1、2019 年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1（3 分）计算 3+（1）的结果是（ ）A2 B2 C3 D32（3 分）从 2019 年起，长春市开始了城市轨道交通第三期建设，在建设规划中未来长春市城市轨道交通总长度将达到 460000 米，460000 这个数字用科学记数法表示为（ ）A4.610 4 B4610 4 C4.610 5 D4.610 63（3 分）下列立体图形中，主视图是矩形的是（ ）A BC D4（3 分）使不等式 2x40 成立的最小整数是（ ）A2 B0 C2 D35（3 分）九章算术是我国古代的数学名著，
2、书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10 尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为 x 尺，则可列方程为（ ）Ax 23（10x） 2 Bx 23 2（10x） 2Cx 2+3（10x ） 2 Dx 2+32（10x ） 26（3 分）如图，直线 l1l 2若172350 ，则2 的大小为（ ）A50 B52 C58 D627（3 分）如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在 A 处设立观测点，与高速公路的距离 AC 为 20 米现测得一辆小轿车从
3、B 处行驶到 C 处所用的时间为 4 秒若BAC ，则此车的速度为（ ）A5tan 米/秒 B80tan 米 /秒C 米/秒 D 米/秒8（3 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B在函数 y （x0）的图象上，若C 60，AB 2，则 k 的值为（ ）A B C1 D2二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）9（3 分）比较大小：2 （填“”、“”或“）10（3 分）计算：6a 63a2 11（3 分）如图，AB 为 O 的直径，PAB 的边 PA， PB 与O 的交点分别为C、D若 ，则P 的大小为 度12（3 分）如
4、图，在 RtABC 中，ACB90，CD 为 AB 边上的中线，过点 A 作AE CD 交 BC 于点 E若 AC2，BC 4，则 AE 的长为 13（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 M、A、B、N 依次在上轴上，点 M、A 的坐标分别是（1，0）、（2，0）以点 A 为圆心，AM 长为半径画弧，再以点 B 为圆心，BN 长为半径画弧，两弧交于点 C，测得MAC120，CBN150则点 N 的横坐标是 14（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 是边长为 2 的正方形 ABCD 的中心函数y（x h） 2 的图象与正方形 ABCD 有公共点，则 h 的取值范围是 三、解答题（本大题共
5、 10 小题，共 78 分）15（6 分）先化简再求值：（ + ） ，其中：x 16（6 分）如图，现有三张不透明的卡片，卡片的正面分别标有字母 A、B、C，每张卡片除字母不同外，其余均相同，将三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记下字母后放回，重新洗匀，再从中随机抽取一张请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的字母相同的概率17（6 分）小欢和小乐一起去超市购买同一种矿泉水和同一种面包，小欢买了 3 瓶矿泉水和 3 个面包共花 21 元钱；小乐买了 4 瓶矿泉水和 5 个面包共花 32.5 元钱求此种矿泉水和面包的单价18（7 分）图、图 均是边长为 1 的小正方形组成的 5X
6、5 的网格，每个小正方形的顶点称为格点线段 AB 的端点均在格点上（1）在图 中作正方形 ABCD，正方形 ABCD 的面积为 （2）在图 中作 RtABM，使点 M 在格点上，且 sinBAM19（7 分）如图，AB 是 O 的直径，点 C、D 在O 上，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 E已知O 的半径为 6，CDB25（1）求E 的度数，（2）求 的长（结果保留 ）20（7 分）某校开展“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，八、九年级各有 200名学生参加竞赛为了解这两个年级参加竞赛学生的成绩情况，从中各随机抽取 20 名学生的成绩，数据如下：八年级 91 89 77 86
