1、2019 年浙江省杭州市滨江区、拱墅区中考数学一模试卷一.选择题：本大题有 10 小题，每小题 3 分，共计 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3 分）下列各数中，比3 小的数是（ ）A1 B4 C0 D22（3 分）截至到 2019 年 2 月 19 日，浙江省的注册志愿者人数达到 14480000 人，数据14480000 用科学记数法表示为（ ）A1.448 7 B1.44810 4 C1.44810 6 D1.44810 73（3 分）下列计算正确的是（ ）Aa 2+a3a 5 Ba 2a3a 6 C（a 2） 3a 6 D（ab） 2ab 24（3 分
2、）某市连续 10 天的最低气温统计如下（单位：）：4，5，4，7，7，8，7，6，5，7，该市这 10 天的最低气温的中位数是（ ）A6 B6.5 C7 D7.55（3 分）一只布袋里装有 4 个只有颜色不同的小球，其中 3 个红球，1 个白球，小敏和小丽依次从中任意摸出 1 个小球，则两人摸出的小球颜色相同的概率是（ ）A B C D6（3 分）某校开展丰富多彩的社团活动，每位同学可报名参加 12 个社团，现有 25 位同学报名参加了书法社或摄影社，已知参加摄影社的人数比参加书法社的人数多 5 人，两个社团都参加的同学有 12 人设参加书法社的同学有 x 人，则（ ）Ax+（x5）25 Bx
3、+（x+5）+1225Cx+（x+5）1225 Dx+（x+5 ）24257（3 分）今年寒假期间，小芮参观了中国扇博物馆，如图是她看到的折扇和团扇已知折扇的骨柄长为 30cm，扇面的宽度为 18cm，某扇张开的角度为 120，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为（ ）cmA6 B8 C6 D88（3 分）已知二次函数 yax 2+（a+2）x1（a 为常数，且 a0），（ ）A若 a0，则 x1，y 随 x 的增大而增大B若 a0，则 x1，y 随 x 的增大而减小C若 a0，则 x1，y 随 x 的增大而增大D若 a0，则 x1，y 随 x 的增大而减小9（3 分）如图，将矩形纸片
4、ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形EFGH，设 ABa，BCb，若 AH1，则（ ）Aa 24b4 Ba 24b+4 Ca2b1 Da2b+1二、填空题：本大题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）10（4 分）计算：| | 11（4 分）因式分解：a 34a 12（4 分）如图，AB 是 O 的直径，CP 切O 于点 C，交 AB 的延长线于点 P，若P20 ，则A 13（4 分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成 60角时，梯子顶端距离地面 2 米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成 45，则小巷的宽度为 米（
5、结果保留根号）14（4 分）已知一次函数 yax+b，反比例函数 y ，（a，b，k 是常数，且 ak0），若其中一部分 x，y 的对应值如下表所示；则不等式 ax+b 的解集是 x 4 3 2 1 1 2 3 4yax+b 3 2 1 0 2 3 4 5y 2 3 6 6 3 215（4 分）在ABC 中，ABAC ，CD 是 AB 边上的中线，点 E 在边 AC 上（不与 A，C重合），且 BECD设 k，若符合条件的点 E 有两个，则 k 的取值范围是 三.解答题：本大题有 7 个小题，共计 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（6 分）先化简，再求值：（2a）（3+a
6、）+（a5） 2，其中 a417（8 分）为了解八年级学生的户外活动情况，某校随机调查了该年级部分学生双休日户外活动的时间（单位：小时），调查结果按 01，12，23，34（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）分为四个等级，并依次用 A，B，C，D 表示，调查人员整理数据并绘制了如图所示的不完整的统计图，请根据所给信息解答下列问题（1）求本次调查的学生人数；（2）求等级 D 的学生人数，并补全条形统计图；（3）该年级共有 600 名学生，估计该年级学生双休日户外活动时间不少于 2 小时的人数18（8 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ACDB，DEBC（1）求证：
7、ADEACD；（2）若 DE6，BC10，求线段 CD 的长19（10 分）为了清洗水箱，需先放掉水箱内原有的存水，如图是水箱剩余水量 y（升）随放水时间 x（分）变化的图象（1）求 y 关于 x 的函数表达式，并确定自变量 x 的取值范围；（2）若 8：00 打开放水龙头，估计 8：559：10（包括 8：55 和 9：10）水箱内的剩水量（即 y 的取值范围）；（3）当水箱中存水少于 10 升时，放水时间至少超过多少分钟？20（10 分）如图 1，点 C、 D 是线段 AB 同侧两点，且 ACBD，CABDBA，连接BC，AD 交于点 E（1）求证：AEBE ；（2）如图 2，ABF 与A
