1、1专题 2 由动点形成的最值问题 例题精讲例 1.（安顺中考）如图，MN 是半径为 1 的O 的直径，点 A 在O 上，AMN=30，点 B 为劣弧 AN 的中点P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（ ）A. B. C. 1 D. 222 2【解答】作点 B 关于 MN 的对称点 B，连接 OA、OB、OB、AB，则 AB与 MN 的交点即为 PA+PB 的最小时的点，PA+PB 的最小值=AB ，AMN=30，AON=2AMN=230=60，点 B 为劣弧 AN 的中点，BON= AON= 60=30，12 12由对称性，BON= BON=30，AOB=AON+BON=60
2、+30=90，AOB是等腰直角三角形，AB= OA= 1= ， 2 2 2即 PA+PB 的最小值 = 2故选择：B例 2.（新昌中考）如图所示，已知 A（ ，y 1），B（2，y 2）为反比例函数 y= 图象上的两点，动点12 1xP（x，0）在 x 轴正半轴上运动，当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点 P 的坐标是（ ）A. （ ，0） B. （1，0 ） C. （ ，0） D. （ ，0）12 32 522【解答】解：把 A（ ，y 1），B（2 ，y 2）代入反比例函数 y= 得：y 1=2，y 2= ，12 1x 12A（ ，2），B（2， ），12 12在 ABP 中，由
3、三角形的三边关系定理得：|APBP| AB，延长 AB 交 x 轴于 P，当 P 在 P点时，PAPB=AB ，即此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大，设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，把 A、B 的坐标代入得： ，2=12k+b12=2k+b解得：k=1，b= ，52直线 AB 的解析式是 y=x+ ，52当 y=0 时，x= ，52即 P（ ，0 ），52故选：D例 3.（六盘水中考）如图，抛物线 y= x2+bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 交于 C 点，且 A（1，0 ），12点 M（ m，0）是 x 轴上的一个动点，当 MC+MD 的值最小时，m 的值是（ ）
4、A. B. C. D. 58 2441 2340 2541【解答】解：抛物线 y= x2+bx2 经过点 A（1 ，0），12 （1） 2+b（1） 2=0，12解得 b= ， 323函数解析式为 y= x2 x2，12 32y= x2 x2= （x ） 22 ， 12 32 12 32 98= （x ） 2 ， 12 32 258顶点 D 的坐标为（ ， ），32 258令 x=0，则 y=2，点 C 的坐标为（0 ，2），点 C 关于 x 轴的对称点 C的坐标为（0，2 ），连接 CD 与 x 轴的交点即为所求的 MC+MD 的值最小时的点 M，设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，则
5、解得直线 CD 的解析式为 y= x+2，4112令 y=0，则 x+2=0， 解得 x= ， 4112 2441m= 故选：B2441例 4.（镇江中考）如图，一次函数 y=x+1 的图象交 x 轴于点 E、交反比例函数 的图象于点 F（点y=2xF 在第一象限），过线段 EF 上异于 E，F 的动点 A 作 x 轴的平行线交 的图象于点 B，过点 A，B 作 xy=2x轴的垂线段，垂足分别是点 D，C，则矩形 ABCD 的面积最大值为_4【解答】解：设 A（a ，a+1 ），则 B（ ，a+1），2a+1AB= a，AD=a+1，2a+1S 矩形 ABCD=（a+1）（ a）=2a（a+1
6、 ）= （a+ ） 2+ ，2a+1 12 94当 a= 时，矩形 ABCD 的面积最大值为 ，12 94故答案为： 94例 5.（三明中考）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC=2 ，以 BC 为直径的半圆交 AB 于点 D，P 是 上的一个动点，连接 AP，则 AP 的最小值是_CD【解答】解：找到 BC 的中点 E，连接 AE，交半圆于 P2，在半圆上取 P1 ，连接 AP1 ，EP 1 ， 5可见，AP 1+EP1AE ，即 AP2 是 AP 的最小值，AE= = ，P 2E=1，22+12 5AP2= 15故答案为： 15习题精炼1.如图，在圆 O 上有定点 C 和动点
