1、2019 年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（每小题 2 分，共 16 分）1（2 分）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）A BC D2（2 分）2019 年中国北京世界园艺博览会于 4 月 29 日在北京延庆举行，会期共 162 天，预计参观人数不少于 16 000 000 人次，将 16 000 000 用科学记数法表示应为（ ）A1610 4 B1.610 7 C1610 8 D1.610 83（2 分）已知实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）Aab B| a| b| Cab0 Dab4（2 分）如图，将一张矩形纸片折叠，若180，则2 的度数是（ ）A
2、50 B60 C70 D805（2 分）若一个多边形的每个内角均为 120，则该多边形是（ ）A四边形 B五边形 C六边形 D七边形6（2 分）如果 a2+3a20，那么代数式（ ） 的值为（ ）A1 B C D7（2 分）弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长 L（cm）与重物质量 x（kg）的关系如下表所示：弹簧总长L（cm）16 17 18 19 20重物重量x（kg）0.5 1.0 1.5 2.0 2.5当重物质量为 5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长 L（cm）是（ ）A22.5 B25 C27.5 D308（2 分）改革开放 40 年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文
3、化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的 2017 年和 2018 年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2018年第二季度与 2017 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2018 年第二季度与 2018 年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中错误的是（ ）A2017 年第二季度环比有所提高B2017 年第三季度环比有所提高C2018 年第一季度同比有所提高D2018 年第四季度同比有所提高二、填
4、空题（每小题 2 分，共 16 分）9（2 分）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 10（2 分）有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有 16 这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一面的数字是偶数的概率为 11（2 分）能说明命题“若 ab，则 acbc”是假命题的一个 c 值是 12（2 分）如图，AD 为 ABC 的外接圆 O 的直径，若BAD50，则ACB 13（2 分）九章算术中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器 5 个，小容器 1 个，总容量为 3 斛；大容器 1 个，小容器 5 个，总容量为 2 斛问大容器
5、、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为 x 斛，小容器的容积为 y 斛，根据题意，可列方程组为 （斛：古量器名，容量单位）14（2 分）如图，在ABCD 中，点 E 在 DA 的延长线上，且 AE AD，连接 CE 交 BD于点 F，则 的值是 15（2 分）为方便市民出行，2019 年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：种类 一日票 二日票 三日票 五日票 七日票单价（元/张） 20 30 40 70 90某人需要连续 6 天不限次数
6、乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为 元16（2 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1，A、B、C、D 均落在格点上（1）S BDC ：S BAC ；（2）点 P 为 BD 的中点，过点 P 作直线 lBC，过点 B 作 BMl 于点 M，过点 C 作CNl 于点 N，则矩形 BCNM 的面积为 三、解答题（共 68 分）17（5 分）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：如图 1，直线 BC 及直线 BC 外一点 P求作：直线 PE，使得 PEBC作法：如图 2在直线 BC 上取一点 A，连接 PA；作 PAC 的平分线 AD；以点 P 为圆
7、心， PA 长为半径画弧，交射线 AD 于点 E；作直线 PE所以直线 PE 就是所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：AD 平分PAC，PADCADPAPE，PAD ，PEA ，PEBC（ ）（填推理依据）18（5 分）计算： 2sin60+|2| 2019 019（5 分）解不等式组： 20（5 分）若关于 x 的一元二次方程 x23x +a20 有实数根（1）求 a 的取值范围；（2）当 a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解21（5 分）如图，在ABC 中，CD 平分ACB，CD 的垂直平分线分别交 AC、DC