8、BD 关于直线 AB 对称，连接 EF判断四边形 ACBF 的形状，并说明理由；若 DAB30，AE5，DE3，求线段 EF 的长21（12 分）设二次函数 y1ax 2+bx+a5（a，b 为常数，a0），且 2a+b3（1）若该二次函数的图象过点（1，4），求该二次函数的表达式；（2）y 1 的图象始终经过一个定点，若一次函数 y2kx+b（k 为常数，k0）的图象也经过这个定点，探究实数 k，a 满足的关系式；（3）已知点 P（x 0，m）和 Q（1，n）都在函数 y1 的图象上，若 x01，且 mn，求x0 的取值范围（用含 a 的代数式表示）22（12 分）如图，AB 是 O 的直径
9、，弦 CDAB 于点 E，G 是弧 AC 上一点，AG，DC的延长线交于点 F，连接 AD，GD，GC（1）求证：ADGF ；（2）已知 AECD，BE 2求O 的半径长；若点 G 是 AF 的中点，求CDG 与ADG 的面积之比2019 年浙江省杭州市滨江区、拱墅区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题有 10 小题，每小题 3 分，共计 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3 分）下列各数中，比3 小的数是（ ）A1 B4 C0 D2【分析】根据 0 大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答【解答】解：43102，比3 小的数是4，故选：
10、B【点评】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记 0 大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小2（3 分）截至到 2019 年 2 月 19 日，浙江省的注册志愿者人数达到 14480000 人，数据14480000 用科学记数法表示为（ ）A1.448 7 B1.44810 4 C1.44810 6 D1.44810 7【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：数据 14480
11、000 用科学记数法表示为 1.448107故选：D【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）下列计算正确的是（ ）Aa 2+a3a 5 Ba 2a3a 6 C（a 2） 3a 6 D（ab） 2ab 2【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案【解答】解：A、a 2+a3，无法计算，故此选项错误；B、a 3a2a 5，故此选项错误；C、（a 2） 3a 6，正确；D、（ab） 2a 2b2，故此选项错误；故选：C【点评
12、】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键4（3 分）某市连续 10 天的最低气温统计如下（单位：）：4，5，4，7，7，8，7，6，5，7，该市这 10 天的最低气温的中位数是（ ）A6 B6.5 C7 D7.5【分析】由于 10 天天气，根据数据可以知道中位数是按从小到大排序，第 5 个与第 6个数的平均数【解答】解：10 天的气温排序为：4，4，5，5，6，7，7，7，7，8，中位数为： 6.5，故选：B【点评】本题属于基础题，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排
13、好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数5（3 分）一只布袋里装有 4 个只有颜色不同的小球，其中 3 个红球，1 个白球，小敏和小丽依次从中任意摸出 1 个小球，则两人摸出的小球颜色相同的概率是（ ）A B C D【分析】画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再两人摸出的小球颜色相同的结果数然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图如下：，一共 12 种可能，两人摸出的小球颜色相同的有 6 种情况，所以两人摸出的小球颜色相同的概率是 ，故选：B【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率解题的关键是要注意是放回
14、实验还是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比6（3 分）某校开展丰富多彩的社团活动，每位同学可报名参加 12 个社团，现有 25 位同学报名参加了书法社或摄影社，已知参加摄影社的人数比参加书法社的人数多 5 人，两个社团都参加的同学有 12 人设参加书法社的同学有 x 人，则（ ）Ax+（x5）25 Bx+（x+5）+1225Cx+（x+5）1225 Dx+（x+5 ）2425【分析】设参加书法社的同学有 x 人，则参加摄影社的同学有（x+5）人，由参加社团活动的总人数参加书法社的人数+参加摄影社的人数重合部分的人数，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解【解答】解：设参