7、 7151 97 93 72 9181 92 85 85 9588 88 90 64 91九年级 84 93 66 69 7687 77 82 85 8890 88 67 88 9196 68 97 99 88整理上面数据，得到如下统计表：成绩人数年级50x59 60x69 70x79 80x89 90x1001 1 3 7 80 4 2 8 6样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：统计量年级平均数 中位数 众数 方差八年级 83.85 88 91 127.03九年级 83.95 87.5 m 99.45根据以上信息，回答下列问题：（1）写出上表中众数 m 的值（2）试估计八、九年级这
8、次选拔成绩 80 分以上的人数和（3）你认为哪个年级学生的竞赛成绩较好？说明你的理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）21（8 分）某工地需要利用炸药实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到 300 米以外的安全区域，炸药导火线的长度 y（厘米）与燃烧的时间 x（秒）之间的函数关系如图所示（1）请写出点 B 的实际意义，（2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围（3）问操作人员跑步的速度必须超过多少，才能保证安全22（9 分）已知 ACDC， ACDC，直线 MN 经过点 A，作 DBMN，垂足为 B，连结CB感知如图 ，点 A、B 在 CD 同侧，且点 B
9、 在 AC 右侧，在射线 AM 上截取 AEBD ，连结 CE，可证BCDECA，从而得出 ECBC，ECB90，进而得出ABC 度；探究如图 ，当点 A、B 在 CD 异侧时，感知 得出的ABC 的大小是否改变？若不改变，给出证明；若改变，请求出ABC 的大小应用在直线 MN 绕点 A 旋转的过程中，当 BCD30 ，BD 时，直接写出 BC的长23（10 分）如图 1，在菱形 ABCD 中，B60，AB4点 P 从点 A 出发以每秒 2个单位的速度沿边 AD 向终点 D 运动，过点 P 作 PQAC 交边 AB 于点 Q，过点 P 向上作 PNAC，且 PN PQ，以 PN、PQ 为边作矩
10、形 PQMN设点 P 的运动时间为t（秒），矩形 PQMN 与菱形 ABCD 重叠部分图形的面积为 S（1）用含 t 的代数式表示线段 PQ 的长（2）当点 M 落在边 BC 上时，求 t 的值（3）当 0t1 时，求 S 与 t 之间的函数关系式（4）如图 2，若点 O 是 AC 的中点，作直线 OM当直线 OM 将矩形 PQMN 分成两部分图形的面积比为 1：2 时，直接写出 t 的值24（12 分）在平面直角坐标系中，函数 yax 22ax 4a（x0）的图象记为 M1，函数yax 22ax+4a（x 0）的图象记为 M2，其中 a 为常数，且 a0，图象 M1，M 2，合起来得到的图象
11、记为 M（1）求图象 M1 与 x 轴的交点坐标，（2）当图象 M1 的最低点到 x 轴距离为 3 时，求 a 的值（3）当 a1 时，若点（m， ）在图象 M 上，求 m 的值，（4）点 P、Q 的坐标分别为（ 5，1），（4，1），连结 PQ直接写出线段 PQ与图象 M 有两个交点时 a 的取值范围2019 年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1（3 分）计算 3+（1）的结果是（ ）A2 B2 C3 D3【分析】根据有理数的加法计算解答即可【解答】解：3+（1）2，故选：A【点评】此题考查了有理数的加法，熟练
12、掌握运算法则是解本题的关键2（3 分）从 2019 年起，长春市开始了城市轨道交通第三期建设，在建设规划中未来长春市城市轨道交通总长度将达到 460000 米，460000 这个数字用科学记数法表示为（ ）A4.610 4 B4610 4 C4.610 5 D4.610 6【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 460000 用科学记数法表示为：4.610 5故选：C【点评】此题
13、考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）下列立体图形中，主视图是矩形的是（ ）A BC D【分析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案【解答】解：A此几何体的主视图是等腰三角形；B此几何体的主视图是矩形；C此几何体的主视图是等腰梯形；D此几何体的主视图是圆；故选：B【点评】此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置4（3 分）使不等式 2x40 成立的最小整数是（ ）A2 B0 C2 D3【分析】先求出不等式的解集，再找