8、、BC于点 E、 F、G ，连接 DE、DG（1）求证：四边形 DGCE 是菱形；（2）若ACB30，B45，ED 6，求 BG 的长22（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx（k 0）与双曲线 y （x0）交于点 A（2 ，n）（1）求 n 及 k 的值；（2）点 B 是 y 轴正半轴上的一点，且OAB 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 B 的坐标23（6 分）如图，AB 与 O 相切于点 A，P 为 OB 上一点，且 BPBA，连接 AP 并延长交O 于点 C，连接 OC（1）求证：OCOB；（2）若O 的半径为 4，AB3，求 AP 的长24（6 分）某年级共有 4
9、00 学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取 100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息a不同交通方式学生人数分布统计图如图 1 所示：b采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图 2 所示（数据分成6 组：10x20，20x 30，30x 40，40x50，50x 60，60x70）：c采用公共交通方式单程所花费时间在 30x40 这一组的是：30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为 分；（
10、3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有 人，其中单程不少于 60 分钟的有 人25（6 分）如图 1 所示，点 E 在弦 AB 所对的优弧上，且 为半圆，C 是 上的动点，连接 CA、CB，已知 AB 4cm，设 B、C 间的距离为 xcm，点 C 到弦 AB 所在直线的距离为 y1cm，A、C 两点间的距离为 y2cm小明根据学习函数的经验，分别对函数 y1、y 2 岁自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1、y 2 与 x 的几组对应值：x/cm 0 1 2 3 4 5 6y1/cm
11、0 0.78 1.76 2.85 3.98 4.95 4.47y2/cm 4 4.69 5.26 5.96 5.94 4.47（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y 1），（x，y 2），并画出函数 y1、 y2 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接 BE，则 BE 的长约为 cm当以 A、B、C 为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC 的长度约为 cm 26（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ymx 26mx +9m+1（m0）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A 和 B 点（点 A 在点 B 的
12、左侧），且 AB4，求 m 的值（3）已知四个点 C（2，2）、 D（2，0）、E（5，2）、F（5，6），若抛物线与线段 CD 和线段 EF 都没有公共点，请直接写出 m 的取值范围27（7 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上的一动点（不与点 B、C 重合），连接 DE、点 C 关于直线 DE 的对称点为 C，连接 AC并延长交直线 DE 于点 P，F 是AC的中点，连接 DF（1）求FDP 的度数；（2）连接 BP，请用等式表示 AP、BP 、DP 三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接 AC，若正方形的边长为 ，请直接写出ACC的面积最大值28（7 分）在平面直角坐
13、标系 xOy 中，对于 P、Q 两点给出如下定义：若点 P 到 x、y 轴的距离中的最大值等于点 Q 到 x、y 轴的距离中的最大值，则称 P、Q 两点为“等距点”，如图中的 P、Q 两点即为“ 等距点”（1）已知点 A 的坐标为（3，1）在点 E（0， 3）、F （3，3）、G（2，5）中，点 A 的“等距点”是 ；若点 B 在直线 yx+6 上，且 A、B 两点为“等距点”，则点 B 的坐标为 ；（2）直线 l：y kx3（k0）与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D若 T1（1，t 1）、T 2（4， t2）是直线 l 上的两点，且 T1、T 2 为“等距点”，求 k 的值；当 k1
14、 时，半径为 r 的O 上存在一点 M，线段 CD 上存在一点 N，使得 M、N 两点为“等距点”，直接写出 r 的取值范围2019 年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 2 分，共 16 分）1（2 分）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）A BC D【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故 A 不符合题意；B、圆柱的柱视图是矩形，故 B 错误；C、圆台的主视图是梯形，故 C 错误；D、球的主视图是圆，故 D 正确；故选：D【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键2（2 分）2019