7、 P，位于直径 AB 的异侧，过点 C 作 CP 的垂线，与 PB 的延长线交于点Q，已知：圆 O 半径为 ，tanABC ，则 CQ 的最大值是（ ）52 34A. 5 B. C. D. 154 253 2032.如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，其顶点 P 在折线 CDE 上移动，若点 C、D、E 的坐标分别为（1，4）、（3，4）、（3，1 ），点 B 的横坐标的最小值为 1，则点 A 的横坐标的最大值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.如图，已知线段 OA 交O 于点 B，且 OB=AB，点 P 是O 上的一个动点，那么OAP 的最大值是（ ） 6A. 30
8、 B. 45 C. 60 D. 904.如图，O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切O 于点 Q，则PQ 的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 213 55.如图，在正方形 ABCD 中，AB=4，P 是线段 AD 上的动点，PEAC 于点 E，PFBD 于点 F，则 PE+PF 的值为（ ）A. B. 4 C. D. 222 426.如图，正方形 ABCD 的边长是 4，DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值（ ）A. 2 B. 4 C. 2 D. 42 27.
9、在连接 A 地与 B 地的线段上有四个不同的点 D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从 A 地到B 地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（ ） 7A. B. C. D. 8.如图，已知直线 y= x-3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，P 是以 C（0，1）为圆心，1 为半径的圆上一34动点，连接 PA，PB则PAB 面积的最大值是（ ）A. 8 B. 12 C. D. 212 1729.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=6，BD=8 ，点 E 是边 AB 的中点，点 F、P 分别是 BC、AC 上动点，则PE+PF 的最小值是_ 10.
10、在 ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边 BC 上一动点， PEAB 于 E，PF AC 于 F，M 为 EF 中点，则AM 的最小值为_811.如图，在边长为 10cm 的正方形 ABCD 中，P 为 AB 边上任意一点（ P 不与 A、B 两点重合），连结 DP，过点 P 作 PEDP，垂足为 P，交 BC 于点 E，则 BE 的最大长度为 _cm12.在如图所示的平面直角坐标系中，点 P 是直线 y=x 上的动点，A（1，0 ），B（2，0）是 x 轴上的两点，则 PA+PB 的最小值为 _ 13.如图，直线 l 与半径为 4 的O 相切于点 A，P 是O 上的一个动点（
11、不与点 A 重合），过点 P 作PBl，垂足为 B，连接 PA设 PA=x，PB=y，则（xy ）的最大值是_ 14.如图，定点 A（2，0），动点 B 在直线 y=x 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为 _915.如图，ABC 中，BAC=60，ABC=45，AB=2 ，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画 O 分2别交 AB，AC 于 E，F ，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为_ 16.如图，在ABC 中，ACB，AB=5，BC=3，P 是 AB 边上的动点（不与点 B 重合），将 BCP 沿 CP 所在的直线翻折，得到BCP，连接 BA，则 BA 长度的
12、最小值是_ .17.菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 B（2，0），DOB=60，点 P 是对角线 OC 上一个动点，E（0 ， 1），当 EP+BP 最短时，点 P 的坐标为_ 1018.如图，圆柱形玻璃杯，高为 11cm，底面周长为 16cm，在杯内离杯底 3cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_（结果保留根号）11答案解析部分一、单选题1.【答案】 D 【解析】【分析】AB 为O 的直径，ACB=90。在 RtABC 和 RtPCQ 中，ACB= PCQ=90，CAB=CPQ，A
