2
21、，则 x2y 24y 4 【分析】由 xy 2 得到 x y+2，代入所求的解析式，进行化简即可求解【解答】解：xy 2，xy+2，则 x2y 24y（ y+2） 2y 24yy 2+4y+4y 24y4故答案是：4【点评】本题考查了代数式的求值，以及完全平方公式，正确理解公式是关键14（3 分）点 P 的坐标是（a，b），从2，1，1，2 这四个数中任取一个数作为 a 的值，再从余下的三个数中任取一个数作 b 的值，则点 P（a，b）在平面直角坐标系中第一象限内的概率是 【分析】先根据题意列出树状图，找出符合题意的 2 种情况，再根据概率公式计算即可求解【解答】解：列树状图如图所示，共 12
22、 种情况；点 P（a，b）在平面直角坐标系中第一象限内，a0，b0，符合条件的有a1，b2， a2，b1，共 2 种情况，点 P（a，b）在平面直角坐标系中第一象限内的概率是 故答案为： 【点评】此题主要考查了树状图的画法，点的坐标，概率的确定，解本题的关键是列出树状图，难点是找出符合条件的几种可能15（3 分）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 60方向，距离灯塔 86nmile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向上的 B 处，此时 B处与灯塔 P 的距离为 43 nmile（结果保留根号）【分析】作 PCAB 于 C，根据余弦的定义求出 PC，再
23、根据余弦的定义列式计算即可【解答】解：作 PCAB 于 C，在 Rt APC 中，cosAPC ，则 PCPAcosAPC86 43 ，在 Rt BCP 中，cosBPC ，则 PB 43 （nmile），故答案为：43 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键16（3 分）A，B 两地相距 120km甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发去 B 地，已知甲车的速度是乙车速度的 1.2 倍，结果甲车比乙车提前 20 分钟到达，则甲车的速度是 72 km/h【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题，注意分式方程要检验【解答】解
24、：设乙车的速度为 xkm/h，解得，x60，经检验 x60 是原分式方程的根，1.2x1.26072，故答案为：72【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程17（3 分）如图，点 P 为MON 平分线 OC 上一点，以点 P 为顶点的APB 两边分别与射线 OM、ON 相交于点 A、 B，如果APB 在绕点 P 旋转时始终满足 OAOBOP 2，我们就把APB 叫做MON 的关联角如果MON 50，APB 是MON 的关联角，那么APB 的度数为 155 【分析】由已知条件得到 ，由于BOPAOP，得到PBOAOP，根据相似三角形的性质得到OBPOPA，根据
25、等量代换即可得到结论；【解答】解：OAOBOP 2， ，BOPAOP，PBOAOP，OBPOPA，MON50，BOP25，OBP+BPO 18025155APB BPO+APO155；故答案为：155【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的性质得到OBPOPA18（3 分）观察分析下列数据：0， ， ，3，2 ， ，3 ，根据数据排列的规律得到第 13 个数据应是 6 【分析】通过观察可知，规律是根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：（1）1+10，（1） 2+1 ，（1） 3+1 （1） n+1 ），可以得到第 13个的答案【解答】解：由题意知道：题目中的数据可以整
26、理为：（1） 1+1 ，（1） 2+1，（1） n+1 ），第 13 个答案为：（1） 13+1 6故答案为：6【点评】此题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律三、解答题（共 66 分）19（6 分）解不等式组 ，并将它的解集在数轴上表示出来【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条数轴表示出来【解答】解：由得：2x2，即 x1，由得： 4x25x+5，即 x7，所以7x1在数轴上表示为：【点评】本题考查不等式组的解法和解集在数轴上的表
27、示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心20（6 分）（x+3）（x 1）12（用配方法）【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方【解答】解：将原方程整理，得x2+2x15（1 分）两边都加上 12，得x2+2x+1215+1 2（2 分）即（x+1） 216（3 分）开平方，得 x+14，即 x+14，或 x+14（4 分）x 13，x 25（5 分）【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二
