1、2019 年北京市顺义区中考数学一模试卷一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1（2 分）下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（ ）A B C D2（2 分）有理数 a，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）Aa+ b0 Bab0 Cab0 D|b| a|3（2 分）如图所示，该几何体的主视图是（ ）A B C D4（2 分）一个多边形的内角和是 720，这个多边形是（ ）A五边形 B六边形 C七边形 D八边形5（2 分）已知点 M（12 m，m1）在第二象限，则 m 的取值范围是（ ）Am1 B C D6（2 分）如图，
2、A 处在 B 处的北偏东 45方向，A 处在 C 处的北南偏西 15方向，则BAC 等于（ ）A30 B45 C50 D607（2 分）如图，随机闭合开关 S1，S 2，S 3 中的两个，则灯泡发光的概率为（ ）A B C D8（2 分）如图，点 A、C、 E、F 在直线 l 上，且 AC 2，EF1，四边形ABCD， EFGH，EFNM 均为正方形，将正方形 ABCD 沿直线 l 向右平移，若起始位置为点 C 与点 E 重合，终止位置为点 A 与点 F 重合设点 C 平移的距离为 x，正方形 ABCD的边位于矩形 MNGH 内部的长度为 y，则 y 与 x 的函数图象大致为（ ）A BC D
3、二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9（2 分）分解因式：a 2b4ab 2+4b3 10（2 分）已知：m、n 为两个连续的整数，且 m n，则 m+n 11（2 分）已知|x y+3|+ 0，则 xy 的值为 12（2 分）如图，等边三角形 ABC 内接于O，点 D 在 O 上，ABD25，则BAD 13（2 分）如图是北京市 2019 年 3 月 1 日至 20 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良那么在这 20 天中空气质量优良天数比例是 14（2 分）如图，DE 为 ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且AFB90，若AB 6，BC8 ，则
4、 EF 的长为 15（2 分）孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1 丈10 尺，1 尺10 寸），则竹竿的长为 16（2 分）利用二维码可以进行身份识别某校建立了一个身份识别系统，图 1 是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示 1，白色小正方形表示 0，将第一行数字从左到右依次记为 a，b，c ，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a23+b22
5、+c21+d20如图 1 中的第一行数字从左到右依次为 0，1，0，1，序号即为 023+122+021+1205，表示该生为 5 班学生若想在图 2 中表示 4 班学生的识别图案，请问应该把标号为、 、的正方形中的 （只填序号）涂成黑色三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 5 分，第27、28 题，每小题 5 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17（5 分）计算： 3tan30（1） 0+|1 |18（5 分）已知 x2+3x30，求代数式 的值19（5 分）下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程已知
6、：直线 l 及直线 l 外一点 P求作：直线 PQ，使得 PQl 作法：如图，在直线 l 上取一点 A，以点 P 为圆心，PA 长为半径画弧，与直线 l 交于另一点 B；分别以 A，B 为圆心，PA 长为半径在直线 l 下方画弧，两弧交于点 Q；作直线 PQ所以直线 PQ 为所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接 PA，PB ，QA，QBPAPBQAQB，四边形 APBQ 是菱形 （填推理的依据）PQAB （填推理的依据）即 PQl20（5 分）关于 x 的一元二次方程 x24x +m10 有两个不相等的实数根（1
7、）求 m 的取值范围；（2）若 m 为正整数，且该方程的根都是整数，求 m 的值21（5 分）已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，ECDDBA，CED90，AF BD 于点 F（1）求证：四边形 BCEF 是平行四边形；（2）若 AB4，AD 3，求 EC 的长22（5 分）已知：如图，AB 是 O 的直径，点 C 是 O 上一点，点 P 在 AB 的延长线上，且A P 30（1）求证：PC 是O 的切线；（2）连接 BC，若 AB4，求PBC 的面积23（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y2x6 与双曲线 （k0）的一个交点为 A（m ，2），与 x 轴交于点 B，与 y 轴交
