1、几何探究动点问题1、如图，四边形 ABCD 中，ADBC，A=90，AD=1 厘米，AB=3 厘米，BC=5 厘米，动点 P 从点 B 出发以 1 厘米/秒的速度沿 BC 方向运动，动点 Q 从点 C 出发以 2 厘米/秒的速度沿 CD 方向运动，P，Q 两点同时出发，当点Q 到达点 D 时停止运动，点 P 也随之停止，设运动时间为 t 秒（t0） （1）求线段 CD 的长；（2）t 为何值时，线段 PQ 将四边形 ABCD 的面积分为 1：2 两部分？（3）伴随 P，Q 两点的运动，线段 PQ 的垂直平分线为 l t 为何值时，l 经过点 C？求当 l 经过点 D 时 t 的值，并求出此时刻
2、线段 PQ 的长解：（1）如答案图过点 D 作 DEBC 于点 E. AD / BC ， .90A 四边形 ABED 是矩形 ,1BE , 3EAB54C在 RTDEC 中， 22D 厘米2D（2）如答案图， 点 P 的速度为 1 厘米/秒，点 Q 的速度为 2 厘米/秒，运动时间为 t 秒， 厘米， 厘米， 厘米， 厘米BPt5Ct2Ct5t且 0.过点 Q 作 QHBC 于点 H. ED / QH DEHC DECQHC HCQDE235t6Qt ，2116225PQCSttS 四边形 ABCD 9AB分两种情况讨论： 当 SPQC: ：S 四边形 ABCD =1：3 时， ， ，2135
3、t250t， （舍）152t52t 当 SPQC: ：S 四边形 ABCD =2：3 时， ，23965t2510t 方程无解. 0 当 t 为 秒时，线段 PQ 将四边形 ABCD 的面积分为 1：2 两部分.52（3）如答案图 当 PQ 的垂直平分线 l 过点 C 时，可知 ，PCQ52t35tt 当 t 为 秒时，直线 l 经过点 C3 如答案图当 PQ 的垂直平分线 l 过点 D 时，可知 PQ连接 PD，则在 RTPED 中， 22E 22DQEP ， （舍）(5)3(1)ttt25t 厘米. 当 秒时，直线 l 经过点 D，此时点 P 与点 E 重合.B如图，连接 FQ， 直线 l
4、 是 DPQ 的对称轴. DEFDQF ， , 90DQFEF设 厘米，则 厘米， 厘米，EFxx4Cx在 RTFQC 中， 22 当 秒时， 厘米1tQ 厘米224x3x2EF在 RTDEF 中， 厘米2D2235DEF 在 RTDEF 中，EGDF， 11EFSGD 厘米， 厘米325EFGD 3625PQ2.如图，已知MON=90，A 是MON 内部的一点，过点 A 作 ABON，垂足为点 B，AB=3 厘米，OB=4 厘米，动点 E，F 同时从 O 点出发，点 E 以 1.5 厘米/ 秒的速度沿 ON 方向运动，点 F 以 2 厘米/秒的速度沿 OM 方向运动，EF 与 OA 交于点
5、C，连接 AE，当点 E 到达点 B 时，点 F 随之停止运动设运动时间为 t 秒（t 0） （1）当 t=1 秒时， EOF 与 ABO 是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，不论 t 取何值时，总有 EFOA为什么？（3）连接 AF，在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使得 SAEF= S 四边形 ABOF？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由解：（1）t=1，OE=1.5 厘米，OF=2 厘米，AB=3 厘米，OB=4 厘米， = = ， = = MON=ABE=90，EOFABO（2）在运动过程中，OE=1.5t ，OF=2t AB=3 ，OB=4 又EOF= ABO
6、=90，Rt EOFRt ABOAOB=EOFAOB+FOC=90，EOF+ FOC=90 ，EFOA（3）如图，连接 AF，OE=1.5t，OF=2t，BE=41.5tS FOE= OEOF= 1.5t2t= t2，S ABE= （41.5t ）3=6 t，S 梯形 ABOF= （2t+3 ）4=4t+6S AEF= S 四边形 ABOFS FOE+SABE= S 梯形 ABOF， t2+6 t= （4t+6） ，即 6t217t+12=0，解得 t= 或 t= 当 t= 或 t= 时，S AEF= S 四边形 ABOF3.如图，在 Rt ABC 中，ACB=90 ，AC = 6，BC =