14、到最小整数解即可【解答】解：2x40，2x4，x2，则使不等式 2x40 成立的最小整数是 2，故选：C【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，在对于不等式整数解，要先确定未知数的取值范围，再找到满足题意的整数解5（3 分）九章算术是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10 尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为 x 尺，则可列方程为（ ）Ax 23（10x） 2 Bx 23 2（10x） 2Cx 2+3（10x ） 2 Dx 2
15、+32（10x ） 2【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10x）尺，利用勾股定理解题即可【解答】解：设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10x）尺，根据勾股定理得：x 2+32（10x） 2故选：D【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题6（3 分）如图，直线 l1l 2若172350 ，则2 的大小为（ ）A50 B52 C58 D62【分析】利用平行线的性质，三角形的内角和定理解决问题即可【解答】解：如图，l 1l 2，1472，2+3+4180，218034180507258，故选：C【点
16、评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型7（3 分）如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在 A 处设立观测点，与高速公路的距离 AC 为 20 米现测得一辆小轿车从 B 处行驶到 C 处所用的时间为 4 秒若BAC ，则此车的速度为（ ）A5tan 米/秒 B80tan 米 /秒C 米/秒 D 米/秒【分析】由于观测点 A 处与高速公路距离（AC）为 20 米，则ACB90，根据 角的正切函数值先表示 BC 的长，再根据速度路程 时间得到汽车的速度即可【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，BAC ，AC20 米，BCACtanB
17、AC 20tan（米）此车速度20tan45tan 米/ 秒，故选：A【点评】本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键8（3 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B在函数 y （x0）的图象上，若C 60，AB 2，则 k 的值为（ ）A B C1 D2【分析】先根据菱形的性质求出 B 点坐标，再把 B 点坐标代入反比例函数的解析式即可得出 k 的值【解答】解：菱形 OABC 中，C60，AB 2，CD OC1，OD OC ，BD1，B（1， ），顶点 B 在函数 y （x 0 ）的图象上，k1 故选：B【点评】本题考查的是
18、反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式，同时也考查了菱形的性质，求出点 B 的坐标是解题的关键二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）9（3 分）比较大小：2 （填“”、“”或“）【分析】根据无理数的逐步逼近的方法，去判断 ，于是可知 2 3，即可判断正确答案【解答】解： ，2 32故答案为【点评】本题考查的是实数的大小比较，关键是要对无理数进行准确的近似判断，学会运用逐步逼近法是解题的重点10（3 分）计算：6a 63a2 3a 4 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案【解答】解：6a 63a23a 4故答案为：3a