8、于点 C（1）求点 B 的坐标及 k 的值；（2）若点 P 在 x 轴上，且APC 的面积为 16，求点 P 的坐标24（6 分）为了传承中华优秀传统文化，某校学生会组织了一次全校 1200 名学生参加的“汉字听写”大赛，并设成绩优胜奖赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 100 名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩 x/分 频数 频率50x 60 10 0.1060x 70 25 0.2570x 80 30 b80x 90 a 0.2090x 100 15 0.15成绩在 70x80 这一组的是：70 70
9、71 71 71 72 72 73 73 73 73 75 75 75 75 76 76 76 76 76 76 76 76 77 77 78 78 78 79 79请根据所给信息，解答下列问题：（1）a ，b ；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数是 ；（4）若这次比赛成绩在 78 分以上（含 78 分）的学生获得优胜奖，则该校参加这次比赛的 1200 名学生中获优胜奖的约有多少人？25（6 分）有这样一个问题：探究函数 y +x 的图象与性质小亮根据学习函数的经验，对函数 y +x 的图象与性质进行了探究下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数 y +x 中自变量 x
10、 的取值范围是 ；（2）下表是 y 与 x 的几组对应值x 2 1 0 1 3 4 5 6 y 0 m 求 m 的值；（3）在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是 ；该函数的图象与过点（2，0）且平行于 y 轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 越来越靠近而永不相交26（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ymx 2+（m3）x 3（m0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，AB4，点
11、D 为抛物线的顶点（1）求点 A 和顶点 D 的坐标；（2）将点 D 向左平移 4 个单位长度，得到点 E，求直线 BE 的表达式；（3）若抛物线 yax 26 与线段 DE 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围27（7 分）已知：如图，在ABC 中，ABAC ，B45，点 D 是 BC 边上一点，且ADAC ，过点 C 作 CF AD 于点 E，与 AB 交于点 F（1）若CAD，求BCF 的大小（用含 的式子表示）；（2）求证：ACFC；（3）用等式直接表示线段 BF 与 DC 的数量关系28（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A 、B 为平面内不重合的两个点，若 Q 到
12、A、B 两点的距离相等，则称点 Q 是线段 AB 的“似中点”（1）已知 A（1，0），B（3，2），在点 C（1，3）、D（2，1）、E（4，2）、F（3，0）中，线段 AB 的“似中点”是点 ；（2）直线 y 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N若点 H 是线段 MN 的“似中点”，且在坐标轴上，求 H 点的坐标；若P 的半径为 2，圆心 P 为（t ，0），若P 上存在线段 MN 的“似中点”，请直接写出 t 的取值范围2019 年北京市顺义区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1（2 分
13、）下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据轴对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确故选：D【点评】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴2（2 分）有理数 a，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）Aa+ b0 Bab0 Cab0 D|b| a|【分析】由图可判断 a、b 的正负性，a、b 的绝对值的大小，即可解答【解答】解：由图可知：a0b，
14、|a| |b|，a+b0，| a|b| ，ab0，ab0所以只有选项 D 成立故选：D【点评】此题考查了数轴的有关知识，利用数形结合思想，可以解决此类问题数轴上，原点左边的点表示的数是负数，原点右边的点表示的数是正数3（2 分）如图所示，该几何体的主视图是（ ）A B C D【分析】根据主视图的概念求解可得【解答】解：主视图为 ，故选：C【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键4（2 分）一个多边形的内角和是 720，这个多边形是（ ）A五边形 B六边形 C七边形 D八边形【分析】利用 n 边形的内角和可以表示成（n2）180，结合方程即可求出答案【解答】解：设这个