7、8，点 D 以每秒 1 个单位长度的速度由点 A 向点 B 匀速运动，到达 B 点即停止运动，M，N 分别是 AD，CD 的中点，连接 MN，设点 D 运动的时间为 t（1）判断 MN 与 AC 的位置关系；（2）求点 D 由点 A 向点 B 匀速运动的过程中，线段 MN 所扫过区域的面积；（3）若DMN 是等腰三角形，求 t 的值解：（1）在ADC 中，M 是 AD 的中点，N 是 DC 的中点，MNAC ；（2）如图 1，分别取ABC 三边 AC，AB，BC 的中点 E，F，G，并连接 EG，FG，根据题意可得线段 MN 扫过区域的面积就是AFGE 的面积，AC = 6，BC = 8，AE
8、 = 3，GC = 4，ACB=90，S 四边形 AFGE = AEGC = 34 =12，线段 MN 所扫过区域的面积为 12（3）据题意可知：MD = AD，DN= DC，MN = AC = 3， 当 MD = MN = 3 时，DMN 为等腰三角形，此时 AD = AC = 6， t = 6当 MD=DN 时，AD=DC，如图 2，过点 D 作 DHAC 交 AC 于 H，则 AH = AC = 3， ， ，解得 AD = 5， AD = t = 5如图 3，当 DN = MN = 3 时，AC = DC，连接 MC，则 CMAD ， 即 ， 综上所述，当 t = 5 或 6 或 时，
9、DMN 为等腰三角形4.如图，梯形 ABCD 中，ADBC,BAD=90，CE AD 于点 E, AD = 8cm，BC = 4cm, AB = 5cm。从初始时刻开始，动点 P, Q 分别从点 A,B 同时出发，运动速度均为 1 cm /s, 动点 P 沿 A-B-C-E 的方向运动，到点 E 停止；动点 Q 沿 B-C-E-D 的方向运动，到点 D 停止，设运动时间为 s， PA Q 的面积为 y cm2， （这里规定：线段是面积x为 0 的三角形)解答下列问题：(1) 当 x = 2s 时，y=_ cm 2;当 = s 时，y = _ cm 2x(2）当 5 x 14 时，求 y 与 之
10、间的函数关系式。(3）当动点 P 在线段 BC 上运动时，求出 S 梯形 ABCD 时 的值。154x（4）直接写出在整个运动过程中，使 PQ 与四边形 ABCE 的对角线平行的所有 x 的值 DBA ECQP 图图图DBA EC解：（1） 2；9 、（2 ） 当 5 9 时x DBA ECPQy= S 梯形 ABCQ SABP SPCQ= (5+ -4)4 5( -5) (9- )( -4)21x21xx6572xy当 9 13 时 DBA ECPQy= （ -9+4）(14- )21x3592xy当 13 14 时 DBA ECP(Q)y= 8(14- )=-4 +5621x即 y=-4
11、+56（3 ） 当动点 P 在线段 BC 上运动时， S 梯形 ABCD (4+8)5 = 8154y1542即 -14 +49 = 0x解得 1 = 2 = 7当 =7 时， S 梯形 ABCD54y（4） 、 、解析：设运动时间为 t 秒当 PQ / AC 时，此时 BPQ BAC ， 当 PQ / BE 时，此时 PCQ BCE， 当 PQ / BE 时，此时 PEQ BAE， 5.已知：把 Rt ABC 和 Rt DEF 按如图（1）摆放（点 C 与点 E 重合） ，点 B、C （E） 、F 在同一条直线上ACB = EDF = 90，DEF = 45，AC = 8 cm，BC = 6
12、 cm，EF = 9 cm如图（2） ，DEF 从图（1）的位置出发，以 1 cm/s 的速度沿 CB 向ABC 匀速移动，在 DEF 移动的同时，点 P从ABC 的顶点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速移动.当DEF 的顶点 D 移动到 AC 边上时， DEF 停止移动，点 P 也随之停止移动DE 与 AC 相交于点 Q，连接 PQ，设移动时间为 t（s） （0t4.5） 解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上？（2）连接 PE，设四边形 APEC 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻 t
13、，使面积 y最小？若存在，求出 y 的最小值；若不存在，说明理由（3）是否存在某一时刻 t，使 P、Q、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由 （图（3）供同学们做题使用）解：（1）点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上，AP = AQ.DEF = 45，ACB = 90，DEFACBEQC = 180，EQC = 45.DEF =EQC.CE = CQ . 由题意知：CE = t，BP =2 t， CQ = t.AQ = 8t.ADB C F（ E）图（1）ADB C FE图（2）PQAB C图（3）在 RtABC 中，由勾股定理得：AB = 10 cm .则
