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2019中考数学压轴选择填空精讲精练2:由动点形成的最值问题(含解析)

1、1专题 2 由动点形成的最值问题 例题精讲例 1.(安顺中考)如图,MN 是半径为 1 的O 的直径,点 A 在O 上,AMN=30,点 B 为劣弧 AN 的中点P 是直径 MN 上一动点,则 PA+PB 的最小值为( )A. B. C. 1 D. 222 2【解答】作点 B 关于 MN 的对称点 B,连接 OA、OB、OB、AB,则 AB与 MN 的交点即为 PA+PB 的最小时的点,PA+PB 的最小值=AB ,AMN=30,AON=2AMN=230=60,点 B 为劣弧 AN 的中点,BON= AON= 60=30,12 12由对称性,BON= BON=30,AOB=AON+BON=60

2、+30=90,AOB是等腰直角三角形,AB= OA= 1= , 2 2 2即 PA+PB 的最小值 = 2故选择:B例 2.(新昌中考)如图所示,已知 A( ,y 1),B(2,y 2)为反比例函数 y= 图象上的两点,动点12 1xP(x,0)在 x 轴正半轴上运动,当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时,点 P 的坐标是( )A. ( ,0) B. (1,0 ) C. ( ,0) D. ( ,0)12 32 522【解答】解:把 A( ,y 1),B(2 ,y 2)代入反比例函数 y= 得:y 1=2,y 2= ,12 1x 12A( ,2),B(2, ),12 12在 ABP 中,由

3、三角形的三边关系定理得:|APBP| AB,延长 AB 交 x 轴于 P,当 P 在 P点时,PAPB=AB ,即此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大,设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,把 A、B 的坐标代入得: ,2=12k+b12=2k+b解得:k=1,b= ,52直线 AB 的解析式是 y=x+ ,52当 y=0 时,x= ,52即 P( ,0 ),52故选:D例 3.(六盘水中考)如图,抛物线 y= x2+bx2 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 交于 C 点,且 A(1,0 ),12点 M( m,0)是 x 轴上的一个动点,当 MC+MD 的值最小时,m 的值是( )

4、A. B. C. D. 58 2441 2340 2541【解答】解:抛物线 y= x2+bx2 经过点 A(1 ,0),12 (1) 2+b(1) 2=0,12解得 b= , 323函数解析式为 y= x2 x2,12 32y= x2 x2= (x ) 22 , 12 32 12 32 98= (x ) 2 , 12 32 258顶点 D 的坐标为( , ),32 258令 x=0,则 y=2,点 C 的坐标为(0 ,2),点 C 关于 x 轴的对称点 C的坐标为(0,2 ),连接 CD 与 x 轴的交点即为所求的 MC+MD 的值最小时的点 M,设直线 CD 的解析式为 y=kx+b,则

5、解得直线 CD 的解析式为 y= x+2,4112令 y=0,则 x+2=0, 解得 x= , 4112 2441m= 故选:B2441例 4.(镇江中考)如图,一次函数 y=x+1 的图象交 x 轴于点 E、交反比例函数 的图象于点 F(点y=2xF 在第一象限),过线段 EF 上异于 E,F 的动点 A 作 x 轴的平行线交 的图象于点 B,过点 A,B 作 xy=2x轴的垂线段,垂足分别是点 D,C,则矩形 ABCD 的面积最大值为_4【解答】解:设 A(a ,a+1 ),则 B( ,a+1),2a+1AB= a,AD=a+1,2a+1S 矩形 ABCD=(a+1)( a)=2a(a+1

6、 )= (a+ ) 2+ ,2a+1 12 94当 a= 时,矩形 ABCD 的面积最大值为 ,12 94故答案为: 94例 5.(三明中考)如图,在 RtABC 中,ACB=90,AC=BC=2 ,以 BC 为直径的半圆交 AB 于点 D,P 是 上的一个动点,连接 AP,则 AP 的最小值是_CD【解答】解:找到 BC 的中点 E,连接 AE,交半圆于 P2,在半圆上取 P1 ,连接 AP1 ,EP 1 , 5可见,AP 1+EP1AE ,即 AP2 是 AP 的最小值,AE= = ,P 2E=1,22+12 5AP2= 15故答案为: 15习题精炼1.如图,在圆 O 上有定点 C 和动点

