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2019年中考复习压轴题:几何探究动点问题及二次函数动点问题(含解析)

1、几何探究动点问题1、如图,四边形 ABCD 中,ADBC,A=90,AD=1 厘米,AB=3 厘米,BC=5 厘米,动点 P 从点 B 出发以 1 厘米/秒的速度沿 BC 方向运动,动点 Q 从点 C 出发以 2 厘米/秒的速度沿 CD 方向运动,P,Q 两点同时出发,当点Q 到达点 D 时停止运动,点 P 也随之停止,设运动时间为 t 秒(t0) (1)求线段 CD 的长;(2)t 为何值时,线段 PQ 将四边形 ABCD 的面积分为 1:2 两部分?(3)伴随 P,Q 两点的运动,线段 PQ 的垂直平分线为 l t 为何值时,l 经过点 C?求当 l 经过点 D 时 t 的值,并求出此时刻

2、线段 PQ 的长解:(1)如答案图过点 D 作 DEBC 于点 E. AD / BC , .90A 四边形 ABED 是矩形 ,1BE , 3EAB54C在 RTDEC 中, 22D 厘米2D(2)如答案图, 点 P 的速度为 1 厘米/秒,点 Q 的速度为 2 厘米/秒,运动时间为 t 秒, 厘米, 厘米, 厘米, 厘米BPt5Ct2Ct5t且 0.过点 Q 作 QHBC 于点 H. ED / QH DEHC DECQHC HCQDE235t6Qt ,2116225PQCSttS 四边形 ABCD 9AB分两种情况讨论: 当 SPQC: :S 四边形 ABCD =1:3 时, , ,2135

3、t250t, (舍)152t52t 当 SPQC: :S 四边形 ABCD =2:3 时, ,23965t2510t 方程无解. 0 当 t 为 秒时,线段 PQ 将四边形 ABCD 的面积分为 1:2 两部分.52(3)如答案图 当 PQ 的垂直平分线 l 过点 C 时,可知 ,PCQ52t35tt 当 t 为 秒时,直线 l 经过点 C3 如答案图当 PQ 的垂直平分线 l 过点 D 时,可知 PQ连接 PD,则在 RTPED 中, 22E 22DQEP , (舍)(5)3(1)ttt25t 厘米. 当 秒时,直线 l 经过点 D,此时点 P 与点 E 重合.B如图,连接 FQ, 直线 l

4、 是 DPQ 的对称轴. DEFDQF , , 90DQFEF设 厘米,则 厘米, 厘米,EFxx4Cx在 RTFQC 中, 22 当 秒时, 厘米1tQ 厘米224x3x2EF在 RTDEF 中, 厘米2D2235DEF 在 RTDEF 中,EGDF, 11EFSGD 厘米, 厘米325EFGD 3625PQ2.如图,已知MON=90,A 是MON 内部的一点,过点 A 作 ABON,垂足为点 B,AB=3 厘米,OB=4 厘米,动点 E,F 同时从 O 点出发,点 E 以 1.5 厘米/ 秒的速度沿 ON 方向运动,点 F 以 2 厘米/秒的速度沿 OM 方向运动,EF 与 OA 交于点

5、C,连接 AE,当点 E 到达点 B 时,点 F 随之停止运动设运动时间为 t 秒(t 0) (1)当 t=1 秒时, EOF 与 ABO 是否相似?请说明理由;(2)在运动过程中,不论 t 取何值时,总有 EFOA为什么?(3)连接 AF,在运动过程中,是否存在某一时刻 t,使得 SAEF= S 四边形 ABOF?若存在,请求出此时 t 的值;若不存在,请说明理由解:(1)t=1,OE=1.5 厘米,OF=2 厘米,AB=3 厘米,OB=4 厘米, = = , = = MON=ABE=90,EOFABO(2)在运动过程中,OE=1.5t ,OF=2t AB=3 ,OB=4 又EOF= ABO