14、AP = 102 t.102 t = 8 t.解得：t = 2.答：当 t = 2 s 时，点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上. （2）过 P 作 ，交 BE 于 M，BE .90M在 RtABC 和 RtBPM 中， ，sinCPB . PM = .821t85tBC = 6 cm，CE = t， BE = 6t .y = S ABC SBPE = = 2A12EPM16828t5= = .2445tt8435t ，抛物线开口向上.0a当 t = 3 时， y 最小 = .答：当 t = 3s 时，四边形 APEC 的面积最小，最小面积为 845cm2.（3）假设存在某一时刻 t，使点 P
15、、Q、F 三点在同一条直线上.过 P 作 ，交 AC 于 N，NAC .90B ，PAN BAC . . .10268PtA ， .5Nt5tNQ = AQ AN，NQ = 8t ( ) = t3ACB = 90，B 、C （E ） 、 F 在同一条直线上，QCF = 90，QCF = PNQ.FQC = PQN，QCFQNP . . . PNQFC6359t 0tt解得：t = 1.答：当 t = 1s，点 P、Q、F 三点在同一条直线上. 6.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB=8，BAD=60，点 E 从点 A 出发，沿 AB 以每秒2 个单位长度的速
16、度向终点 B 运动，当点 E 不与点 A 重合时，过点 E 作 EFAD 于点 F，作 EGAD 交 AC 于点G，过点 G 作 GHAD 交 AD（或 AD 的延长线）于点 H，得到矩形 EFHG，设点 E 运动的时间为 t 秒（1）求线段 EF 的长（用含 t 的代数式表示）；图（2）QADB C FEPMCEADB F图（3）P QN（2）求点 H 与点 D 重合时 t 的值；（3）设矩形 EFHG 与菱形 ABCD 重叠部分图形的面积与 S 平方单位，求 S 与 t 之间的函数关系式；（4）矩形 EFHG 的对角线 EH 与 FG 相交于点 O，当 OOAD 时，t 的值为 4 ；当
17、OOAD 时，t 的值为 3 解：（1）由题意知：AE=2t， 0t4， BAD=60，AFE=90 ，sinBAD= ，EF= t；（2）AE=2t， AEF=30， AF=t，当 H 与 D 重合时，此时 FH=8t，GE=8t， EGAD，EGA=30，四边形 ABCD 是菱形，BAC=30，BAC= EGA=30，AE=EG， 2t=8t，t= ；（3）当 0t 时，此时矩形 EFHG 与菱形 ABCD 重叠部分图形为矩形 EFHG，由（ 2）可知：AE=EG=2t ， S=EFEG= t2t=2 t2，当 t 4 时，如图 1，设 CD 与 HG 交于点 I，此时矩形 EFHG 与菱
18、形 ABCD 重叠部分图形为五边形 FEGID，AE=2t，AF=t，EF= t，DF=8 t，AE=EG=FH=2t，DH=2t（8t）=3t 8，HDI=BAD=60，tan HDI= ，HI= DH，S=EF EG DHHI=2 t2 （3t 8） 2= t2+24 t32 ；（4）当 OOAD 时，如图 2 此时点 E 与 B 重合，t=4；当 OOAD 时，如图 3，过点 O 作 OMAD 于点 M，EF 与 OA 相交于点 N，由（ 2）可知：AF=t ，AE=EG=2t，FN= t，FM=t， OOAD，O是 FG 的中点， OO 是FNG 的中位线，OO= FN= t， AB=
19、8，由勾股定理可求得：OA=4 OM=2 ，OM=2 t，FE= t，EG=2t，由勾股定理可求得：FG 2=7t2，由矩形的性质可知：OF 2= FG2，由勾股定理可知：O F2=OM2+FM2， t2=（2 t） 2+t2，t=3 或 t=6（舍去）故答案为：t=4；t=3二次函数相关动点问题1、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 x 轴交于 A (1，0)、B (3，0)两点，与 y 轴交于点 C，其顶点为点 D，点 E 的坐标为 ，该抛物线与 BE 交于另一点 F，连接 BC.（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为 的形式；（2）若点 H (1，y )在 BC 上，连接