13、BCPQC。 ，即 。BCCQ=ACPC CQ=BCACPCtanABC 。 。ACBC=34 CQ=43PC点 P 在 O 上运动过程中，始终有ABCPQC，PC 最大时，CQ 取到最大值。易知，当 PC 经过圆心，即 PC 为圆 O 的直径时，PC 最大。圆 O 半径为 ， PC 的最大值为 10。52CQ 的最大值 。435=203故选 D。2.【答案】 B 【解析】【解答】解：由图知：当点 B 的横坐标为 1 时，抛物线顶点取 C（ 1，4），设该抛物线的解析式为：y=a （x+1） 2+4，代入点 B 坐标，得：0=a（ 1+1） 2+4，a= 1，即：B 点横坐标取最小值时，抛物线
14、的解析式为：y=（x+1） 2+4当 A 点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取 E（3，1 ），则此时抛物线的解析式：y=（x3 ）2+1=x2+6x8=（x 2）（x 4），即与 x 轴的交点为（2，0 ）或（4，0 ）（舍去），点 A 的横坐标的最大值为 2故选 B3.【答案】 A 【解析】【解答】解：根据题意知，当OAP 取最大值时，OP AP； 在 RtAOP 中， OP=OB，OB=AB，12OA=2OP，OAP=30故选 A4.【答案】B 【解析】【解答】解：PQ 切O 于点 Q， OQP=90，PQ2=OP2OQ2 ， 而 OQ=2，PQ2=OP24，即 PQ= ，OP2-4当 O
15、P 最小时，PQ 最小，点 O 到直线 l 的距离为 3，OP 的最小值为 3，PQ 的最小值为 = 9-4 5故选 B5.【答案】 A 【解析】【解答】解：根据正方形的对角线互相垂直可得：OA OD，对角线平分一组对角可得 OAD=45，然后求出四边形 OEPF 为矩形， APE 是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得 PF=OE，根据等腰直角三角形的性质可得 PE=BE，从而得出 PE+PF=OA，然后根据正方形的性质得出 OA 的长度，故答案为：A6.【答案】 C 【解析】【解答】解：作 D 关于 AE 的对称点 D，再过 D作 DPAD 于 P，DDAE，AFD=AFD，AF=AF
16、，DAE=CAE，DAFDAF，D是 D 关于 AE 的对称点，AD=AD=4，DP即为 DQ+PQ 的最小值，四边形 ABCD 是正方形，DAD=45，AP=PD，在 RtAPD中，PD2+AP2=AD2 ， AD2=16，AP=PD，2PD2=AD2 ， 即 2PD2=16，PD=2 ， 即 DQ+PQ 的最小值为 2 2 2故选：C137.【答案】D 【解析】【解答】 解：A、延长 AC、BE 交于 S，CAB=EDB=45，ASED，则 SCDE同理 SECD，四边形 SCDE 是平行四边形，SE=CD，DE=CS，即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+
17、BS；B、延长 AF、BH 交于 S1 ， 作 FKGH 与 BH 的延长线交于点 K，SAB=S1AB=45， SBA=S1BA=70，AB=AB ，SABS1AB，AS=AS1 ， BS=BS1 ， FGH=1807043=67=GHB，FGKH，FKGH，四边形 FGHK 是平行四边形，FK=GH，FG=KH，AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，FS1+S1KFK ，AS+BSAF+FK+KH+HB，即 AC+CD+DE+EBAF+FG+GH+HB，14C、 D、同理可证得 AI+IK+KM+MBAS 2+BS2AN+NQ+QP+PB综上所述，D 选项的所走的线路最长故选：D
18、8.【答案】C 【解析】【解答】直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， A 点的坐标为（4，0 ），B 点的y=34x-3坐标为（0，3），即 OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，点 C（0，1 ）到直线 的距3x-4y-12=0离是 = ，圆 C 上点到直线 的最大距离是 = ，PAB 面积的最大|30-4-12|32+42 165 y=34x-3 1+165 215值是 = ，故答案为： C125215 2129.【答案】 245【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC=6，BD=8 ， AB= =5，32+42作 E 关于 AC 的对称点 E，作 EF