15、多边形的边数为 n，由题意，得（n2）180720，解得：n6，故这个多边形是六边形故选：B【点评】本题主要考查多边形的内角和公式，比较容易，熟记 n 边形的内角和为（n2）180是解题的关键5（2 分）已知点 M（12 m，m1）在第二象限，则 m 的取值范围是（ ）Am1 B C D【分析】根据点的坐标得出不等式组，再求出不等式组的解集即可【解答】解：点 M（12m，m1）在第二象限， ，解得：m1，故选：A【点评】本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标，能根据题意得出不等式组是解此题的关键6（2 分）如图，A 处在 B 处的北偏东 45方向，A 处在 C 处的北南偏西 15方向，则BAC
16、 等于（ ）A30 B45 C50 D60【分析】根据方向角的定义，即可求得DBA，DBC，EAC 的度数，即可求解【解答】解：如图，AE，DB 是正南正北方向，BDAE，DBA45，BAE DBA45，EAC15，BACBAE+ EAC 45+1560，故选：D【点评】本题主要考查了方向角的定义，正确理解定义是解题的关键7（2 分）如图，随机闭合开关 S1，S 2，S 3 中的两个，则灯泡发光的概率为（ ）A B C D【分析】采用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解【解答】解：列表如下：共有 6 种情况，必须闭合开关 S3 灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率
17、是 ，故选：B【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图8（2 分）如图，点 A、C、 E、F 在直线 l 上，且 AC 2，EF1，四边形ABCD， EFGH，EFNM 均为正方形，将正方形 ABCD 沿直线 l 向右平移，若起始位置为点 C 与点 E 重合，终止位置为点 A 与点 F 重合设点 C 平移的距离为 x，正方形 ABCD的边位于矩形 MNGH 内部的长度为 y，则 y 与 x 的函数图象大致为（ ）A BC D【分析】根据题意可
18、以分析出各段的函数图象，从而可以解答本题【解答】解：由题意可得，点 C 从点 E 运动到点 F 的过程中，y 随 x 的增大而增大，函数解析式为 y22 x，函数图象是一条线段，当点 D 从点 H 运动到点 G 的过程中，y 随 x 的增大不会发生变化，此过程函数图象是一条线段，当点 A 从点 E 运动到点 F 的过程中，y 随 x 的增大而减小，函数图象是一条线段，故选：A【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9（2 分）分解因式：a 2b4ab 2+4b3 b（a2b） 2 【分析】根据提公因式法，
19、完全平方公式，可得答案【解答】解：原式b（a 24ab+4b 2）b（a2b） 2，故答案为：b（a2b） 2【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式法与完全平方公式是解题关键10（2 分）已知：m、n 为两个连续的整数，且 m n，则 m+n 7 【分析】先估算出 的取值范围，得出 m、n 的值，进而可得出结论【解答】解：91116，3 4，m3，n4，m+ n 3+47故答案为：7【点评】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意算出 的取值范围是解答此题的关键11（2 分）已知|x y+3|+ 0，则 xy 的值为 2 【分析】根据绝对值和算术平方根的定义，列出关于 x 和 y 的二元一次
20、方程组，利用加减消元法解出 x 和 y 的值，并代入 xy，计算求值即可【解答】解：根据题意得：，方程可整理得：，+得：3x3，解得：x1，把 x1 代入 得：1y3，解得：y2，原方程组的解为： ，xy（1）22，故答案为：2【点评】本题考查了解二元一次方程组，非负数的性质：绝对值，非负数的性质：算术平方根，正确掌握绝对值，算术平方根的定义和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键12（2 分）如图，等边三角形 ABC 内接于O，点 D 在 O 上，ABD25，则BAD 95 【分析】根据等边三角形的性质得到ACB60，根据圆周角定理得到ACDABD25，然后根据圆内接四边形的性质计算BAD
21、的度数【解答】解：ABC 为等边三角形，ACB60，ACDABD25，BCD60+2585，BAD+BCD180，BAD1808595故答案为 95【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理和等边三角形的性质13（2 分）如图是北京市 2019 年 3 月 1 日至 20 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良那么在这 20 天中空气质量优良天数比例是 55%或 【分析】依据在这 20 天中空气质量优良天数是 11 天，即可得到在这 20 天中空气质量优良天数比例【解答】解：由图可得，