15、加书法社的同学有 x 人，则参加摄影社的同学有（x+5）人，依题意，得：x+（x +5）1225故选：C【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键7（3 分）今年寒假期间，小芮参观了中国扇博物馆，如图是她看到的折扇和团扇已知折扇的骨柄长为 30cm，扇面的宽度为 18cm，某扇张开的角度为 120，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为（ ）cmA6 B8 C6 D8【分析】设团扇的半径为 xcm构建方程即可解决问题【解答】解：设团扇的半径为 xcm由题意 （30 212 2）x 2，解得 x6 或6 （舍弃），团扇的半径为 6 cm故选
16、：A【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型8（3 分）已知二次函数 yax 2+（a+2）x1（a 为常数，且 a0），（ ）A若 a0，则 x1，y 随 x 的增大而增大B若 a0，则 x1，y 随 x 的增大而减小C若 a0，则 x1，y 随 x 的增大而增大D若 a0，则 x1，y 随 x 的增大而减小【分析】根据题意利用抛物线的对称轴公式列出表达式，根据 a 的取值范围分析判断抛物线的增减性即可【解答】解：yax 2+（a+2）x1 对称轴直线为，x 由 a0 得， 0 1又a0抛物线开口向下故当 x 时，y 随 x 增大而增大又x1 时
17、，则一定有 x 若 a0，则 x1，y 随 x 的增大而增大故选：C【点评】本题考查了二次函数的图象及性质与不等式组解集的确定9（3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形EFGH，设 ABa，BCb，若 AH1，则（ ）Aa 24b4 Ba 24b+4 Ca2b1 Da2b+1【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形 EFGH 为矩形，根据矩形的性质得到 EHFG ，A B DC90，根据余角的性质得到 AEHCGF，根据全等三角形的性质得到 CFAH1，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：HEMAEH，BEFFEM，HEFHEM
18、+FEM 18090，同理可得：EHGHGF EFG 90，四边形 EFGH 为矩形，EHFG ，四边形 ABCD 是矩形，AB DC90，AEH+AHE AHE +DHGDHG+DGHDGH +CGF90，AEHCGF，AEHCGF（AAS ），CFAH1，AEHBFE， ，由折叠的性质的，AEEJ BE AB a， ，a 24b4，故选：A【点评】标题叫出来翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键二、填空题：本大题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）10（4 分）计算：| | 【分析】根据负数的绝对值是
19、它的相反数，可得答案【解答】解：| | ，故答案为： 【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数11（4 分）因式分解：a 34a a（a+2）（a2） 【分析】首先提取公因式 a，进而利用平方差公式分解因式得出即可【解答】解：a 34aa（a 24）a（a+2）（a2）故答案为：a（a+2）（a2）【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键12（4 分）如图，AB 是 O 的直径，CP 切O 于点 C，交 AB 的延长线于点 P，若P20 ，则A 35 【分析】连接 OC，利用切线的性质和三角形内角和得出COP 的度数，进而利
20、用等腰三角形的性质得出A 的度数即可【解答】解：连接 OC，CP 切O 于点 C，P 20，OCP90，COP70，OAOC，OCAA ，故答案为：35【点评】本题考查了切线的性质，关键是利用切线的性质和三角形内角和得出COP 的度数13（4 分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成 60角时，梯子顶端距离地面 2 米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成 45，则小巷的宽度为 2+2 米（结果保留根号）【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分，再加起来即可先在直角三角形 ABC中，用正切和正弦，分别求出 BC 和 AC（即梯子的长度），然后再在直角三
21、角形 DCE中，用DCE 的余弦求出 DC，然后把 BC 和 DC 加起来即为巷子的宽度【解答】解：如图所示：AB 米，ACB60，DCE45，ACCE则在直角三角形 ABC， ， ，直角三角形 DCE 中，CE AC4， ， ，故答案为：【点评】本题需要综合应用正切、正弦余弦来求解，注意梯子长度不变，属于中档题14（4 分）已知一次函数 yax+b，反比例函数 y ，（a，b，k 是常数，且 ak0），若其中一部分 x，y 的对应值如下表所示；则不等式 ax+b 的解集是 x2 或0x2， x 4 3 2 1 1 2 3 4yax+b 3 2 1 0 2 3 4 5y 2 3 6 6 3 2
22、【分析】根据图表，求出反比例函数和一次函数的交点，然后交点以及表格中的对应函数值，即可求出 ax+b 的解【解答】解：根据表格可得：当 x3 和 x2 时，两个函数值相等，因此 yax+b 和 y 的交点为：（ 3，2），（2，3），根据点的图表即可得出：要使 ax+b 的解为：x2 或 0x2故答案为：x2 或 0x 2【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数交点的问题，熟悉一次函数和反比例函数的性质是解答此题的关键15（4 分）在ABC 中，ABAC ，CD 是 AB 边上的中线，点 E 在边 AC 上（不与 A，C重合），且 BECD设 k，若符合条件的点 E 有两个，则 k 的取值范