15、年中国北京世界园艺博览会于 4 月 29 日在北京延庆举行，会期共 162 天，预计参观人数不少于 16 000 000 人次，将 16 000 000 用科学记数法表示应为（ ）A1610 4 B1.610 7 C1610 8 D1.610 8【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 16 000 000 用科学记数法表示应为 1.6107，故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示
16、方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（2 分）已知实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）Aab B| a| b| Cab0 Dab【分析】根据数轴可以判断 a、b 的正负，从而可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题【解答】解：由数轴可得，2a10b1，ab，故选项 A 错误，|a|b| ，故选项 B 错误，ab0，故选项 C 错误，ab，故选项 D 正确，故选：D【点评】本题考查实数与数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答4（2 分）如图，将一
17、张矩形纸片折叠，若180，则2 的度数是（ ）A50 B60 C70 D80【分析】利用平行线的性质解决问题即可【解答】解：ab，1380，由翻折不变性可知：24 （18080）50，故选：A【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型5（2 分）若一个多边形的每个内角均为 120，则该多边形是（ ）A四边形 B五边形 C六边形 D七边形【分析】首先可求得每个外角为 60，然后根据外角和为 360即可求得多边形的边数【解答】解：18012060，360606故选：C【点评】本题主要考查的是正多边形的内角和与外角和，掌握正多边形的一个内角与它相邻的一个外角互补，边
18、数一个外角360是解题的关键6（2 分）如果 a2+3a20，那么代数式（ ） 的值为（ ）A1 B C D【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值【解答】解：原式 ，由 a2+3a20，得到 a2+3a2，则原式 ，故选：B【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键7（2 分）弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长 L（cm）与重物质量 x（kg）的关系如下表所示：弹簧总长L（cm）16 17 18 19 20重物重量x（kg）0.5 1.0 1.5 2.0 2.5当重物质量为 5kg（在弹性限度内）时，弹
19、簧总长 L（cm）是（ ）A22.5 B25 C27.5 D30【分析】根据表格数据，建立数学模型，进而利用待定系数法可得函数关系式，当x5 时，代入函数解析式求值即可【解答】解：设弹簧总长 L（cm）与重物质量 x（kg）的关系式为 Lkx +b，将（0.5，16）、（1.0，17）代入，得： ，解得： ，L 与 x 之间的函数关系式为：L2x+15；当 x5 时，L25+1525（cm）故重物为 5kg 时弹簧总长 L 是 25cm，故选：B【点评】此题主要考查根据实际问题列一次函数关系式，解决本题的关键是得到弹簧长度的关系式，难点是得到 x 千克重物在原来基础上增加的长度8（2 分）改革
20、开放 40 年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的 2017 年和 2018 年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2018年第二季度与 2017 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2018 年第二季度与 2018 年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中错误的是（ ）A2017 年第二季度环比有所提高B2017 年第三季度环比有所提高C2018
21、年第一季度同比有所提高D2018 年第四季度同比有所提高【分析】根据环比和同比的比较方法，验证每一个选项即可；【解答】解：2017 年第二季度支出 948 元，第一季度支出 859 元，所以第二季度比第一季度提高，故 A 正确；2017 年第三季度支出 1113 元，第二季度支出 948 元，所以第三季度比第二季度提高，故 B 正确；2018 年第一季度支出 839 元，2017 年第一季度支出 859 元，所以 2018 年第一季度同比有所降低，故 C 错误；2018 年第四季度支出 1012 元，2017 年第一季度支出 997 元，所以 2018 年第四季度同比有所降低，故 D 正确；故
22、选：C【点评】本题考查折现统计图，同比和环比的意义；能够从统计图中获取数据，按要求对比数据是解题的关键二、填空题（每小题 2 分，共 16 分）9（2 分）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 x2 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x20，再解即可【解答】解：由题意得：x20，解得：x2，故答案为：x2【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数10（2 分）有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有 16 这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一面的数字是偶数的概率为 【分析】由质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6