22、在这 20 天中空气质量优良天数是 11 天，在这 20 天中空气质量优良天数比例是 55%或 ，故答案为：55%或 【点评】本题主要考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况14（2 分）如图，DE 为 ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且AFB90，若AB 6，BC8 ，则 EF 的长为 1 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 DF 的长度，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 DE 的长，然后相减即可得到 EF 的长【解答】解：DE 为ABC 的中位线，AFB90，DE BC，DF AB，AB6，BC
23、 8，DE 84，DF 63，EFDE DF431故答案为：1【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记定理与性质是解题的关键15（2 分）孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1 丈10 尺，1 尺10 寸），则竹竿的长为 四丈五尺 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论【解答】解：设竹竿的长度为 x 尺
24、，竹竿的影长一丈五尺15 尺，标杆长一尺五寸1.5 尺，影长五寸0.5 尺， ，解得 x45（尺），45 尺四丈五尺故答案为：四丈五尺【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键16（2 分）利用二维码可以进行身份识别某校建立了一个身份识别系统，图 1 是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示 1，白色小正方形表示 0，将第一行数字从左到右依次记为 a，b，c ，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a23+b22+c21+d20如图 1 中的第一行数字从左到右依次为 0，1，0，1，序号即为 023+122+021+1205，表示该生为 5 班学生若
25、想在图 2 中表示 4 班学生的识别图案，请问应该把标号为、 、的正方形中的 （只填序号）涂成黑色【分析】仿照二维码转换的方法求出所求即可【解答】解：根据题意得：02 3+122+021+0204，则表示 4 班学生的识别图案，应该把标号为、 、的正方形中的涂成黑色故答案为：【点评】此题考查了用数字表示事件，弄清题中的转换方法是解本题的关键三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 5 分，第27、28 题，每小题 5 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17（5 分）计算： 3tan30（1） 0+|1 |【分析】本题涉及零指数幂、二次
26、根式、绝对值、特殊角三角函数 4 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角三角函数等考点的运算18（5 分）已知 x2+3x30，求代数式 的值【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：x 2+3x30x 2+3x3，原式 ， ，3【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题基础题型19（5 分）下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程已知：直线 l
27、 及直线 l 外一点 P求作：直线 PQ，使得 PQl 作法：如图，在直线 l 上取一点 A，以点 P 为圆心，PA 长为半径画弧，与直线 l 交于另一点 B；分别以 A，B 为圆心，PA 长为半径在直线 l 下方画弧，两弧交于点 Q；作直线 PQ所以直线 PQ 为所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接 PA，PB ，QA，QBPAPBQAQB，四边形 APBQ 是菱形 四边相等的四边形是菱形 （填推理的依据）PQAB 菱形的对角线互相垂直 （填推理的依据）即 PQl【分析】（1）根据要求画出图形即可（2）利用菱形
28、的判定和性质判断即可【解答】解：（1）如图所示（2）证明：连接 PA，PB ，QA，QBPAPBQAQB，四边形 APBQ 是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）PQAB（菱形的对角线互相垂直）（填推理的依据）即 PQl故答案为：四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型20（5 分）关于 x 的一元二次方程 x24x +m10 有两个不相等的实数根（1）求 m 的取值范围；（2）若 m 为正整数，且该方程的根都是整数，求 m 的值【分析】（1）根据方程的系数