6、=90,Rt EOFRt ABOAOB=EOFAOB+FOC=90,EOF+ FOC=90 ,EFOA(3)如图,连接 AF,OE=1.5t,OF=2t,BE=41.5tS FOE= OEOF= 1.5t2t= t2,S ABE= (41.5t )3=6 t,S 梯形 ABOF= (2t+3 )4=4t+6S AEF= S 四边形 ABOFS FOE+SABE= S 梯形 ABOF, t2+6 t= (4t+6) ,即 6t217t+12=0,解得 t= 或 t= 当 t= 或 t= 时,S AEF= S 四边形 ABOF3.如图,在 Rt ABC 中,ACB=90 ,AC = 6,BC =

7、8,点 D 以每秒 1 个单位长度的速度由点 A 向点 B 匀速运动,到达 B 点即停止运动,M,N 分别是 AD,CD 的中点,连接 MN,设点 D 运动的时间为 t(1)判断 MN 与 AC 的位置关系;(2)求点 D 由点 A 向点 B 匀速运动的过程中,线段 MN 所扫过区域的面积;(3)若DMN 是等腰三角形,求 t 的值解:(1)在ADC 中,M 是 AD 的中点,N 是 DC 的中点,MNAC ;(2)如图 1,分别取ABC 三边 AC,AB,BC 的中点 E,F,G,并连接 EG,FG,根据题意可得线段 MN 扫过区域的面积就是AFGE 的面积,AC = 6,BC = 8,AE

8、 = 3,GC = 4,ACB=90,S 四边形 AFGE = AEGC = 34 =12,线段 MN 所扫过区域的面积为 12(3)据题意可知:MD = AD,DN= DC,MN = AC = 3, 当 MD = MN = 3 时,DMN 为等腰三角形,此时 AD = AC = 6, t = 6当 MD=DN 时,AD=DC,如图 2,过点 D 作 DHAC 交 AC 于 H,则 AH = AC = 3, , ,解得 AD = 5, AD = t = 5如图 3,当 DN = MN = 3 时,AC = DC,连接 MC,则 CMAD , 即 , 综上所述,当 t = 5 或 6 或 时,

9、DMN 为等腰三角形4.如图,梯形 ABCD 中,ADBC,BAD=90,CE AD 于点 E, AD = 8cm,BC = 4cm, AB = 5cm。从初始时刻开始,动点 P, Q 分别从点 A,B 同时出发,运动速度均为 1 cm /s, 动点 P 沿 A-B-C-E 的方向运动,到点 E 停止;动点 Q 沿 B-C-E-D 的方向运动,到点 D 停止,设运动时间为 s, PA Q 的面积为 y cm2, (这里规定:线段是面积x为 0 的三角形)解答下列问题:(1) 当 x = 2s 时,y=_ cm 2;当 = s 时,y = _ cm 2x(2)当 5 x 14 时,求 y 与 之

10、间的函数关系式。(3)当动点 P 在线段 BC 上运动时,求出 S 梯形 ABCD 时 的值。154x(4)直接写出在整个运动过程中,使 PQ 与四边形 ABCE 的对角线平行的所有 x 的值 DBA ECQP 图图图DBA EC解:(1) 2;9 、(2 ) 当 5 9 时x DBA ECPQy= S 梯形 ABCQ SABP SPCQ= (5+ -4)4 5( -5) (9- )( -4)21x21xx6572xy当 9 13 时 DBA ECPQy= ( -9+4)(14- )21x3592xy当 13 14 时 DBA ECP(Q)y= 8(14- )=-4 +5621x即 y=-4