7、 P,位于直径 AB 的异侧,过点 C 作 CP 的垂线,与 PB 的延长线交于点Q,已知:圆 O 半径为 ,tanABC ,则 CQ 的最大值是( )52 34A. 5 B. C. D. 154 253 2032.如图,一条抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点,其顶点 P 在折线 CDE 上移动,若点 C、D、E 的坐标分别为(1,4)、(3,4)、(3,1 ),点 B 的横坐标的最小值为 1,则点 A 的横坐标的最大值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.如图,已知线段 OA 交O 于点 B,且 OB=AB,点 P 是O 上的一个动点,那么OAP 的最大值是( ) 6A. 30

8、 B. 45 C. 60 D. 904.如图,O 的半径为 2,点 O 到直线 l 的距离为 3,点 P 是直线 l 上的一个动点,PQ 切O 于点 Q,则PQ 的最小值为( ) A. B. C. 3 D. 213 55.如图,在正方形 ABCD 中,AB=4,P 是线段 AD 上的动点,PEAC 于点 E,PFBD 于点 F,则 PE+PF 的值为( )A. B. 4 C. D. 222 426.如图,正方形 ABCD 的边长是 4,DAC 的平分线交 DC 于点 E,若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点,则DQ+PQ 的最小值( )A. 2 B. 4 C. 2 D. 42 27.

9、在连接 A 地与 B 地的线段上有四个不同的点 D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别表示某人从 A 地到B 地的不同行进路线(箭头表示行进的方向),则路程最长的行进路线图是( ) 7A. B. C. D. 8.如图,已知直线 y= x-3 与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,P 是以 C(0,1)为圆心,1 为半径的圆上一34动点,连接 PA,PB则PAB 面积的最大值是( )A. 8 B. 12 C. D. 212 1729.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC=6,BD=8 ,点 E 是边 AB 的中点,点 F、P 分别是 BC、AC 上动点,则PE+PF 的最小值是_ 10.

10、在 ABC 中,AB=6,AC=8,BC=10,P 为边 BC 上一动点, PEAB 于 E,PF AC 于 F,M 为 EF 中点,则AM 的最小值为_811.如图,在边长为 10cm 的正方形 ABCD 中,P 为 AB 边上任意一点( P 不与 A、B 两点重合),连结 DP,过点 P 作 PEDP,垂足为 P,交 BC 于点 E,则 BE 的最大长度为 _cm12.在如图所示的平面直角坐标系中,点 P 是直线 y=x 上的动点,A(1,0 ),B(2,0)是 x 轴上的两点,则 PA+PB 的最小值为 _ 13.如图,直线 l 与半径为 4 的O 相切于点 A,P 是O 上的一个动点(

11、不与点 A 重合),过点 P 作PBl,垂足为 B,连接 PA设 PA=x,PB=y,则(xy )的最大值是_ 14.如图,定点 A(2,0),动点 B 在直线 y=x 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的坐标为 _915.如图,ABC 中,BAC=60,ABC=45,AB=2 ,D 是线段 BC 上的一个动点,以 AD 为直径画 O 分2别交 AB,AC 于 E,F ,连接 EF,则线段 EF 长度的最小值为_ 16.如图,在ABC 中,ACB,AB=5,BC=3,P 是 AB 边上的动点(不与点 B 重合),将 BCP 沿 CP 所在的直线翻折,得到BCP,连接 BA,则 BA 长度的

12、最小值是_ .17.菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点 B(2,0),DOB=60,点 P 是对角线 OC 上一个动点,E(0 , 1),当 EP+BP 最短时,点 P 的坐标为_ 1018.如图,圆柱形玻璃杯,高为 11cm,底面周长为 16cm,在杯内离杯底 3cm 的点 C 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_(结果保留根号)11答案解析部分一、单选题1.【答案】 D 【解析】【分析】AB 为O 的直径,ACB=90。在 RtABC 和 RtPCQ 中,ACB= PCQ=90,CAB=CPQ,A