20、 FH，求FHB 的面积；（3）一动点 M 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度沿平行于 y 轴方向向上运动，连接 OM，BM，设运动时间为t 秒 ，在点 M 的运动过程中，当 t 为何值时， ?（4）在 x 轴上方的抛物线上，是否存在点 P，使得 被 BA 平分？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1） 抛物线 与 x 轴交于 A (1，0)、B (3 ，0)两点 解得： 该抛物线解析式为：（2）设直线 BE 的解析式为 B (3 ，0)、E ， 解得： ， 直线 BE 的解析式为 .因为 F 是抛物线与 BE 的交点 整理得：解得： 、 （舍去） F（ ）连接
21、 AH，与 BE 交于点 G，设直线 BC 的解析式为 B (3，0)、C 直线 BC 的解析式为 H (1，y)在 BC 上 H (1， ) A (1 ，0) AH / y 轴 设点 G 坐标为 G 在 BE 上 G (1， ) ，过点 F 作 FKGH 于 K， S FHB = SFHG + SBHG （3）延长 MD 与 x 轴交于点 N， MNx 轴，垂足为 N，由题意可知： DM = t D (2， )， N (2，0) ， ， 又 而 RtONMRtMNB 即 ， ， ， （舍去） 秒时，（4）符合条件的 P 点坐标为( ， )理由如下：作点 F 关于 x 轴的对称点 F，由（2）
22、知： F（ ） ，点 F（ ）连接 BF， B (3，0) 设直线 BF的解析式为 解得： 直线 BF的解析式为 联立抛物线有 整理得： 解得： 、 （舍去）故交点坐标为 ( ， ) 由对称性可知，BF 交抛物线的交点即满足题意的 P 点，使得 被 BA 平分.2、已知抛物线 经过 A ，B 两点， 与 y 轴相交于点 C，该抛物线的顶点为点 D2yxbc1,03,（1）求该抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）连接 AC，CD，BD ，BC，设AOC，BOC，BCD 的面积分别为 S1，S 2 和 S3，用等式表示 S1，S 2，S 3之间的数量关系，并说明理由；（3）点 M 是线段 AB
23、上一动点（不包括点 A 和点 B） ，过点 M 作 MNBC 交 AC 于点 N，连接 MC，是否存在点M 使 ？若存在，求出点 M 的坐标和此时刻直线 MN 的解析式；若不存在，请说明理由ANC解：（1）如右图， 抛物线 经过 A ，B2yxbc1,0 3,0两点 093bc3 该抛物线的解析式是 2yx ， 点 D 坐标 12ba24cb1,4（2）S 1，S 2，S 3 之间的数量关系是 213S过点 D 作 DEx 轴于点 E，作 DFy 轴于点 F， E ，F B , C ,0,430 223BCO , , 则在 中 1FRtCD221D , , 则在 中 2E4DF45BE BCD
24、 是直角三角形2BC 313S , 1122OA1932SOBC 3（3）存在点 M，使得 ，设点 M ， NA,0m13则 在 中，(1)AmRtOC2210AOC MNBC BA10()4B若 ， AMN ACMNCN AMNC2AC210()4m ， （舍） 点 M 坐标 31()0m1323(,0)2设直线 BC 的解析式为 B , C ykxb03 直线 BC 的解析式为 3kb3yx MNBC *设直线 MN 的解析式为 点 M 坐标 b3(,0)2 直线 MN 的解析式为 32b32yx 存在点 M，使得 ，此时 直线 MN 的解析式为ANC32yx3.已知抛物线 y=ax2+b
25、x+c 经过 A（1，0） ，B （4，0） ，C （0，2）三点（1）请直接写出抛物线的解析式（2）连接 BC，将直线 BC 平移，使其经过点 A，且与抛物线交于点 D，求点 D 的坐标（3）在（2）中的线段 AD 上有一动点 E（不与点 A、点 D 重合） ，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，AFD 的面积最大？求出此时点 E 的坐标和AFD 的最大面积解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（1，0） ，B （4，0） ，设抛物线解析式为 y=a（x+1） （x4）.C（0，2）在抛物线上， 2=a1（4） ，a=.抛物线的解析式为 y=