11、+56(3 ) 当动点 P 在线段 BC 上运动时, S 梯形 ABCD (4+8)5 = 8154y1542即 -14 +49 = 0x解得 1 = 2 = 7当 =7 时, S 梯形 ABCD54y(4) 、 、解析:设运动时间为 t 秒当 PQ / AC 时,此时 BPQ BAC , 当 PQ / BE 时,此时 PCQ BCE, 当 PQ / BE 时,此时 PEQ BAE, 5.已知:把 Rt ABC 和 Rt DEF 按如图(1)摆放(点 C 与点 E 重合) ,点 B、C (E) 、F 在同一条直线上ACB = EDF = 90,DEF = 45,AC = 8 cm,BC = 6

12、 cm,EF = 9 cm如图(2) ,DEF 从图(1)的位置出发,以 1 cm/s 的速度沿 CB 向ABC 匀速移动,在 DEF 移动的同时,点 P从ABC 的顶点 B 出发,以 2 cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速移动.当DEF 的顶点 D 移动到 AC 边上时, DEF 停止移动,点 P 也随之停止移动DE 与 AC 相交于点 Q,连接 PQ,设移动时间为 t(s) (0t4.5) 解答下列问题:(1)当 t 为何值时,点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上?(2)连接 PE,设四边形 APEC 的面积为 y(cm 2) ,求 y 与 t 之间的函数关系式;是否存在某一时刻 t

13、,使面积 y最小?若存在,求出 y 的最小值;若不存在,说明理由(3)是否存在某一时刻 t,使 P、Q、F 三点在同一条直线上?若存在,求出此时 t 的值;若不存在,说明理由 (图(3)供同学们做题使用)解:(1)点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上,AP = AQ.DEF = 45,ACB = 90,DEFACBEQC = 180,EQC = 45.DEF =EQC.CE = CQ . 由题意知:CE = t,BP =2 t, CQ = t.AQ = 8t.ADB C F( E)图(1)ADB C FE图(2)PQAB C图(3)在 RtABC 中,由勾股定理得:AB = 10 cm .则

14、AP = 102 t.102 t = 8 t.解得:t = 2.答:当 t = 2 s 时,点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上. (2)过 P 作 ,交 BE 于 M,BE .90M在 RtABC 和 RtBPM 中, ,sinCPB . PM = .821t85tBC = 6 cm,CE = t, BE = 6t .y = S ABC SBPE = = 2A12EPM16828t5= = .2445tt8435t ,抛物线开口向上.0a当 t = 3 时, y 最小 = .答:当 t = 3s 时,四边形 APEC 的面积最小,最小面积为 845cm2.(3)假设存在某一时刻 t,使点 P

15、、Q、F 三点在同一条直线上.过 P 作 ,交 AC 于 N,NAC .90B ,PAN BAC . . .10268PtA , .5Nt5tNQ = AQ AN,NQ = 8t ( ) = t3ACB = 90,B 、C (E ) 、 F 在同一条直线上,QCF = 90,QCF = PNQ.FQC = PQN,QCFQNP . . . PNQFC6359t 0tt解得:t = 1.答:当 t = 1s,点 P、Q、F 三点在同一条直线上. 6.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AB=8,BAD=60,点 E 从点 A 出发,沿 AB 以每秒2 个单位长度的速

16、度向终点 B 运动,当点 E 不与点 A 重合时,过点 E 作 EFAD 于点 F,作 EGAD 交 AC 于点G,过点 G 作 GHAD 交 AD(或 AD 的延长线)于点 H,得到矩形 EFHG,设点 E 运动的时间为 t 秒(1)求线段 EF 的长(用含 t 的代数式表示);图(2)QADB C FEPMCEADB F图(3)P QN(2)求点 H 与点 D 重合时 t 的值;(3)设矩形 EFHG 与菱形 ABCD 重叠部分图形的面积与 S 平方单位,求 S 与 t 之间的函数关系式;(4)矩形 EFHG 的对角线 EH 与 FG 相交于点 O,当 OOAD 时,t 的值为 4 ;当