13、BCPQC。 ,即 。BCCQ=ACPC CQ=BCACPCtanABC 。 。ACBC=34 CQ=43PC点 P 在 O 上运动过程中,始终有ABCPQC,PC 最大时,CQ 取到最大值。易知,当 PC 经过圆心,即 PC 为圆 O 的直径时,PC 最大。圆 O 半径为 , PC 的最大值为 10。52CQ 的最大值 。435=203故选 D。2.【答案】 B 【解析】【解答】解:由图知:当点 B 的横坐标为 1 时,抛物线顶点取 C( 1,4),设该抛物线的解析式为:y=a (x+1) 2+4,代入点 B 坐标,得:0=a( 1+1) 2+4,a= 1,即:B 点横坐标取最小值时,抛物线

14、的解析式为:y=(x+1) 2+4当 A 点横坐标取最大值时,抛物线顶点应取 E(3,1 ),则此时抛物线的解析式:y=(x3 )2+1=x2+6x8=(x 2)(x 4),即与 x 轴的交点为(2,0 )或(4,0 )(舍去),点 A 的横坐标的最大值为 2故选 B3.【答案】 A 【解析】【解答】解:根据题意知,当OAP 取最大值时,OP AP; 在 RtAOP 中, OP=OB,OB=AB,12OA=2OP,OAP=30故选 A4.【答案】B 【解析】【解答】解:PQ 切O 于点 Q, OQP=90,PQ2=OP2OQ2 , 而 OQ=2,PQ2=OP24,即 PQ= ,OP2-4当 O

15、P 最小时,PQ 最小,点 O 到直线 l 的距离为 3,OP 的最小值为 3,PQ 的最小值为 = 9-4 5故选 B5.【答案】 A 【解析】【解答】解:根据正方形的对角线互相垂直可得:OA OD,对角线平分一组对角可得 OAD=45,然后求出四边形 OEPF 为矩形, APE 是等腰直角三角形,再根据矩形的对边相等可得 PF=OE,根据等腰直角三角形的性质可得 PE=BE,从而得出 PE+PF=OA,然后根据正方形的性质得出 OA 的长度,故答案为:A6.【答案】 C 【解析】【解答】解:作 D 关于 AE 的对称点 D,再过 D作 DPAD 于 P,DDAE,AFD=AFD,AF=AF

16、,DAE=CAE,DAFDAF,D是 D 关于 AE 的对称点,AD=AD=4,DP即为 DQ+PQ 的最小值,四边形 ABCD 是正方形,DAD=45,AP=PD,在 RtAPD中,PD2+AP2=AD2 , AD2=16,AP=PD,2PD2=AD2 , 即 2PD2=16,PD=2 , 即 DQ+PQ 的最小值为 2 2 2故选:C137.【答案】D 【解析】【解答】 解:A、延长 AC、BE 交于 S,CAB=EDB=45,ASED,则 SCDE同理 SECD,四边形 SCDE 是平行四边形,SE=CD,DE=CS,即走的路线长是:AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+

17、BS;B、延长 AF、BH 交于 S1 , 作 FKGH 与 BH 的延长线交于点 K,SAB=S1AB=45, SBA=S1BA=70,AB=AB ,SABS1AB,AS=AS1 , BS=BS1 , FGH=1807043=67=GHB,FGKH,FKGH,四边形 FGHK 是平行四边形,FK=GH,FG=KH,AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB,FS1+S1KFK ,AS+BSAF+FK+KH+HB,即 AC+CD+DE+EBAF+FG+GH+HB,14C、 D、同理可证得 AI+IK+KM+MBAS 2+BS2AN+NQ+QP+PB综上所述,D 选项的所走的线路最长故选:D

18、8.【答案】C 【解析】【解答】直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点, A 点的坐标为(4,0 ),B 点的y=34x-3坐标为(0,3),即 OA=4,OB=3,由勾股定理得:AB=5,点 C(0,1 )到直线 的距3x-4y-12=0离是 = ,圆 C 上点到直线 的最大距离是 = ,PAB 面积的最大|30-4-12|32+42 165 y=34x-3 1+165 215值是 = ,故答案为: C125215 2129.【答案】 245【解析】【解答】解:四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC=6,BD=8 , AB= =5,32+42作 E 关于 AC 的对称点 E,作 EF