19、4【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键11（3 分）如图，AB 为 O 的直径，PAB 的边 PA， PB 与O 的交点分别为C、D若 ，则P 的大小为 60 度【分析】连接 OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到AOCCODDOB60，根据等边三角形的性质解答【解答】解：连接 OC、OD， ，AOCCODDOB60，OAOC，OBOD，AOC 和BOD 都是等边三角形，A60，B60，P60，故答案为：60【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等12（3 分）如图
20、，在 RtABC 中，ACB90，CD 为 AB 边上的中线，过点 A 作AE CD 交 BC 于点 E若 AC2，BC 4，则 AE 的长为 【分析】根据直角三角形的性质得到 ADCDBD ，根据等腰三角形的性质得到ACDCAD，DCBB，根据余角的性质得到CAEB，根据三角函数的定义即可得到结论【解答】解：ACB90，CD 为 AB 边上的中线，ADCDBD，ACDCAD，DCBB，AECD，CAE+ ACDB+CAD 90，CAEB，tanCAE tanB， ， ，CE1，AE ，故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，余角的性质，等腰三角形的性
21、质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键13（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 M、A、B、N 依次在上轴上，点 M、A 的坐标分别是（1，0）、（2，0）以点 A 为圆心，AM 长为半径画弧，再以点 B 为圆心，BN 长为半径画弧，两弧交于点 C，测得MAC120，CBN150则点 N 的横坐标是 （4+ ，0） 【分析】根据含 30的直角三角形的性质和坐标特点解答即可【解答】解：MAC120，CAB60，CBN 150 ，ABC30，C90，MAAC2 11，AB2AC2 ，BC ，ON1+1+2+ 4+ ，点 N 的坐标为（4+ ，0），故答案为：（4+ ，0），【点评】此题考查坐标
22、与图形，关键是根据含 30的直角三角形的性质和坐标特点解答14（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 是边长为 2 的正方形 ABCD 的中心函数y（x h） 2 的图象与正方形 ABCD 有公共点，则 h 的取值范围是 2h2 【分析】由于函数 y（x h） 2 的图象为开口向上，顶点在 x 轴上的抛物线，故可先分别得出点 A 和点 B 的坐标，因为这两个点为抛物线与与正方形 ABCD 有公共点的临界点，求出即可得解【解答】解：点 O 是边长为 2 的正方形 ABCD 的中心，点 A 和点 B 坐标分别为（1，1）和（1，1），函数 y（xh） 2 的图象为开口向上，顶点在 x 轴上的抛
23、物线，其图象与正方形 ABCD 有公共点的临界点为点 A 和点 B，把点 B 坐标代入 y（x h） 2，得 1（1h） 2h0（舍）或 h2；把点 A 坐标代入 y（x h） 2，得 1（1h） 2h0（舍）或 h2函数 y（xh） 2 的图象与正方形 ABCD 有公共点，则 h 的取值范围是2h2故答案为：2h2【点评】本题考查二次函数图象与正方形交点的问题，需要先判断抛物线的开口方向，顶点位置及抛物线与正方形二者的临界交点，需要明确临界位置及其求法三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分）15（6 分）先化简再求值：（ + ） ，其中：x 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解
24、答】解：原式 当 x 时，原式3 ；【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型16（6 分）如图，现有三张不透明的卡片，卡片的正面分别标有字母 A、B、C，每张卡片除字母不同外，其余均相同，将三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记下字母后放回，重新洗匀，再从中随机抽取一张请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的字母相同的概率【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两次抽出的卡片上的字母相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案【解答】解：根据题意列表如下：A B CA AA BA CAB AB BB CBC AC BC CC共有 9 种等可