17、OOAD 时,t 的值为 3 解:(1)由题意知:AE=2t, 0t4, BAD=60,AFE=90 ,sinBAD= ,EF= t;(2)AE=2t, AEF=30, AF=t,当 H 与 D 重合时,此时 FH=8t,GE=8t, EGAD,EGA=30,四边形 ABCD 是菱形,BAC=30,BAC= EGA=30,AE=EG, 2t=8t,t= ;(3)当 0t 时,此时矩形 EFHG 与菱形 ABCD 重叠部分图形为矩形 EFHG,由( 2)可知:AE=EG=2t , S=EFEG= t2t=2 t2,当 t 4 时,如图 1,设 CD 与 HG 交于点 I,此时矩形 EFHG 与菱

18、形 ABCD 重叠部分图形为五边形 FEGID,AE=2t,AF=t,EF= t,DF=8 t,AE=EG=FH=2t,DH=2t(8t)=3t 8,HDI=BAD=60,tan HDI= ,HI= DH,S=EF EG DHHI=2 t2 (3t 8) 2= t2+24 t32 ;(4)当 OOAD 时,如图 2 此时点 E 与 B 重合,t=4;当 OOAD 时,如图 3,过点 O 作 OMAD 于点 M,EF 与 OA 相交于点 N,由( 2)可知:AF=t ,AE=EG=2t,FN= t,FM=t, OOAD,O是 FG 的中点, OO 是FNG 的中位线,OO= FN= t, AB=

19、8,由勾股定理可求得:OA=4 OM=2 ,OM=2 t,FE= t,EG=2t,由勾股定理可求得:FG 2=7t2,由矩形的性质可知:OF 2= FG2,由勾股定理可知:O F2=OM2+FM2, t2=(2 t) 2+t2,t=3 或 t=6(舍去)故答案为:t=4;t=3二次函数相关动点问题1、如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 与 x 轴交于 A (1,0)、B (3,0)两点,与 y 轴交于点 C,其顶点为点 D,点 E 的坐标为 ,该抛物线与 BE 交于另一点 F,连接 BC.(1)求该抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为 的形式;(2)若点 H (1,y )在 BC 上,连接

20、 FH,求FHB 的面积;(3)一动点 M 从点 D 出发,以每秒 1 个单位的速度沿平行于 y 轴方向向上运动,连接 OM,BM,设运动时间为t 秒 ,在点 M 的运动过程中,当 t 为何值时, ?(4)在 x 轴上方的抛物线上,是否存在点 P,使得 被 BA 平分?若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1) 抛物线 与 x 轴交于 A (1,0)、B (3 ,0)两点 解得: 该抛物线解析式为:(2)设直线 BE 的解析式为 B (3 ,0)、E , 解得: , 直线 BE 的解析式为 .因为 F 是抛物线与 BE 的交点 整理得:解得: 、 (舍去) F( )连接

21、 AH,与 BE 交于点 G,设直线 BC 的解析式为 B (3,0)、C 直线 BC 的解析式为 H (1,y)在 BC 上 H (1, ) A (1 ,0) AH / y 轴 设点 G 坐标为 G 在 BE 上 G (1, ) ,过点 F 作 FKGH 于 K, S FHB = SFHG + SBHG (3)延长 MD 与 x 轴交于点 N, MNx 轴,垂足为 N,由题意可知: DM = t D (2, ), N (2,0) , , 又 而 RtONMRtMNB 即 , , , (舍去) 秒时,(4)符合条件的 P 点坐标为( , )理由如下:作点 F 关于 x 轴的对称点 F,由(2)

22、知: F( ) ,点 F( )连接 BF, B (3,0) 设直线 BF的解析式为 解得: 直线 BF的解析式为 联立抛物线有 整理得: 解得: 、 (舍去)故交点坐标为 ( , ) 由对称性可知,BF 交抛物线的交点即满足题意的 P 点,使得 被 BA 平分.2、已知抛物线 经过 A ,B 两点, 与 y 轴相交于点 C,该抛物线的顶点为点 D2yxbc1,03,(1)求该抛物线的解析式及点 D 的坐标;(2)连接 AC,CD,BD ,BC,设AOC,BOC,BCD 的面积分别为 S1,S 2 和 S3,用等式表示 S1,S 2,S 3之间的数量关系,并说明理由;(3)点 M 是线段 AB