23、 六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的有 3 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的有 3 种情况，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的概率为： 故答案为： 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比11（2 分）能说明命题“若 ab，则 acbc”是假命题的一个 c 值是 0（答案不唯一）【分析】举出一个能使得 acbc 或 acbc 的一个 c 的值即可【解答】解：若 ab，当 c0 时 acbc 0，故
24、答案为：0（答案不唯一）【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可12（2 分）如图，AD 为 ABC 的外接圆 O 的直径，若BAD50，则ACB 40 【分析】连接 BD，如图，根据圆周角定理得到 ABD 90，则利用互余计算出D40，然后再利用圆周角定理得到 ACB 的度数【解答】解：连接 BD，如图，AD 为ABC 的外接圆O 的直径，ABD90，D90BAD905040，ACBD40故答案为 40【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了
25、圆周角定理13（2 分）九章算术中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器 5 个，小容器 1 个，总容量为 3 斛；大容器 1 个，小容器 5 个，总容量为 2 斛问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为 x 斛，小容器的容积为 y 斛，根据题意，可列方程组为 （斛：古量器名，容量单位）【分析】设大容器的容积为 x 斛，小容器的容积为 y 斛，根据“大容器 5 个，小容器 1个，总容量为 3 斛；大容器 1 个，小容器 5 个，总容量为 2 斛”即可得出关于 x、y 的二元一次方程组【解答】解：设大容器的容积为 x 斛，小容器
26、的容积为 y 斛，根据题意得： ，故答案为： 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于 x、y的二元一次方程组是解题的关键14（2 分）如图，在ABCD 中，点 E 在 DA 的延长线上，且 AE AD，连接 CE 交 BD于点 F，则 的值是 【分析】由EDFCBF ，可得 ，由此即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBCADBC，设 AD3a，则 AEa，DEBC，EDFCBF， 故答案为 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型15（2 分）为方便市民出行，2
27、019 年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：种类 一日票 二日票 三日票 五日票 七日票单价（元/张） 20 30 40 70 90某人需要连续 6 天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为 80 元【分析】分 5 种方案计算费用比较即可【解答】解：连续 6 天不限次数乘坐地铁有 5 种方案方案 ：买一日票 6 张，费用 206120（元）方案 ：买二日票 3 张：30390（元）方案 ：买三日票 2 张：40280（元）
28、方案 ：买一日票 1 张，五日票 1 张：20+70 120（元）方案 ：买七日票 1 张：90 元故方案 费用最低： 40280（元）故答案为 80【点评】本题考查了根据实际问题求最小值，分情况列出可能性是解题的关键16（2 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1，A、B、C、D 均落在格点上（1）S BDC ：S BAC 5： 1 ；（2）点 P 为 BD 的中点，过点 P 作直线 lBC，过点 B 作 BMl 于点 M，过点 C 作CNl 于点 N，则矩形 BCNM 的面积为 【分析】（1）由题意得：AC 1，AD6，CD5，由三角形面积公式得出 SABD： S BAC6：1，得出
29、 SBDC ：S BAC 5：1 即可；（2）证出 CEDE CD ，由勾股定理求出 BC ，证明CNE BAC，得出 ，解得：CN ，由矩形面积公式即可得出矩形BCNM 的面积【解答】解：（1）由题意得：AC 1，AD6，CD5，S ABD ：S BAC 6：1，S BDC ：S BAC 5：1；故答案为：5：1；（2）如图所示：点 P 为 BD 的中点，直线 lBC，PE 是BCD 的中位线，CEDE CD ，四边形 BCNM 是矩形，BCN CNE90，ACB+ ECN 90，BAC90，ACB+ ABC90，BC ，ECN ABC，CNE BAC， ，即 ，解得：CN ，矩形 BCNM
30、 的面积BCCN ；故答案为： 【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键三、解答题（共 68 分）17（5 分）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：如图 1，直线 BC 及直线 BC 外一点 P求作：直线 PE，使得 PEBC作法：如图 2在直线 BC 上取一点 A，连接 PA；作 PAC 的平分线 AD；以点 P 为圆心， PA 长为半径画弧，交射线 AD 于点 E；作直线 PE所以直线 PE 就是所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（