23、围是 1k 【分析】符合条件的点 E 有两个 E、E 1，则 AC 边上的高垂直平分 EE1，由等腰三角形的性质得出 BE 是中线，AE CE，求出当 CDAB 时，BEAC，满足条件的点 E 有一个，此时ABC 是等边三角形，ABBC ， 1；当满足条件的一个点 E1 与点 C 重合时，BEBC，证明 BCE ABC，得出 ，求出 AB BC，得出 ；即可得出结果【解答】解：如图所示：设 k，若符合条件的点 E 有两个 E、E 1，则 AC 边上的高垂直平分 EE1，ABAC，CD 是 AB 边上的中线，BECD，BE 是中线，AE CE，当 CDAB 时，BE AC，满足条件的点 E 有一
24、个，此时ABC 是等边三角形，ABBC ， 1；当满足条件的一个点 E1 与点 C 重合时，BE BC ，BCEBEC，ABAC，ABCACB，BCEBECABC ACB ，BCEABC， ，BC 2ABCE AB2，AB BC， ；综上所述，设 k，若符合条件的点 E 有两个，则 k 的取值范围是 1k ；故答案为：1k 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的中线；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键三.解答题：本大题有 7 个小题，共计 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（6 分）先化简，再求值：（2a）（
25、3+a）+（a5） 2，其中 a4【分析】根据多项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将 a 的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（2a）（3+a）+（a5） 26+2a3aa 2+a210a+2511a+31，当 a4 时，原式114+3144+3113【点评】本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法17（8 分）为了解八年级学生的户外活动情况，某校随机调查了该年级部分学生双休日户外活动的时间（单位：小时），调查结果按 01，12，23，34（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）分为四个等级，并依次用 A，B，C，D 表示，调查人员整理数
26、据并绘制了如图所示的不完整的统计图，请根据所给信息解答下列问题（1）求本次调查的学生人数；（2）求等级 D 的学生人数，并补全条形统计图；（3）该年级共有 600 名学生，估计该年级学生双休日户外活动时间不少于 2 小时的人数【分析】（1）依据 C 等级的人数以及百分比，即可得到本次调查的学生人数；（2）依据 B 等级的百分比即可得到 B 等级的人数，进而得出 D 等级的人数；（3）依据 C，D 等级人数所占的百分比之和，即可估计该年级学生双休日户外活动时间不少于 2 小时的人数【解答】解：（1）本次调查的学生人数为 2040%50（人）；（2）B：5030%15（人）， D：50915206
27、（人）；如图所示：（3）该年级学生双休日户外活动时间不少于 2 小时的人数为：600312（人）【点评】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系18（8 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ACDB，DEBC（1）求证：ADEACD；（2）若 DE6，BC10，求线段 CD 的长【分析】（1）由 DEBC 可得ADEB，ACDB，则ADEACD，结论得证；（2）可证CDEBCD，由比例线段可求出线段 CD 的长【解答】（1）证明：DE BCADEB，ACDB，ADEACD，DAECAD，ADEACD；（2）解：DEB
28、C，BCDEDC，BDCE，CDEBCD， ， ，CD2 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键19（10 分）为了清洗水箱，需先放掉水箱内原有的存水，如图是水箱剩余水量 y（升）随放水时间 x（分）变化的图象（1）求 y 关于 x 的函数表达式，并确定自变量 x 的取值范围；（2）若 8：00 打开放水龙头，估计 8：559：10（包括 8：55 和 9：10）水箱内的剩水量（即 y 的取值范围）；（3）当水箱中存水少于 10 升时，放水时间至少超过多少分钟？【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；（2
29、）根据题意和（1）中的函数关系式可以求得 y 的取值范围；（3）根据题意可以的关于 x 的不等式，从而可以解答本题【解答】解：（1）设 y 关于 x 的函数表达式为 ykx+ b，得 ，即 y 关于 x 的函数表达式为 y1.25x+225，当 y0 时，x180，即 y 关于 x 的函数表达式为 y1.25x+225（0x180）；（2）当 x55 时，y 1.2555+225156.25，当 x70 时，y1.2570+225137.5，即 8：00 打开放水龙头，8：559：10（包括 8：55 和 9：10）水箱内的剩水量为：137.5y156.25；（3）令1.25x+22510，解