28、次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数21（6 分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球，B乒乓球，C跳绳，D踢毽子为了解学生最喜欢哪种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示两幅不完整的统计图：请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有 240 人；（2）请你将条形统计图补充完整【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得这次被调查的学生数；（2）根据（1）中的结果可以求得喜欢 C 的人数，从而可以将条形统计图补充完整【解答】解：（1）40 240（人），即这次被调查的学生共有 240 人，故答案为：240；（2）喜欢 C跳绳的学生有： 2
29、40208040100（人），补全的条形统计图如右图所示【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答22（8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ykx +b（k 0）的图象与反比例函数y （m0）的图象交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，点 A 的坐标为（n，12），点C 的坐标为（4，0），且 tanACO2（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点 B 的坐标；（3）连接 OA，OB，求AOB 的面积【分析】（1）过点 A 作 ADx 轴，垂足为 D由 tanACO2，得到 n2，求得A（2，12）代入反比例函数解析式，将点
30、A（2，12），C（4，0）代入一次函数ykx +b，即可求解；（2）y 与 y2x +8 的交点为， x2+4x120，即可求点 B；（3）由 SAOB OC（y Ay B），将所求点代入即可；【解答】解：（1）过点 A 作 ADx 轴，垂足为 D由 A（n，12），C（4，0），可得 ODn，AD12，CO4tanACO2， 2，即 2，n2，A（2，12）将 A（2，12）代入反比例函数 y ，得 m21224反比例函数的解析式为 y 将 A（2，12），C（4，0）代入一次函数 ykx+ b，得 ，解得 一次函数的解析式为 y2x+8（2）y 与 y2x +8 的交点为， 2x+8 ，
31、x 2+4x12 0，x6 或 x2，点 B 的坐标为（6，4）（3）C（4，0），S AOB OC（y Ay B） 412（4）32【点评】本题考查一次函数和反比例函数的图象和性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键23（8 分）如图，AB 为 O 的直径，C 是 O 上一点，过点 C 的直线交 AB 的延长线于点 D，AE DC ，垂足为 E， F 是 AE 与O 的交点，AC 平分BAE（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 AE6，D30 ，求图中阴影部分的面积【分析】（1）连接 OC，先证明OACOCA，进而得到 OCAE，于是得到OCCD，进而证明 DE 是O 的切线；（
32、2）分别求出OCD 的面积和扇形 OBC 的面积，利用 S 阴影 S COD S 扇形 OBC 即可得到答案【解答】（1）证明：连接 OC，OAOC，OACOCA，AC 平分BAE，OACCAE，OCACAE，OCAE ，OCDE，AEDE ，E90，OCD90，OCCD ，点 C 在圆 O 上，OC 为圆 O 的半径，CD 是圆 O 的切线；（2）在 RtAED 中，D30，AE6，AD2AE12，在 Rt AED 中，D30，DO2OCDB+OBDB+OC，DBOB OC AD4， DO8，CD ，S OCD ，D30，OCD90，DOC60，S 扇形 OBC OC2 ，S 阴影 S CO
33、D S 扇形 OBCS 阴影 8 ，阴影部分的面积为 8 【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解（1）的关键是证明OCDE，解（2）的关键是求出扇形 OBC 的面积，此题难度一般24（10 分）如图，点 F 在ABCD 的对角线 AC 上，过点 F、B 分别作 AB、AC 的平行线相交于点 E，连接 BF，ABFFBC+FCB （1）求证：四边形 ABEF 是菱形；（2）若 BE5，AD 8，sinCBE ，求 AC 的长【分析】（1）由外角的性质可得AFBFBC +FCB，又因为ABF FBC+ FCB ，易得 ABAF，由菱形的判定定理可得结论；（2）作 DHAC 于点 H
34、，由特殊角的三角函数可得CBE30，由平行线的性质可得2CBE30，利用锐角三角函数可得 AH，DH ，由菱形的性质和勾股定理得CH，得 AC【解答】（1）证明：EFAB，BE AF，四边形 ABEF 是平行四边形ABF FBC+ FCB ，AFBFBC +FCB，ABF AFB，ABAF，ABEF 是菱形；（2）解：作 DHAC 于点 H， ，CBE30，BEAC，1CBE，ADBC，21，2CBE30，RtADH 中， ，DHAD sin24，四边形 ABEF 是菱形，CDAB BE 5，RtCDH 中， ， 【点评】本题主要考查了菱形的性质及判定定理，锐角三角函数等，由锐角三角函数解得