25、能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有 3 种情况，所以 P（两次抽出的卡片上的字母相同） 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验17（6 分）小欢和小乐一起去超市购买同一种矿泉水和同一种面包，小欢买了 3 瓶矿泉水和 3 个面包共花 21 元钱；小乐买了 4 瓶矿泉水和 5 个面包共花 32.5 元钱求此种矿泉水和面包的单价【分析】设每瓶矿泉水 x 元，每个面包 y 元，根据“小欢买了 3 瓶矿泉水和 3 个面包共花 21 元钱；小乐买
26、了 4 瓶矿泉水和 5 个面包共花 32.5 元钱”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论【解答】解：设每瓶矿泉水 x 元，每个面包 y 元，依题意，得： ，解得： 答：每瓶矿泉水 2.5 元，每个面包 4.5 元【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键18（7 分）图、图 均是边长为 1 的小正方形组成的 5X5 的网格，每个小正方形的顶点称为格点线段 AB 的端点均在格点上（1）在图 中作正方形 ABCD，正方形 ABCD 的面积为 10 （2）在图 中作 RtABM，使点 M 在格点上，且 sinBAM【分析】（1）根据
27、正方形的性质画出图形，利用勾股定理解答即可；（2）根据三角函数解答即可【解答】解：（1）如图所示：正方形 ABCD 即为所求：正方形 ABCD 的面积 ，故答案为：10（2）如图 所示： ABM 即为所求：【点评】此题主要考查了作图与应用设计，关键是正确掌握正方形的面积计算公式，掌握三角形正弦的定义19（7 分）如图，AB 是 O 的直径，点 C、D 在O 上，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 E已知O 的半径为 6，CDB25（1）求E 的度数，（2）求 的长（结果保留 ）【分析】（1）连接切点和圆心，构造直角三角形，利用圆周角定理先求出COB 的度数，即可求出E；（2）利用弧长
28、公式即可解决问题【解答】解：（1）如图，连结 OCCE 是O 的切线，OCCEOCE90 COB2CDB，CDB25，COB50E40（2）COE50，半径为 6，的长为 【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形两个锐角互余及弧长公式，连接切点和圆心是解题的关键20（7 分）某校开展“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，八、九年级各有 200名学生参加竞赛为了解这两个年级参加竞赛学生的成绩情况，从中各随机抽取 20 名学生的成绩，数据如下：八年级 91 89 77 86 7151 97 93 72 9181 92 85 85 9588 88 90 64 91九年级 84 93 6
29、6 69 7687 77 82 85 8890 88 67 88 9196 68 97 99 88整理上面数据，得到如下统计表：成绩人数年级50x59 60x69 70x79 80x89 90x1001 1 3 7 80 4 2 8 6样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：统计量年级平均数 中位数 众数 方差八年级 83.85 88 91 127.03九年级 83.95 87.5 m 99.45根据以上信息，回答下列问题：（1）写出上表中众数 m 的值（2）试估计八、九年级这次选拔成绩 80 分以上的人数和（3）你认为哪个年级学生的竞赛成绩较好？说明你的理由（至少从两个不同的角度说明推
30、断的合理性）【分析】（1）根据众数的定义直接解答即可；（2）先求出在随机抽取 20 名学生的成绩中 80 分以上的人数所占的百分比，再乘以总人数，即可得出答案；（3）根据给出的平均数和方差分别进行分析，即可得出答案【解答】解：（1）88 出现了 4 次，出现的次数最多，众数 m 的值为 88（2）根据题意得：（7+8+8+6）20200290（人）答：估计八、九年级这次选拔成绩 80 分以上的人数和约为 290 人（3）我认为九年级学生的竞赛成绩比较好，理由如下：九年级学生竞赛成绩的平均数较高，表示九年级竞赛成绩较好；九年级学生竞赛成绩的方差小，表示九年级学生竞赛成绩比较集中，整体水平较好【点