31、保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：AD 平分PAC，PADCADPAPE，PAD PEA ，PEA CAD ，PEBC（ 内错角相等两直线平行 ）（填推理依据）【分析】（1）根据要求作图即可；（2）根据等腰三角形的性质和平行线的判定及角平分线的定义求解可得【解答】解：（1）如图所示：直线 PE 即为所求（2）证明：AD 平分PAC，PADCADPAPE，PADPEA，PEA CAD，PEBC（内错角相等两直线平行）故答案为：PEA，CAD，内错角相等两直线平行【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和平行线的判定及角平分线的定义18（5 分）计算： 2sin6
32、0+|2| 2019 0【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简 4 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解： 2sin60 +|2| 2019 02 2 +212 +21 +1【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式等考点的运算19（5 分）解不等式组： 【分析】分别求得各不等式的解集，然后求得公共部分即可【解答】解：由得 x2；由得 x1；故不等式组的解集为1x2【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出
33、每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键20（5 分）若关于 x 的一元二次方程 x23x +a20 有实数根（1）求 a 的取值范围；（2）当 a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解【分析】（1）由方程有实数根，根据根的判别式可得到关于 a 的不等式，则可求得 a的取值范围；（2）由（1）中所求 a 的取值范围可求得 a 的最大整数值，代入方程求解即可【解答】解：（1）关于 x 的一元二次方程 x23x +a20 有实数根，0，即（3） 24（a2）0，解得 a ；（2）由（1）可知 a ，a 的最大整数值为 4，此时方程为
34、x23x +20，解得 x1 或 x2【点评】本题主要考查根的判别式，由根的判别式得到关于 a 的不等式是解题的关键21（5 分）如图，在ABC 中，CD 平分ACB，CD 的垂直平分线分别交 AC、DC、BC于点 E、 F、G ，连接 DE、DG（1）求证：四边形 DGCE 是菱形；（2）若ACB30，B45，ED 6，求 BG 的长【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证EDCDCGACDGDC ，可得 CEDG，DEGC，由菱形的判定可证结论；（2）过点 D 作 DHBC，由菱形的性质可得 DEDG 6，DGEC，由直角三角形的性质可得 BHDH3，HG DH3 ，即可求 B
35、G 的长【解答】解：（1）CD 平分ACB ，ACDDCG，EG 垂直平分 CDDGCG，DEEC，DCGGDC，ACDEDCEDCDCGACDGDCCEDG，DEGC四边形 DECG 是平行四边形，且 DEEC四边形 DGCE 是菱形；（2）如图，过点 D 作 DHBC ，四边形 DGCE 是菱形，DEDG 6 ，DGECACBDGB30，且 DHBCDH3，HG DH3B45，DHBCBBDH 45BHDH 3BGBH +HG3+3【点评】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键22（5 分）在平面直角坐标系
36、xOy 中，直线 ykx（k 0）与双曲线 y （x0）交于点 A（2 ，n）（1）求 n 及 k 的值；（2）点 B 是 y 轴正半轴上的一点，且OAB 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 B 的坐标【分析】（1）由点 A 的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出 n 值，进而可得出点 A 的坐标，由点 A 的坐标利用待定系数法可求出 k 值；（2）分 ABAO，OAOB，BOBA 三种情况考虑：当 ABAO 时，利用等腰三角形的性质可求出 CB1 的长度，结合点 C 的坐标可得出点 B1 的坐标；当 OAOB 时，由点 A 的坐标利用勾股定理可求出 OA 的长度，利用等腰三角形
37、的性质可得出 OB2 的长度，进而可得出点 B2 的坐标；当 BOBA 时，设 OB3m，则CB34m，AB 3m，在 RtACB 3 中利用勾股定理可得出关于 m 的方程，解之即可得出点 B3 的坐标综上，此题得解【解答】解：（1）点 A（2，n）在双曲线 y 上，n 4，点 A 的坐标为（2，4）将 A（2，4）代入 ykx，得： 42k ，解得：k2（2）分三种情况考虑，过点 A 作 ACy 轴于点 C，如图所示当 ABAO 时，COCB 14，点 B1 的坐标为（0，8）；当 OAOB 时，点 A 的坐标为（2，4），OC4，AC2，OA 2 ，OB 22 ，点 B2 的坐标为（0，2
38、 ）；当 BOBA 时，设 OB3m，则 CB34m，AB 3m，在 Rt ACB3 中，AB 32CB 32+AC2，即 m2（4m ） 2+22，解得：m ，点 B3 的坐标为（0， ）综上所述：点 B 的坐标为（0，8），（0，2 ），（0， ）【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点 A 的坐标；（2）分 ABAO，OA OB，BOBA 三种情况，利用等腰三角形的性质求出点 B 的坐标23（6 分）如图，AB 与 O 相切于点 A，P 为 OB 上