26、 （x+1） （x4）= x2 x2，（2）设直线 BC 的解析式为 y=kx2，B（4，0）4k 2=0，k= ，直线 BC 的解析式为 y= x2.直线 BC 平移，使其经过点 A（1，0） ，且与抛物线交于点 D，直线 AD 的解析式为 y= x+ ，联立，解得 （舍去） ，或 ，D（5，3）.（3）A（1，0） ，D（5，3） ，以 AD 为底，点 F 到 AD 的距离越大，ADF 的面积越大，作 lAD，当 l 与抛物线只有一个交点时，点 F 到 AD 的距离最大，设 l 的解析式为 y= x+n，联立 转化为关于 x 的方程为 x24x2n4=0，=16 4（2n4）=0 ，n=
27、4.直线 l 的解析式为 y= x4，x 24x+4=0，解得 x=2.将 x=2 代入 y= x4 得，y=3，F（1，3） ，E（1，1）.EF=4.S AFD 的最大面积= EF|xExA|+ EF|xDxE|= 42+ 44=124.如图，抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴相交的于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴相交于点 C，顶点为 D（1）直接写出 A，B，C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 为线段 BC 上的一个动点（P 不与 C，B 两点重合） ，过点 P 作PFDE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐
28、标为 m用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形设BCF 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式；当 m 为何值时，S 有最大值解：（1）对于抛物线 y=x2+2x+3，令 x=0，得到 y=3；令 y=0，得到 x2+2x+3=0，即（x3） （x+1）=0，解得：x=1 或 x=3，则 A（1，0） ，B （3，0） ，C （0，3） ，抛物线对称轴为直线 x=1；（2）设直线 BC 的函数解析式为 y=kx+b，把 B（3，0） ，C（0，3）分别代入得： ，解得：k=1，b=3，直线 BC 的解析式为 y=x+3，当 x=1 时
29、，y=1+3=2，E（1，2） ，当 x=m 时，y=m+3，P （m，m+3） ，令 y=x2+2x+3 中 x=1，得到 y=4，D（1，4） ，当 x=m 时，y=m 2+2m+3，F（m ，m 2+2m+3） ，线段 DE=42=2，0m 3，y Fy P，线段 PF=m2+2m+3（m+3 ）=m 2+3m，连接 DF，由 PFDE，得到当 PF=DE 时，四边形 PEDF 为平行四边形，由m 2+3m=2，得到 m=2 或 m=1（不合题意，舍去） ，则当 m=2 时，四边形 PEDF 为平行四边形；连接 BF，设直线 PF 与 x 轴交于点 M，由 B（3，0） ，O（0，0）
30、，可得 OB=OM+MB=3，S=S BPF+SCPF= PFBM+ PFOM= PF（BM+OM）= PFOB，S= 3（m 2+3m）= m2+ m（0m3） ，则当 m= 时， S 取得最大值5.如图所示，抛物线 y=ax2 x+c 经过原点 O 与点 A（6，0）两点，过点 A 作 ACx 轴，交直线 y=2x2 于点 C，且直线 y=2x2 与 x 轴交于点 D（1）求抛物线的解析式，并求出点 C 和点 D 的坐标；（2）求点 A 关于直线 y=2x2 的对称点 A的坐标，并判断点 A是否在抛物线上，并说明理由；（3）点 P（x，y）是抛物线上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线，交
31、线段 CA于点 Q，设线段 PQ 的长为 l，求 l 与x 的函数关系式及 l 的最大值解：（1）把点 O（0，0） ，A（6，0）代入 y=ax2 x+c，得 ，解得 ，抛物线解析式为 y= x2x当 x=6 时，y=262=10，当 y=0 时，2x2=0，解得 x=1，点 C 坐标（6，10） ，点 D 的坐标（1，0）（2）过点 A作 AFx 轴于点 F，点 D（1，0） ，A（6，0） ，可得 AD=5，在 Rt ACD 中，CD= =5 ，点 A 与点 A关于直线 y=2x2 对称，AED=90，S ADC= AE= 510，解得 AE=2 ，AA=2AE=4 ，DE= = ，AE
32、D=AFA=90，DAE= A AF，ADE AA F， = = ，解得 AF=4，A F=8，OF=8 6=2，点 A坐标为（2，4） ，当 x=2 时，y= 4 （2）=4，A 在抛物线上（3）点 P 在抛物线上，则点 P（x， x2 x） ，设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，直线 A 经过 A（2，4） ，C（6，10）两点， ，解得 ，直线 AC 的解析式为 y= x+ ，点 Q 在直线 AC 上，PQ AC，点 Q 的坐标为（x， x+ ） ，PQAC ，又点 Q 在点 P 上方，l=（ x+ ） （ x2 x）= x2+ x+ ，l 与 x 的函数关系式为 l= x2+ x+