29、结合根的判别式，即可得出4m+200，解之即可得出 m 的取值范围；（2）由 m 为正整数，可得出 m1，2，3，4，将 m1，2，3，4 分别代入原方程求出x 的值，由该方程的两个根都是整数，即可确定 m 的值【解答】解：（1）164（m 1）4m +20，原方程有两个不相等的实数根，4m+200 ，解得 m5；（2）符合条件的 m 的正整数值是 1，2，3，4，当 m1 时，该方程为 x24x0，根都是整数；当 m2 时，该方程为 x24x+10，根不是整数；当 m3 时，该方程为 x24x+20，根不是整数；当 m4 时，该方程为 x24x+30，根都是整数；所以符合条件的 m 的值为
30、1， 4【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将 m1，2，3，4 分别代入原方程求出 x 的值21（5 分）已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，ECDDBA，CED90，AF BD 于点 F（1）求证：四边形 BCEF 是平行四边形；（2）若 AB4，AD 3，求 EC 的长【分析】（1）由矩形的性质得出BAD90，DCAB，DCAB，得出CDFDBA，证出BFACED90CDFECD，证明ECDFBA，得出 ECBF，即可得出结论；（2）由勾股定理得出 BD 5，证明DABAFB，得出 ，即可得出 BF 的长
31、【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，BAD90，DCAB ，DCAB，CDFDBAAFBD 于点 F，CED90，BFA CED90又ECDDBA，CDFECD，在ECD 和FBA 中， ，ECDFBA（AAS），ECBF，又ECBF，四边形 BCEF 是平行四边形；（2）解：AB4，AD 3，BD 5，AFBD ，AFB 90BAD，ABF ABD，DABAFB， ，即 ， ，ECBF 【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键22（5 分）已知：如图，A
32、B 是 O 的直径，点 C 是 O 上一点，点 P 在 AB 的延长线上，且A P 30（1）求证：PC 是O 的切线；（2）连接 BC，若 AB4，求PBC 的面积【分析】（1）连接 OC，根据等腰三角形的性质得到1A，根据已知条件得到130，ACP120，求得OCP90，于是得到结论；（2）根据已知条件得到 OA OBOC2，解直角三角形得到 OP4，PC2 ，根据三角形的面积即可得到结论【解答】（1）证明：连接 OC，OAOC，1A，又AP30，130，ACP120，OCP90，PC 是O 的切线；（2）解：AB4，OAOB OC2，OCP90，P30，OP4，PC2 ，BPOB ， ，
33、S OPC 【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键23（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y2x6 与双曲线 （k0）的一个交点为 A（m ，2），与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C（1）求点 B 的坐标及 k 的值；（2）若点 P 在 x 轴上，且APC 的面积为 16，求点 P 的坐标【分析】（1）把 A（m，2）代入 y2x6，即可求出 m，然后把 A 代入线 ，即可求出 k；通过一次函数 y2x6，令 y0，即可求出 B 点；（2）过点 A 作 AMx 轴于点 M，通过三角形的面积计算，即可求出 PB，最
34、后算出 P点坐标【解答】解：（1）令 y0，则 2x60，可得 x3，直线 y2x6 与 x 轴交点 B 的坐标为（3，0），将 A（m，2），代入 y2x6，得 m4，将 A（4，2），代入 ，得 k8，（2）过点 A 作 AMx 轴于点 M，A（4，2），C（0，6），OC6，AM2， ，S APC 16，PB4，P 1（1，0），P 2（7，0）【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象上点的特点，熟悉一次函数和反比例函数性质是解答此题的关键24（6 分）为了传承中华优秀传统文化，某校学生会组织了一次全校 1200 名学生参加的“汉字听写”大赛，并设成绩优胜奖赛后发现所有参赛学生的成
35、绩均不低于 50 分为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 100 名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩 x/分 频数 频率50x 60 10 0.1060x 70 25 0.2570x 80 30 b80x 90 a 0.2090x 100 15 0.15成绩在 70x80 这一组的是：70 70 71 71 71 72 72 73 73 73 73 75 75 75 75 76 76 76 76 76 76 76 76 77 77 78 78 78 79 79请根据所给信息，解答下列问题：（1）a 20 ，b 0.3 ；（2）请补全频数分布直方图；（3