31、评】此题考查了频（数）率分布表，利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题此题还考查了方差、平均数、中位数和众数的定义21（8 分）某工地需要利用炸药实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到 300 米以外的安全区域，炸药导火线的长度 y（厘米）与燃烧的时间 x（秒）之间的函数关系如图所示（1）请写出点 B 的实际意义，（2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围（3）问操作人员跑步的速度必须超过多少，才能保证安全【分析】（1）直接根据图象，解答即可；（2）根据待定系数法，即可求得 y 与 x 的函数关系式；（3）根据操作人员
32、跑步的路程大于 300，列出不等式，求解即可【解答】解：（1）导火线燃烧尽需要 75 秒；（2）设 y 与 x 之间的函数关系式为：y kx+ b（k 0），将（75，0）和（0，90）代入 ykx+b，得： ，解得： ，y 与 x 的函数关系式为：y （0x75）；（3）设操作人员跑步的速度为 a 米/秒，根据题意得：75a300，解得 a4，操作人员跑步的速度必须超过 4 米/秒，才能保证安全【点评】本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解决第（3）小题的关键是操作人员跑步的路程大于 300 米22（9 分）已知 ACDC， ACDC，直线 MN 经过点 A，作 DBMN，垂足
33、为 B，连结CB感知如图 ，点 A、B 在 CD 同侧，且点 B 在 AC 右侧，在射线 AM 上截取 AEBD ，连结 CE，可证BCDECA，从而得出 ECBC，ECB90，进而得出ABC 45 度；探究如图 ，当点 A、B 在 CD 异侧时，感知 得出的ABC 的大小是否改变？若不改变，给出证明；若改变，请求出ABC 的大小应用在直线 MN 绕点 A 旋转的过程中，当 BCD30 ，BD 时，直接写出 BC的长【分析】感知证明BCDECA（SAS） 即可解决问题探究结论不变，证明BCDECA（SAS） 即可解决问题应用分两种情形分别求解即可解决问题【解答】解：【感知】，如图 1 中，在射
34、线 AM 上截取 AEBD ，连结 CEACDC，DBMN，ACDDBA90CDB+CAB180，CAB+ CAE180DCAE，CDAC ，AE BD ，BCDECA（SAS），BCEC，BCDECA，ACE+ ECD90，ECD+DCB90，即ECB90，ABC45故答案为 45【探究】不改变理由如下：如图，如图 2 中，在射线 AN 上截取 AEBD ，连接 CE，设 MN 与 CD 交于点 OACDC，DBMN，ACDDBA90，AOCDOB，DEAC，CDAC，BCDECA（SAS），BCEC，BCDECA，ACE+ ECD90，ECD+DCB90，即ECB90，ABC45【拓展】如
35、图1 中，连接 ADACD+ABD180，A，C，D，B 四点共圆，DABDCB30，AB BD ，EBAE+AB + ，ECB 是等腰直角三角形，BC +1如图 中，同法可得 BC 1综上所述，BC 的长为 +1 或 1【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题23（10 分）如图 1，在菱形 ABCD 中，B60，AB4点 P 从点 A 出发以每秒 2个单位的速度沿边 AD 向终点 D 运动，过点 P 作 PQAC 交边 AB 于点 Q，过点 P 向上作 P
36、NAC，且 PN PQ，以 PN、PQ 为边作矩形 PQMN设点 P 的运动时间为t（秒），矩形 PQMN 与菱形 ABCD 重叠部分图形的面积为 S（1）用含 t 的代数式表示线段 PQ 的长（2）当点 M 落在边 BC 上时，求 t 的值（3）当 0t1 时，求 S 与 t 之间的函数关系式（4）如图 2，若点 O 是 AC 的中点，作直线 OM当直线 OM 将矩形 PQMN 分成两部分图形的面积比为 1：2 时，直接写出 t 的值【分析】（1）由菱形性质得D B60，AD ABCD4，ACD 是等边三角形，证出APQ 是等腰三角形，得出 PFQF，PFPAsin60 ，即可得出结果；（2
37、）当点 M 落在边 BC 上时，由题意得：PDN 是等边三角形，得出 PDPN，由已知得 PN PQ3t，得出 PD3t，由题意得出方程，解方程即可；（3）当 0t 时，PQ2 t，PN PQ3t ，S矩形 PQMN 的面积PQPN，即可得出结果；当 t1 时， PDN 是等边三角形，得出PEPD ADPA42t，FENPED60，得出 NEPNPE5t4，FNNE （5t4），S矩形 PQMN 的面积2EFN 的面积，即可得出结果；（4）分两种情况：当 0t 时，ACD 是等边三角形，ACAD4，得出OA2，OG 是 MNH 的中位线，得出 OG4t 2，NH 2OG8t4，由面积关系得出方