30、得，x172，即当水箱中存水少于 10 升时，放水时间至少超过 172 分钟【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答20（10 分）如图 1，点 C、 D 是线段 AB 同侧两点，且 ACBD，CABDBA，连接BC，AD 交于点 E（1）求证：AEBE ；（2）如图 2，ABF 与ABD 关于直线 AB 对称，连接 EF判断四边形 ACBF 的形状，并说明理由；若 DAB30，AE5，DE3，求线段 EF 的长【分析】（1）利用 SAS 证ABCBAD 可得（2） 根据题意知： ACBDBF，并由内错角相等可得 ACBF，所以由一组对边
31、平行且相等的四边形是平行四边形，可得结论；如图 2，作辅助线，证明 ADF 是等边三角形，得 ADAB3+58，根据等腰三角形三线合一得 AMDM 4，最后利用勾股定理可得 FM 和 EF 的长【解答】（1）证明：在ABC 和BAD 中， ，ABCBAD（SAS），CBADAB，AEBE；（2）解： 四边形 ACBF 为平行四边形；理由是：由对称得：DABFAB，ABDABFCAB，BD BF，ACBF，ACBDBF ，四边形 ACBF 为平行四边形；如图 2，过 F 作 FMAD 于，连接 DF，DABFAB，FAB DAB30，ADAF，ADF 是等边三角形，ADAB3+58，FMAD ，
32、AMDM4，DE3，ME1，RtAFM 中，由勾股定理得：FM 4 ，EF 7【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定的性质、等边三角形的性质和判定，勾股定理，本题中最后一问，有难度，恰当地作辅助线是解题的关键21（12 分）设二次函数 y1ax 2+bx+a5（a，b 为常数，a0），且 2a+b3（1）若该二次函数的图象过点（1，4），求该二次函数的表达式；（2）y 1 的图象始终经过一个定点，若一次函数 y2kx+b（k 为常数，k0）的图象也经过这个定点，探究实数 k，a 满足的关系式；（3）已知点 P（x 0，m）和 Q（1，n）都在函数 y1 的图象上，若 x01，且
33、mn，求x0 的取值范围（用含 a 的代数式表示）【分析】（1）将点（1，4），即可求该二次函数的表达式（2）将 2a+b3 代入二次函数 yax 2+bx+a5（a，b 为常数，a0）中，整理得y1ax 2+（32a）x+a32（axa+3）（x1）2，可知恒过点（1，2），代入一次函数 y2kx+b（k 为常数，k0）即可求实数 k，a 满足的关系式（3）通过 y1ax 2+（32a）x +a5，可求得对称轴为 x ，因为 x01，且mn，所以只需判断对称轴的位置即可求 x0 的取值范围【解答】解：（1）函数 y1ax 2+bx+a5 的图象经过点（1，4），且 2a+b3 ， ，函数 y
34、1 的表达式为 y3x 23x2；（2）2a+b3二次函数 y1ax 2+bx+a5ax 2+（32a）x +a5，整理得，y 1ax 2+（32a）x+a32（axa+3）（x1）2当 x1 时，y 12，y 1 恒过点（1，2）代入 y2kx+b 得2k+32a 得 k2a5实数 k，a 满足的关系式：k2a5（3）y 1ax 2+（3 2a）x +a5对称轴为 x ，x 01，且 mn当 a0 时，对称轴 x 1，解得 ，当 a0 时，对称轴 x 1，解得 （不符合题意，故 x0 不存在）故 x0 的取值范围为：【点评】此题主要考查利用待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的对称轴的位
35、置来判断函数值的大小22（12 分）如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E，G 是弧 AC 上一点，AG，DC的延长线交于点 F，连接 AD，GD，GC（1）求证：ADGF ；（2）已知 AECD，BE 2求O 的半径长；若点 G 是 AF 的中点，求CDG 与ADG 的面积之比【分析】（1）连接 BG，根据圆周角定理得到结论；（2） 连接 OD，设O 的半径为 r，则 AB2r，根据勾股定理得到O 的半径长为5；根据相似三角形的性质得到 ，得到 AD2AGAF，由相似三角形的性质得到FGFAFCFD，等量代换得到 AD2FC FD，于是得到结论【解答】（1）证明：连接 BG，AB
36、 是直径，AGB90，B+BAG90，ABCD，AEF 90，F+BAF 90，BF ，ADG B，ADG F；（2）解： 连接 OD，设 O 的半径为 r，则 AB2r，AECD，BE 2，CDAE 2r2，CDAB ，DE CD r1，OD 2OE 2+DE2，r 2（r 2） 2+（r1） 2，r5，r 1（不合题意，舍去）， O 的半径长为 5； ADG F，DAGFAD，ADG AFD， ，AD 2AG AF，DE4，AE8，AD 4 ，GDF DAF，FF，FCGFAD， ，FGFAFC FD，点 G 是 AF 的中点，AGFG ，S ADG S DGF ，AD 2FCFD，80DF（DF8），DF4+4 （负值舍去），CDG 与ADG 的面积之比CDG 与DGF 的面积之比CD：DF8：（4+4） 【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键