23、上一动点(不包括点 A 和点 B) ,过点 M 作 MNBC 交 AC 于点 N,连接 MC,是否存在点M 使 ?若存在,求出点 M 的坐标和此时刻直线 MN 的解析式;若不存在,请说明理由ANC解:(1)如右图, 抛物线 经过 A ,B2yxbc1,0 3,0两点 093bc3 该抛物线的解析式是 2yx , 点 D 坐标 12ba24cb1,4(2)S 1,S 2,S 3 之间的数量关系是 213S过点 D 作 DEx 轴于点 E,作 DFy 轴于点 F, E ,F B , C ,0,430 223BCO , , 则在 中 1FRtCD221D , , 则在 中 2E4DF45BE BCD

24、 是直角三角形2BC 313S , 1122OA1932SOBC 3(3)存在点 M,使得 ,设点 M , NA,0m13则 在 中,(1)AmRtOC2210AOC MNBC BA10()4B若 , AMN ACMNCN AMNC2AC210()4m , (舍) 点 M 坐标 31()0m1323(,0)2设直线 BC 的解析式为 B , C ykxb03 直线 BC 的解析式为 3kb3yx MNBC *设直线 MN 的解析式为 点 M 坐标 b3(,0)2 直线 MN 的解析式为 32b32yx 存在点 M,使得 ,此时 直线 MN 的解析式为ANC32yx3.已知抛物线 y=ax2+b

25、x+c 经过 A(1,0) ,B (4,0) ,C (0,2)三点(1)请直接写出抛物线的解析式(2)连接 BC,将直线 BC 平移,使其经过点 A,且与抛物线交于点 D,求点 D 的坐标(3)在(2)中的线段 AD 上有一动点 E(不与点 A、点 D 重合) ,过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F,当点 E 运动到什么位置时,AFD 的面积最大?求出此时点 E 的坐标和AFD 的最大面积解:(1)抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(1,0) ,B (4,0) ,设抛物线解析式为 y=a(x+1) (x4).C(0,2)在抛物线上, 2=a1(4) ,a=.抛物线的解析式为 y=

26、 (x+1) (x4)= x2 x2,(2)设直线 BC 的解析式为 y=kx2,B(4,0)4k 2=0,k= ,直线 BC 的解析式为 y= x2.直线 BC 平移,使其经过点 A(1,0) ,且与抛物线交于点 D,直线 AD 的解析式为 y= x+ ,联立,解得 (舍去) ,或 ,D(5,3).(3)A(1,0) ,D(5,3) ,以 AD 为底,点 F 到 AD 的距离越大,ADF 的面积越大,作 lAD,当 l 与抛物线只有一个交点时,点 F 到 AD 的距离最大,设 l 的解析式为 y= x+n,联立 转化为关于 x 的方程为 x24x2n4=0,=16 4(2n4)=0 ,n=

27、4.直线 l 的解析式为 y= x4,x 24x+4=0,解得 x=2.将 x=2 代入 y= x4 得,y=3,F(1,3) ,E(1,1).EF=4.S AFD 的最大面积= EF|xExA|+ EF|xDxE|= 42+ 44=124.如图,抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴相交的于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴相交于点 C,顶点为 D(1)直接写出 A,B,C 三点的坐标和抛物线的对称轴;(2)连接 BC,与抛物线的对称轴交于点 E,点 P 为线段 BC 上的一个动点(P 不与 C,B 两点重合) ,过点 P 作PFDE 交抛物线于点 F,设点 P 的横坐