38、程，解方程即可；当 t2 时，由平行线得出OEF MEQ ，得出 ，即 ，解得 EF ，得出 EQ t+ ，由三角形面积关系得出方程，解方程即可【解答】解：（1）在菱形 ABCD 中，B60，DB60，ADABCD4，ACD 是等边三角形，CAD60，PQAC，APQ 是等腰三角形，PFQF ，PFPAsin60 2t ，PQ2 t；（2）当点 M 落在边 BC 上时，如图 2 所示：由题意得：PDN 是等边三角形，PDPN，PN PQ 2 t3t，PD3t，PA+PDAD，即 2t+3t4，解得：t （3）当 0t 时，如图 1 所示：PQ2 t，PN PQ 2 t3t，S矩形 PQMN 的
39、面积PQPN 2 t3t6 t2；当 t1 时，如图 3 所示：PDN 是等边三角形，PEPD ADPA42t，FENPED60，NEPNPE3t（42 t）5t 4，FN NE （5t4），S矩形 PQMN 的面积2 EFN 的面积6 t22 （5t4） 219t 2+40t16 ，即 S19t 2+40 t16 ；（4）分两种情况：当 0t 时，如图 4 所示：ACD 是等边三角形，ACAD4，O 是 AC 的中点，OA2，OG 是MNH 的中位线，OG3t（2t）4t2 ，NH2OG8t 4，MNH 的面积 MNNH 2 t（8t 4） 6 t2，解得：t ；当 t2 时，如图 5 所示
40、：ACQM ，OEFMEQ， ，即 ，解得：EF ，EQ t+ ，MEQ 的面积 3t（ t+ ） 6 t2，解得：t ；综上所述，当直线 OM 将矩形 PQMN 分成两部分图形的面积比为 1：2 时，t 的值为或 【点评】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握菱形和矩形的性质，综合运用知识，进行分类讨论是解题的关键24（12 分）在平面直角坐标系中，函数 yax 22ax 4a（x0）的图象记为 M1，函数yax 22ax+4a（x 0）的图象记为 M2，其中 a
41、为常数，且 a0，图象 M1，M 2，合起来得到的图象记为 M（1）求图象 M1 与 x 轴的交点坐标，（2）当图象 M1 的最低点到 x 轴距离为 3 时，求 a 的值（3）当 a1 时，若点（m， ）在图象 M 上，求 m 的值，（4）点 P、Q 的坐标分别为（ 5，1），（4，1），连结 PQ直接写出线段 PQ与图象 M 有两个交点时 a 的取值范围【分析】（1）令 M1 的函数值等于 0，即求出 x 的两个解，取正数解（2）因为提到“最低点”，所以函数图象 M1 对应的抛物线开口向上，a0，令顶点纵坐标3 即求出 a 的值（3）把点在图象 M1 或图象 M2 进行分类讨论，把 a1 和
42、 y 代入解析式即求出 m的值（4）把 a0 和 a0 时图象 M 的大致草图画出，根据图象观察和计算说明线段 PQ 所在位置对交点个数的影响，得到 a 的范围【解答】解：（1）当 ax22ax4a0 时，a0，x 22x40解得：x 11+ ，x 21x0，图象 M1 与 x 轴的交点坐标为（1+ ，0）（2）yax 22ax 4aa （x1） 25a，且图象 M1 的最低点到 x 轴距离为 3a0，| 5a|3，即 5a3a（3）当 a1 时，点（m， ）在图象 M 上，若点在图象 M1 上，即 m0，解得：m 11+ ，m 21 （舍去）若点在图象 M2 上，即 m0，解得：m 31+
43、（舍去），m 41综上所述，m 的值为 1+ 或1（4）若 a0，则图象 M 的大致形状如图 1，若线段 PQ 经过图象 M1 的顶点（1，5a）则5a1，得 a对于图象 M2， x2 x+ 1 时，解得：x 11+ （舍去），x 211 5直线 PQ 与图象 M2 的交点在点 P 的右侧线段 PQ 与图象 M2 有一个交点a 时，线段 PQ 与图象 M 有两个交点若线段 PQ 比图象 M1 与 y 轴交点高时，如图 2，则4a1，解得：a若 a0，则图象 M 的大致形状如图 3，若线段 PQ 经过 M2 与 y 轴交点时，4a1 得 a ，对于图象 M1， x2+ x+11 时，解得：x 12（舍去），x 24，即此时线段 PQ 与图象 M1 交点为 Q（4，1），当线段 PQ 比图象 M2 与 y 轴交点低时，与图象 M2 有两个交点，与图象 M1 没有交点，最低不得低过图象 M2 的顶点（ 1，5a），5a1，解得：a ，综上所述，线段 PQ 与图象 M 有两个交点时，a 或 a 或 a【点评】本题考查了二次函数图象与性质，一元一次方程、一元二次方程的解法，数形结合和分类讨论是解决本题的关键