35、AH，CH 是解答此题的关键25（10 分）已知矩形 ABCD 的一条边 AD8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD边上的 P 点处（）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP、OP、OA 若OCP 与PDA 的面积比为 1：4，求边 CD 的长（）如图 2，在（）的条件下，擦去折痕 AO、线段 OP，连接 BP动点 M 在线段AP 上（点 M 与点 P、A 不重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BNPM，连接MN 交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当动点 M、N 在移动的过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律若不变，求出
36、线段 EF 的长度【分析】（1）先证出C D90，再根据1+390，1+290，得出23，即可证出OCPPDA；根据OCP 与PDA 的面积比为 1：4，得出 CP AD4，设 OPx，则CO8x，由勾股定理得 x2（8x） 2+42，求出 x，最后根据 AB2OP 即可求出边AB 的长；（2）作 MQ AN，交 PB 于点 Q，求出 MPMQ，BN QM，得出 MPMQ，根据MEPQ ，得出 EQ PQ，根据QMFBNF ，证出MFQNFB，得出QF QB，再求出 EF PB，由（1）中的结论求出 PB ，最后代入 EF PB 即可得出线段 EF 的长度不变【解答】解：（1）如图 1，四边形
37、 ABCD 是矩形，CD90，1+390，由折叠可得APOB 90，1+290，23，又DC，OCPPDA；OCP 与PDA 的面积比为 1：4， ，CP AD4，设 OPx，则 CO8x，在 Rt PCO 中， C 90，由勾股定理得 x2（8x ） 2+42，解得：x5，ABAP2OP10，边 CD 的长为 10；（2）作 MQ AN，交 PB 于点 Q，如图 2，APAB，MQAN，APB ABPMQP MPMQ，BNPM，BNQM MPMQ，MEPQ，EQ PQMQ AN，QMFBNF，在MFQ 和NFB 中，MFQNFB（AAS ）QF QB，EFEQ +QF PQ+ QB PB，由
38、（1）中的结论可得：PC 4，BC 8，C90，PB ，EF PB2 ，在（1）的条件下，当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，它的长度为 2【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形26（12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是（4，0），并且OAOC4OB，动点 P 在过 A，B，C 三点的抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F，连接 E
39、F，当线段 EF 的长度最短时，求出点 P 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）根据题意可以求得点 C 和点 B 的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据点到直线的所有线段中，垂线段最短即可求得点 P 的坐标；（3）根据题意作出合适的图形，然后利用分类讨论的数学思想即可求得符合条件的点P 的坐标【解答】解：（1）点 A 的坐标是（4，0），并且 OAOC4OB ，动点 P 在过A，B，C 三点的抛物线上，点 C 的坐标为
40、（0，4），点 B 的坐标为（1，0），设抛物线的解析式为 yax 2+bx+c，得 ，即抛物线的解析式为 yx 2+3x+4；（2）连接 OD，则四边形 OFDE 是矩形，则 ODEF，垂线段最短，当 ODAC 时，OD 最短，即 EF 最短，OAOC，ODAC，点 D 是线段 AC 的中点，又DFOC，DF OC 2，点 P 的纵坐标是 2，2x 2+3x+4，解得，x ，当线段 EF 的长度最短时，点 P 的坐标是（， ， 2）或（ ，2）；（3）存在，第一种情况，当以点 C 为直角顶点时，过点 C 作 CP1AC 交抛物线与点 P1，过点 P1作 y 轴的垂线，垂足为 M，ACP 19
41、0，MCP 1+ACO90，ACO+OAC90，MCP 1OAC，OAOC，MCP 1OAC45，MCP 1MP 1C，MCMP 1，设点 P1（m，m 2+3m+4），则 m+4 m 2+3m+4，解得，m 10（舍去），m 22，当 m2 时，m 2+3m+46，点 P1（2，6）；第二种情况，当点 A 为直角顶点时，过点 A 作 AP2AC 交抛物线于点 P2，交 y 轴于点 F，作 P2Ny轴于点 N，P 2Nx 轴，CAO45，FP 2N45，P 2FN45，AFO45，P 2NNF，OFOA ，设 P2（n，n 2+3n+4），则 nn 2+3n+4+4，解得，n 14（舍去），n 22，当 n2 时，n 2+3n+46，即 P2（2，6），由上可得，点 P 的坐标是（2，6）或（2，6）【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答