28、标为 m用含 m 的代数式表示线段 PF 的长,并求出当 m 为何值时,四边形 PEDF 为平行四边形设BCF 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系式;当 m 为何值时,S 有最大值解:(1)对于抛物线 y=x2+2x+3,令 x=0,得到 y=3;令 y=0,得到 x2+2x+3=0,即(x3) (x+1)=0,解得:x=1 或 x=3,则 A(1,0) ,B (3,0) ,C (0,3) ,抛物线对称轴为直线 x=1;(2)设直线 BC 的函数解析式为 y=kx+b,把 B(3,0) ,C(0,3)分别代入得: ,解得:k=1,b=3,直线 BC 的解析式为 y=x+3,当 x=1 时

29、,y=1+3=2,E(1,2) ,当 x=m 时,y=m+3,P (m,m+3) ,令 y=x2+2x+3 中 x=1,得到 y=4,D(1,4) ,当 x=m 时,y=m 2+2m+3,F(m ,m 2+2m+3) ,线段 DE=42=2,0m 3,y Fy P,线段 PF=m2+2m+3(m+3 )=m 2+3m,连接 DF,由 PFDE,得到当 PF=DE 时,四边形 PEDF 为平行四边形,由m 2+3m=2,得到 m=2 或 m=1(不合题意,舍去) ,则当 m=2 时,四边形 PEDF 为平行四边形;连接 BF,设直线 PF 与 x 轴交于点 M,由 B(3,0) ,O(0,0)

30、,可得 OB=OM+MB=3,S=S BPF+SCPF= PFBM+ PFOM= PF(BM+OM)= PFOB,S= 3(m 2+3m)= m2+ m(0m3) ,则当 m= 时, S 取得最大值5.如图所示,抛物线 y=ax2 x+c 经过原点 O 与点 A(6,0)两点,过点 A 作 ACx 轴,交直线 y=2x2 于点 C,且直线 y=2x2 与 x 轴交于点 D(1)求抛物线的解析式,并求出点 C 和点 D 的坐标;(2)求点 A 关于直线 y=2x2 的对称点 A的坐标,并判断点 A是否在抛物线上,并说明理由;(3)点 P(x,y)是抛物线上一动点,过点 P 作 y 轴的平行线,交

31、线段 CA于点 Q,设线段 PQ 的长为 l,求 l 与x 的函数关系式及 l 的最大值解:(1)把点 O(0,0) ,A(6,0)代入 y=ax2 x+c,得 ,解得 ,抛物线解析式为 y= x2x当 x=6 时,y=262=10,当 y=0 时,2x2=0,解得 x=1,点 C 坐标(6,10) ,点 D 的坐标(1,0)(2)过点 A作 AFx 轴于点 F,点 D(1,0) ,A(6,0) ,可得 AD=5,在 Rt ACD 中,CD= =5 ,点 A 与点 A关于直线 y=2x2 对称,AED=90,S ADC= AE= 510,解得 AE=2 ,AA=2AE=4 ,DE= = ,AE

32、D=AFA=90,DAE= A AF,ADE AA F, = = ,解得 AF=4,A F=8,OF=8 6=2,点 A坐标为(2,4) ,当 x=2 时,y= 4 (2)=4,A 在抛物线上(3)点 P 在抛物线上,则点 P(x, x2 x) ,设直线 AC 的解析式为 y=kx+b,直线 A 经过 A(2,4) ,C(6,10)两点, ,解得 ,直线 AC 的解析式为 y= x+ ,点 Q 在直线 AC 上,PQ AC,点 Q 的坐标为(x, x+ ) ,PQAC ,又点 Q 在点 P 上方,l=( x+ ) ( x2 x)= x2+ x+ ,l 与 x 的函数关系式为 l= x2+ x+