36、）这次比赛成绩的中位数是 75 ；（4）若这次比赛成绩在 78 分以上（含 78 分）的学生获得优胜奖，则该校参加这次比赛的 1200 名学生中获优胜奖的约有多少人？【分析】（1）根据频数、频率以及总数之间的关系即可求出 a 和 b；（2）根据（1）求出 a 的值直接补全统计图即可；（3）根据中位数的定义直接解答即可；（4）用总人数乘以在这次比赛中获优胜奖的人数所占的百分比即可得出答案【解答】解：（1）a1000.220（分），301000.3；故答案为：20，0.3；（2）根据（1）求出 a 的值，补图如下：（3）把这些数从小到大排列，中位数是第 50、51 个数的平均数，则中位数落在70x
37、80 这组，中位数是 75；故答案为：75；（4）样本中成绩在 78 分以上的人数为 40 人，占样本人数的 40%，获优胜奖的人数约为 120040%480（人）【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、中位数等知识，解题的关键是掌握基本概念，熟练应用所学知识解决问题25（6 分）有这样一个问题：探究函数 y +x 的图象与性质小亮根据学习函数的经验，对函数 y +x 的图象与性质进行了探究下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数 y +x 中自变量 x 的取值范围是 x 2 ；（2）下表是 y 与 x 的几组对应值x 2 1 0 1 3 4 5 6 y 0 m 求 m 的值；（3）在
38、平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是 （2，2） ；该函数的图象与过点（2，0）且平行于 y 轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 yx 越来越靠近而永不相交【分析】（1）根据分母不为 0 即可得出关于 x 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）将 x3 代入函数解析式中求出 m 值即可；（3）连点成线即可画出函数图象；（4） 观察函数图象，根据对称中心的定义即可求解；观察函数图象即可求解【解答】解：（1）由题意得：x20，解得：x2
39、故答案为：x2；（2）当 x3 时，m +31+34，即 m 的值为 4；（3）图象如图所示：（4）观察函数图象发现：该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是（2，2）故答案为（2，2）；该函数的图象与过点（2，0）且平行于 y 轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 yx 越来越靠近而永不相交故答案为 yx【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键26（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ymx 2+（m3）x 3（m0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点
40、 C，AB4，点 D 为抛物线的顶点（1）求点 A 和顶点 D 的坐标；（2）将点 D 向左平移 4 个单位长度，得到点 E，求直线 BE 的表达式；（3）若抛物线 yax 26 与线段 DE 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围【分析】（1）令 y0，则 mx2+（m 3）x 30，可求得 x11， ，即可求得 A（1，0），由 AB4，即可求得 B（3，0），得到 m1，则解析式为yx 22x3，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据平移的性质得到 E 点的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（3）把点 D（1，4），E（ 3，4）分别代入 yax 26，求得 a 的值，即可求得
41、【解答】解：（1）ymx 2+（m 3）x 3 与 y 轴交于点 C（0，3），令 y0，则 mx2+（m3）x30，可得 x11， ，由于点 A 在点 B 左侧，m0 可知点 A（1，0），又AB4，点 B（3，0），m1，yx 22x 3，yx 22x 3（x1） 24，点 D（1，4）；（2）依题意可知点 E（3，4），设直线 BE 的表达式为 ykx+b， ，解得，直线 BE 的表达式为 ；（3）点 D（1，4），E（ 3，4）分别代入 yax 2 6，可得 或 a2，a 的取值范围为 【点评】本题考查了二次函数图象和性质的关系，一次函数图象上点的坐标特征，抛物线和 x 轴的交点，以及
42、平移的性质，求得 D、E 点的坐标是解题的关键27（7 分）已知：如图，在ABC 中，ABAC ，B45，点 D 是 BC 边上一点，且ADAC ，过点 C 作 CF AD 于点 E，与 AB 交于点 F（1）若CAD，求BCF 的大小（用含 的式子表示）；（2）求证：ACFC；（3）用等式直接表示线段 BF 与 DC 的数量关系【分析】（1）过点 A 作 AGBC 于点 G，由等腰三角形的性质得出CAGDAG CAD ，求出DCEDAG CAD ，即可得出结论；（2）由直角三角形的性质得出BAG45，证出BACAFC，即可得出结论；（3）过 F 点作 FMBC 于 M 点，则CMF 90，BFM 是等腰直角三角形，得出