19、BC 于 F 交 AC 于 P,连接 PE,则 EF 即为 PE+PF 的最小值(垂线段最短), ACBD=ADEF,12EF= ,245PE+PF 的最小值为 245故选答案为 2451510.【 答案】2.4 【解析】【解答】解:四边形 AFPE 是矩形AM= AP,APBC 时,AP 最短,同样 AM 也最短12当 APBC 时,ABP CABAP:AC=AB:BCAP:8=6:10AP 最短时, AP=4.8当 AM 最短时,AM=AP2=2.411.【 答案】 52【解析】【解答】解:设 AP=x,BE=y 如图,四边形 ABCD 是正方形,A=B=90PEDP,2+3=90, 1+

20、2=901=3,ADPBPE, ,即 ,ADBP=APBE 1010-x=xyy= x2+x= (x 5) 2+ ( 0x10);110 110 52当 x=5 时,y 有最大值 52故答案是: 521612.【 答案】 5【解析】【解答】将点 A 作关于 y=x 的对称点为 A(0,1),则连接 AB 与 y=x 的交点就是点 P,根据直角三角形的勾股定理可得 AB= ,即 PA+PB 的最小值5【分析】将点 A 作关于 y=x 的对称点为 A(0,1 ),则连接 AB 与 y=x 的交点就是点 P,根据直角三角形的勾股定理求出 AB 的值,即 PA+PB 的最小值13.【 答案】2 【解析

21、】【解答】解:如图,作直径 AC,连接 CP, CPA=90,AB 是切线,CAAB,PBl,ACPB,CAP=APB,APCPBA, ,APAC=PBPAPA=x, PB=y,半径为 4, ,x8=yxy= x2 , 18xy=x x2= x2+x= (x4 ) 2+2,18 18 18当 x=4 时,xy 有最大值是 2,故答案为:214.【 答案】( 1,1) 17【解析】【解答】解:过 A 作 AD直线 y=x,过 D 作 DEx 轴于 E,则DOA= OAD=EDO=EDA=45,A(2, 0),OA=2,OE=DE=1,D 的坐标为( 1,1 ),即动点 B 在直线 y=x 上运动

22、,当线段 AB 最短时,点 B 的坐标为(1, 1),故答案为:(1 ,1)15.【 答案】 3【解析】【解答】解:由垂线段的性质可知,当 AD 为ABC 的边 BC 上的高时,直径 AD 最短, 如图,连接 OE,OF,过 O 点作 OHEF,垂足为 H,在 RtADB 中, ABC=45,AB=2 ,2AD=BD=2,即此时圆的直径为 2,由圆周角定理可知EOH= EOF=BAC=60,12在 RtEOH 中,EH=OEsinEOH=1 = ,32 32由垂径定理可知 EF=2EH= 3故答案为: 316.【 答案】1 【解析】【解答】解:在 RtABC 中,由勾股定理可知:AC= = =

23、4,AB2-BC2 52-32由轴对称的性质可知:BC=CB=3,CB长度固定不变,18当 AB+CB有最小值时, AB的长度有最小值根据两点之间线段最短可知:A、B、C 三点在一条直线上时,AB有最小值,AB=ACBC=43=1故答案为:117.【 答案】( ) 23-3,2- 3【解析】【解答】解:连接 ED,如图,点 B 的对称点是点 D,DP=BP,ED 即为 EP+BP 最短,四边形 ABCD 是菱形,顶点 B(2,0 ), DOB=60,点 D 的坐标为( 1, ),3点 C 的坐标为(3 , ),3可得直线 OC 的解析式为:y= x,33点 E 的坐标为( 0,1),可得直线 ED 的解析式为:y=(1+ )x1 ,3点 P 是直线 OC 和直线 ED 的交点,点 P 的坐标为方程组 的解,y= 33xy=(1+ 3)x-1解方程组得: ,x=23-3y=2- 3所以点 P 的坐标为( 2 -3 2- ),3 , 3故答案为:(2 -3 2- )3 , 318.【 答案】15cm 【解析】【解答】如图,19将杯子侧面展开,作 A 关于 EF 的对称点 A,连接 AC,则 AC 即为最短距离,AC2=AD2+CD2=92+122=225,CA=15cm答:蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是 15cm故答案为 15cm