33、 , (2x6) ,l= x2+ x+ = (x ) 2+ ,当 x= 时,l 的最大值为 6.如图,已知抛物线 yax 2bx c(a0)的对称轴为直线 x1,且经过 A(1,0) ,C (0,3)两点,与 x 轴的另一个交点为 B.若直线 ymx n 经过 B,C 两点,求直线 BC 和抛物线的解析式;在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小,求点 M 的坐标;设点 P 为抛物线的对称轴 x1 上的一个动点,求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标图15.1CDOBAxy yxO图15.2解:(1)依题意,得 解之,得1,203.bac1,

34、23.abc抛物线解析式为 2xy对称轴为 x1,且抛物线经过 A(1,0) ,B(3,0) 把 B(3,0) 、C(0,3)分别直线 ymx n,得解之,得 ,.mn,3.m直线 BC 的解析式为 xy(2)MA=MB ,MA +MC=MB+MC.使 MA+MC 最小的点 M 应为直线 BC 与对称轴 x1 的交点.设直线 BC 与对称轴 x1 的交点为 M,把 x1代入直线 ,得 y2.3yM(1,2)(3)设 P(1,t) ,结合 B(3,0) ,C(0, 3) ,得BC218,PB2(13) 2t 24t 2,PC2(1) 2( t3) 2t 26t10.若 B 为直角顶点,则 BC2

35、PB 2PC 2,即 184t 2t 26t10. 解之,得 t2. 若 C 为直角顶点,则 BC2PC 2PB 2,即18t 26t104t 2解之,得 t4 若 P 为直角顶点,则 PB2PC 2BC 2,即4t 2t 26t1018解之,得 t1 ,t 2 73173综上所述,满足条件的点 P 共有四个,分别为(1,2), (1,4), (1, ) , (1, ) P2324P7.在直角坐标系 中, 、 ,将 经过旋转、平移变化后得到如图 所示的 .xoy0,)A,BAO15.BCD(1)求经过 、 、 三点的抛物线的解析式;C(2)连结 ,点 是位于线段 上方的抛物线上一动点,若直线

36、将 的面积分成 两部分,求PPCAB:3此时点 的坐标;(3)现将 、 分别向下、向左以 的速度同时平移,求出在此运动过程中 与 重叠ABOD1:2 OBCD部分面积的最大值.FEP图4.1yxO CDBA解:(1) 、 ,将 经过旋转、平移变化得到如图 所示的 ,(0,2)A(1,)BAO4.1BCD .90DOCDCB,C设经过 、 、 三点的抛物线解析式为 ,2yaxbc则有 ,解得: . 012abc31,2abc抛物线解析式为 .yx(2)如图 4.1 所示,设直线 与 交于点 . PCABE直线 将 的面积分成 两部分,P1:3 或 ,13AEB过 作 于点 ,则 .FOFO ,

37、.EAB当 时, ,13241 , .,EFB3(,)设直线 解析式为 ,则可求得其解析式为 ,PCymxn275yx , (舍去) , 231275x12,5x .当 时,同理可得 .19(,)53AEB63()749P(3)设 平移的距离为 , 与 重叠部分的面积为 .Ot1O21BCDS可由已知求出 的解析式为 , 与 轴交点坐标为 .1yxtAx2(,0)t的解析式为 , 与 轴交点坐标为 . 2CB2t12y1,t如图 4.2 所示,当 时, 与 重叠部分为四边形.305t1BOCDGHA1O1B2图4.3yxOC1D1B1QNMA1B2 D1C1O xy图4.2B1 1设 与 轴交于点 , 与 轴交于点 , 与 交于点 ,连结 .1ABxM12CByN1AB2CQO由 ,得 ,2ytx435txy435(,)tQ 121()323QMONt tSt.2134t 的最大值为 .5如图 所示,当 时, 与 重叠部分为直角三角形. 4.345t1ABO21CD设 与 轴交于点 , 与 交于点 .则 ,1ABxHG(2,45)t, .22ttDt145t .(12 分)2145()()SGA当 时, 的最大值为 .35tS综上所述,在此运动过程中 与 重叠部分面积的最大值为 .BOCD25