39、一点，且 BPBA，连接 AP 并延长交O 于点 C，连接 OC（1）求证：OCOB；（2）若O 的半径为 4，AB3，求 AP 的长【分析】（1）由等腰三角形的性质可得BAPBPA，可证BAP+PAO90，C+CPO90，结论得证；（2）作 BDAP 于点 D，先求出 OB，OP 的长，再求出 CP 长，根据BPDCPO，得出比例线段，求 PD 的长，则 AP 可求【解答】（1）证明：ABBP，BAP BPA，AB 与O 相切于点 A，OABA，BAO90，即BAP+PAO90，OAOC，PAOC，BPA CPO，C+CPO90，COP90，即 COBO；（2）解：如图，作 BDAP 于点
40、D，在 Rt ABO 中，AB 3，OA 4，则 BO5，OP2，在 Rt CPO 中， PO2，CO4，则 CP2 ，BABP，ADPD ，由（1）知COP90，BDP90，BPD CPO，BPDCPO， ，即 ，PD ，AP2PD 【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键24（6 分）某年级共有 400 学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取 100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息a不同交通方式学生人数分布统计图如图 1 所示：b采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图
41、2 所示（数据分成6 组：10x20，20x 30，30x 40，40x50，50x 60，60x70）：c采用公共交通方式单程所花费时间在 30x40 这一组的是：30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为 31 分；（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有 200 人，其中单程不少于 60 分钟的有 8 人【分析】（1）用被抽查总人数乘以乘公共交通对应的百分比可得其人数，再减去其它分组的人数求出 40x50 的人数，从而补全图形；（2）根据中位数的
42、概念计算可得；（3）利用样本估计总体思想计算可得【解答】解：（1）选择公共交通的人数为 10050%50（人），40x50 的人数为 50（5+17+14+4+2）8（人），补全直方图如下：（2）采用公共交通方式单程所花费时间共 50 个数据，其中位数是第 25、26 个数据的平均数，所以采用公共交通方式单程所花费时间的中位数是 31（分），故答案为：31；（3）估计该年级采用公共交通方式上学共有 40050%200（人），其中单程不少于 60 分钟的有 200 8（人），故答案为：200、8【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位
43、数的定义和意义、样本估计总体思想的运用25（6 分）如图 1 所示，点 E 在弦 AB 所对的优弧上，且 为半圆，C 是 上的动点，连接 CA、CB，已知 AB 4cm，设 B、C 间的距离为 xcm，点 C 到弦 AB 所在直线的距离为 y1cm，A、C 两点间的距离为 y2cm小明根据学习函数的经验，分别对函数 y1、y 2 岁自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1、y 2 与 x 的几组对应值：x/cm 0 1 2 3 4 5 6y1/cm 0 0.78 1.76 2.85 3.98
44、4.95 4.47y2/cm 4 4.69 5.26 5.96 5.94 4.47（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y 1），（x，y 2），并画出函数 y1、 y2 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接 BE，则 BE 的长约为 6 cm当以 A、B、C 为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC 的长度约为 6 或 4.47 cm【分析】（1）由题意得出 BC3cm 时，CD2.85cm，从点 C 与点 B 重合开始，一直到 BC4，CD、AC 随着 BC 的增大而增大，则 CD 一直与 AB 的延长线相交，由勾股定理得出 BD 0.9367
45、（cm），得出 ADAB+BD 4.9367（cm），再由勾股定理求出 AC 即可；AC 5.70（cm）；（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y 1），（x，y 2），画出函数 y1、y 2 的图象即可；（3） BC6 时，CDAC 4.47，即点 C 与点 E 重合，CD 与 AC 重合，BC 为直径，得出 BEBC6 即可；分两种情况：当CAB90时，AC CD，即图象 y1 与 y2 的交点，由图象可得：BC6；当CBA90时，BCAD，由圆的对称性与CAB 90时对称，AC 6，由图象可得：BC4.47【解答】解：（1）由表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1、y 2 与x 的几组对应值知：BC3cm 时，CD2.85cm，从点 C 与点 B 重合开始，一直到BC4，CD、AC 随着 BC 的增大而增大，则 CD 一直与 AB 的延长线相交，如图 1 所示：CDAB ，BD 0.9367（cm），ADAB+BD4+0.93674.9367（cm），AC 5.70（cm）；补充完整如下表：（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y 1），（x，y 2），画出函数 y1、y