33、 ， （2x6） ，l= x2+ x+ = （x ） 2+ ，当 x= 时，l 的最大值为 6.如图，已知抛物线 yax 2bx c(a0)的对称轴为直线 x1，且经过 A（1，0） ，C （0，3）两点，与 x 轴的另一个交点为 B.若直线 ymx n 经过 B，C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式；在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点 M 的坐标；设点 P 为抛物线的对称轴 x1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标图15.1CDOBAxy yxO图15.2解：（1）依题意，得 解之，得1,203.bac1,
34、23.abc抛物线解析式为 2xy对称轴为 x1，且抛物线经过 A（1，0） ，B（3，0） 把 B（3，0） 、C（0，3）分别直线 ymx n，得解之，得 ,.mn,3.m直线 BC 的解析式为 xy（2）MA=MB ，MA +MC=MB+MC.使 MA+MC 最小的点 M 应为直线 BC 与对称轴 x1 的交点.设直线 BC 与对称轴 x1 的交点为 M，把 x1代入直线 ，得 y2.3yM（1，2）（3）设 P（1，t） ，结合 B（3，0） ，C（0， 3） ，得BC218，PB2(13) 2t 24t 2，PC2(1) 2( t3) 2t 26t10.若 B 为直角顶点，则 BC2
35、PB 2PC 2，即 184t 2t 26t10. 解之,得 t2. 若 C 为直角顶点，则 BC2PC 2PB 2，即18t 26t104t 2解之，得 t4 若 P 为直角顶点，则 PB2PC 2BC 2，即4t 2t 26t1018解之，得 t1 ，t 2 73173综上所述，满足条件的点 P 共有四个,分别为(1，2), (1，4), (1， ) , (1， ) P2324P7.在直角坐标系 中， 、 ，将 经过旋转、平移变化后得到如图 所示的 .xoy0,)A,BAO15.BCD（1）求经过 、 、 三点的抛物线的解析式；C（2）连结 ，点 是位于线段 上方的抛物线上一动点，若直线
36、将 的面积分成 两部分，求PPCAB:3此时点 的坐标；（3）现将 、 分别向下、向左以 的速度同时平移，求出在此运动过程中 与 重叠ABOD1:2 OBCD部分面积的最大值.FEP图4.1yxO CDBA解：（1） 、 ，将 经过旋转、平移变化得到如图 所示的 ，(0,2)A(1,)BAO4.1BCD .90DOCDCB,C设经过 、 、 三点的抛物线解析式为 ，2yaxbc则有 ，解得： . 012abc31,2abc抛物线解析式为 .yx（2）如图 4.1 所示，设直线 与 交于点 . PCABE直线 将 的面积分成 两部分，P1:3 或 ，13AEB过 作 于点 ，则 .FOFO ,
37、.EAB当 时， ，13241 ， .,EFB3(,)设直线 解析式为 ，则可求得其解析式为 ，PCymxn275yx ， （舍去） ， 231275x12,5x .当 时，同理可得 .19(,)53AEB63()749P（3）设 平移的距离为 ， 与 重叠部分的面积为 .Ot1O21BCDS可由已知求出 的解析式为 ， 与 轴交点坐标为 .1yxtAx2(,0)t的解析式为 ， 与 轴交点坐标为 . 2CB2t12y1,t如图 4.2 所示，当 时， 与 重叠部分为四边形.305t1BOCDGHA1O1B2图4.3yxOC1D1B1QNMA1B2 D1C1O xy图4.2B1 1设 与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ， 与 交于点 ，连结 .1ABxM12CByN1AB2CQO由 ，得 ，2ytx435txy435(,)tQ 121()323QMONt tSt.2134t 的最大值为 .5如图 所示，当 时， 与 重叠部分为直角三角形. 4.345t1ABO21CD设 与 轴交于点 ， 与 交于点 .则 ，1ABxHG(2,45)t， .22ttDt145t .(12 分)2145()()SGA当 时， 的最大值为 .35tS综上所述，在此运动过程中 与 重叠部分面积的最大值为 .BOCD25