19、BC 于 F 交 AC 于 P，连接 PE，则 EF 即为 PE+PF 的最小值（垂线段最短）， ACBD=ADEF，12EF= ，245PE+PF 的最小值为 245故选答案为 2451510.【 答案】2.4 【解析】【解答】解：四边形 AFPE 是矩形AM= AP，APBC 时，AP 最短，同样 AM 也最短12当 APBC 时，ABP CABAP：AC=AB：BCAP：8=6：10AP 最短时， AP=4.8当 AM 最短时，AM=AP2=2.411.【 答案】 52【解析】【解答】解：设 AP=x，BE=y 如图，四边形 ABCD 是正方形，A=B=90PEDP，2+3=90， 1+
20、2=901=3，ADPBPE， ，即 ，ADBP=APBE 1010-x=xyy= x2+x= （x 5） 2+ （ 0x10）；110 110 52当 x=5 时，y 有最大值 52故答案是： 521612.【 答案】 5【解析】【解答】将点 A 作关于 y=x 的对称点为 A（0，1），则连接 AB 与 y=x 的交点就是点 P，根据直角三角形的勾股定理可得 AB= ，即 PA+PB 的最小值5【分析】将点 A 作关于 y=x 的对称点为 A（0，1 ），则连接 AB 与 y=x 的交点就是点 P，根据直角三角形的勾股定理求出 AB 的值，即 PA+PB 的最小值13.【 答案】2 【解析
21、】【解答】解：如图，作直径 AC，连接 CP， CPA=90，AB 是切线，CAAB，PBl，ACPB，CAP=APB，APCPBA， ，APAC=PBPAPA=x， PB=y，半径为 4， ，x8=yxy= x2 ， 18xy=x x2= x2+x= （x4 ） 2+2，18 18 18当 x=4 时，xy 有最大值是 2，故答案为：214.【 答案】（ 1，1） 17【解析】【解答】解：过 A 作 AD直线 y=x，过 D 作 DEx 轴于 E，则DOA= OAD=EDO=EDA=45，A（2， 0），OA=2，OE=DE=1，D 的坐标为（ 1，1 ），即动点 B 在直线 y=x 上运动
22、，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为（1， 1），故答案为：（1 ，1）15.【 答案】 3【解析】【解答】解：由垂线段的性质可知，当 AD 为ABC 的边 BC 上的高时，直径 AD 最短， 如图，连接 OE，OF，过 O 点作 OHEF，垂足为 H，在 RtADB 中， ABC=45，AB=2 ，2AD=BD=2，即此时圆的直径为 2，由圆周角定理可知EOH= EOF=BAC=60，12在 RtEOH 中，EH=OEsinEOH=1 = ，32 32由垂径定理可知 EF=2EH= 3故答案为： 316.【 答案】1 【解析】【解答】解：在 RtABC 中，由勾股定理可知：AC= = =
23、4，AB2-BC2 52-32由轴对称的性质可知：BC=CB=3，CB长度固定不变，18当 AB+CB有最小值时， AB的长度有最小值根据两点之间线段最短可知：A、B、C 三点在一条直线上时，AB有最小值，AB=ACBC=43=1故答案为：117.【 答案】（ ） 23-3,2- 3【解析】【解答】解：连接 ED，如图，点 B 的对称点是点 D，DP=BP，ED 即为 EP+BP 最短，四边形 ABCD 是菱形，顶点 B（2，0 ）， DOB=60，点 D 的坐标为（ 1， ），3点 C 的坐标为（3 ， ），3可得直线 OC 的解析式为：y= x，33点 E 的坐标为（ 0，1），可得直线 ED 的解析式为：y=（1+ ）x1 ，3点 P 是直线 OC 和直线 ED 的交点，点 P 的坐标为方程组 的解，y= 33xy=(1+ 3)x-1解方程组得： ，x=23-3y=2- 3所以点 P 的坐标为（ 2 -3 2- ），3 , 3故答案为：（2 -3 2- ）3 , 318.【 答案】15cm 【解析】【解答】如图，19将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A，连接 AC，则 AC 即为最短距离，AC2=AD2+CD2=92+122=225，CA=15cm答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是 15cm故答案为 15cm